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新高考题型：应用背景题（精选 50 题）
1．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1 ℃，空气的温度是 0 ℃，经过
t 分钟后物体的温度 ℃可由公式 0 1 0( )e kt 求得，其中 k 是一个随着物体与
空气的接触状况而定的大于 0 的常数．现有80 ℃的物体，放在 20 ℃的空气中冷却， 4
分钟以后物体的温度是 40 ℃，则 k 约等于（参考数据： ln3 1.099 ）（ ）
A． 0.6 B． 0.5
C． 0.4 D． 0.3
2．大气压强 p 压力
受力面积 ，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强 p（Pa）
随海拔高度 h （m）的变化规律是 0
khp p e （ 0.000126k m-1）， 0p 是海平面大气
压强.已知在某高山 1 2,A A 两处测得的大气压强分别为 1 2,p p ， 1
2
1
2
p
p
，那么 1 2,A A 两
处的海拔高度的差约为（ ）
（参考数据： ln 2 0.693 ）
A．550m B．1818m C．5500m D．8732m
3．交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系
列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客
行为黑名单”．该办法已于 2020 年 4 月开始施行．通常我们以分贝 dB 为单位来表示
声音大小的等级， 30 ~ 40 分贝为安静环境，超过 50 分贝将对人体有影响，90 分贝以
上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为 v 的声音对应的分贝数
为 f v dB ，那么满足： 1210 lg1 10
vf v
．若在地铁中多人外放电子设备加上
行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到 90dB ，则90dB 的声音与 50dB 的声音强度之
比为（ ）．
A．40 B．100
C．40000 D．10000
4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2018 年全年投入研发资
金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入
的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ）
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（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A．2020 年 B．2021 年 C．2022 年 D．2023 年
5．某品牌牛奶的保质期 y （单位：天）与储存温度 x （单位： C ）满足函数关系
0, 1kx by a a a .该品牌牛奶在 0 C 的保质期为 270 天，在8 C 的保质期为 180
天，则该品牌牛奶在 24 C 的保质期是（ ）
A．60 天 B．70 天 C．80 天 D．90 天
6．2020 年 7 月 31 日上午，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平宣布北
斗三号全球卫星导航系统正式开通并提出“新时代北斗精神”.已知组成北斗三号全球卫
星导航系统的卫星中包含有地球静止轨道卫星，它的运行轨道为圆形轨道，角速度约为
15 度/小时，若将卫星抽象为质点，以地球球心为原点，在卫星运行轨道所在平面建立
平面直角坐标系，则以下函数模型中最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行
时间的关系的是（ ）
A．指数函数模型 B．对数函数模型 C．幂函数模型 D．三角函数模型
7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建
立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I t (t 的单位：天)的 Logistic 模型：
0.23( 50)( ) 1 t
KI t e
，其中 K 为最大确诊病例数.当 * 0.95I t K 时，标志着已初步遏
制疫情，则 *t 约为（ ）(参考数据： ln19 3 )
A．60 B．62 C．66 D．63
8．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比
例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，
依此类推，如图所示，将图 1 的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向
外做一个正三角形，去掉中间一段得到图 2，称为“一次分形”；用同样的方法把图 2 中
的每条线段重复上述操作，得到图 3，称为“二次分形”；依次进行“n 次分形”，得到一
个周长不小于初始三角形周长 100 倍的分形图，则 n 最小值是（ ）(取
lg3 0.4771,lg 2 0.3010 )
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A．15 B．16 C．17 D．18
9．圭表（如图 1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它
包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺
（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最
长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图 2 是一个根据北京的地理位
置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即 ABC ）为 26.5 ，夏至正
午太阳高度角（即 ADC ）为 73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 DB 的
长）为 a，则表高（即 AC 的长）为（ ）
A． sin53
2sin 47
a
B． 2sin 47
sin53a
C． tan26.5 tan73.5
tan47
a
D． sin26.5 sin73.5
sin47
a
10．京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径
88 米，最高点 A 距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟.由于受到周边建筑物
的影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳
观赏时长为（ ）
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A．10 分钟 B．12 分钟 C．14 分钟 D．16 分钟
11．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， ( 1,2, ,8)iP i
是上底面上其余的八个点，则集合 , 1 2 3 8iy y AB AP i 、、、 、 中的元素个数
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻
的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探
测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不
为零时，反射光相对探测光会发生频移 2 sin
p
vf
，其中为测速仪测得被测物体的
横向速度， 为激光波长， 为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在
距离高铁1m 处，发出的激光波长为 91600nm lnm 10 m ，测得某时刻频移为
98.0 10 (1/ h) ，则该时刻高铁的速度 v 约等于（ ）
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A．320km / h B．330km / h C．340km / h D．350km / h
13．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个
是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三
角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是
一个顶角为 36o 的等腰三角形（另一种是顶角为108 的等腰三角形）.例如，五角星由五
个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 ABC 中，
5 1
2
BC
AC
.根据这些信息，可得sin126 （ ）
A．1 2 5
4
B． 3 5
8
C．1 5
4
D． 4 5
8
14．2021 年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语 3 门必
选科目外，考生再从物理、历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作为选
考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均
缩放成 5 分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的
是（ ）
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A．甲的化学成绩领先年级平均分最多.
B．甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分.
C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.
