新高考题型《结构不良题》（三角）（精选 50 题）
1．已知函数 sin 0, 0, 2f x A x A
，且 f x 图象的相邻两条
对称轴之间的距离为
2
，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（1）确定 f x 的解析式；
（2）若 f x 图象的对称轴只有一条落在区间 0,a 上，求 a 的取值范围．
条件①： f x 的最小值为 2 ；
条件②： f x 图象的一个对称中心为 5 ,012
；
条件③； f x 的图象经过点 5 , 16
．
2．在 ABC 中， 1cos 7C ， 8c ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作
为已知，求：
（1）b 的值；
（2）角 A 的大小和 ABC 的面积.
条件①： 7a ；条件②： 11cos 14B .
注：如果选择条件①､条件②分别解答，按第一个解答计分.
3．在① 3b a＝ ；② 3cosa B ；③ sin 1a C 这三个条件中任选一个，补充在下面
问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说
明理由．
问题：是否存在 ABC ，它的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且
sin sin 3sinB A C C ， 3c ？
4．已知函数 ( ) sin 0, 06f x m x m
只能同时满足下列三个条件中的两
个：①函数 ( )f x 的最大值为 2；②函数 ( )f x 的图象可由 2 sin 2 4y x
的图像平
移得到；③函数 ( )f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 .
（1）请写出这两个条件的序号，并求出 ( )f x 的解析式；
（2）锐角 ABC 中，内角 A ､ B ､C 所对的边分别为 a ､b ､ c .
3A ， a f A ，求
ABC 周长的取值范围.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
5．在 ① sin cos 6a A C b A
；
② 1 2cos cos cos cosC B C B C B ； ③ 2tan
tan tan
B b
A B c
这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.
问题:在 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2 3, 6b c a ，
求 ABC 的面积.
6．已知函数 ( ) sin( ) 0, 0,0 2f x A x A
由下列四个条件中的三个
来确定：
①最小正周期为 ；②最大值为 2；③ 06f
；④ (0) 2f ．
（1）写出能确定 ( )f x 的三个条件，并求 ( )f x 的解析式；
（2）求 ( )f x 的单调递增区间．
7．在① 22sin sin sin sin sinA B C B C ，② sin sin2
B Cb a B ，
③ 2sin sin 3a B b A
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 2 2a b c ，______求 A 和
C ．
8．已知函数 ( ) sin 3 cos 0f x x x .
（1）当 1 时，求 π( )6f 的值；
（2）当函数 ( )f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 π
2
时， . 从①②③中任选
一个，补充到上面空格处并作答.①求 ( )f x 在区间 π[0, ]2
上的最小值；②求 ( )f x 的单调
递增区间；③若 ( ) 0f x ，求 x 的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一
个解答计分.
9．在① tan 2tanB C ，② 2 23 12b a ，③ cos 2 cosb C c B 三个条件中任选一个，
补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.
问题：已知 ABC 的内角 , ,A B C 及其对边 , ,a b c ，若 2c ，且满足___________.求
ABC 的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
10．在①( )( )b a c b a c ac ：②cos( ) sin( )A B A B ；③ tan sin2
A B C
这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 b 的值；若问
题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 ABC ，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2 2a ，
___________，___________？
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.
11．在锐角 ABC 中，角 A B C， ， 的对边分別为 a b c， ， ，且 3 2 sin 0c b C ．
（1）求角 B 的大小；
（2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 ABC 的面积．
条件① 3 3 2b a ， ；条件②： 2 4a A ， ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
12．在 ABC 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边．若 2 72,cos 7b c C ，再从
条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题：
（1）求 ,b c 的值；
（2）求角 A 的值及 ABC 的面积．
条件①： 7cos cos 14a B b A ac ；条件②： 72 cos 2 7b C a c ．
13．在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c .请在
① cos 3 sinb b C c B ；② 2 cos cosb a C c A ；③ 2 2 2 4 3
3 ABCa b c S
这三个条件中任选一个，完成下列问题
（1）求角C ；
（2）若 5a ， 7c ，延长 CB 到点 D ，使 21cos 7ADC ，求线段 BD 的长度.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．在① π
2
A C ，② 5 4 15cos c a A ，③ ABC 的面积 3S 这三个条件中任选两
个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 3b ，且______，______，
求 c ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
15．已知 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且
4B ．
（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求 sin A 的值；
① 5b ， 2c ；② 3a ， 2c .
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
（2）若 5b ， 3a c ，求 ABC 的面积．
16．在① 2 cos
cos
b c C
a A
，② cos cos cos 3sin cosC A B B A ，
③ 2 sin cos (2 )sinb A B c b B 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.
在 ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且______.
（1）求 A ；
（2）若 6a ，求 ABC 面积的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
17．在① 2 2 22b ac a c ，② cos sina B b A ，③ sin cos 2B B ，这三个
条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，___________，
3A ， 2b ，
求 ABC 的面积.
18．在① πsin sin 3a C c A
，② 3cos sin3b a C c A ，
③ cos cos 2 cosa B b A c A ．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ABC 外接圆面积为 4 π3
，
sin 2sinB C ，且______，求 ABC 的面积．
19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
① 3 cos cos cos sinA c B b C a A ;
② 2cos 2
b cC a
③ tan tan tan 3 tan tanA B C B C .
已知 ABC 的内角 , ,A B C 的对应边分别为 , ,a b c ， .
（1）求 A ;
（2）若 2, 10a b c ，求 ABC 的面积.
20．在① cos cos 3sin cos 0C A A B ，② cos2 3cos 1B A C ，
③ 3cos sin3b C c B a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
问题：在 ABC 中，角 A 、B 、C 对应的边分别为 a 、b 、c ，若 1a c ，___________，
求角 B 的值和b 的最小值.
21．在① 3 sin cos3 c B a b C ，② sin cos 6b C c B
这两个条件中任选一个
作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.
问题： ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 .
（1）求 B ；
（2）若 D 为 AC 的中点， 2BD ，求 ABC 的面积的最大值.
22．在① sin cos 6a C c A
，② 3sin sin2
B C A ，③ cos2 3cos 1A A 这三
个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 ABC 存在，求出其面积；若不
存在，说明理由.
问题：是否存在 ABC ，它的内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且 2 3a ，
4 3b c ，___________？
23．在①函数 y f x 的图象关于直线
3x 对称，②函数 y f x 的图象关于点
,06P
对称，③函数 y f x 的图象经过点 2 , 13Q
这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数 ( ) sin cos cos sin 0,| | 2f x x x
最小正周期为 ，
且 ，判断函数 f x 在 ,6 2
上是否存在最大值？若存在，求出
最大值及此时的 x 值；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
24．在①sin 3cos 2C C ，② 2C A ，③ 2b a 这三个条件中任选一个，补充在
下面问题中，若问题中的三角形存在，求 a 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 ABC ，它的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且
3 2 cos 2 cosc b A a B ， 1c ，______________？
25．在① 2 2 2a b c ab ，② sina B b ，③ 3cos sin2
C C 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，若问题中的 ABC 存在，求出其面积；若不存在，说明理由.
问题：是否存在 ABC ，它的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 4a b ，
2c ，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
26．在① 3sin cos 1B B ，② 2 sin tanb A a B ，③ ( )sin csin sina c A C b B
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c， 2a ， 3b ，若______，
求角 B 的值与 ABC 的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
27．从条件① 2 2 cosb a c A ，② tan cos cosc C a B b A ，③ 4cos 5c B a b 中
任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．
在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 1a ， 3b ，________，
求 ABC 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．
28．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 11cos 14A ，且 ABC 的
面积为5 3 ，则 a 的最小值为__________．
29．在① 3ac ；② sin 3c A ；③ 三边成等比数列.这三个条件中任选一个，补充在
下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三
角形不存在，请说明理由.
问题：是否存在 ABC ，它的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ，且
sin 3 sinA B= ，
6C ，______________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一
个解答计分.
30．在①sin 3cos cos 3sin sinA B C B C ，
② tan tan tan 3 tan tanA B C B C ，
③ sin sin sin sin sin sin sinB B C A C A C 这三个条件中任选一个，补充
在下面问题中，并作答.
问题：已知 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 2a ，_，求 ABC
面积的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
31．在 ABC 中，
3B ， 7b ，______，求 BC 边上的高.在① 21sin 7A ；
②sin 3sinA C ；③ 2a c 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
32．在① 3 cos cos cos sinA c B b C a A ，
② cos2 cos2 2sin sin sinA B C B C ，③ 2 cos cosb c A a C 这三个条件中
任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．
在 ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且______．
（1）求 A ；
（2）若 2a ， 10b c ，求 ABC 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
33．在① 3 cos sina B b A ，② 3 sin 2 cosb A a B ，③ 2cos 2
a cC b
这三个
条件中任选一个，补充在下面的问题中．
问题：在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 2c ， BC 边上的中线
长为 7 ，______，求 ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解
答计分．
34．在① sin sin
sin sin
a c A B
b C A
，② cos cos 2 cosa B b A c A B 这两个条件中任
选一个补充在下面问题中，并解答．
已知 a ，b ，c 分别为 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边，若 6c ，______，求 ABC
面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
35．从①a＝3，② 3 5
2ABCS
，③3sinB＝2sinA 这三个条件中任选一个，补充在下面
的问题中．若问题中的三角形存在，求出 b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 21c ，3ccosB
＝3a＋2b，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
36．已知 ABC 的内角 , ,A B C 的对应边分别为 , ,a b c ，
在① 3 cos cos cos sinC a B b A c C
② sin sin2
A Ba c A
③ 2 2sin sin sin sin sinB A C B A
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求sin sinA B 的最大值.
