第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.会对必然事件、不可能事件和随机事件作出准确判断.
（难点）
2.会确定随机事件发生可能性的大小.
学习目标
新课导入
知识回顾
S圆锥侧＝πrl
S 圆锥全＝ S圆锥侧+ S圆锥底＝ πrl+πr2
①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
②侧面展开图扇形的弧长=底面周长
新课导入
课时导入
2020年3月17日 晴
早上，我迟到了。于是就急忙去学校上学，可是在楼梯上遇到了班主任，
她批评了我一顿。我想我真不走运，她经常在办公室的啊，今天我真倒霉。
我明天不能再迟到了，不然明天早上我将在楼梯上遇到班主任。
中午放学回家，我看了一场篮球赛，我想长大后我会比姚明还高，我将
长到100米高。看完比赛后，我又回到学校上学。
下午放学后，我开始写作业。今天作业太多了，我不停的写啊，一直写
到太阳从西边落下。
请问：圈出部分的事情一定会发生吗？
新课讲解
知识点1 事件的认识
掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的
点数.请思考以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面：
(1) 可能出现哪些点数？
(2) 出现的点数是7，可能发生吗？
(3) 出现的点数大于0，可能发生吗？
1点，2点，3点，4点，5点，6点，共6种
不可能发生
一定会发生
(4) 出现的点数是4，可能发生吗？ 可能发生，也可能不发生
新课讲解
从如下一堆牌中任意抽一张牌，可以事先知道抽到红牌的发生情况吗?
可能发生, 也可能不发生一定会发生 一定不会发生
新课讲解
在一定条件下，必然不会发生的事件称为不可能事件.
在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件.
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.
一般地，判断事件的类型是在一定条件下进行的，不同
的条件可能会导致不同的事件归类，如标准大气压下，水加
热到100℃沸腾是必然事件，但当气压高于标准大气压时，
水的沸点提高，水加热到100℃沸腾就不是必然事件了.
新课讲解
不可能事件
必然事件
确定性事件
随机事件
事件
1.确定性事件在事件发生前是可以预知结果的，即事件的发生或
不发生具有必然性；随机事件在事件发生前是不能预知结果的，
也称为“偶然性事件”.
2.一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件；描述
违背真理或客观存在的事实的事件是不可能事件.
新课讲解
练一练
指出下列事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件.
(1) 掷一枚硬币，正面朝上；
(2) 买一张彩票，中奖；
(3) 掷一次骰子，向上一面的点数小于7；
(4) 任意买一张电影票，座位号是双号；
(5) 向空中抛一枚硬币，硬币不向地面掉落.
判断事件的类型，要从定义出发，同时还要结合生活中的常识，
看在一定条件下该事件是一定发生、一定不发生还是可能发生.
不可能事件
必然事件
随机事件
随机事件
随机事件
新课讲解
知识点2 随机事件可能性的大小
袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完
全相同，随机地从袋子中摸出一个球.
(1) 这个球是白球还是黑球？
(2) 摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？
可能是白球也可能是黑球.
由于两种球的数量不等，所以“摸出黑球”和“摸出白球”的
可能性的大小是不一样的，且“摸出黑球”的可能性大于“摸
出白球”的可能性.
新课讲解
能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”
和“摸出白球”的可能性大小相同？
可以.
例如：白球个数不变，拿出两个黑球或黑球个数不变，
加入两个白球.
新课讲解
1.随机事件发生的可能性有大小之分，可以用“可能性极小”“不
大可能”“可能”“很可能”“可能性极大”等来描述.
2.我们说两个事件发生的可能性一样，是指这两个事件发生的可能
性的大小相同.
3.不大可能发生的事件是指事件发生的可能性很小，但还是有可能
发生，因此它是随机事件.
新课讲解
要知道事件发生的可能性的大小，首先要确定这个事件是
什么事件.一般有如下结论.
(1) 必然事件一定会发生，即发生的可能性是100% ；
(2) 不可能事件一定不会发生，即发生的可能性是0；
(3) 随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可
能性的大小有可能不同，但发生的可能性都在0~100%之间(不
包括0和100%).