15．北京公交 101 路是北京最早的无轨电车之一，最早可追溯至 1957 年.游客甲与乙同
时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的 101 路公交车，甲将在故宫站之前的任
意一站下车，乙将在展览路站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比
乙后下车的概率为（ ）
A． 48
209 B． 11
48 C． 50
209 D． 5
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16．重庆是西部大开发重要的战略支点、“一带一路”和长江经济带重要联结点以及内陆
开放高地；重庆是享誉世界的山城，雾都和英雄城，近年来又以桥都扬名世界．重庆有
数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，
其主体造型为：拱桥部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦
函数一个周期的图象）相结合．已知桥拱部分跨度长552m ，两端引桥各长190m ，主
桁最高处距离桥面89.5m ，则下列函数中，将其图象上每一点的横、纵坐标等倍扩大
后所得到的图象，与朝天门长江大桥主桁形状最接近的是（ ）
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A． 20.45cos 3y x B． 24.5cos 3y x C． 30.9cos 2y x D． 39cos 2y x
17．一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面､椭球面､单叶双
曲面和双曲抛物面､比如，中心在原点的椭球面的方程为
2 2 2
2 2 2 1 0, 0, 0x y z a b ca b c
，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状(如图1)，
若某建筑准备采用半椭球面设计(如图 2 )，半椭球面方程为
2 2
2
4 4 1 0x y z z ，
该建筑设计图纸的比例(长度比)为1:50 (单位： m )，则该建筑的占地面积为（ ）
A． 24000 m B． 26000 m C． 28000 m D． 210000 m
18．如图， 60C 是一种碳原子簇，它是由 60 个碳原子构成的，其结构是以正五边形和
正六边形面组成的凸 32 面体，这 60 个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳
定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的
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正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角 （ 0 180 ≤ ）满足
2 33 1 5 3cos cos cos cos 02 2 2 2
，式中 , , , 分别为杂化轨道中
, , ,s p d f 轨道所占的百分数. 60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无 ,d f 轨道参与杂
化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的 ,s p 轨道数之比为1: 2.28，
由此可计算得一个 60C 中的凸 32 面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大
值之间的夹角的正弦值分别为（ ）
A． 20 ， 8 41
57
B．12 ， 8 41
57
C． 20 ， 399
32
D．12 ， 399
32
19．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某
一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A（前轮），圆 D（后轮）的半径均为 3 ，
ABE△ ， BEC△ ， ECD 均是边长为 4 的等边三角形.设点 P 为后轮上的一点，则在
骑动该自行车的过程中， AC BP 的最大值为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
20．在新冠肺炎疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒.教室内每立方米空气中的
含药量 y （单位：毫克）随时间t （单位：小时）的变化情况如图所示.在药物释放的过
程中， y 与t 成正比；药物释放完毕后， y 与t 的函数关系式为 10a ty （ a 为常数）.
据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.2 毫克以下时，学生方可进入教室.那么，
从药物释放开始到学生能回到教室，至少在（ ）（参考数值lg2 0.30103 ）
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A．42 分钟后 B．48 分钟后
C．50 分钟后 D．60 分钟后
21．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10% 的能量能够流
到下一个营养级.在 1 2 3H H H 这个生物链中，若能使 3H 获得10kJ 的能量，则需
1H 提供的能量为（ ）
A． 510 kJ B． 410 kJ C． 310 kJ D． 210 kJ
22．党的十九大报告中指出：从 2020 年到 2035 年，在全面建成小康社会的基础上，
再奋斗15 年，基本实现社会主义现代化．若到 2035 年底我国人口数量增长至14.4亿，
由 2013年到 2019 年的统计数据可得国内生产总值（GDP ） y （单位：万亿元）关于
年份代号 x 的回归方程为 6.60 0. 6ˆ 5 3y x （ 1,2,3,4,5,6,7x ），由回归方程预测我
国在 2035 年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（ ）
A．14.04 B． 202.16 C．13.58 D．14.50
23．从某个角度观察篮球（如图 1），可以得到一个对称的平面图形，如图 2 所示，篮
球的外轮席为圆 O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆
O 的交点将圆 O 的周长八等分，且 AB BC CD ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C． 3 5
5
D． 4 7
7
24．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极
响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、
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（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项
教育越好）．下列说法正确的是（ ）
A．高三（2）班五项评价得分的极差为 1.5
B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分
C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高
D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大
25．溶液酸碱度是通过 pH 计算的， pH 的计算公式为 pH lg H ，其中 H 表
示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在
7.45 7.351 10 ~1 10 之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的 pH
值的范围是（ ）
A．[7.25,7.55] B．[7.25,7.45] C．[7.25,7.35] D．[7.35,7.45]
26．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美
的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以 , , , ,A B C D E
为顶点的多边形为正五边形，且 5 1
2
PT
AP
，则（ ）
A． 3 5 3 5
2 2CT CA CE B． 5 1 5 1
2 2CT CA CE
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C． 5 1 5 1
2 2CT CA CE D． 3 5 5 1
4 2CT CA CE
27．衡阳创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有
“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分
好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（ ）
A． 1
9 B． 1
6 C． 1
3 D． 1
2
28．一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，现给某病人注射了这种药
2500mg ，如果药在血液中以每小时 20% 的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，
那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：
1g2 0.301 ，1g3 0.4771 ，答案采取四舍五入精确到 0.1h )
A．2.3 小时 B．3.5 小时 C．5.6 小时 D．8.8 小时
29．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，若密码的
长度设定为 256 比特，则密码一共有 2562 种可能；因此，为了破解密码，最坏情况需要
进行 2562 次运算.现在有一台机器，每秒能进行 112.5 10 次运算，假设机器一直正常运
转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（ ）（参考数据：
lg 2 0.3010 ）
A． 834.5 10 秒 B． 654.5 10 秒 C． 174.5 10 秒 D． 72.8 10 秒
30．干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法．它是用
60 组各不相同的天干地支标记年月日时的历法．具体的算法如下：先用年份的尾数查
出天干，如 2013 年 3 为癸；再用 2013 年除以 12 余数为 9，9 为巳．那么 2013 年就是
癸巳年了，
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
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4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
2020 年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大 25 岁．问李东的父亲是
哪一年出生（ ）
A．甲子 B．乙丑 C．丁巳 D．丙卯
31．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、
丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、
戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，
地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，
第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，
“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是
伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（ ）
A．辛酉年 B．辛戊年 C．壬酉年 D．壬戊年
32．甲烷是一种有机化合物，分子式是 4 ,CH 它作为燃料广泛应用于民用和工业中.近年
来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加.深入研究甲烷，
趋利避害，成为科学家面临的新课题.甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位
于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个
碳氢键的键长相同、键角相等.请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间夹角的余弦
值（ ）
A． 1
2
B． 1
3
C． 1
4
D． 1
5
33．5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式: 2 1 SC Wlog N
.它表示:在受噪声
干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，
信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 S
N
叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数
中的1可以忽略不计.假设目前信噪比为1600, 若不改变带宽W ，而将最大信息传播速度
C 提升50%, 那么信噪比 S
N
要扩大到原来的约（ ）
A．10倍 B． 20 倍 C．30倍 D． 40 倍
34．我们打印用的 A4 纸的长与宽的比约为 2 ，之所以是这个比值，是因为把纸张对
折，得到的新纸的长与宽之比仍约为 2 ，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底
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面圆的直径长（如图所示），它的轴截面 ABCD 为一张 A4 纸，若点 E 为上底面圆上弧
AB 的中点，则异面直线 DE 与 AB 所成的角约为（ ）
A．
6
B．
4
C．
3
D． 2
3
35．某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.