37．已知 ABC 中， cosc Ab
．
（Ⅰ）求证： B 是钝角；
（Ⅱ）若 ABC 同时满足下列四个条件中的三个：
① 2sin 2A ；② 2a ；③ 2c ；④ 3sin 2C ．
请指出这三个条件，说明理由，并求出b 的值．
38．在 ABC 中， 3a ， 2 6b ，_________.求 c 的值.从① 2B A ，
②sin sin 2B A ，③ 3 15
2ABCS △ ，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并
作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
39．在 ABC 中，
3A ， 7a ，________，求 AB 边上的高.从
① 21sin 7C ② 2c b ③ 3 3
2ABCS △ ，这三个条件中任选一个，补充在上面问题
中并作答.
40．在 ABC 中，
3A ， 2b ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作
为已知，求
（Ⅰ） B 的大小；（Ⅱ） ABC 的面积 .
条件①： 2 2 22b ac a c ； 条件②： cos sina B b A .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
41．已知 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 5a b ， 3c ，________.
是否存在以 a ，b ， c 为边的三角形？如果存在，求出 ABC 的面积；若不存在，说
明理由.
从① 1cos 3C ；② 1cos 3
C ；③ 2 2sin 3C 这三个条件中任选一个，补充在上面
问题中并作答.
42．在 ABC 中， 1c ， 2π
3A ，且 ABC 的面积为 3
2
．
（1）求 a 的值；
（2）若 D 为 BC 上一点，且 ，求sin ADB 的值．
从① 1AD ，② π
6CAD 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
43．在① 1 cos 3sinC b B ；② 3 sin cos3 b C a c B 这两个条件中任选一个
作为已知条件，补充到下面的横线上并作答. ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、
b 、 c ，已知______.
（1）求C ；
（2）若 7c ， 13a b ，求 ABC 的面积.
44．在 ABC 中，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 2 2 2a c b ac ，
求：
（1）角 B ______？
（2）在①若 3ABCS ，且边 1c ，②若 1cos 7A ，且边 5 3
7c 这两个条件中任
选一个，求边b 的值？
45．已知函数 32cos sin 3 2f x x x
，______，求 f x 在 ,6 6
的
值域.
从①若 1 2 2f x f x ， 1 2x x 的最小值为
2
；
② f x 两条相邻对称轴之间的距离为
2
；
③若 1 2 0f x f x ， 1 2x x 的最小值为
2
．
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
46．在①5 cos 3 cos 3 cosb B a C c A ；②3 sin cos 4 cos 3 cos sinb B C a B b B C ；
③ 2 π 22cos 12 8 10
B
（ π0 2B ），这三个条件中，任选一个补充在下面问题
中的横线处，并加以解答．
已知 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，若 7a c ， ABC 的面
积为 4，______，求 sin B 及b ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
47．已知 ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c， 2b ， 2 24 2c a c .
（1）求 A 的值；
（2）从① 2 3sina B ，②
4B 两个条件中选一个作为已知条件，求sinC 的值.
48．在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对应的边分别为 a ，b ，c ，已知 sin 2 sina B b A .
（1）求角 B 的大小；
（2）给出三个条件① 2b ，② ABC 外接圆半径 2 3
3r ，③ 2 3a c ，试从中
选择两个可以确定 ABC 的条件，并求 ABC 的面积.
49．在①CD AD ，② 3 21sin 14BAC ，③ 8 7
7AC 这三个条件中任选一个，
补充在下列问题中并解答．
已知四边形 ABCD 为圆的内接四边形，______， 1AB ， 7BD ， 2AD ，求 BC
的长．
50．在①
3A ， 3a ， 2b ；② 1a ， 3b ，
6A ；③ 2a ， 6
2b ，
3B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并判断三角形解的情况
在 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，______，判断三角形新的情
况，并在三角形有两解的情况下解三角形．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
新高考题型《结构不良题》（三角）（精选 50 题）
参考答案
1．
【解析】由于函数 f x 图象上两相邻对称轴之间的距离为
2
，
所以 f x 的最小正周期 2 2T ， 2 2T
．
此时 sin 2f x A x ．
（1）选条件①②；因为 min 2f x A ，所以 2A ．
因为 f x 图象的一个对称中心为 5 ,012
，所以 52 12 k k Z ，
因为
2
，所以
6
π ，此时 1k ，所以 ( ) 2sin 2 6f x x
；
选条件①③：因为 min 2f x A ，所以 2A ．
因为函数 f x 的图象过点 5 , 16
，
则 5 16f
，即 52sin 13
， 5 1sin 3 2
，
因为
2
，即
2 2
， 7 5 13
6 3 6
，
所以， 5 11
3 6
，解得
6
π .
所以 2sin 2 6f x x
；
选条件②③：因为函数 f x 的一个对称中心为 5 ,012
，
所以 52 12 k k Z ，所以 5
6k k Z ．
因为
2
，所以
6
π ，此时 1k ，所以 sin 2 6f x A x
．
因为函数 f x 的图象过点 5 , 16
，
所以 5 16f
，即 5sin 13 6A
， 11sin 16A ，即 1 12 A ，所以 2A ．
所以 2sin 2 6f x x
；
（2）因为 [0, ]x a ，所以 2 ,26 6 6x a
，
因为 f x 图象的对称轴只有一条落在区间 0,a 上，
所以 322 6 2a ，得 2
6 3a ，
所以 a 的取值范围为 2,6 3
．
2．
【解析】选择①：
（1）因为 1cos 7C ， 8c ， 7a ，
所以
2 2 2
cos 2
a b cC ab
，即
21 49 64
7 14
b
b
+ -= ，
整理得 2 2 15 0b b ，解得 5b 或 3 （舍去），故 5b .
（2）因为
2 2 2 25 64 49 1cos 2 80 2
b c aA bc
+ - + -= = = ， 0 A ，
所以
3A , 1 1 3sin 5 8 10 32 2 2ABCS bc A= = 创 �△ .
选择②：
（1）因为 1cos 7C ， 11cos 14B ， 0 C ， 0 B ，
所以 2 4 3sin 1 cos 7C C ， 2 5 3sin 1 cos 14B B
因为 8c ，所以
sin sin
c b
C B
，即
8
4 3 5 3
7 14
b=
，解得 5b .
（2）因为 1cos 7C ， 4 3sin 7C ， 11cos 14B ， 5 3sin 14B ，
所以 ( ) ( )sin sin π sin sin cos cos sinA B C B C B C B C= - - = + = +
5 3 1 11 4 3 49 3 3
14 7 14 7 7 14 2
= ´ + ´ = =´
，
因为 0 A ， sin sinA C ，所以
3A ，
1 1 3sin 5 8 10 32 2 2ABCS bc A= = 创 �△ .
3．
【解析】解：在 ABC 中， ( )B A C = - ，
所以 sin sin[ ( )] sin( )B A C A C ．
因为 sin sin 3sinB A C C ，
所以 sin( ) sin( ) 3sinA C A C C ，
即sin cos cos sin (sin cos cos sin ) 3sinA C A C A C A C C ，
所以 2cos sin 3sinA C C ．
在 ABC 中， (0, )C ，所以sin 0C ，
所以 3cos 2A ．
因为 (0, )A ，所以
6A ．
选择①：因为 3b a ，
由正弦定理得 3sin 3sin 3sin 6 2B A ，
因为 (0, )B ，
所以
3B ，或 2
3B ，此时 ABC 存在．
当
3B 时，
2C ，所以 3 3cos 2b c A ，
所以 ABC 的面积为 1 1 1 9 3sin 3 3 32 2 2 4ABCS bc A ．
当 2
3B 时，
6C ，所以 sin 3 3sin
c Bb C
，
所以 ABC 的面积为
1 1 3 3 1 9 3sin 32 2 2 2 8ABCS bc A ．
选择②：因为 3cosa B ，
所以
2 293 6
a ba a
，得 2 2 29a b c ，
所以
2C ，此时 ABC 存在．
因为
6A ，
所以 3 3 33cos , 3 sin6 2 6 2b a
所以 ABC 的面积为 1 9 3
2 8ABCS ab .
