江苏省南通学科基地2021届高三高考数学全真模拟试卷（六）（ 解析版）

第 1 页 共 17 页 江苏省南通学科基地 2021 届高三高考数学全真模拟试卷（六） （满分：150 分，考试时间：120 分钟） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 }01|{},02|{ 2  xxBxxxA ，则 BA （ ） A. }21|{  xx B. }12|{  xx C. }01|{  xx D. }10|{  xx 【答案】D 2. 已知复数 z 满足 iiz  5)1( ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部是（ ） A. 3 B. i3 C. 2 D. i2 【答案】A 3.甲、乙、丙、丁 4 名学生假期积极参加体育锻炼，每人在游泳、篮球、竞走这三个锻炼项目中选择一项进 行锻炼，则甲不选游泳、乙不选篮球的概率为（ ） A. 3 1 B. 9 4 C. 12 7 D. 9 5 【答案】B 4.《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有 92 问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍 数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增 等尺，初日织五尺，三十日共织 390 尺，问日增几何？"那么此女子每日织布增长（ ） A. 7 4 尺 B. 31 16 尺 C. 29 16 尺 D. 15 8 尺 【答案】C 5. 已知 0,0  yx ，且 1 yx ，则下列结论中正确的是（ ） 第 2 页 共 17 页 A. yx 11  有最小值 4 B. xy 有最小值 4 1 C. yx 22  有最大值 2 D. yx  有最大值 2 【答案】A 6. 某校开展社会实践活动，学生到工厂制作一批景观灯箱（如图，在直四楼柱上加工，所有顶点都在楼上）， 灯箱最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等的正三角形，灯箱底部是边长为 a 的正方形，灯箱的高 度为 10a，则该灯箱的体积为（ ） A. 310a B. 3 6 59 a C. 3 12 119 a D. 3 24 239 a 【答案】C 7. 已知函数 2 2tan)( 4 4   x xxxf 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m 的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 第 3 页 共 17 页 8. 瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形（如图 D） 开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段， 这样就得到一个六角形（如图），所得六角形共有 12 条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长 度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉"底边”线段，反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线， 这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线已知点 O 是六角形的对称中心，A，B 是六角形的两个顶点，动点 P 在六角形上（内部以及边界）.若 OByOAxOP  ，则 yx  的取值范围是（ ） A. ]3,3[ B. ]4,4[ C. ]5,5[ D. ]6,6[ 【答案】C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9. 若 Rxxaxaxaax  ,)1(...)1()1()3( 8 8 2 210 8 ，则下列结论中正确的有（ ） 第 4 页 共 17 页 A. 8 0 2a B. 3 103 8Ca  C. 8 821 3...  aaa D. 82 7531 2 86420 3)()(  aaaaaaaaa 【答案】AD 10. 已知点 A 的坐标为（-3，0），点 B 的坐标为（3，0），直线 AP 与 BP 相交于点 P，且它们的斜率之积为 非零常数 m，那么下列说法中正确的有（ ） A. 当 1m 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆 B. 当 1m 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是圆心在原点的圆 C.当 01  m 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆 D.当 0m 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线 【答案】BD 11. 现有以下四个命题：①线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱， ② )(2)32(,3)(2)32( XVXVXEXE  ，③有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，若 X 第 5 页 共 17 页 表示取得次品的个数，则 15 14)2( XP ④以模型 kxcey  去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 yz ln ，将其变换后得到线性方程 43.0  xz ，则 c，k 的值分别是 4e 和 3.0 .从这四个命题中任意选两 个，至少有一个假命题的是（ ） A.①② B.①③ C.②④ D .③④ 【答案】ABC 12. 声音是 由物体振动 产生的声波 ，我们听到 的声音是由 纯音合成的 ，纯音的数 学模型是 函数 )0,0(sin)(   AxAxf ，音调、音色、音长、响度等都与正弦函数及其参数有关.