他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a，b，c（ a b c ，
且 a，b， *cN ）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为 16 分，
乙和丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是
（ ）
A．每场比赛的第一名得分 a 为 4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
36．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排
名．具体积分规则如表 1 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 2．
表 1 田径综合赛项目及积分规则
项目 积分规则
100米跑 以13秒得 60 分为标准，每少 0.1秒加5分，每多 0.1秒扣5分
跳高 以1.2米得 60 分为标准，每多0.02米加 2 分，每少0.02米扣 2 分
掷实心球 以11.5米得 60 分为标准，每多 0.1米加5分，每少 0.1米扣5分
表 2 某队模拟成绩明细
姓名 100 米跑（秒） 跳高（米） 掷实心球（米）
甲 13.3 1.24 11.8
乙 12.6 1.3 11.4
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丙 12.9 1.26 11.7
丁 13.1 1.22 11.6
根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多选题
37．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有
圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，
园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱
锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 ，这个角接近 30°，若取 30 ，
侧棱长为 21 米，则（ ）
A．正四棱锥的底面边长为 6 米 B．正四棱锥的底面边长为 3 米
C．正四棱锥的侧面积为 24 3 平方米 D．正四棱锥的侧面积为12 3 平方米
38．国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020 年国夏粮总产量达 14281 万吨，
创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工
企业设计了一种容积为 63000 立方米的粮食储藏容器，如图 1 所示，已知该容器分上
下两部分，中上部分是底面半径和高都为 10r r 米的圆锥，下部分是底面半径为 r 米
､高为 h 米的圆柱体，如图 2 所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为 2a 元，
圆柱的侧面､底面每平方米的建造费用为 a 元，设每个容器的制造总费用为 y 元，则下
面说法正确的是（ ）
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A．10 40r B． h 的最大值为1880
3
C．当 21r 时， 7029y a D．当 30r 时， y 有最小值，最小值为
6300a
未命名
请点击修改第 II 卷的文字说明
三、填空题
39．海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入
港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过 1A 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的
实验：首先，设定水深 y （单位：米）随时间 x （单位：小时）的变化规律为
0.8sin 2( )y x R ，其中 0 x
；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底
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与水面的距离）为 0.5 米，满载时吃水深度为 2 米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水
深度以每小时 0.4 米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有 0.4
米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是
__________.
①若
6
，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留 4 个小时；
②若
6
，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留 4 个小时；
③若 1 ，货船于 1x 时进入港口后，立即进行货物卸载，则
2x 时，船底离海底
的距离最大；
④若 1 ，货船于 1x 时进入港口后，立即进行货物卸载，则 2
3x 时，船底离海
底的距离最大.
40．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理
论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关
键概念，定义如下：设 ( )f x 是定义在 R 上的函数，对于 0x R ，令
1 ( 1,2,3, )n nx f x n ，若存在正整数 k 使得 0kx x ，且当 0 j k 时， 0jx x ，
则称 0x 是 ( )f x 的一个周期为 k 的周期点．给出下列四个结论：
①若 1( ) xf x e ，则 ( )f x 存在唯一一个周期为 1 的周期点；
②若 ( ) 2(1 )f x x ，则 ( )f x 存在周期为 2 的周期点；
③若
12 , ,2( ) 12(1 ), ,2
x x
f x
x x
则 ( )f x 不存在周期为 3 的周期点；
④若 ( ) (1 )f x x x ，则对任意正整数 n， 1
2
都不是 ( )f x 的周期为 n 的周期点．
其中所有正确结论的序号是_________．
41．颗粒物过滤效率 是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为
out in
out
100%C C
C
，其中 outC 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：
ind./L ）， inC 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某
研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了 4 次测试，
测试结果如图所示．图中点 ijA 的横坐标表示第 i 种口罩第 j 次测试时 outC 的值，纵坐标
第 17页，总 19页
表示第 i 种口罩第 j 次测试时 inC 的值 1,2, 1,2,3,4i j ．
该研究小组得到以下结论：
①在第 1 种口罩的 4 次测试中，第 4 次测试时的颗粒物过滤效率最高;
②在第 2 种口罩的 4 次测试中，第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高;
③在每次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率高;