选择③：由
sin sin
a c
A C
，得 3sin sin 2a C c A ，
这与 sin 1a C 矛盾，所以 ABC 不存在．
4．
【解析】①②两个条件矛盾，最大值不相同，②③两个条件也矛盾，周期不相同．只有选
①③
（1）由① 2m ，由③，则最小正周期是 2T ， 2 12
，
所以 ( ) 2sin( )6f x x ；
（2）
3A ， 2sin 23 6a
，
2
πB ， 2
3 2C B ，
6B ，
所以
6 2B ，
由
2 4 3
sin sin sin 3sin 3
a b c
A B C ，得 4 3 sin3b B ，
4 3 4 3 2sin sin( )3 3 3c C B ，
4 3 2 4 3 2 2sin sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3b c B B B B B
4 3 3 3 3 1sin cos 4 sin cos 4sin( )3 2 2 2 2 6B B B B B
，
因为
6 2B ，所以 2
3 6 3B ， 3 sin( 12 6B ，
所以 2 3 4b c ，即 2 2 3 6a b c ．即周长范围是 (2 2 3,6] ．
5．
【解析】选①，由正弦定理得sin sin sin cos 6A B B A
，
因为 0 B ，所以sin 0B ，
所以 sin cos 6A A
，化简得 3 1sin cos sin2 2A A A ，
所以 cos 06A
，因为 0 A ，所以
3A ，
因为 2 2 2 22 cos =( ) 2 2 cos , 6, 2 33 3a b c bc b c bc bc a b c ，
所以 2bc ，
所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A
；
选②因为 1 2cos cos cos cosC B C B C B ，
所以 1 cos cos 2cos cos 1 2cos 1 2cos 0C B C B C B C B A ，
所以 1cos 2A ，
因为C 为三角形的内角，所以
3A ，
因为 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cos , 6, 2 33 3a b c bc b c bc bc a b c ，
所以 2bc ，
所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A
；
选③因为 2tan
tan tan
B b
A B c
，
所以由正弦定理可得: 2tan sin
tan tan sin
B B
A B C
，
可得
sin2 sincos
sin sin sin
cos cos
B
BB
A B C
A B
，
可得
2sin 2sin
2sin cos sincos cos
sin cos sin cos sin sin sin
cos cos cos cos
B B
B A BB B
A B B A C C C
A B A B
，
因为sin 0,sin 0B C ，
所以解得 1cos 2A ，
因为 0,A ，所以
3A ，
因为 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cos , 6, 2 33 3a b c bc b c bc bc a b c ，
所以 2bc ，
所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A
.
6．
【解析】（1）选条件②③④，不能确定周期，求不出 ；
选①③④，不能确定最大值和最小值，求不出 A ；
选①②④，求得的 不满足已知条件 0 2
．只能选①②③．
条件①②③，
2T ， 2 ， 2A ，
由 ( ) 2sin( ) 06 3f ，
又 0 2
得
3
，
所以 ( ) 2sin(2 )3f x x ；
（2） 2 2 22 3 2k x k ， 5
12 12k x k ， k Z ，
所以增区间是 5 ,12 12k k
， k Z ．
7．
【解析】（1）选择条件①，由 22sin sin sin sin sinA B C B C 及正弦定理知
22a b c bc ，
整理得， 2 2 2b c a bc ，
由余弦定理可得
2 2 2 1cos 2 2 2
b c a bcA bc bc
，
又因为 0,A ，所以
3A ，
又由 2 2a b c ，得 2 sin sin 2 sinA B C ，
由 2
3
B C ，得 22 sin sin 2sin3 3 C C
，
即 6 3 1cos sin 2sin2 2 2C C C ，即 3sin 3 cos 6C C ，即
2 3sin 66C
，整理得， 2sin 6 2C
，
因为 20, 3C
，所以 ,6 6 2C
，
从而
6 4C ，解得 5
12C ；
选择条件②，因为 A B C ，所以
2 2 2
B C A ，
由 sin sin2
B Cb a B 得 cos sin2
Ab a B ，
由正弦定理知，sin cos sin sin 2sin cos sin2 2 2
A A AB A B B ，
0,B ， 0,A ，可得 0,2 2
A
，
所以，sin 0B ， cos 02
A ，
可得 1sin 2 2
A ，所以，
2 6
A ，故
3A .
以下过程同（1）解答；
选择条件③，由 2sin sin 3a B b A
，
及正弦定理知， 2sin sin sin sin 3A B B A
， 0,B ，则sin 0B ，
从而 2 3 1sin sin cos sin3 2 2A A A A
，
则sin 3cosA A ，解得 tan 3A ，
又因为 0,A ，所以
3A ，以下过程同（1）解答．
8．
【解析】（1）当 1 时， π π π 1 3( ) sin 3 cos 3 26 6 6 2 2f .
（2） ( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x .
因为函数 ( )f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 π
2
，
所以 2ππ ( 0)T ，解得 2 .
所以 2 n 2) 3( sif x x .
选①：因为 π0 2x ，所以 423 3 3x .
当 42 3 3x ，即
2x 时，
( )f x 在区间 π[0, ]2
上有最小值为 3 .
选②：令 2 2 2 ,2 3 2k x k k Z ，
解得 5 ,12 12k x k k Z ，
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 5π π[ π , π ],12 12k k k Z .
选③：因为 ( ) 0f x ，所以 2sin 2 03x .
所以 2 2 2 ,3k x k k Z .
解得 ,6 3k x k k Z .
9．
【解析】选择条件①：因为 tan 2tanB C ，
所以sin cos 2sin cosB C C B ，
根据正弦定理可得 cos 2 cosb C c B ，
由余弦定理得：
2 2 2 2 2 2
22 2
a b c a c bb cab ac
，
又由 2c ，可得 2 23 12b a ，
根据余弦定理得
2 2 2 28cos 2 2
b c a bA bc b
，
则 22 2 4
2
2
8 20 64sin 1 cos 1 4 2
b b bA A b b
，
所以 222 4 10 361 20 64sin2 2 2ABC
bb bS bc A b b
，
所以当且仅当 2 10b 时， ABC 面积取得最大值，最大值为 3 .
选择条件②：因为 2 23 12b a ，
由余弦定理得
2 2 2 28cos 2 2
b c a bA hc h
，
所以 22 2 1
2
2
8 20 64sin 1 cos 1 4 2
b b bA A b b
，
222 1 10 361 20 64sin2 2 2ABC
bb bS bc A b b
，
所以当且仅当 2 10b 时， ABC 面积取得最大值，最大值为 3 .
选择条件③：因为 cos 2 cosb C c B ，
由余弦定理得：
2 2 2 2 2 2
22 2
a b c a c bb cab ac
，
因为 2c ，可得 2 23 12b a ，
又由余弦定理得：
2 2 2 28cos 2 2
b c a bA bc b
，
所以 22 2 4
2
2
8 20 64sin 1 cos 1 4 2
b b bA A b b
，
222 10 361 20 64sin2 2 2ABC
bb bS bc A b b
，
所以当且仅当 2 10b 时， ABC 面积取得最大值，最大值为 3 .
10．
【解析】选择条件①和②.
因为 ( )( )b a c b a c ac ，所以 2 2 2a c b ac ，
由余弦定理，得
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
.
因为 0 B ，所以
3B .
因为 cos( ) sin( )A B A B ，所以cos sin3 3A A
，
所以 cos cos sin sin sin cos cos sin3 3 3 3A A A A ，
所以 sin cosA A .
因为 0 A ，所以
4A .
在 ABC 中，由正弦定理
sin sin
a b
A B
，得
2 2
sin sin4 3
b
.
所以
2 2 sin 3 2 3
sin 4
b
.
选择条件①和③.
因为 ( )( )b a c b a c ac ，所以 2 2 2a c b ac .
由余弦定理，得
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
.
因为 0 B ，所以
3B .
因为 tan sin2
A B C ，且
sin cos2 2tan tan2 2 cos sin2 2
C C
A B C
C C
，
所以
cos 2 sin 2sin cos2 2sin 2
C
C CCC .
因为 0 C ，所以 cos 02
C ，所以 2 1sin 2 2
C .
因为 0 C ，所以sin 02
C ，所以 2sin 2 2
C ，可得
2C .
所以在 Rt ABC 中， tan 2 63b a .
选择条件②和③.
因为 cos( ) sin( )A B A B ，
所以 cos cos sin sin sin cos cos sinA B A B A B A B ，
所以 (sin cos )(sin cos ) 0A A B B .
所以 sin cosA A 或sin cosB B .
因为 0 A ， 0 B ，
所以
4A 或 3
4B .
又因为 tan sin2
A B C ，且
sin cos2 2tan tan2 2 cos sin2 2
C C
A B C
C C
，
所以
cos 2 sin 2sin cos2 2sin 2
C
C CCC .
因为 0 C ，所以 cos 02
C ，所以 2 1sin 2 2
C .
因为 0 C ，所以sin 02
C ，所以 2sin 2 2
C ，可得
2C .
在 ABC 中， A B C ，所以
4A ，
2C ，
4B .
所以 ABC 为等腰直角三角形，所以 2 2b a .