新课讲解
比较随机事件发生的可能性大小的方法
比较随机事件发生的可能性大小时，可在相同的条件和
总数一定的情况下，通过可能出现的结果数进行比较，结果
数越多，则这个事件发生的可能性越大.
新课讲解
练一练
1.如图，水平放置的长方形纸板上有一些黑白小方块，李飞用一
个小球在上面随意滚动，小球停在黑色方块上与停在白色方块上
的可能性哪个大? ( 每个方块除颜色不同外，其他完全相同)
解：图中有14个白色方块，6个黑色方块，
所以小球停在白色方块上的可能性大.
课堂小结
随机事件的特点
1.事先不能预料事件是否发生，即事件的发生具有不确定性.
2.一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件
发生的可能性的大小不同.
不可能事件
必然事件
确定性事件
随机事件
事件
当堂小练
1.“任意打开一本200页的数学书，正好是第50
页”，这是 事件(选填“随机”“必然”或“不可能”).
2.从1、2、3、4、5中任取两个数字，得到的都是偶数
，这一事件是 事件.
随机
随机
当堂小练
3.一个口袋中装有红、黄、蓝三个大小和形状都相
同的球，从中任取一球，得到红球与得到蓝球的可
能性 .
4.小明参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，
其中选择题6个，判断题4个，今从中任选一个，选
中 的可能性较小.
相同
判断题
当堂小练
5.请指出在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然
事件，哪些是不可能事件．
(1)通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰；
(2)随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；
(3)地面发射1枚导弹，未击中空中目标；
(4)测量某天的最低气温，结果为-150℃；
(5)汽车累积行驶1万千米，从未出现故障.
必然事件
不可能事件
随机事件
随机事件
随机事件
拓展与延伸
一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球，请根据此信息
设计一个随机事件、一个必然事件和一个不可能事件.
解：随机事件：从袋子中任取一球，取到的球是红球；
必然事件：从袋子中任取一球，取到的球是红球或白球；
不可能事件：从袋子中任取一球，取到的球是黑球.
第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.2 概率
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.了解一个事件概率的意义.
2.会在具体情境中求出一个事件的概率. （重点）
3.会进行简单的概率计算及应用. （难点）
学习目标
新课导入
知识回顾
不可能事件
必然事件
确定性事件
随机事件
事件
新课导入
课时导入
在同样条件下，随机事件可能发生，也可能
不发生，那么它发生的可能性有多大呢？能否
用数值进行刻画呢？
新课讲解
知识点1 概率的定义
1 从分别写有数字1，2，3，4，5的五个纸团中随
机抽取一个，这个纸团里的数字有5种可能，即1，2，
3，4，5．因为纸团看上去完全一样，又是随机抽取，
所以每个数字被抽到的可能性大小相等．
我们用 表示每一个数字被抽到的可能性大小．1
5
例
新课讲解
2 掷一枚骰子，向上一面的点数有6种可能，即1，
2，3，4，5，6．因为骰子形状规则、质地均匀，又
是随机掷出，所以每种点数出现的可能性大小相等．
我们用 表示每一种点数出现的可能性大小．
1
6
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能
性大小的数值，称为随机事件A发生的概率,记作P(A)．
例
新课讲解
练一练
分析：根据概率的意义求解，即可求得答案．
注意排除法在解选择题中的应用．
1.“兰州市明天降水概率是30%”， 对此消息下列说
法中正确的是( )
A．兰州市明天将有30%的地区降水
B．兰州市明天将有30%的时间降水
C．兰州市明天降水的可能性较小
D．兰州市明天肯定不降水
C
1
新课讲解
2.下列说法中正确的是( )
A.“打开电视，正在播放新闻节目”是必然事件
B.“拋一枚硬币，正面朝上的概率为 ”表示每
拋两次就有一次正面朝上
C.拋一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概
率与朝上的点数是3的概率相等
D.为了了解某种节能灯的使用寿命，选择全面调查
1
2
C2
新课讲解
知识点2 概率的范围
概率的范围：0≤P(A) ≤1.特别地，
当Ａ为必然事件时，P(Ａ)＝1；
当Ａ为不可能事件时，P(Ａ)＝0．
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件
发生的可能性越小，它的概率越接近0．
新课讲解
0 1
事件发生的可能性越来越大
事件发生的可能性越来越小
不可能发生 必然发生
概率的值
新课讲解
3 掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：
(1) 点数为2；
(2) 点数为奇数；
(3) 点数大于2小于5.