④在第 3 次和第 4 次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过
滤效率低．
其中，所有正确结论的序号是__________．
42．去年底，新一代的无线网络技术 WIFI6 发布.相比于上一代， WIFI6 加入了新的
OFDMA 技术，支持多个终端同时并行传输，有效提升了效率并降低延时，小明家更
换了支持 WIFI6 的新路由器，设在某一时刻，家里有 n 个设备接入该路由器的概率为
P n ，且 10 ,1 3,3
0, 4,
n
P nP n
n
那么没有设备接入的概率 0P ______．
43．无症状感染者被认为是新冠肺炎疫情防控的难点之一．国际期刊《自然》杂志中一
篇文章指出，30%~60%的新冠感染者无症状或者症状轻微，但他们传播病毒的能力并
不低，这些无症状感染者可能会引起新一轮的疫情大爆发．我们把与病毒携带者有过密
切接触的人群称为密切接触者．假设每名密切接触者成为无症状感染者的概率均为 1
3
，
那么 4 名密切接触者中，至多有 2 人成为无症状感染者的概率为____．
44．2020 年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工
作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指
金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒
方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患
者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是
___________.
45．如图，将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳
试卷第 18页，总 19页
直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值）， 为该地的纬度值.已知太阳每年直射
范围在南北回归线之间，即 23 26 ,23 26 .如果在北京地区（纬度数约为北纬
40 ）的一幢高为 0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼
房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出式子）
46．冈珀茨模型 tby k a 是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化
的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种 t 年后的种群数量 y 近似满足冈珀
茨模型： 0.1251.4
0
tey k e
（当 0t 时，表示 2020 年初的种群数量），若 *m mN 年
后，该物种的种群数量将不足 2020 年初种群数量的一半，则 m 的最小值为
_________. (ln2 0.7)
47．如图，某湖有一半径为 100 m 的半圆形岸边，现决定在圆心 O 处设立一个水文监测
中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距 200 m 的点 A 处安装一套监测设备.为了监测数
据更加准确，在半圆弧上的点 B 以及湖中的点 C 处，再分别安装一套监测设备，且满
足 AB AC ， 90BAC .定义：四边形 OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；
设 AOB .则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为___________.
48．赵先生准备通过某银行贷款 5000 元，然后通过分期付款的方式还款．银行与赵先
生约定：每个月还款一次，分 12 次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款
的月利率为 0.5％ ，则赵先生每个月所要还款的钱数为______元．（精确到 0.01元，参
第 19页，总 19页
考数据
12
12
1 0.5 17.213
1 0.5 1
％
％
）
49．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过
摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为 0.19 ；（ⅱ）
当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友
助力”活动可使中签率增加 0.05.为了使中签率超过 0.9 ，则至少需要邀请________位好
友参与到“好友助力”活动.
四、
50．中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛
开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可
以表示为 25log 10
qv （米 / 秒），其中 q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时耗氧量为__；
若某只两岁的燕子耗氧量为 1q 时的飞行速度为 1v （米 / 秒），另一只两岁的燕子耗氧量
为 2q 时的飞行速度为 2v （米 / 秒），两只燕子同时起飞，当 1 24q q 时，一分钟后第一
只燕子比第二只燕子多飞行的路程为__米．
答案第 1页，总 21页
新高考题型：应用背景题（精选 50 题）
参考答案
1．D
【解析】
由题知，80 ℃的物体，放在 20 ℃的空气中冷却，4 分钟以后物体的温度是 40 ℃，则
440 20 (80 20) ke ，从而 4 1
3
ke ，
14 ln ln33k ，得 1 1.009ln3 0.34 4k .
故选:D
2．C
【解析】
在某高山 1 2,A A 两处海拔高度为 1 2,h h ，
所以 1
1 2
2
01
2 0
1
2
kh
k h h
kh
p ep ep p e
，
所以 1 2
1ln ln 22k h h ，
所以 1 2
0.693 55000.000126h h （m）.
故选：C
3．D
【解析】
由公式 1210 lg1 10
vf v
可知， 9 1
1210 1 10
v
， 5 2
1210 1 10
v
，
所以 1
2
10000v
v
，
故选：D．
4．C
【解析】
由题意，设第 n 年开始超过 200 万元，
则 2018130 1 12% 200n ，即 2018 21 12% 1.3
n ，
两边同时取以 10 为底的对数，可化为： 2018 lg1.12 lg2 lg1.3n ，
答案第 2页，总 21页
解可得： lg2 lg1.32018 3.8lg1.12n ；则 2022n .
故选：C．
5．C
【解析】
由题意可知， 0 270ba ， 8 180k ba ，可得
8
8 2
3
k b
k
b
aa a
，
所以
3
324 8 2 270 803
k b k ba a a
，
故该品牌牛奶在 24 C 的保质期是 80 天.
故选：C
6．D
【解析】
如图，不妨假设卫星与地球球心的距离为 R，卫星运行方向为顺时针，初始位置在点 0P 处，
0OP 与 x 轴正半轴的夹角为 ，经过 t 小时后，卫星在点 P 处，则OP 与 x 轴正半轴的夹角
为 π
12 t ，则点 P 的纵坐标 πsin 12y R t .
所以最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是三角函数模型.
故选：D.
7．D
【解析】
0.23( 50)( ) 1 t
KI t e
，所以 *
*
0.23( 50)( ) 0.95
1 t
KI t K
e
，
答案第 3页，总 21页
所以 *0.23 50 ln19 3t ，解得 * 3 50 630.23t .
故选：D.
8．C
【解析】
设正三角形的一条边长为 a，“一次分形”后变为长为 4
3
a 的折线，
“二次分形”后折线长度为
24
3 a
，“n 次分形”后折线长度为 4
3
n
a
，
所以得到一个周长不小于初始三角形周长 100 倍的分形图，只需满足 4 1003
n
a a
，
两边同时取常用对数得： 4lg lg100 23n ，
即得： (2lg 2 lg3) 2n ，
解得 2 2 16.012lg 2 lg3 0.6020 0.4771n ，
故至少需要 17 次分形，
故选：C.