11．
【解析】解（1）因为 3 2 sin =0c b C ，由正弦定理 3sin 2sin sin 0C B C ．
因为 0, ,sin 02C C
，所以 3sin = 2B ．
因为 0, 2B
，所以
3B ．
（2）条件①： 3 3 2b a ， ；
因为 3 3, 2b a ，由（1）得
3B ，
所以根据余弦定理得 2 2 2 2 cos b c a c a B ，
化简整理为 2 2 23 0 c c ，解得 1 2 6 c ．
所以△ ABC 的面积 1 3 6 2sin2 2S c a B ．
条件②： 2 4a A ，
由（1）知 π
3B ，
4A ，
根据正弦定理得
sin sin
b a
B A
，
所以 sin 6sin
a Bb A
．
因为 5
12C A B ，
所以 5 6 2sin sin sin12 4 6 4C
，
所以△ ABC 的面积 1 3 3sin2 2
S b a C ．
12．
【解析】（1）选用条件①：因为 7cos cos 14a B b A ac ，
由正弦定理得 7sin cos sin cos sin14A B B A a C ，可得 7sin sin14C a C ，
又因为 (0, )C ，所以sin 0C ，可得 2 7a ，
又由 2 7cos 7C ，由余弦定理得
2 2 2 2 7
2 7
a b c
ab
，
将 2b c 代入上式，解得 6, 4b c ．
选用条件②：因为 72 cos 2 7b C a c ，
由正弦定理得 72sin cos 2sin sin7B C A C 72sin( ) sin7B C C
72(sin cos cos sin ) sin7B C B C C
即 72cos sin sin 07B C C ，
又因为 (0, )C ，所以sin 0C ，可得 7cos 14B ，则 3 21sin 14B ，
又由 2 7cos 7C ，可得 2 21sin 1 cos 7C C= - =
由正弦定理
sin sin
b c
B C
，得 sin 3
sin 2
b B
c C
，
又由 2b c ，可得 6, 4b c ．
（2）由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，
因为 0 A ，所以
3A ．
所以 ABC 的面积为 1 1 3sin 6 4 6 32 2 2S bc A ．
13．
【解析】（1）若选①：∵ cos 3 sinb b C c B ，
∴sin sin cos 3sin sinB B C C B ，又sin 0B ，
∴1 cos 3sinC C ，即 1sin 6 2C
，又 0 C ，
∴ 5
6 6 6C ，即
6 6C ，故
3C .
若选②：∵ 2 cos cosb a C c A ，
∴ 2sin sin cos sin cosB A C C A ，
即 2sin cos sin cos sin cos sin sinB C A C C A A C B ，
又sin 0B ，∴ 1cos 2C ，又 0 C ，
∴
3C ，
若选③：由 2 2 2 4 3
3 ABCa b c S
，则有 4 3 12 cos sin3 2ab C ab C ，
∴ tan 3C ，又 0 C ，
∴
3C .
（2） ABC 中，由余弦定理： 2 25 2 5 cos 493AC AC ，
得 8AC 或 3AC (舍)，
由 21cos 7ADC ，可得 2 7sin 7ADC ，
△ ACD 中，
3 21 1 2 7 5 7sin sin sin 2 7 2 7 14CAD C ADC C ADC ，
由正弦定理得：
sin sin
CD AC
CAD ADC
，即
8
5 7 2 7
14 7
CD
，解得 10CD ，
∴ 5BD CD BC .
14．
【解析】
方案一：选条件①②．
因为 5 4 15cos c a A ， 3b ，所以5 4 5 cosc a b A ，
由正弦定理得 5sin 4sin 5sin cosC A B A ．
因为 sin sin sin cos cos sinC A B A B A B ，
所以 5cos sin 4sinB A A ．
因为 sin 0A ，
所以 cos 4
5B ， 2 3sin 1 cos 5B B ．
因为 π
2
A C ， πA B C ，所以 π 22B C ，
所以 π 3cos2 cos sin2 5C B B
，
所以 2 1 cos2 1sin 2 5
CC ．
因为 0,πC ，所以 5sin 5C ，
在 ABC 中，由正弦定理得
53sin 5 53sin
5
b Cc B
．
方案二：选条件①③．
因为 1 sin 32S ab C ， 3b ，所以 sin 2a C ．
因为 π
2
A C ， πA B C ，所以 π 22B C ．
在 ABC 中，由正弦定理得
π3sinsin 3cos2
πsin cos2sin 22
Cb A Ca B CC
，
所以 3sin cos 2cos2
C C
C
，即 3sin 2 4cos2C C ．
因为
π0 π,2
0 π,
A C
C
所以 π0 2C ， 0 2 πC ，
所以 sin 2 0C ，所以 cos2 0C ．
又 2 2sin 2 cos 2 1C C ，所以 3cos2 5C ，
所以 2 1 cos2 1sin 2 5
CC ，所以 5sin 5C ．
在 ABC 中，由正弦定理得
53sin sin sin 5 53πsin cos2sin 2 52
b C b C b Cc B CC
．
方案三：选条件②③．
因为 5 4 15cos c a A ， 3b ，所以5 4 5 cosc a b A ，
由正弦定理得 5sin 4sin 5sin cosC A B A ，
因为 sin sin sin cos cos sinC A B A B A B ，
所以 5cos sin 4sinB A A ．
因为 sin 0A ，
所以 cos 4
5B ， 2 3sin 1 cos 5B B ．
因为 1 sin 32S ac B ，所以 10ac ．（ⅰ）
在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
所以 2 2 25a c ．（ⅱ）
由（ⅰ）（ⅱ）解得 5c 或 2 5c ．
15．【解析】（1）选择条件①
由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B 得 2 2 3 0a a ，解得 3a .
由正弦定理
sin sin
b a
B A
得 sin 3 10sin 10
a BA b
.
选择条件②
由余弦定理 2 2 2 2 cos 5b a c ac B 得 5b .
由正弦定理
sin sin
b a
B A
得 sin 3 10sin 10
a BA b
.
（2）由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B 得 2 25 2a c ac ，
所以 25 ( ) (2 2) 9 (2 2)a c ac ac ，
得 4 2 2ac .
所以 1 sin 2 12ABCS ac B .
16．【解析】解：（1）方案一：选条件①.
由正弦定理可知， 2 2sin sin cos
sin cos
b c B C C
a A A
，
即 2sin cos cos sin sin cosB A C A C A ，
即 2sin cos sin( )B A A C .
A C B ， 2sin cos sinB A B ，
sin 0B ， 1cos 2A .
又 (0, )A ，
3A .
方案二：选条件②.
由 cos cos cos 3sin cosC A B B A ，
得 cos( ) cos cos 3sin cosA B A B B A ，
整理得sin sin 3sin cosA B B A .
(0, )B ， sin 0B ， tan 3A ，
又 (0, )A ，
3A .
方案三：选条件③.
由 2 sin cos (2 )sinb A B c b B 及正弦定理得，
2sin sin cos (2sin sin )sinB A B C B B ，
(0, ),B ， sin 0B ，
2sin cos 2sin sinA B C B .
A B C ， sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B ，
2sin cos 2sin cos 2cos sin sinA B A B A B B ，
sin 0B ， 1cos 2A ，
(0, )A ，
3A .
（2）由
3A 可得 3sin 2A ， 1cos 2A .
由 6a 及余弦定理可得 2 2 236a b c bc ，
由基本不等式得 2 2 2b c bc ， 36bc .
ABC 的面积 1 3sin 9 32 4S bc A bc （当且仅当 6b c 时取等号），
ABC 面积的最大值为9 3 .
17．【解析】解：（1）若选择①， 2 2 22b ac a c
由余弦定理，
2 2 2 2 2cos 2 2 2
a c b acB ac ac
，
因为 0,B ，所以
4B ；
由正弦定理
sin sin
a b
A B
，得
2 sinsin 3 3sin 2
2
b Aa B
，
因为
3A ，
4B ，所以 5
3 4 12C ，
所以 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C
所以 1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C △ .
（2）若选择② cos sina B b A ，则sin cos sin sinA B B A ，
因为sin 0A ，所以sin cosB B ，
因为 0,B ，所以
4B ；
由正弦定理
sin sin
a b
A B
，得
2 sinsin 3 3sin 2
2
b Aa B
，
因为
3A ，
4B ，所以 5
3 4 12C ，
所以 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C
，
所以 1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C △ .
（3）若选择③sin cos 2B B ，
则 2 sin 24B
，所以sin 14B
，
因为 0,B ，所以 5,4 4 4B
，
所以
4 2B ，所以
4B ；
由正弦定理
sin sin
a b
A B
，得
2 sinsin 3 3sin 2
2
b Aa B
，
因为
3A ，
4B ，所以 5
3 4 12C ，
所以 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C
，
所以 1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C △ .