若一个复合音的数 学模型是函数 xxxf 2sinsin2)(  ，则下列结论中正确的有（ ） A. )(xf 是奇函数 B. )(xf 最大值为 2 33 C. )(xf 在 ]2,0[  上有两个零点 D. )(xf 在 ]6,0[  是增函数 【答案】ABD 第 6 页 共 17 页 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知 ),3,2(,2||,1||  baba 则  |2| ba . 【答案】2 14. 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  bab y a xC ，A，F 分别是椭圆 C 的左顶点和左焦点，圆 222: byxO  ，过 左焦点 F 作 PF⊥x 轴，交圆 O 于点 P，直线 AP 恰好与圆 O 相切，则椭圆 C 的离心率为 . 【答案】 2 15  15. 若正三棱锥 P-ABC 的侧棱与底面所成的角为 60°，高为 32 ，则这个三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 3 64 第 7 页 共 17 页 16. 我国魏晋时期的数学家刘徽形容他创立的“割圆术”说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可 割，则与圆周合体而无所失矣.”即用正 n 边形进行内外夹逼，可以求得圆周率 的精确度较高的近似值，借 用这种“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线，再进 行相关计算.若函数 x xxf ln)(  ，则曲线 )(xfy  在点（1，0）处的切线方程为 （2 分）；用 此结论计算：  2020ln2021ln . （3 分） 【答案】 22020 2021,01 yx 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 222 sin3 32 acAbcb  （1）求角 A； （2）若 ,tantantan 2,32 C c B b A aa  求△ABC 的面积. 第 8 页 共 17 页 18.（本小题满分 12 分） 在① 9311 ,,,1 aaaa  成等比数列，② ,9,10 5142  aaaa ；③ )2()1(3 111,3 1 1   nnnaaa nn ，这 三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. 问题：已知数列 }{ na 是公差为正数的等差数列， ，数列 }2{ n na 的前 n 项和为 nS ，是否存在 m， 使 )(3 *NnmSm n  恒成立？若存在，求出所有的正整数 m；若不存在，请说明理由. 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 第 9 页 共 17 页 第 10 页 共 17 页 19.（本小题满分 12 分） 《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早 1000 多年在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，如图，在堑堵 111 CBAABC  中 AB⊥AC， 11  ACABAA ，M，N 分别是 BCCC ,1 的中点，点 P 在线段 11BA 上. （1）若 P 为 11BA 的中点，求证：PN//平面 CCAA 11 . （2）是否存在点 P，使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45°？若存在，试确定点 P 的位置；若不 存在，请说明理由. 第 11 页 共 17 页 第 12 页 共 17 页 20.（本小题满分 12 分） 2020 年受疫情影响，我国企业曾一度停工停产，中央和地方政府纷纷出台各项政策支持企业复工复产， 以减轻企业负担，为了深入研究疫情对我国企业生产经营的影响，帮扶困难职工，在甲、乙两行业里随机 抽取了 200 名工人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现他们的月薪在 2000 元到 8000 元之间，具体统计 数据见下表 将月薪不低于 6000 元的工人视为“Ⅰ类收入群体”，低于 6000 元的工人视为“Ⅱ类收入群体”，并将频率视为 概率. （1）根据所给数据完成下面的 2×2 列联表： 根据上述列联表，判断是否有 99%的把握认为“Ⅱ类收入群体”与行业有关. 附： ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadn   ，其中 dcban  . k 3.841 6.635 10.828 )( 2 kP  0.05 0.010 0.001 （2）经统计发现该地区工人的月薪 X （单位：元）近似地服从正态分布 )1400,( 2N ，其中  近似为样本 的平均数 x （每组数据取区间的中点值），若 X 落在区间 )2,2(   外的左侧，则可认为该工人“生 活困难”，政府将联系本人，咨询月薪过低的原因，并提供帮助. ①已知工人王强参与了本次调查，其月薪为 2500 元，试判断王强是否属于“生活困难"的工人； ②某超市对调查的工人举行了购物券赠送活动，赠送方式为：月薪低于  的获得两次赠送，月薪不低于  的 获得一次赠送，每次赠送金额及对应的概率如下： 赠送金额/元 100 200 300 概率 2 1 3 1 6 1 求王强获得的赠送总金额的数学期望. 第 13 页 共 17 页 第 14 页 共 17 页 第 15 页 共 17 页 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 1ln)(,4)(  xxxgaexf x ，其中 e 为自然对数的底数， Ra . （1）若对任意的 ]1,0(2 x ，总存在 ]1,0(1 x ，使得 )()( 21 xgxf  ，求 a 的取值范围； （2）若函数 )(xfy  的图像始终在函数 2)(  x xgy 的图像上方，求 a 的取值范围 第 16 页 共 17 页 第 17 页 共 17 页 22.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 )0(2: 2  ppxyC 的焦点为 F ，直线 ay  与 y 轴交于点 M ，与抛物线C 交于点 N . （1）若 2a 且 FNMN 5 4 ，求抛物线C 的方程； （2）若 pa  （定值），抛物线 C 上的两个动点 GE, 满足 EN ⊥GN，求证：直线 EG 过定点.