9．D
【解析】
73.5 26.5 47BAD ，
在 BAD 中由正弦定理得：
sin sin
BD AD
BAD ABD
，即
sin 47 sin 26.5
a AD ，
所以 sin 26.5
sin 47
aAD
，
又因为在 Rt ACD△ 中， sin sin 73.5AC ADCAD
，
所以 sin 26.5 sin 73.5sin 73.5 sin 47
aAC AD
,
故选：D
10．B
【解析】
答案第 4页，总 21页
由题意，可得如下图：
由图可知 30ABO ∠ ，所以 120AOB o ，
所以在运行的一圈里最佳观赏时长为 360 120 18 12360
.
故选：B
11．A
【解析】
由图像可知， i iAP AB BP ，
则 2
i i iAB BPAB AP AB BAB A PB
，
因为棱长为1， iAB BP^ ，
所以 0iAB BP ， 2
1 0 1i iAB AP AB AB BP
，
故集合 , 1 2 3 8iy y AB AP i 、、、 、 中的元素个数为1，
故选：A.
12．A
【解析】
3
3 2
20 10 0.02sin
1.00041 (20 10 )
，
故 9
9
0.022
1.00048.0 10 1600 10
v
，即 0.048
1600 1.0004
v ，
答案第 5页，总 21页
故 8 1600 1.0004
0.04v 320 /km h ．
故选：A
13．C
【解析】
因为 ABC 是顶角为 36o 的等腰三角形，所以， 72ACB ，
则
1
5 12cos72 cos 4
BC
ACB AC
， sin126 sin 90 36 cos36 ，
而 2cos72 2cos 36 1 ，所以，
1 cos72 3 5 6 2 5 5 1cos36 2 8 16 4
.
故选：C.
14．A
【解析】
根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，即 A 错误；
甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，即 B 正确；
甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，即 C 正确；
对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政
治中优势最明显的两科为化学和地理，故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结
果，即 D 正确.
故选：A.
15．D
【解析】
解：甲乙下车的所有可能情况有11 19 209 种，
若乙在小庄路口东站下车，则甲在呼家楼西站到沙滩路口西站任意一站下车，共有 10 种可
能；
若乙在呼家楼西站下车，则甲在关东店站到沙滩路口西站任意一站下车，共有 9 种可能；
……
若乙在美术馆东站下车，则甲只能在沙滩路口西站下车，只有 1 种可能.
答案第 6页，总 21页
故甲比乙后下车的概率为10 9 1 55 5
11 19 11 19 19
.
故选：D
16．A
【解析】
以拱桥部分的正中位置（对称轴）为 y 轴，以主桁最高处和桥面的中点为原点建立平面直角
坐标系.
则主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）的解析式设为 cosy A x
由图可知： 89.5
2A , 2552 380 932T
,则
466
所以主桁（图中粗线）部分的解析式为 89.5 cos2 466y x
当
466 x ，即 466x 时， 89.5
2y
即在函数 89.5 cos2 466y x 的图象上取点 89.5466 2
，
选项 A . 20.45cos 3y x 中，当 2
3 x ，即 3
2x 时， 0.45y
若 20.45cos 3y x 图象的点 3 0.452
，
的横、纵坐标等倍扩大后所得到 89.5466 2
，
则
466 98.93
2
，
89.5
2 99.40.45
选项 B . 24.5cos 3y x 中，当 2
3 x ，即 3
2x 时， 4.5y
若 24.5cos 3y x 图象的点 3 4.52
，
的横、纵坐标等倍扩大后所得到 89.5466 2
，
则
466 98.93
2
，
89.5
2 9.944.5
,
选项 C . 30.9cos 2y x 中，当 3
2 x ，即 2
3x 时， 0.9y
若 30.9cos 2y x 图象的点 2 0.93
，
的横、纵坐标等倍扩大后所得到 89.5466 2
，
则
466 222.62
3
，
89.5
2 49.70.9
,
答案第 7页，总 21页
选项 D . 39cos 2y x 中，当 3
2 x ，即 2
3x 时， 9y
若 39cos 2y x 图象的点 2 93
，
的横、纵坐标等倍扩大后所得到 89.5466 2
，
则
466 222.62
3
，
89.5
2 4.979
综上将选项中的函数图象上每一点的横、纵坐标等倍扩大后所得到的图象，与朝天门长江大
桥主桁形状最接近的是选项 A 中的函数.
故选: A
17．D
【解析】
解析：求占地面积即求半椭球面的底面积，令 0,5 0y 可得 2x ；
令 0, 0x z 可得 2y ，
所以该半椭球面的底面是一个半径为 2 的圆，建筑时选的半径为 2 50 100 米则建筑的占
地面积为 2100 10000 平方米.
故选：D
18．A
【解析】
解：设一个 60C 中的凸 32 面体结构中共有 x 个五边形， y 个六边形，
∵每个顶点都是三个面的公共点，
∴ 5 6 603
x y ，又 32x y ，解得 12, 20x y ，
∴共有 20 个六边形；
又由题意得 1
3.28
， 2.28
3.28
， 0 ，
答案第 8页，总 21页
∴ 1 2.28 cos 03.28 3.28
，解得 25cos 57
，
∵ 0 180 ，
∴
2
2 25 8 41sin 1 cos 1 57 57
，
故选：A．
19．C
【解析】
骑行过程中， ABCDE 相对不动，只有 P 点绕 D 点作圆周运动．
如图，以 AD 为 x 轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意 ( 4,0)A ， ( 2,2 3)B ，
(2,2 3)C ，
圆 D 方程为 2 2( 4) 3x y ，设 (4 3 cos , 3sin )P ，
则 (6,2 3)AC ， (6 3 cos , 3sin 2 3)BP ，
6(6 3 cos ) 2 3( 3sin 2 3)AC BP
1 36 3 cos 6sin 24 12 sin cos 24 12sin( ) 242 2 3
，
易知当sin( ) 13
时， AC BP 取得最大值 36．
故选：C．
20．B
答案第 9页，总 21页
【解析】
把点 0.1,1 代入 10a ty 中， 0.11 10a ，解得 0.1a .