18．【解析】若选①：因为 πsin sin 3a C c A
，
在 ABC 中，由正弦定理得 πsin sin sin sin 3A C C A
，
因为 0 πC ，所以sin 0C ，
所以 π 1 3sin sin sin cos3 2 2A A A A
，
即 1 3sin cos2 2A A ，所以 tan 3A ，
因为 0 πA ，所以 π
3A ，
因为 ABC 外接圆面积为 4 π3
，所以半径 2 3
3r ，
由 2sin
a rA
得 2 3 32 23 2a ，
又sin 2sinB C ，所以 2b c ，
由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A 得 2 2 24 4 2cc c ，
解得 2 4
3c ，即 2 3
3c ， 4 3
3b ，
所以 1 1 4 3 2 3 3 2 3sin2 2 3 3 2 3ABCS bc A △ ．
若选②：由正弦定理得 3sin sin cos sin sin3B A C C A ，
3sin sin cos sin sin3A C A C C A ，
3sin cos cos sin sin cos sin sin3A C A C A C C A ，
化简得： 3cos sin sin sin3A C C A ，
因为 0 πC ，所以sin 0C ，所以 tan 3A ，
因为 0 πA ，所以 π
3A ．
其余步骤同①．
若选③：由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cosA B B A C A ，
所以 sin 2sin cosA B C A ，所以sin 2sin cosC C A ，
因为 0 πC ，所以sin 0C ，所以 1cos 2A ，
因为 0 πA ，所以 π
3A ．
其余步骤同①．
19．【解析】 1 方案①：由已知及正弦定理得 23 cos sin cos sin cos sinA C B B C A
所以 23 cos sin sinA C B A ，
所以 23 cos sin sinA A A
又 0,A ，
所以sin 0A ，
所以 tan 3,A
所以
3A
方案②：由已知正弦定理得
2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sinC A B C A C C A C A C C
所以 2cos sin sin 0,A C C
即 2cos sin sin ,A C C
又 0,C ，
所以 sin 0,C
所以 1cos 2A
所以
3A
方案③：因为 tan tan tan 3 tan tanA B C B C
所以 tan tan tan 3 tan tan tan tan( ) (1 tan tan )A B C B C A B C B C
tan tan 1 tan tan tan tan tanA A B C A B C
即 3 tan tan tan tan tanB C A B C
又 0A B C , , , ，
所以 tan 0,tan 0B C ，
所以 1tan 3,cos ,2A A
所以
3A
2 由余弦定理 2 2 2 2 cos , 2, 3a b c bc A a A ，得 2 24 b c bc
即 2 4 3b c bc ，
又因为 10,b c
所以 2bc
所以 1 3sin2 2ABCS bc A
20．【解析】解：若选择①：在 ABC 中，有 A B C ，
则由题可得： cos cos 3sin cos 0A B A A B ，
cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B ，
sin sin cos cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B A B ，sin sin 3sin cosA B A B ，
又sin 0A ，所以sin 3 cosB B ，则 tan 3B .
又 0,B ，所以
3B ，
因为 1a c ，所以 1c a ， 0,1a .
由余弦定理可得：
2 2 2 2 cosb a c ac B 2 2a c ac 22 1 1a a a a 23 3 1a a ，
0,1a ，又
2
2 1 13 2 4b a
，
所以，当 1
2a 时， 2
min
1
4b ，即b 的最小值为 1
2
；
若选择②：在 ABC 中，有 A B C ，
则由题可得 2 22cos 1 3cos 2cos 3cos 1 1B B B B ，
解得 1cos 2B 或 cos 2B （舍去），
又 0,πB ，所以
3B .（剩下同①）
若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为 3sin cos sin sin sin3B C C B A ，
sin cos ss in cosin sin sin B C C BA B C B C ，
代入上式得 3 sin sin sin cos3 C B C B ，
又sin 0C ，所以sin 3 cosB B ， tan 3B .
又 0,B ，所以
3B .（剩下同①）
21．【解析】（1）选择条件①： 3 sin cos3 c B a b C ，
由正弦定理得， 3 sin sin sin sin cos3 C B A B C .
又在 ABC 中， sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C ,
3 sin sin sin sin cos cos sin3 C B A B C B C .
又 (0, )C ， sin 0C .
3 sin cos3 B B ，即 tan 3B .
又 (0, )B ，
3B .
选择条件②：
sin cos 6b C c B ，
由正弦定理得，sin sin sin cos 6B C C B .
又 (0, )C ， sin 0C . sin cos 6B B
，
即 3 1sin cos cos sin sin cos sin6 6 2 2B B B B B .
1 3sin cos2 2B B ，即 tan 3B .
又 (0, )B ， .3B
（2）有题意知 2BD BA BC
uuur uur uuur .
2 24| | ( )BD BA BC ，即 2 216 a c ac .
又 2 2 2a c ac
，
16
3ac （当且仅当 4 3
3a c 时等号成立）.
由三角形面积公式可知 1 4 3sin2 3ABCS ac B△ .
ABC 的面积的最大值为 4 3
3
.
22．【解析】解：选择条件①：
由正弦定理可得sin sin sin cos 6A C C A
，
由于sin 0C ，可得 3 1sin cos cos sin6 2 2A A A A
，
化简可得 1 3sin cos2 2A A ，即 tan 3A ，
因为 0,A ，所以
3A ，
由余弦定理可得 22 2 2 3a b c bc b c bc ，解得 12bc ，
4 3
12
b c
bc
，解得 2 3b c ，因此 1 sin 3 32ABCS bc A ；
选择条件②：因为 3sin 3sin 3 cos2 2 2 2
B C A A
，即 3cos sin2
A A ，
由正弦二倍角公式可得： 3cos 2sin cos2 2 2
A A A ，
0,A ，则 0,2 2
A
，所以， cos 02
A ，所以 3sin 2 2
A ，
所以
2 3
A 即 2
3A ，
由余弦定理可得 22 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc b c bc ，
由已知可得 2 2 36bc b c a ，
由基本不等式可得
2
122
b cbc
，所以不存在满足条件的 ABC ；
选择条件③：
由余弦二倍角公式可得： 22cos 3cos 2 0A A ，解得 1cos 2A 或 2 （舍去），
因为 0,A ，所以
3A ，
由余弦定理得： 22 2 2 3a b c bc b c bc ，解得 12bc ，
4 3
12
b c
bc
，解得 2 3b c ，因此 1 sin 3 32ABCS bc A ；
23．【解析】解： ( ) sin cos cos sin sin( )f x x x x ，
由已知函数 f x 的周期 2T ，求得 2 ，所以 ( ) sin(2 )f x x ，
若选①，则有 2 ( )3 2k k Z ，解得 ( )6k k Z ，
又因为
2
，所以， 0, 6k ，所以 ( ) sin 2 6f x x
，
当 ,6 2x
时， 52 ,6 6 6t x
，
所以当
2t ，即
3x 时，函数 f x 取得最大值，最大值为1．
若选②，则有 2 ( )6 k k Z ，解得 ( )3k k Z ，
又因为
2
，所以 0, 3k ，所以 ( ) sin 2 3f x x
，
当 ,6 2x
时， 22 0,3 3t x
，
所以当
2t ，即 5
12x 时，函数 f x 取得最大值，最大值为1．
若选③，则有 22 2 ( )3 2k k Z ，解得 112 ( )6k k Z ，
又因为
2
，所以 1, 6k ，
所以 ( ) sin 2 6f x x
，
当 ,6 2x
时， 72 ,6 2 6t x
，
显然，函数 f x 在该区间上没有最大值．
24．【解析】解：由 3 2 cos 2 cosc b A a B 结合正弦定理可得
3sin 2sin cos 2sin cosC B A A B ，
所以 3sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin 2sinC A A B A B A B C .
因为sin 0C ，所以 2cos 3A .
[选择条件①的答案]
所以 5sin 3A .
由sin 3cos 2C C 得 2sin 23C
，所以sin 13C .
因为 0,C ，所以
3 2C .所以
6C .
由正弦定理
sin sin
a c
A C
得
5
sin 2 53
1sin 3
2
c Aa C
.
[选择条件②的答案]
所以 5sin 3A .
因为 2C A ，所以 4 5sin sin 2 2sin cos 9C A A A .
由正弦定理
sin sin
a c
A C
得
5
sin 33
sin 44 5
9
c Aa C
.
[选择条件③的答案]
所以 5sin 3A .
由 2b a 得sin 2sinB A .
因为 5sin 3A ，所以 2 5sin 2sin 13B A .
所以三角形不存在.
25．【解析】选择条件①：
由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
，
因为 (0, )C ，所以
3C .
结合 4a b ， 2 2 2 2( ) 3c a b ab a b ab ，可得 4ab ，
所以 2a ， 2b ，
因此 1 sin 32ABCS ab C △ .
选择条件②：
由正弦定理得sin sin
bA B
，
所以 sinsin 1a BA b
，
又 (0, )A ，所以
2A ，所以 2 2 2b c a .
由
2 24
4
b a
a b
，解得 5
2a ， 3
2b ，
所以 1 3sin2 2ABCS bc A △ .
选择条件③：
因为 3cos sin 2sin cos2 2 2
C C CC ，
又 cos 02
C ，所以 3sin 2 2
C ，因此 2
3C .
