第三篇 经典考题体验篇
专题十一 坐标系参数方程与不等式选讲
一、解答题
1．（2020·江苏高考真题）在极坐标系中，已知点 1
π( , )3A 在直线 : cos 2l 上，点 2
π( , )6B 在圆
: 4sinC 上（其中 0 ， 0 2 ）．
（1）求 1 ， 2 的值
（2）求出直线l 与圆 C 的公共点的极坐标．
【答案】（1） 1 24 2 ， （2） (2 2, )4
【解析】
(1)将 A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.
【详解】
（1）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
1 1cos 2, 43
，
因为点 B 为直线
6
上，故其直角坐标方程为 3
3y x ，
又 4sin 对应的圆的直角坐标方程为： 2 2 4 0x y y ，
由
2 2
3
3
4 0
y x
x y y
解得 0
0
x
y
或 3
1
x
y
，
对应的点为 0,0 , 3,1 ，故对应的极径为 2 0 或 2 2 .
（2） cos 2, 4sin , 4sin cos 2, sin 2 1 ，
5[0,2 ), ,4 4
，
当
4
时 2 2 ；
当 5
4
时 2 2 0 ，舍；即所求交点坐标为当 (2 2, ),4
2．（2020·全国高考真题（文））在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
2
2
2
2 3
x t t
y t t
，
(t 为参数且 t≠1)，
C 与坐标轴交于 A，B 两点.
（1）求| AB |：
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程.
【答案】（1） 4 10 （2）3 cos sin 12 0
【解析】
（1）由参数方程得出 ,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 AB 的值；
（2）由 ,A B 的坐标得出直线 AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
【详解】
（1）令 0x ，则 2 2 0t t ，解得 2t 或 1t （舍），则 2 6 4 12y ，即 (0,12)A .
令 0y ，则 2 3 2 0t t ，解得 2t 或 1t （舍），则 2 2 4 4x ，即 ( 4,0)B .
2 2(0 4) (12 0) 4 10AB ；
（2）由（1）可知 12 0 30 ( 4)ABk ，
则直线 AB 的方程为 3( 4)y x ，即3 12 0x y .
由 cos , sinx y 可得，直线 AB 的极坐标方程为3 cos sin 12 0 .
3．（2020·全国高考真题（理））在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 cos ,
sin
k
k
x t
y t
(t 为参数 ) ．以坐
标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0 ．
（1）当 1k 时， 1C 是什么曲线？
（2）当 4k 时，求 1C 与 2C 的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线 1C 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；（2） 1 1( , )4 4 .
【解析】
（1）利用 2 2sin cos 1t t 消去参数 t ，求出曲线 1C 的普通方程，即可得出结论；
（2）当 4k 时， 0, 0x y ，曲线 1C 的参数方程化为
2
2
cos (
sin
x t t
y t
为参数），两式相加消去参数t ，
得 1C 普通方程，由 cos , sinx y ，将曲线 2C 化为直角坐标方程，联立 1 2,C C 方程，即可求解.
【详解】
（1）当 1k 时，曲线 1C 的参数方程为 cos (sin
x t ty t
为参数），
两式平方相加得 2 2 1x y ，
所以曲线 1C 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；
（2）当 4k 时，曲线 1C 的参数方程为
4
4
cos (
sin
x t t
y t
为参数），
所以 0, 0x y ，曲线 1C 的参数方程化为
2
2
cos (
sin
x t t
y t
为参数），
两式相加得曲线 1C 方程为 1x y ，
得 1y x ，平方得 2 1,0 1,0 1y x x x y ，
曲线 2C 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0 ，
曲线 2C 直角坐标方程为 4 16 3 0x y ，
联立 1 2,C C 方程 2 1
4 16 3 0
y x x
x y
，
整理得12 32 13 0x x ，解得 1
2x 或 13
6x （舍去），
1 1,4 4x y ， 1 2,C C 公共点的直角坐标为 1 1( , )4 4 .