例
新课讲解
练一练
在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉
字，这个字是“绿”的概率为( )B
新课讲解
知识点3 概率的计算
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，
并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m
种结果，那么事件A发生的概率 ．( ) mP A n
新课讲解
4 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点
数，求下列事件的概率：
(1)点数为2；
(2)点数为奇数；
(3)点数大于2且小于5．
例
新课讲解
(3)点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3,4，
因此P(点数大于２且小于５)=
(2)点数为奇数有3种可能，即点数为1,3,5，
因此 P(点数为奇数)=
(1)点数为2有1种可能,因此P(点数为2)=
解：掷一枚质地均匀的骰子时，向上一面的点数可能为1,
2,3,4,5,6，共6种．这些点数出现的可能性相等．
1 .6
=3 1 .6 2
=2 1 .6 3
新课讲解
应用 求简单事件的概率的步骤：( ) mP A n
(1)判断：试验所有可能出现的结果必须是有限的，
各种结果出现的可能性必须相等；
(2)确定：试验发生的所有的结果数n和事件A发生
的所有结果数m；
(3)计算：套入公式 计算．( ) mP A n
课堂小结
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性
大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
概率的定义
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们
发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事
件A发生的概率为： ( ) .mP A n
概率的计算
课堂小结
求简单随机事件
的概率的方法
当堂小练
1.“明天降水的概率是15%”,下列说法中,正确的
是( )
A.明天降水的可能性较小
B.明天将有15%的时间降水
C.明天将有15%的地区降水
D.明天肯定不降水
A
当堂小练
2.事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛
掷一枚质地均匀的骰子,朝上的点数小于7；事件C：
在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化.3个事件
发生的概率分别记为P(A)、P(B)、P(C)，则 P(A)、
P(B)、P(C)的大小关系正确的是( )
A.P(C)＜P(A)= P(B) B.P(C)＜P(A)＜P(B)
C.P(C)＜P(B)＜P(A) D.P(A)＜P(B)＜P(C)
B
当堂小练
3.掷一枚质地均匀的硬币的试验有2种可能的结
果,它们的可能性相同，由此确定“正面向上”的
概率是 .
4.10件外观相同的产品中有1件不合格.现从中
任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概
率为 .
1
10
1
2
当堂小练
5.不透明的袋子里有1个红球，3个白球，5个黄球，每
个球除颜色外都相同，从中任意摸1个球：
(1)摸到红球的概率是多少？
(2)摸到白球的概率是多少？
(3)摸到黄球的概率是多少？
1 1(1) = = .1+3+5 9P( )摸到红球解:
3 3 1(2) ( ) .1 3 5 9 3P
摸到白球
5 5(3) ( )= = .1+3+5 9P 摸到黄球
拓展与延伸
如图是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面，在一个
9×9的小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个
小方格内最多只能埋藏1颗地雷.
小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格，
该方格中出现了数字“3”，其意义表示该格的
外围区域(图中阴影部分，记为A区域)有3颗地雷；
接着，小红又点击了左上角第一个方格，出现了数字“1”，
其外围区域(图中阴影部分)记为B区域；“A区域与B区域以及
出现数字‘1’和‘3’两格”以外的部分记为C区域．
拓展与延伸
小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷，那么
她应点击A、B、C中的哪个区域？请说明理由.
3 3( )= =9-1 8P A解： 遇到地雷
1 1( )= =4-1 3P B遇到地雷
10 4 6 3(C )= = =9 9 9 4 68 34P
遇到地雷
即点击C区域遇到地雷的可能性最小，
所以小红在下一步点击时应点击C区域.