由余弦定理可得 2 2 2 2( )c a b ab a b ab ，得 12ab ，
从而 2 2 2 2( ) 2 4 2 12 8a b a b ab ，显然不成立，
因此，不存在满足条件的 ABC .
26．【解析】解：选① 3sin cos 1B B ，可得 1sin =6 2B .
因为 (0, )B ，所以
6 6B ，所以
3B .
由正弦定理：
sin sin
a b
A B
得 2sin 2A ，又因为 a b ，所以
4A .
所以 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C
所以 1 3 3sin2 4ABCS ab C △
选②由 2 sin tanb A a B 得 2 sin cos sinb A B a B ，
由正弦定理：
sin sin
a b
A B
，化简得 1cos 2B ，
因为 (0, )B ，所以
3B .
以下与选①相同.
选③由正弦定理： ( )sin csin sina c A C b B 可化简为 2 2 2a ac c b ，
而
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
，
因为 (0, )B ，所以
3B ，
以下与选①相同.
27．【解析】解：选择①，因为 2 2 cosb a c A ，
所以由余弦定理得
2 2 2 2 2 2
2 2 2
b c a b c ab a c bc b
，
所以 2 2 2a b c ab ，
所以由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
，而C 为三角形内角，
所以 3sin 2C ，
所以 ABC 的面积为 1 1 3 3sin 1 32 2 2 4ab C ．
选择②，因为 tan cos cosc C a B b A ，
所以由正弦定理得sin tan sin cos sin cosC C A B B A ，
所以 sin tan sin cos sin cos sin( ) sinC C A B B A A B C ．
又 0 C ，所以sin 0C ，
所以 tan 1C ，而C 为三角形内角，所以 π
4C ，所以 2sin 2C ，
所以 ABC 的面积为 1 1 2 6sin 1 32 2 2 4ab C ．
选择③，因为 4cos 5c B a b ，
所以由正弦定理得 4sin cos sin sin5C B A B ，
即5sin cos 5sin( ) 5sin cos (5sin cos 5cos sin ) 4sinC B B C C B B C B C B ，
所以 sin (4 5cos ) 0B C ．
又 0 B ，所以sin 0B ，
所以 4cos 5C ，而C 为三角形内角，所以 3sin 5C ，
所以 ABC 的面积为 1 1 3 3 3sin 1 32 2 5 10ab C ．
28．【解析】在 ABC 中，因为 11cos 14A ，所以
2
2 11 5 3sin 1 cos 1 14 14A A
，
所以 ABC 的面积为 1 5 3sin 5 32 28bc A bc ，则 28bc ．
由余弦定理可得： 2 2 2 11 32 cos 2 127 7a b c bc A bc bc bc
，
则 2 3a
（当且仅当 2 7b c 时，等号成立）．
所以 a 的最小值为 2 3 .
29．【解析】选①，
∵在 ABC ，sin 3 sinA B= ，∴由正弦定理得 3a b= ，即 3
3b a ，
又 3ac ，∴ 3c a
，
∴
2 2
2 2 2 2
2
1 3
33cos 2 22 3
3
a aa b c aC ab a
，解得 3a ，
∴ 1b c ，
6B C ， 2
3A ．
选②，
∵在 ABC ，sin 3 sinA B= ，∴由正弦定理得 3a b= ，即 3
3b a ，
∵ sin sin sin 36c A a C a ，则 6a ，∴ 2 3b ，
2 2 2 2 22 cos 6 (2 3) 2 6 2 3 cos 126c a b ab C ， 2 3c ，
∴
6C B ， 2
3A ．
选③，三边成等比数列，
∵在 ABC ，sin 3 sinA B= ，∴由正弦定理得 3a b= ，又
6C ，
∴ 2 2 2 2 2 22 cos 3 2 3 cos 6c a b ab C b b b b b ， c b ，
即 a b c ，这与三边成等比数列矛盾．无解．
30．【解析】解：方案一：选条件①.
因为 sin 3cos cos 3sin sinA B C B C ，所以
sin 3 sin sin cos cos 3cos 3cos π 3cosA B C B C B C A A ，
所以 tan 3A ，又 0 πA ，所以 π
3A .
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb c a bc A ，所以 2 2 4b c bc bc ，所以 4bc ，当且仅
当b c 时取等号.
所以 1 3sin 32 4ABCS bc A bc △ ，所以面积的最大值为 3 .
方案二：选条件②.
因为 tan tan tan 3 tan tanCA B C B ，
所以
tan tan tan tan tan π 1 tan tanA B C A A B C
tan tan tan 3 tan tanA B C B C ，
因为 0 πA ，所以 tan 0B ， tan 0C ，所以 tan 3A ，所以 π
3A .
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb c a bc A ，所以 2 2 4b c bc bc ，
所以 4bc ，当且仅当b c 时取等号.所以 1 3sin 32 4ABCS bc A bc △ ，
所以 ABC 面积的最大值为 3 .
方案三：选条件③.
因为 sin sin sin sin sin sin sinB B C A C A C ，所以由正弦定理得
2 2 2b c a bc ，
由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，又 0 πA ，所以 π
3A .由余弦定理得
2 2 2 2 cosb c a bc A ，
所以 2 2 4b c bc bc ，所以 4bc ，当且仅当b c 时取等号.
所以 1 3sin 32 4ABCS bc A bc △ ，所以 ABC 面积的最大值为 3 .
31．【解析】解：选择①，
在 ABC 中，由正弦定理得
sin sin
a b
A B
，即
7
21 3
7 2
a ，
解得 2a ，
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，即 2 2 17 2 2 2 2c c ，
化简得 2 2 3 0c c ，解得 3c 或 1c （舍去）；
所以 BC 边上的高为 3 3 3sin 3 2 2h c B .
选择②，
在 ABC 中，由正弦定理得
sin sin
a c
A C
，
又因为sin 3sinA C ，所以
3sin sin
a c
C C
，即 3a c ；
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
即 2 2 17 (3 ) 2 3 2c c c c ，
化简得 27 7c ，解得 1c 或 1c （舍去）；
所以 BC 边上的高为 3 3sin 1 2 2h c B .
选择③，
在 ABC 中，由 2a c ，得 2a c ；
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
即 2 2 17 ( 2) 2 ( 2) 2c c c c
化简得 2 2 3 0c + c ，解得 1c 或 3c （舍去）；
所以 BC 边上的高为 3 3sin 1 2 2h c B .
32．【解析】（1）方案一：若选①．
由已知及正弦定理得， 23 cos sin cos sin cos sinA C B B C A ，
所以 23 cos sin sinA C B A ，
所以 23 cos sin sinA A A ，
又 (0, )A ，所以sin 0A ，
所以 tan 3A ，所以
3A ．
方案二：若选②．
由已知及倍角公式得 2 21 2sin 1 2sin 2sin sin sinA B C B C ，
所以 2 2 22sin 2sin 2sin sin 2sinB A C B C ，
所以 2 2 2sin sin sin sin sinB C A C B ，
由正弦定理得 2 2 2b c a bc ，
由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，
又 (0, )A ，所以
3A ．
方案三：若选③．
由已知及正弦定理得 2sin sin cos sin cosB C A A C ，
所以 2sin cos sin( ) sinB A A C B ，
因为 (0, )B ，所以sin 0B ，所以 1cos 2A ，
又 (0, )A ，所以
3A ．
（2）由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ， 2a ，
3A ，得 2 24 b c bc ，
即 2 3 4b c bc ．
因为 10b c ，所以 2bc ，
所以 1 3sin2 2ABCS bc A
．
33．【解析】解：方案一：选条件①.
因为 3 cos sina B b A ，所以由正弦定理，得 3sin cos sin sinA B B A ，
易知sin 0A ，所以 3 cos sinB B ，所以 tan 3B .
因为 0 B ，所以
3B .
设 D 为 BC 的中点， BD x ，
在 ABD△ 中，由余弦定理，得 2 2 17 2 2 2 2x x ，
解得 3x （舍去负值）.
所以 6a BC ，
所以 ABC 的面积 1 1sin 6 2 sin 3 32 2 3S ac B .
方案二：选条件②.
因为 3 sin 2 cosb A a B ，所以由正弦定理，得 3sin sin sin 2 cosB A A B ，
易知sin 0A ，所以 3sin 2 cosB B ，
所以 3sin cos 2B B ，即sin 16B
，
因为 7
6 6 6B ，所以
6 2B ，所以
3B .
设 D 为 BC 的中点， BD x ，
在 ABD△ 中，由余弦定理，得 2 2 17 2 2 2 2x x ，
解得 3x （舍去负值）.所以 6a BC ，
所以 ABC 的面积 1 1sin 6 2 sin 3 32 2 3S ac B .
方案三：选条件③.
易知
2 2 22cos 2 2
a c a b cC b ab
，化简可得 2 2 2a b c ac ，
由余弦定理，得
2 2 2 1cos 2 2
a b cB ab
，
因为 0 B ，所以
3B .
设 D 为 BC 的中点， BD x ，
在 ABC 中，由余弦定理，得 2 2 17 2 2 2 2x x ，
解得 3x （舍去负值）.