所以当 0.1t 时， 0.110 ty
因为当空气中每立方米的含药量降低到 0.2 毫克以下时，学生方可进入教室
所以 0.110 0.2t ，解得 1.1 lg 2 0.8t .
至少需要经过 0.8 60 48 分钟后，学生才能回到教室.
故选：B.
21．C
【解析】
设 1H 需提供的能量为 a,由题意知： 2H 的能量为10%a ， 3H 的能量为 210% a ，
即 210% 10a ，解得： 310a ，
所以要能使 3H 获得10kJ 的能量，则需 1H 提供的能量为 310 kJ ，
故选：C.
22．A
【解析】
到 2035 年底对应的年份代号为 23，由回归方程 ˆ 6.06 50.36y x 得，我国国内生产总值
约为 6.60 23 50.36 202.16 （万亿元），又 202.16 14.0414.4
，所以到 2035 年底我国人
均国内生产总值约为14.04万元.
故选：A．
23．D
【解析】
解：设双曲线的方程为
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
，则OC a ．
因为 AB BC CD ，所以 2CD OC ，所以 3 3OD OC a ．
因为坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八等分，
所以点 3 3,
2 2
a a
在双曲线上，代入双曲线方程得
2
2
9 9 12 2
a
b
，解得
2
2
9
7
b
a
．
答案第 10页，总 21页
所以双曲线的离心率为
2
2
9 4 71 1 7 7
c be a a
故选：D．
24．C
【解析】
对于 A，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为 9.5，9，9.5，9，8.5，
所以极差为9.5 8.5 1 ，A 错误；
对于 B，两班的德育分相等，B 错误；
对于 C，高三（1）班的平均数为 9.5 9.25 9.5 9 9.5 9.355
，
（2）班的平均数为 9.5 8.5 9 9.5 9 9.15
，故 C 正确；
对于 D，两班的体育分相差9.5 9 0.5 ，
而两班的劳育得分相差 9.25 8.5 0.75 ， D 错误，
故选：C．
25．D
【解析】
依题意， 7.45 7.35
1 2pH lg 1 10 7.45,pH lg 1 10 7.35 ，因此，正常人体血
液的 pH 值的范围是[7.35,7.45]．
故选:D．
26．A
【解析】
设 AP a ，因为 5 1
2
PT
AP
，所以 5 1 5 1 5 3, ,2 2 2PT a CP a CA a ，
所以 5 1 5 1 5 1 5 1, 2 2 25 3
CP CA PT TE CE CT
，
因为 CT CP PT ，所以 5 1 5 1 5 1
2 25 3
CT CA CE
，
所以
答案第 11页，总 21页
2 5 1 5 1
5 1 5 3 5 1
CT CA CE
2 5 1
5 3 5 1
CA CE
3 5 3 5
2 2CA CE .
故选：A
27．D
【解析】
3 袋垃圾中恰有 1 袋投放正确的情况有 1 1
3 1 3C A 种情形，由古典概型计算公式得三袋恰投对
一袋垃圾的概率为
1 1
3 1
3
3
1
2
C AP A
，
故选：D.
28．A
【解析】
设从现在起经过 x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
则 2500 0.8 1500x ，即 0.8 0.6x ，所以 lg0.8 lg0.6x ， lg0.8 lg0.6x ，
6lglg0.6 lg 2 lg3 1 0.301 0.4771 110 2.38lg0.8 3lg 2 1 3 0.301 1lg10
x .
故选：A
29．B
【解析】
解：设这台机器破译所需时间大约为 x 秒，
则 11 2562.5 10 2x ，两边同时取底数为 10 的对数得 11 2562.5 10 ) lg 2lg(x ，
所以 11lg lg lg2.5 10 256lg 2x ，所以 5 2l 11 256ll 2g lg gg x
所以 258lg2 12 258 0.3010l 12 65g .658x ，
所以 65.658 65 0.65810 10 10x ，
而 9lg 4.5 lg 2lg3 lg 2 0.6532
，
答案第 12页，总 21页
所以 0.653 6510 4.5, 4.5 10x .
故选：B.
30．C
【解析】
因为由题意可知，“午”对应的是 10，“壬”对应的是 2
所以166 12 10 2002´ + = ，李东是壬午年即 2002 年出生
因为李东的父亲比他大 25 岁
所以李东的父亲为 1977 年出生，1977 164 12 9= ´ +
所以李东的父亲为丁巳年出生
故选：C.
31．A
【解析】
由题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12 的等差数列，
且100 10 10 ，100 8 12 4 ，
因为 2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到1921年为辛酉年，
故选：A.
32．B
【解析】
不妨设正四面体的棱长为 ,a
易知中心到顶点的距离为 6
4 a ，
由余弦定理可知
2
26 6
4 4 1
36 62 4 4
a a a
cos
a a
故选： B .