3 1 3
34 3 8＜ ＜ ，由于
第二十五章 概率初步
25.2 用列表法求概率
课时1 用列表法求概率
目
录
C
O
N
T
E
N
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1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.会用直接列举法和列表法列举所有可能出现的结果.
2.会用列表法求出事件的概率. （重难点）
学习目标
新课导入
知识回顾
我们学过的求简单随机事件的概率的方法有哪些？
1.
2.
新课导入
课时导入
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，
老师赢；如果落地后两面一样，你们赢 . 请问，你们觉得这个游
戏公平吗？
新课讲解
知识点1 直接列举法求概率
1 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
例
新课讲解
“掷两枚硬币”所有结果如下：
① ② ① ②
① ② ① ②
新课讲解
因为P(学生赢)=P(老师赢).
所以这个游戏是公平的.
新课讲解
上述这种列举法我们称为直接列举法（枚举法）.
(1) 直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
(2) 用列举法求概率的前提有两个：
①所有可能出现的结果是有限个；②每个结果出现的可能性相等.
(3) 所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新课讲解
“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验
的所有可能结果一样吗？
第一掷 第二掷 所有可能出现的结果
（正、正）
（正、反）
（反、正）
（反、反）
新课讲解
“两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先后
两次发生”的结果是一样的.
随机事件“同时”与“先后”的关系：
新课讲解
练一练
若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称为“V
数”，如756，326 ，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字
的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V数”的概率为 .
新课讲解
知识点2 用列表法求概率
2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两枚骰子的点数相同；
（2）两枚骰子点数的和是9；
（3）至少有一枚骰子的点数为2．
分析：当一次试验是掷两枚骰子时,为不重不漏地列
出所有可能的结果,通常采用列表法.
例
新课讲解
解:两枚骰子分别记为第1枚和第2枚,可以用下表列举出
所有可能出现的结果：
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1)(4,1)(5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2)(4,2)(5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3)(4,3)(5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4)(4,4)(5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5)(4,5)(5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6)(4,6)(5,6) (6,6)
第1枚
第2枚
新课讲解
(1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种,
即(1,1)，(2,2),(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，
所以
由上表可以看出,同时掷两枚骰子,可能出现的结果有36种,并
且它们出现的可能性相同.
6 1( ) .36 6P A
4 1( ) .36 9P B
(2)两枚骰子的点数和是9(记为事件B)的结果有4种,
即(3,6)，(4,5),(5,4)，(6,3)，所以
新课讲解
(3)至少有一枚骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种,
即(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，
所以 11( ) .36P C
新课讲解
2.适用条件：如果事件中各种结果出现的可能性均
等，含有两次操作(如掷骰子两次)或两个条件(如
两个转盘)的事件．
1.用列表法求概率的步骤：①列表；②通过表格计数，
确定所有等可能的结果数n和关注的结果数m的值；
③利用概率公式 计算出事件的概率．( ) mP A n
课堂小结
列举法
关 键
常 用
方 法
直接列举法
列 表 法
适 用 对 象
两个试验因素或分
两步进行的试验.
基 本 步 骤
① 列表；
② 确定m,n的值，
代入概率公式计算.
在于正确列举出试验结果的各种可能性.
确保试验中每种结果出
现的可能性大小相等.
前 提 条 件
当堂小练
1.纸箱里有一双拖鞋，从中随机取一只，放回后再取一
只，则两次取出的鞋都是左脚的鞋的概率
为 .
2.有两辆车按1、2编号,舟舟和嘉嘉两人可任意选
坐一辆车，则两个人同坐2号车的概率为 .
1
4
1
4
当堂小练
2.把一个质地均匀的骰子掷两次，至少有一次骰子
的点数为2的概率是( )
1 1 A. B.2 5
1 11C. D.36 36
D
当堂小练
3.如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，求能让两
盏灯泡同时发光的概率.
解：列举出闭合三个开关中的两个的全部结果：
K1K2，K1K3，K2K3.
所有可能的结果共有3种，并且这三种结果出现的可能
性相等.只有同时闭合K1、K3，才能让两盏灯泡同时发
光(记为事件A)，
所以P(A)= .1
3
拓展与延伸
有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打
开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把
钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
分析： 设两把锁分别为m、n，三把钥匙分别为a、b、c，且钥
匙a、b能分别打开锁m、n.列举出所有可能的配对结果.