所以 6a BC ，
所以 ABC 的面积 1 1sin 6 2 sin 3 32 2 3S ac B .
34．【解析】选条件①．由 sin sin
sin sin
a c A B
b C A
和正弦定理得 a c a b
b c a
化简得 2 2 2a b c ab
所以由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
因为C 是三角形的内角，所以 120C ．
又 6c ， 2 2 2 3c a b ab ab ，所以 12ab ，当且仅当 2 3a b 时等号成立
所以 ABC 的面积 1 sin 3 32S ab C ，即 ABC 面积的最大值为3 3 ．
选条件②．
由 cos cos 2 cosa B b A c A B 得sin cos sin cos 2sin cosA B B A C C ，
得 sin 2sin cosA B C C ，即sin 2sin cosC C C
因为sin 0C ，所以 1cos 2C
因为C 是三角形的内角，所以 120C ．
因为 6c ， 2 2 2 2 cos 3c a b ab C ab ，所以 12ab ，当且仅当 2 3a b 时等号
成立，
所以 ABC 的面积 1 sin 3 32S ab C ，即 ABC 面积的最大值为3 3 ．
35．【解析】解法 1：由正弦定理，得 3sinCcosB＝3sin[π-（B＋C）]＋2sinB，
整理得 3sinBcosC＋2sinB＝0．因为 sinB≠0，所以 2cos 3C ．
解法 2：由 3ccosB＝3a＋2b，得 3accosB＝3a2＋2ab，
由余弦定理，得 3（a2＋c2-b2）＝6a2＋4ab，整理得 3（-a2＋c2-b2）＝4ab，
即 3abcosC＋2ab＝0．所以 2cos 3C ．
选①a＝3．由余弦定理可得 c2＝a2＋b2-2abcos 2 221 9 6 ( )3b b ，
所以 b2＋4b-12＝0，解得 b＝2 或 b＝-6（舍去），
所以问题中的三角形存在．
选② 3 5
2ABCS
． 1 1 5 3 5sin2 2 3 2ABCS ab C ab ，故 ab＝9，
由余弦定理可得 c2＋a2＋b2-2abcosC 2 2 421 3a b ab ，又 a2＋b2≥2ab，
所以 2 2 4 1021 6.33 3a b ab ab ab ，与 ab＝9 矛盾，
所以问题中的三角形不存在．
选③3sinB＝2sinA．由正弦定理得，3sinB＝2sinA 3b＝2a，
由余弦定理可得 c2＝a2＋b2-2abcosC 22121 4 b ，
所以 b＝2 或 b＝-2（舍去），
所以问题中的三角形存在．
36．【解析】若选①，则由正弦定理 3 cos sin cos sin cos sin sinC A B B A C C ，
3 cos sin sin sinC A B C C ， 3 tanC ，
3C
若选②，则由正弦定理知：
sin sin sin sin2
CA C A ， cos sin 2sin cos2 2 2
C C CC ， 1sin 2 2
C ，
3C
若选③，则有正弦定理知 2 2b a c bc ，
2 2 2b a c bc ，由余弦定理知： 1cos 2C ，
3C ，
2
3A B ， 2sin sin sin sin 3A B A A
3 1sin cos sin2 2A A A
23 1 3 1sin cos sin sin 2 1 cos22 2 4 4A A A A A 1 1sin 22 6 4A
20, 3A ， 72 ,6 6 6A
，所以当
3A 时，sin sinA B 的最大值是 3
4 .
37．【解析】解：（Ⅰ）因为 cosc Ab
，由正弦定理可得 sin cossin
C AB
，在三角形中，
sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B ，且sin 0B ，
所以不等式整理为 sin cos cos sin sin cosA B A B B A ，
即sin cos 0A B ，在三角形中可得sin 0A ，
所以 cos 0B ，所以得证 B 为钝角；
（Ⅱ） ( )i 若满足①②③，则正弦定理可得
sin sin
a c
A C
，
即
2 2
sin2
2
C
，所以 1sin 2C ，
又 a c ，所以 A C ，在三角形中， 2sin 2A ，
所以
4A 或 3
4A ，而由（Ⅰ）可得
4A
所以可得
6C ， 7
4 6 12B A C ，
所以 2 2 6 22 cos 4 2 2 2 2 ( ) 3 14b a c ac B
( )ii 若满足①②④，由（Ⅰ） B 为钝角， A ，C 为锐角，
及 2sin 2A ， 3sin 2C 可得
4A ，
3C ，
所以 5
12B 不符合 B 为钝角，故这种情况不成立；
( )iii 若满足②③④，由 B 为钝角， 3sin 2C ，
所以
3C ，而 a c ，所以 A C ，这时
3B ，
不符合 B 为钝角的情况，所以这种情况不成立；
综上所述：只有满足①②③时 3 1b ．
38．【解析】如果选①：因为 3a ， 2 6b ， 2B A ，
所以在 ABC 中，由正弦定理得 3 2 6
sin sin 2A A
.
所以 2sin cos 2 6
sin 3
A A
A
.
故 6cos 3A .
(0, )A ，所以 2 3sin 1 cos 3A A .
又因为 2B A ，所以 2 1cos 2cos 1 3B A .
所以 2 2 2sin 1 cos 3B B .
在 ABC 中，sin sin( )C A B
sin cos cos sinA B A B 5 3
9
.
所以 sin 5sin
a Cc A
.
如果选②：因为 3a ， 2 6b ，sin sin 2B A ，所以sin 2sin cosB A A ，
由正弦定理得： 2 cosb a A .故 6cos 3A ，
由余弦定理可得： 2 69 24 2 2 6 3c c ，
2 8 15 0c c ，解得 5c 或 3.
如果选③： 3 15
2ABCS △ ，则 3 15 1 sin2 2ABCS ab C △ ，
则 10sin 4C ，
所以 6cos 4C .
当 6cos 4C 时， 2 2 2 62 cos 9 24 2 3 2 6 154c a b ab C ， 15c ；
当 6cos 4C 时， 2 2 2 62 cos 9 24 2 3 2 6 514c a b ab C ，
所以 51c 或 15 .
39．【解析】选择①：
在 ABC 中，由正弦定理
sin sin
a c
A C
，
得
7
3 21
2 7
c ，所以 2c ，
由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
得 2 2 2 17 2 2 2 2b b ，
2 2 3 0b b ，解得 3b ，
AB 边上的高 3 3 3sin 3 2 2h b A .
选择②：在 ABC 中，由 2c b ，得 2c b ，
由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
得 2 22 17 2 2 2 2b b b b ，
化简 2 2 3 0b b ，解得 1b ，
AB 边上的高 3 3 3sin 3 2 2h b A .
选择③：
在 ABC 中，由 1 3 3sin2 2ABCS bc A
，
得 1 3 3 3
2 2 2bc ，所以 6bc ，
由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
得 22 2 2 cosa b c bc bc A ，
2 2 17 12 12 2b c ，
解得 5b c ，
所以 2
3
b
c
或 3
2
b
c
，
AB 边上的高 3 3 3sin 3 2 2h b A .
40．【解析】若选择条件①： 2 2 22b ac a c .
（Ⅰ）因为 2 2 22b ac a c ，
由余弦定理
2 2 2 2cos 2 2
a c bB ac
，
因为 0,B ，所以
4B .
（Ⅱ）由正弦定理
sin sin
a b
A B
，
得
32sin 2 3sin 2
2
b Aa B
，
又因为 sin sin sin cos cos sinC A B A B A B 3 2 1 2
2 2 2 2
6 2
4
，
所以 1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C △ .
若选择条件②： cos sina B b A .
（Ⅰ）由正弦定理
sin sin
a b
A B
，得 sin sina B b A .
又因为 cos sina B b A ，所以sin cosB B ，
又因为 0,B ，所以
4B .
（Ⅱ）由正弦定理
sin sin
a b
A B
，
得
32sin 2 3sin 2
2
b Aa B
，
又因为 sin sin sin cos cos sinC A B A B A B 3 2 1 2
2 2 2 2
6 2
4
，
所以 1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C △ .
41．【解析】若选取条件① 1cos 3C ，此时 1 2 2sin 1 9 3C ，
因为 5a b ，所以 22 2 2 25 2a b a b ab ab ，
由余弦定理，
2 2 2 25 2 9 1cos 2 2 3
a b c abC ab ab
，解得 6ab ，
则 2 2 25 2 6 13a b ，所以 2 2 2 2 13 12 1a b a b ab ，
所以 1a b ，又 5a b ，解得 3
2
a
b
或者 2
3
a
b
，
所以存在以 a ，b ， c 为边的三角形，其面积为 1 2 22 3 2 22 3ABCS .
若选取条件② 1cos 3
C ，
因为 5a b ，所以 22 2 2 25 2a b a b ab ab ，
由余弦定理，
2 2 2 25 2 9 1cos 2 2 3
a b c abC ab ab
，解得 12ab ，
则 2 2 25 2 12 1a b ，
所以 2 2 2 2 1 24 0a b a b ab ，显然不成立，
所以不存在以 a ，b ， c 为边的三角形.
