2021届高考数学新热点——新定义新概念新运算（精选50题）

创新题型：新定义新概念新运算 1．在无穷等差数列 na 中，记    1 1 2 3 4 5 1 1,2,n n nT a a a a a a n         ， 则“存在 m N  ，使得 2mmT T  ”是“ na 为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若非空实数集 X 中存在最大元素 M 和最小元素 m，则记 ( )X M m   ．下列命题 中正确的是（ ） A．已知 { 1,1}X   ， {0, }Y b ，且 ( ) ( )X Y   ，则 2b  B．已知 [ , 2]X a a  ，  2| ,Y y y x x X   ，则存在实数 a，使得 ( ) 1Y  C．已知 { | ( ) ( ), [ 1,1]}X x f x g x x    ，若 ( ) 2X  ，则对任意 [ 1,1]x  ，都有 ( ) ( )f x g x D．已知 [ , 2]X a a  ， [ , 3]Y b b  ，则对任意的实数 a，总存在实数 b，使得 ( ) 3X Y   3．瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条 直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作 ABC ， 4AB AC  ，点 ( 1,3)B  ，点 (4, 2)C  ，且其“欧拉线”与圆 2 2 2:( ) ( 3)M x a y a r     相切.则圆 M 上的点到直线 3 0x y   的距离的最小 值为（ ） A． 2 2 B．3 2 C． 4 2 D．6 4．已知向量  , ,x y za a a a ，  , ,x y zb b b b ， , ,i j k    是空间中的一个单位正交基 底．规定向量积的行列式计算：      y z y z x x z x yz y xa b a b a b i a b a b j a b a b k         , ,y z x yx z x y z y z x yx z x y z i j k a a a aa aa a a b b b bb bb b b           ，其中行列式计算表示为 a b ad bcc d   ， 若向量  2,1,4AB ，  3,1,2AC  ，则 AB AC   （ ） A．  4, 8, 1   B．  1, 4, 8  C． 2,8, 1  D．  1, 4, 8   5．对于函数 ( )y f x ，若存在 0x ，使 0 0( ) ( )f x f x   ，则点 0 0( , ( ))x f x 与点 0 0( , ( ))x f x  均称为函数 ( )f x 的“先享点”已知函数 3 16 , 0( ) ,6 , 0 ax xf x x x x      且函数 ( )f x 存在 5 个“先享点”，则实数 a 的取值范围为（ ） A． (6, ) B． ( ,6) C． (0,6) D． (3, ) 6．已知定义在 R 上的 Dirichlet 函数   1, , 0, , xD x x    为有理数 为无理数   2 2 , 0, 2 2, 0, x xf x x x x       则下列说法正确的是（ ） A．存在 xR ，使得      D f x f D x B．对任意的有理数 x ，总有    1D f x  C．函数   D f x 的单调性与函数  f x 的单调性是一致的 D．对任意的 xR ，   f D x 的值始终为一个常数 7．高斯函数也称取整函数，记作[ ]x ，是指不超过实数 x 的最大整数，例如 [6.8] 6,[ 4.1] 5    ，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．下列关于 高斯函数 [ ]y x 的性质叙述错误的是（ ） A． [ ]y x 值域为 Z B． [ ]y x 不是奇函数 C． [ ]y x x  为周期函数 D． [ ]y x 在 R 上单调递增 8．十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学 理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四 分集”，其操作过程如下：将闭区间[0,1] 均分为四段，去掉其中的区间段 1 1,4 2      记为 第一次操作；再将剩下的三个区间 1 1 3 30, , , , ,14 2 4 4                 ，分别均分为四段，并各自去 掉第二个区间段，记为第二次操作；···如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下 的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去， 以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于 19 20 ，则 需要操作的次数 n 的最小值为（参考数据： lg 2 0.3010,lg3 0.4771  ）（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1 ，空气的温度是 0 ，t 分钟后 物体的温度 可由公式   0.24 0 1 0 te       求得. 把温度是100 C 的物体，放在 10 C 的空气中冷却t 分钟后，物体的温度是 45 C ，则t 约为（ ）（ ln 2 0.693 ） A．1.69 B． 2.89 C． 4.58 D． 6.61 10．设函数  f x 的定义域为 D，如果对任意 1x D ，都存在唯一的 2x D ，使得    1 2 f x f x m  （m 为常数）成立，那么称函数  f x 在 D 上具有性质业 mψ ．现 有函数： ①   3f x x ; ②   3xf x  ; ③   3logf x x ; ④   tanf x x ． 其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 11．