拓展与延伸
解：记一次打开锁为事件A.
2 1( ) .6 3P A
第二十五章 概率初步
25.2 用列表法求概率
课时2 用画树状图法求概率
目
录
C
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N
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1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.用列举法（画树状图法）求事件的概率.
（重难点）
2.进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能.
学习目标
新课导入
知识回顾
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且
它们 ,事件A包含其中的 种结果，
那么事件A发生的概率P（A）= .则：P(A)的 取值
范围是 。
发生的可能性相等 m
m
n
0≤ ≤1m
n
新课导入
课时导入
抛掷一枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？
1
2P(正面向上) =
同时抛掷两枚均匀的硬币，出现同时正面向上的概率是多少？
可能出现的结果有(正，正)(正，反)(反，正)(反，反),
1
4P(同时正面向上)=
还有别的方法求此问的概率吗？
新课讲解
知识点1 树状图法求概率
开
始
第2枚
第1枚
正
反
正
反
正
正
结果
(反，反）
(正，正）
(正，反）
(反，正）
1
4P(正面向上)=
适用条件：
当一次试验涉及两个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所
有等可能的结果，通常采用画树状图法.
新课讲解
一个试验
第一个因素
第二个因素
A B
1 2 3 1 2 3
画树状图法：
是用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方
式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
新课讲解
1 甲口袋中有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙
口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C,D和E；丙口袋
中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各
随机取出1个小球.
(1) 取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
(2) 取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
分析：当一次试验是从三个口袋中取球时,列表法就不方便了,为不
重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法．
例
新课讲解
解：根据题意,可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出,所有可能出现的结果共有12种,即
ACH,ACI,ADH,ADI,AEH,AEI,BCH,BCI,BDH,BDI,BEH,BEI,
这些结果出现的可能性相等.
新课讲解
新课讲解
画树状图求概率的基本步骤：
(1) 将第一步可能出现的 a 种等可能的结果写在第一层；
(2) 若第二步有 b 种等可能的结果，则在第一层的每个结果下画
出 b 个分支，将这 b 种结果写在第二层，以此类推，画出第三层；
(3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结
果数，再利用概率公式求解.
新课讲解
1.用列举法求事件的概率包括直接列举法、列表法和画树
状图法，用列举法求概率时，各种结果出现的可能性必须相
同，必须列举出所有可能的结果，不能重复也不能遗漏.
2.当试验包含两步时，用列表法比较方便，当然此时也可
以用画树状图法；当试验包含三步或三步以上时，不能用列
表法，用画树状图法比较方便.
3.树状图中，从左到右(或从上往下)，每一条路径都表示
一种可能的结果，并且每种结果出现的可能性相同.
新课讲解
2 现有A,B,C三盘包子，已知A盘中有两个酸菜包和一个
糖包，B盘中有一个酸菜包、一个糖包和一个韭菜包，C盘
中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就爱吃酸菜
包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒头除外），那么
老师选的包子全部是酸菜包的概率是多少？
例
新课讲解
解：根据题意，画出树状图如下
由树状图得，所有可能出现的结果有18个，它们出现的可
能性相等.选的包子全部是酸菜包有2个，所以选的包子全部是
酸菜包的概率是：
A盘
B盘
C盘
酸
酸 糖 韭
酸 糖 酸 糖 酸 糖
酸
酸 糖 韭
酸 糖 酸 糖 酸 糖
糖
酸 糖 韭
酸 糖 酸 糖 酸 糖
酸
酸
酸
酸
酸
糖
酸
糖
酸
酸
糖
糖
酸
韭
酸
酸
韭
糖
酸
酸
酸
酸
酸
糖
酸
糖
酸
酸
糖
糖
酸
韭
酸
酸
韭
糖
糖
酸
酸
糖
酸
糖
糖
糖
酸
糖
糖
糖
糖
韭
酸
糖
韭
糖
课堂小结
树状图
步骤
用法 是一种解决试验有多步(或涉及多个因素)的好方法.