若选取条件③ 2 2sin 3C ，得 1cos 3C ，
由选取条件①可知，
当 1cos 3C 时，存在以 a ，b ， c 为边的三角形，其面积为 2 2ABCS .
由选取条件②可知，
当 1cos 3
C 时，不存在以 a ，b ， c 为边的三角形.
42．【解析】（1） 由于 1c ， 2π
3A ， 1 sin2ABCS bc A ，
所以 2b ，
由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
解得 7a ．
（2）①当 1AD 时，
在 ABC 中，由正弦定理
sin sin
b BC
B BAC
，
即
2 7
sin 3
2
B
，所以 21sin 7B ．
因为 1AD AB ，所以 ADB B ．
所以 sin sinADB B ，
即 21sin 7ADB ．
②当 30 CAD 时，
在 ABC 中，由余弦定理知，
2 2 2 7 1 4 2 7cos 2 72 7 1
AB BC ACB AB BC
．
因为 120A ，所以 90DAB ，
所以 π
2B ADB ，
所以 sin cosADB B ，
即 2 7sin 7ADB ．
43．【解析】（1）选择条件①：
1 cos 3 sinC b c B ，
由正弦定理可得 1 cos sin 3sin sinC B C B ，
sin 0B ， 1 cos 3sinC C ，
3sin cos 1C C ，即 2sin 16C
，
所以， 1sin 6 2C
，
0 C ，则 5
6 6 6C ，
6 6C ，解得
3C ；
选择条件②：
3 sin cos3 b C a c B ，
由正弦定理得 3 sin sin sin sin cos3 B C A C B ，
sin sin sin sin cos cos sinA B C B C B C B C ，
上式可化简为 3 sin sin sin cos3 B C B C ，
sin 0B ， 3 sin cos tan 33 C C C ，
0 C ，
3C ；
（2）由余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C ，可得 2 2 49a b ab ，
又由 13a b ，则 2 3 49a b ab ，
2 49 403
a bab
，
因此， ABC 的面积为 1 10 32 sinABCS ab C .
44．【解析】解：（1） 2 2 2a c b ac ，
2 2 2 1cos 2 2 2
a c b acB ac ac
，所以
3B ，
（2）①若 3ABCS ，且边 1c ，
则 1 1sin 1 sin 32 2 3ABCS ac B a △ ，
所以 4a ，
2 2 2 2 cosb a c ac B ，所以 2 2 24 2 11 cos 34b ，
所以 13b ；
②若 1cos 7A ，且边 5 3
7c ，
2 2 2 2 2 22 cos 7bc Aa b cb bc c 和 2 2 2a c b ac ，
得 22 7a c b 代入到 2 2 2a c b ac 中，
所以 3b .
45．【解析】由于
32 3 2f x cos xsin x
1 3 32cos sin cos2 2 2x x x
1 3sin 2 cos2 sin 2 1,12 2 3x x x
.
所以，①②③任选一个作为条件，均可以得到 f x 的半周期为
2
T
2
，则
12 2
.
所以， sin 2 3
πf x x .
由于
6 6x ， 2 2 03 3x ，
所以 1,0f x ，即 f x 的值域为 1,0 .
46．【解析】解：若选①：由正弦定理及5 sin 3 cos 3 cosb B a C c A ，
得 5sin cos 3sin cos 3sin cos 3sin 3sinB B A C C A A C B ，
又 0,πB ，所以sin 0B ，
所以 5cos 3B ，即 3cos 5B ，所以 2 4sin 1 cos 5B B ．
因为 1 1 4sin 42 2 5ABCS ac B ac △ ，所以 10ac ，
由余弦定理得
22 2 2 2 22 cos 12 2 12 49 32 17b a c ac B a c a c ac ，
即 17b ．
若选②：由正弦定理得及3 sin cos 4 cos 3 cos sinb B C a B b B C ，
得 3sin sin 4 sin cosB B C A B ，即 3sin sin 4sin cosB A A B ，
又 0,πA ，所以sin 0A ，
所以3sin 4cosB B ，结合 2 2sin cos 1B B 及 0,πB ，
可解得 3cos 5B ， 4sin 5B ．
因为 1 1 4sin 42 2 5ABCS a B ac △ ，所以 10ac ，
由余弦定理得
22 2 2 2 22 cos 12 2 12 49 32 17b a c ac B a c a c ac ，
即 17b ．
若选③：由 2 π 22cos 12 8 10
B
，得 π 2cos 4 10B
，
又 π0 2B ，所以 π π 3π
4 4 4B ，所以 πsin 04B
，
所以 2π π 7 2sin 1 cos4 4 10B B
，
所以 π π 7 2 2 2 2 4sin sin 4 4 10 2 10 2 5B B
．
因为 1 1 4sin 42 2 5ABCS ac B ac △ ，所以 10ac ，
由余弦定理得
22 2 2 2 22 cos 12 2 12 49 32 17b a c ac B a c a c ac ，
即 17b ．
47．【解析】（1）由 2 24 2c a c 得：
2 2 2 2 24 2 1cos 2 2 2 4 2
b c a c a cA bc c c
，
又因为 0 A ，所以 2
3A .
（2）选择①作为已知条件.
在△ ABC 中，由 2 3sina B ，以及正弦定理
sin sin
a b
A B
，
得
2 3sin 2
2π sinsin 3
B
B
，解得 2 1sin 2B ，
由 2π
3A ，得 B 为锐角，所以 π
4B ，
因为在△ ABC 中， πA B C ，所以
sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B
2π π 2π πsin cos cos sin3 4 3 4
，
所以 6 2sin 4C .
选择②作为已知条件，
因为在△ ABC 中， πA B C ，
所以sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B
2π π 2π πsin cos cos sin3 4 3 4
，
所以 6 2sin 4C .
48．【解析】（1）因为 sin 2 sina B b A ，
所以 2 sin cos sina B B b A ，
由正弦定理得 2 cosab B ba ，
∴ 1cos , 0 π2B B ，
3B ；
（2）显然可知当选择条件①②时， ABC 不唯一；
当选择条件①③时， ABC 唯一，
此时，由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
即 2 2 24 ( ) 3 12 3a c ac a c ac ac ，解得 8
3ac .
所以 ABC 的面积 1 1 8 3 2 3sin2 2 3 2 3S ac B .
当选择条件②③时， ABC 唯一，
此时，由正弦定理可知 2 sin 2b r B .
由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
即 2 2 24 ( ) 3 12 3a c ac a c ac ac .解得 8
3ac .
所以 ABC 的面积 1 1 8 3 2 3sin2 2 3 2 3S ac B .
49．【解析】由题意作出图形，
∵ 1AB ， 7BD ， 2AD ，
∴由余弦定理得
2 2 2 1 4 7 1cos 2 2 2 1 2
AB AD BDBAD AB AD
，
又∵ 0 BAD ，∴ 2
3
πBAD ，
∵四边形 ABCD 为圆的内接四边形，
∴ BAD BCD ，∴
3BCD ，
选择条件①： CD AD ，
∴ 2CD ，则
2 2 2 24 7 1cos 2 2 2 2
CD BC BD BCDCB CD BC BC
，
解得 3BC 或 1BC （舍）；
选择条件②： 3 21sin 14BAC ，
∵四边形 ABCD 为圆的内接四边形，∴ BAC BDC ．
在 BCD 中，由正弦定理得
7 2 21
sin sin 33
2
BC BD
BDC BCD
，
∴ 2 21 2 21 2 21 3 21sin sin 33 3 3 14BC BDC BAC ；
选择条件③： 8 7
7AC ，
∵四边形 ABCD 为圆的内接四边形，∴ BDA BCA ，
∵ 2AD ， 1AB ， 7BD ，
∴由余弦定理可得
2 2 2 4 7 1 5 7cos 2 142 2 7
AD BD ABBDA AD BD
，
∴ 5 7cos cos 14BCA BDA ，
在 ABC 中，∵ 1AB ， 8 7
7AC ，
∴由余弦定理得
2 2 2
cos 2
AC BC ABBCA AC BC
，即
264 1 5 77
148 72 7
BC
BC
，
解得 3BC 或 19
7BC ．
50．【解析】若选择条件①，由正弦定理可得
sin sin
a b
A B
，
则
32sin 22sin 23
b AB a
，
又 3 2a b ，
3A ，
所以 B 只能为锐角，
故
4B ，该三角形只有一解．
若选择条件②，由正弦定理可得
sin sin
a b
A B
，
则
13sin 22sin 1 2
b AB a
．
又 3 1b a ．
∴
3B 或 2
3B ，该三角形有两解．
当
3B 时，
2C ．
∴ 2 2 2c a b ；
当 2
3B 时，
6C ， 1a c ．
若选择条件③，由正弦定理可得
sin sin
a b
A B
，则
32sin 2sin 1
6
2
a BA b
，
∵ 0 A ，∴
2A ，该三角形只有一解．
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