如图，在3 3 的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动， 每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化． 例如： 若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动（ ）次 A．2 B．3 C．4 D．5 12．设数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 4 n n S S 为常数，则称数列 na 为“吉祥数列”.则下列 数列 nb 为“吉祥数列”的有（ ） A． nb n B．  1 ( 1)n nb n   C． 4 2nb n  D． 2n nb  13．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     上点  0 0,P x y 处的曲率半径公式为 3 2 2 22 2 0 0 4 4 x yR a b a b      ， 则下列说法正确的是（ ） A．对于半径为 R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为 R B．椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     上一点处的曲率半径的最大值为 a C．椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     上一点处的曲率半径的最小值为 2b a D．对于椭圆   2 2 2 1 1x y aa    上点 0 1 ,2 y     处的曲率半径随着 a 的增大而碱小 14．已知有限集合  1 2 3, , , , nA a a a a  ，定义集合  1 , ,i jB a a i j n i j       N 中的元素的个数为集合 A 的“容量”，记为  L A ．若集合  1 3A x x   N ，则  L A  ______；若集合  1A x x n   N ，且   4041L A  ，则正整数 n 的值是 ______． 15．对于一个函数   y f x x D  ，若存在两条距离为 d 的直线 1y kx m  和 2y kx m  ，使得  1 2kx m f x kx m    在 x D 时恒成立，称函数  f x 在 D 内 有一个宽度为 d 的通道．则下列函数在 1, 内有一个宽度为 1 的通道的有 ______．（填序号即可） ①    1 sin cos2f x x  ； ②   ln xf x x  ； ③   2 1f x x  ； ④   2 cos3f x x x  ． 16．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理 论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关 键概念，定义如下：设 ( )f x 是定义在 R 上的函数，对于 0x R ，令  1 ( 1,2,3, )n nx f x n   ，若存在正整数 k 使得 0kx x ，且当 0 j k  时， 0jx x ， 则称 0x 是 ( )f x 的一个周期为 k 的周期点．给出下列四个结论： ①若 1( ) xf x e  ，则 ( )f x 存在唯一一个周期为 1 的周期点； ②若 ( ) 2(1 )f x x  ，则 ( )f x 存在周期为 2 的周期点； ③若 12 , ,2( ) 12(1 ), ,2 x x f x x x      … 则 ( )f x 不存在周期为 3 的周期点； ④若 ( ) (1 )f x x x  ，则对任意正整数 n， 1 2 都不是 ( )f x 的周期为 n 的周期点． 其中所有正确结论的序号是_________． 17．颗粒物过滤效率 是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为 out in out 100%C C C    ，其中 outC 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位： ind./L ）， inC 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某 研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了 4 次测试， 测试结果如图所示．图中点 ijA 的横坐标表示第 i 种口罩第 j 次测试时 outC 的值，纵坐标 表示第 i 种口罩第 j 次测试时 inC 的值  1,2, 1,2,3,4i j  ． 该研究小组得到以下结论： ①在第 1 种口罩的 4 次测试中，第 4 次测试时的颗粒物过滤效率最高; ②在第 2 种口罩的 4 次测试中，第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高; ③在每次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率高; ④在第 3 次和第 4 次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过 滤效率低． 其中，所有正确结论的序号是__________． 18．对任意两实数 a ，b ，定义运算“ ”： 2 2 , , 2 2 , . a b a ba b b a a b       给出下列三个结论： ①存在实数 a ，b ， c 使得 a b b c c a   ≥ 成立； ②函数 ( ) sin cosf x x x  的值域为[0,2] ； ③不等式 2 (1 ) 1x x  ≤ 的解集是[1, ) ． 其中正确结论的序号是_____________． 19.定义方程 f(x)＝f′(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新不动点”，如果函数 g(x)＝ 1 2 x2(x∈(0， ＋∞))，h(x)＝sinx＋2cosx，x∈(0，π)，φ(x)＝－ xe －2x 的“新不动点”分别为α、β、γ， 那么α、β、γ的大小关系是( ) A．α