注意
① 弄清试验涉及的因素个数或试验步骤分几步；
③利用概率公式进行计算.
①关键要弄清楚每一步有几种结果；
②在树状图下面对应写着所有可能的结果；
②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回”.
当堂小练
1.学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征
、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么
征征和舟舟选到同一社团的概率是( )
C
2 1 1 1 3 2 3 4A. B. C. D.
当堂小练
2.有一箱子装有3张分别标示4、5、6的号码牌，已知小
武以每次取一张且取后不放回的方式,先后取出2张牌
,组成一个二位数,取出第1张牌的号码为十位数,第2张
牌的号码为个位数,若先后取出2张牌组成二位数的每
一种结果发生的机会都相同,则组成的二位数为6的倍
数的概率为( )
1 1 1 1A. B. C. D.6 4 3 2
A
当堂小练
3.从1、2、-3三个数中，随机抽取两个数相乘，
积是负数的概率是 .
2
3
拓展与延伸
两张图片形状完全相同,把两张图片全部从中间剪断,再把
四张形状相同的小图片混合在一起.从四张图片中随机地摸取
一张，接着再随机地摸取一张，则两张小图片恰好合成一张
完整图片的概率是多少？
A2
A1
B2
B1提示： 设第一张图片为A，剪断的两张分别
为A1，A2；第二张图片为B，剪断的
两张分别为B1，B2.
拓展与延伸
列举出所有结果如下：解：
记恰好合成一张完整图片为事件A.
.4 1( ) 12 3P A A2
A1
B2
B1
第二十五章 概率初步
25.3 用频率估计概率
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.用频率估计概率并解决实际问题. （难点）
2.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系.
学习目标
新课导入
知识回顾
我们学习了哪些求概率的方法？
1.直接列举法.
2.列表法.
3.画树状图法.
新课导入
课时导入
任务1：抛掷一枚硬币，“正面向上” 的概率为 0.5．意
味着什么？如果重复试验次数增多，结果会如何？
活动：
逐步累加各小组试验获得的“正面向上”的频数，求频率，
用Excel表格生成频率的折线图，观察、思考．
任务2：观察随着重复试验次数的增加，“正面向上”的频
率的变化趋势是什么？
新课导入
课时导入
第一组1 000 次试验
第二组1 000 次试验
新课导入
课时导入 第三组1 000 次试验
第四组1 000 次试验
新课导入
课时导入
第五组1 000 次试验
第六组1 000 次试验
新课讲解
知识点1 用频率估计概率
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，
其中一些试验结果见下表：
m
n
试验者 抛掷次数n
“正面向上”
的次数m
“正面向上”
的频率
棣莫弗
布丰
费勒
皮尔逊
皮尔逊
2 048
4 040
10 000
12 000
24 000
1 061
2 048
4 979
6 019
12 012
0.518
0.506 9
0.497 9
0.501 6
0.500 5
新课讲解
根据表中数据,描出对应的点,如图:
新课讲解
思考:
随着抛掷次数的增加,“正面向上”的频率的变化趋
势是什么？
趋近于0.5
新课讲解
对一般的随机事件在做大量重复试验时，随着试验次
数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近
摆动，显示出一定的稳定性，因此，我们可以通过大量的
重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
新课讲解
为什么要用频率估计概率？虽然之前我们学过用列举法确
切地计算出随机事件的概率，但由于列举法受各种结果出现的
可能性相等的限制，有些事件的概率并不能用列举法求出.例如：
抛掷一枚图钉,估计“钉尖朝上”的概率，这时我们就可以通过
大量重复试验估计它们的概率.
新课讲解
1 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的
移植成活率,应采用什么具体做法?
是实际问题中的一种概率,可理解为成活的概率.
观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈谈
你的看法．
例
新课讲解
移植总数（n） 成活数（m） 成活的频率
10 8 0.8
50 47
270 235 0.870
400 369
750 662
1500 1335 0.890
3500 3203 0.915
7000 6335
9000 8073
14000 12628 0.902
m
n
0.94
0.923
0.883
0.905
0.897
1 林业部门种植了该幼树1000棵,估计能成活_____棵.