33．D
【解析】
由条件可知 21600C Wlog ，
答案第 13页，总 21页
设将最大信息传播速度 C 提升50%, 那么信噪比 S
N
要扩大到原来的t 倍，
则 2
3 16002 C Wlog t ，所以 2 2
3 1600 16002 log log t ，
即
3
2
2 21600 1600log log t ，所以 3
21600 1600t ，解得 40t ，
故答案为：D
34．C
【解析】
∵AB//CD，∴∠EDC（或补角）为异面直线 DE 与 AB 所成的角，
设 CD 的中点为 O，过 E 作 EF⊥底面⊙O，连接 OE，OF，
∵E 是 AB 的中点，∴F 是 CD 的中点，∴CD⊥OF，
又 EF⊥平面⊙O，∴EF⊥CD， EF OF F
∴CD⊥平面 OEF，∴OD⊥OE．
设 AD＝1，则 CD 2 ，故 OF 2
2
，EF＝1，
于是 OE 2 22 61 ( )2 2
，
∴tan∠EDO
6
2 3
2
2
OE
OD
，∴∠EDO 3
．
故选：C．
35．C
【解析】
∵甲最后得分为 16 分，∴ 4a ，
接下来以乙为主要研究对象，
答案第 14页，总 21页
①若乙得分名次为：1 场第一名，3 场第二名，则 3 8a b ，则 3 8 4b a ，而 *bN ，
则 1b ，
又 *cN ， a b c ，此时不合题意；
②若乙得分名次为：1 场第一名，2 场第二名，1 场第三名，则 2 8a b c ，则
2 8 4b c a ，
由 a b c ，且 a，b， *cN 可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；
③若乙得分名次为：1 场第一名，1 场第二名，2 场第三名，则 2 8a b c ，则
2 8 4b c a ，
由 a b c ，且 a，b， *cN 可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；
④若乙得分名次为：1 场第一名，3 场第三名，则 3 8a c ，此时显然 5a ， 1c ，
则甲的得分情况为 3 场第一名，1 场第三名，共3 5 1 16 分，
乙的得分情况为 1 场第一名，3 场第三名，共 5 3 1 8 分，
丙的得分情况为 4 场第二名，则 4 8b ，即 2b ，此时符合题意.
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名.
故选：C.
36．B
【解析】
由题，甲各项得分为：100 米跑 60-15=45 分；跳高 60+4=64；掷实心球 60+15=75；则总分
为 45+64+75=184
乙各项得分为：100 米跑 60+20=80 分；跳高 60+10=70；掷实心球 60-5=55，则总分为
80+70+55=205
丙各项得分为：100 米跑 60+5=65 分；跳高 60+6=66；掷实心球 60+10=70，则总分为
65+66+70=201
丁各项得分为：100 米跑 60-5=55 分；跳高 60+2=62；掷实心球 60+5=65，则总分为
55+62+65=182,综上，乙得分最多
故选：B
37．AC
【解析】
答案第 15页，总 21页
如图，在正四棱锥 S ABCD 中，O 为正方形 ABCD 的中心，H 为 AB 的中点，则 SH AB ，
设底面边长为 2a ．因为 30SHO ，所以 3 2 3, ,3 3OH AH a OS a SH a ．
在 Rt SAH 中，
2
2 2 3 213a a
，所以 3a ，底面边长为 6 米，
1 6 2 3 4 24 32S 平方米．
故选：AC.
38．BCD
【解析】
由题意可得 2 21 630003 r r r h ，所以
3
2 2
163000 63000 13
3 rh
r
r r
，由
0h ，得 2
63000 1 03 rr
，解得 330 7r ，所以 310 30 7r ，故 A 项不正确.
易知 h 随 r 的增大而减小，所以当 10r 时，h 取得最大值，且最大值 1880
3
，故 B 项正确.
圆锥的母线长 2l r ，故圆锥的侧面积 2
1 2 2S rl r r r ，
圆柱的侧面积 2
2 2
63000 1 2 63000 22 2 3 3S rh r r rr r
，圆柱的底面积
2
3S r ，
所以总费用 1 2 32y aS a S S
2 2 22 63000 22 2 3a r a r rr
27 2 63000
3
a ar r
.
答案第 16页，总 21页
当 21r 时， 27 2 6300021 70293 21
a ay a ，C 项正确.
3
2 2
14 2700014 2 63000
3 3
a ra ay r r r
，
当10 30r 时， 0y ，函数 27 2 63000
3
a ay r r
单调递减，
当 330 30 7r 时， 0y ，函数 27 2 63000
3
a ay r r
单调递增，
所以当 30r 时， y 取得最小值，最小值为 27 2 6300030 63003 30
a a a ，D 项正
确.
故选：BCD
39．①④
【解析】
①不卸货，则吃水恒为 2 米，
船离海底为 10.8sin2 xy y f x ，
当 1 0.4f x 时， 1sin 6 2x ，则 5
6 6 6x ，
解得1 5x≤ ≤ ，所以最多停留时间为5 1 4 小时，故①正确；
②立即卸货，吃水深度 2 2 0.4h x ，且 2 0.4 0.5x ，解得 150 4x ，
此时船离海底 2 2 0.8sin 0.46f x y h x x ，
2
2 15cos 0.4 0,015 6 4f x x x ，
所以 2f x 在 150, 4
上单调递增，且当 1x 时， 2 1 0.8 0.4f ，
由15 64 x ， 0.8sin 2 0.5 0.8sin 1.5 1.5 0.8 0.7 0.46 6y x x ，
此段时间都可以停靠，
又 2 1 0.8 0.4f ， 6 1 5 4 ，故②错误；
③与④， 0.8sin 2( )y x R ， 3 2 0.4 1 , 1h x x ，
答案第 17页，总 21页
3 0.8sin 0.4 1f x x x ， 3 0.8cos 0.4 0f x x ，解得 2
3x ，
当 21, 3x
时， 3 0f x ；当 2 ,3x
时， 3 0f x ，
所以当 2
3x 时，船底离海底的距离最大.
故答案为：①④
40．①②④
【解析】
①设 1( ) ( ) xg x f x x e x ，则 1( ) 1xg x e ，显然 ( )g x 是增函数，由
1( ) 1 0xg x e 得 1x ，
1x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 递减， 1x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 递增，
所以 1x 时， min( ) (1) 0g x g ， ( ) 0f x x 只有唯一解 1x ，
因此 0 1
1 0 0( ) xx f x e x 只有唯一解 0 1x ，即 ( )f x 存在唯一一个周期为 1 的周期点，①
正确；
② 1 0 0( ) 2(1 )x f x x ， 2 1 1 1 0 0 0( ) 2(1 ) 2 2 2 4(1 ) 2 4x f x x x x x x ，
0
2
3x ，所以 2
3
是 ( )f x 的一个周期为 2 的周期点，②正确；
③
12 , ,2( ) 12(1 ), ,2
x x
f x
x x
，若 0
2
9x ，则 1
2 4
9 9x f
， 2
4 8( )9 9x f ，
3 0
8 8 2( ) 2(1 )9 9 9x f x ，所以 ( )f x 存在周期为 3 的周期点，③错；
④ ( ) (1 )f x x x 2 21 1 1( )2 4 4x x x ，所以 1( ) 2f x 无解，因此对任意正整数
n， 1
2
都不是 ( )f x 的周期为 n 的周期点，④正确．
故答案为：①②④．
41．②④
【分析】
答案第 18页，总 21页
先根据题意分析得直线 ijOA 的斜率 in
out
Ck C
越大，颗粒物过滤效率 越小，再看图逐一分
析结论即可.
【解析】
依题意， out in in
out out
100% 1 100%C C C
C C
，知直线 ijOA 的斜率 in
out
Ck C
越大，颗
粒物过滤效率 越小. 看图分析如下：
在第 1 种口罩的 4 次测试中，四条直线 1 ( 1,2,3,4)jOA j 中，直线 14OA 斜率最大，故 最
小，第 4 次测试时的颗粒物过滤效率最低，则①错误；
在第 2 种口罩的 4 次测试中，四条直线 2 ( 1,2,3,4)jOA j 中，直线 23OA 斜率最小，故 最
大，第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高，则②正确；
在第 1 次和第 2 次测试中，直线 2 jOA 斜率大于 1 jOA 斜率，( 1,2)j ，即第 1 种口罩的颗粒
物过滤效率高，在第 3 次和第 4 次测试中， 1 jOA 斜率大于直线 2 jOA ，斜率 ( 1,2)j ，即第
2 种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④正确.
故答案为：②④.
42． 27
40
【解析】
由 1 0 1 2 3 4P P P P P n ，且 10 ,1 3,3
n
P n P n
，
所以有 1 1 11 0 1 03 9 27P
，可求得 270 40P ．
故答案为： 27
40
43． 8
9
【解析】
解：至多有 2 人成为无症状感染者包括 0 人成为无症状感染者，1 人成为无症状感染者，2
人成为无症状感染者三种情况，且每种情况间是互斥的，所以所求概为
答案第 19页，总 21页
4 3 2 2
0 1 2
4 4 4
1 1 1 1 11 1 13 3 3 3 3C C C
16 32 24 8
81 9
故答案为： 8
9
44． 4
9
【解析】
将三药分别记为 A ，B ，C ，三方分别记为 a ，b ，c ，选择一药一方的基本事件如表所示，
共有 9 个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有 1 1
6 4 24C C (种)，两名患者可选择的
药方共有 1 1
9 6 54C C (种)，所以 24 4
54 9P .
A B C
a ,A a ,B a ,C a
b ,A b ,B b ,C b
c ,A c ,B c ,C c
故答案为： 4
9 .
45． 0
tan26 34
h
【解析】
设两楼的距离为 d ，
因为 90 (40 ) 50 26 34 ,73 26 o o o o o= - - = + Î
则要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，需满足 0tan h
d
³ 对
26 34 ,73 26 o oÎ 恒成立,因此 0
min(tan ) h
d
³
0tan 26 34 h
d
o ¢\ ³ 0
tan 26 34
hd o\ ³ ¢
，从而两楼的距离不应小于 0
tan26 34
h
故答案为： 0
tan26 34
h
答案第 20页，总 21页
46．6
【解析】
令t m 由题意知， 0.125 01.4 1.4 1.4
0 0 0
1 1
2 2
me ek e k e k e
，
所以 0.1251.4 1.42 mee
得 0.1251.4 1 ln 2 0.7me ， 则 0.125 11 2
me
所以 0.125 1
2
me ，解得 ln 2 0.7 5.60.125 0.125m ，所以 m 的最小值为 6
故答案为：6
47． 210000 5 25000 m
【解析】
在 OAB 中， AOB ， 100OB ， 200OA ，
2 2 2 2 cosAB OB OA OB OA AOB ，即 100 5 4 cosAB ，
21 1sin2 2OACB OAB ABCS S S OA OB AB △ △ ，
2 5100 sin 2cos 2OACBS
令 tan 2 ，则 2 5100 5 sin 2OACBS
直接监测覆盖区域”面积的最大值为 210000 5 25000 m .
故答案为： 210000 5 25000 m
48． 430.33
【解析】
设每一期所还款数为 x 元，
因为贷款的月利率为 0.5％ ，
所以每期所还款本金依次为
1 0.5
x
％、 21 0.5
x
％ 、 31 0.5
x
％ 、 、 121 0.5
x
％ ，
则 2 3 12 50001 0.5 1 0.5 1 0.5 1 0.5
x x x x ％ ％ ％L ，
即
2 3 12
1 1 1 1 50001 0.5 1 0.5 1 0.5 1 0.5
x ％ ％ ％
L ，
答案第 21页，总 21页
11 10
12
1 0.5 1 0.5 1 0.5 1 5000
1 0.5
x ％ ％ ％
％
，
12
12
1 0.5 1 5000
0.5 1 0.5
x
％
％ ％
，
12
12
1 0.5000 0.5 430.33
1 0
5
.5 1
x
％ ％
％
，小明每个月所要还款约 430.33元，
故答案为： 430.33.
49．15
【解析】
因为摇号的初始中签率为 0.19 ，所以要使中签率超过 0.9 ，需要增加中签率
0.9 0.19 0.71 ，
因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加 0.05，
所以至少需要邀请 0.7 14.20.05
，所以至少需要邀请 15 位好友参与到“好友助力”活动.
故答案为：15
50．10 600
【解析】
当 0v 时， 2log 0, 1010
q q ，
2 2
1 2 2 2 2
45log 5(log 4 log ) 1010 10
q qv v
1 2 10v v ，
又1 60min s ，故10 60 600 米．
故答案为：①10；②600．
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