2 我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则
至少向林业部门购买约_______棵.
新课讲解
由上表可以发现，幼树移植成活的频率在 左右摆
动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为 ．0.9
0.9
900
560
新课讲解
知识点2 频率与概率的关系
1．频率与概率的关系:在大量重复试验中,如果事件
A发生的频率 稳定于某个常数b,则该事件发生
的概率P(A)= ____.
m
n
b
新课讲解
频率 概率
区别
试验值或使用时的统计值 理论值
与试验次数的
变化有关
与试验次数的
变化无关
与试验人、试验时间、
试验地点有关
与试验人、试验时间、
试验地点无关
联系 试验次数越多，频率越趋向于概率
新课讲解
2．频率与概率关系的的应用:
完成下表,利用你得到的结论解答下列问题:
某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000
千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润
5 000元,那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时,
约定价为每千克大多少元比较合适?
新课讲解
柑橘总质量（n）kg 损坏柑橘质量（m）/kg 柑橘损坏的频率
50 5.50 0.110
100 10.5 0.105
150 15.15
200 19.42
250 24.25
300 30.93
350 35.32
400 39.24
450 44.57
500 51.54
m
n
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
新课讲解
从上表可以看出，柑橘损坏的频率在常数_____左右
摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐______，那
么可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数．如果估计
这个概率为0.1，则柑橘完好的概率为_______．
0.1
稳定
0.9
新课讲解
设每千克柑橘的销价为x元，则应有
（x－2.22）×9 000=5 000,
解得 x≈2.8.
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5 000元．
解：根据估计的概率可以知道，在10 000千克柑橘中完好
柑橘的质量为10 000×0.9＝9 000千克，完好柑橘的
实际成本为 2 10000 2 2.22( )9000 0.9
元/千克
新课讲解
练一练
一粒木质中国象棋“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,它的反面是平
的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”
字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率,某试验小
组做了棋子下掷的试验,试验数据如下表：
(1) 请将数据表补充完整；
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上的次数 14 38 47 52 66 78 88
“兵”字面朝上的频率 0.70 0.45 0.63 0.59 0.55 0.56
18
0.52 0.55
新课讲解
(2) 在下图中画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；
新课讲解
(3)如果试验继续进行下去,根据上表的数据，这个试验的频率
将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少(结果保留
小数点后两位).
解：随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率稳定在
0.55附近，所以估计“兵”字面朝上的概率是0.55.
课堂小结
用频率估
计概率
大量重
复试验
求非等可能
性事件概率
列举法
不能适应
频率稳定
常数附近
统 计 思 想用样本(频率)
估计总体(概率)
一 种 关 系频 率 与 概
率 的 关 系
频率稳定时可看作是概
率但概率与频率无关
当堂小练
1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率
，下列说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D
当堂小练
2.在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白
球若干个，某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸
出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活
动中的一组数据，则摸到白球的概率约是( )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
C
频率
当堂小练
3.一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和黑球
若干个,每个球除了颜色外没有任何区别，小王通
过大量重复试验(每次取一个球,放回搅匀后再取)发
现,取出黑球的频率稳定在0.25左右,请你估计袋中
黑球的个数为 .5
当堂小练
4.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
(1)计算表中相应的“射中9环以上”的频率(精确到0.01)；
(2)这些频率具有什么样的稳定性？
(3)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射
中9环以上”的概率(精确到0.1)
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中九环以上”的频率
稳定在0.8附近
0.8
0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80
拓展与延伸
鸟类学家要估计某森林公园内鸟的数量，你能用学过
的知识，为鸟类学家提出一种估计鸟的数量的方法吗？(在
一定的时期内，森林公园可以近似地看做与外部环境是相
对封闭的)
解：在一年中该森林公园内的鸟相对较多的时期，选
择一天(晴天)先捕n只鸟，作上记号放回公园，让它们
充分混合后，再捕捉m只鸟，其中若作记号的有a只，
于是可估计公园里有 只鸟．mn
a
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