4．（2020·全国高考真题（理））已知曲线 C1，C2的参数方程分别为C1：
2
2
4cos
4sin
x
y
，
（θ为参数），C2：
1,
1
x t t
y t t
（t 为参数）.
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过
极点和 P 的圆的极坐标方程.
【答案】（1） 1 : 4 0 4C x y x ； 2 2
2 : 4C x y ；（2） 17 cos5
.
【解析】
（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极
坐标方程.
【详解】
（1）由 2 2cos sin 1 得 1C 的普通方程为： 4 0 4x y x ；
由
1
1
x t t
y t t
得：
2 2
2
2 2
2
1 2
1 2
x t t
y t t
，两式作差可得 2C 的普通方程为： 2 2 4x y .
（2）由 2 2
4
4
x y
x y
得：
5
2
3
2
x
y
，即 5 3,2 2P
；
设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中 0a ，
则
2 2
25 302 2a a
，解得： 17
10a ，所求圆的半径 17
10r ，
所求圆的直角坐标方程为：
2 2
217 17
10 10x y
，即 2 2 17
5x y x ，
所求圆的极坐标方程为 17 cos5
.
5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知曲线 C 的参数方程为 2cos
sin
x
y
（ 为参数），以坐标原点为极
点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 12 .
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）若点 P 为直线l 上的动点，点Q 是曲线C 上的动点，求 PQ 的最小值.
【答案】（1） C 的普通方程是
2
2 14
x y ，l 的直角坐标方程是 2 3 12 0x y ；（2） 7 13
13
.
【解析】
（1）由 2 2cos sin 1 可将曲线C 的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关
系可得出直线l 的直角坐标方程；
（2）设点 2cos ,sinQ ，利用点到直线的距离公式、辅助角公式以及余弦函数的有界性可求得 PQ 的
最小值.
【详解】
（1）由 2cos
sin
x
y
得，
2
2 2 2cos sin 12
x y
，即
2
2 14
x y ，
故曲线C 的普通方程是
2
2 14
x y .
由 2 cos 3 sin 12 及公式 cos
sin
x
y
，得 2 3 12x y ，
故直线l 的直角坐标方程是 2 3 12 0x y ；
（2）直线l 的普通方程为 2 3 12 0x y ，曲线C 的参数方程为 2cos
sin
x
y
（ 为参数），
设 2cos ,sinQ ，点Q 到直线 2 3 12 0x y 距离为
4cos 3sin 12
13
d 5cos 12 12 5cos
13 13
（其中 3tan 4
），
当 cos 1 时， min
7 13
13d ，所以
min
7 13
13PQ .
6．（2021·全国高三其他模拟（文））在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为
1
1
x t t
y t t
(t 为参数)，以
坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的方程为 2 cos sin 1 0 .
（1）求曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；
（2）已知点 0,1P ，曲线 2C 和曲线 1C 交于 A， B 两点，求| | | |PA PB 的值.
【答案】（1） 1C 的普通方程为： 2 2 4y x ， 2C 的直角坐标方程为： 2 1 0x y ；（2） 5.
【解析】
（1）由极坐标与直角的互化公式，求得曲线 2C 的直角坐标方程，再由曲线 1C 的参数方程，消去参数，即
可得到曲线 1C 的普通方程；
（2）由点 0,1P 在直线l 上，得出曲线 2C 的一个参数方程为
5
5
2 51 5
x t
y t
（t 为参数），代入曲线 1C ，
利用根与系数的关系，结合参数的几何意义，即可求解.
【详解】
（1）曲线 1C 的参数方程为
1
1
x t t
y t t
（t 为参数），消去参数得 2 2 4y x ，
故曲线 1C 的普通方程为： 2 2 4y x ，
由 cos
sin
x
y
得曲线 2C 的直角坐标方程为： 2 1 0x y ；
（2）由（1）得曲线 2C 的参数方程为
5
5
2 51 5
x t
y t
（t 为参数），代人 1C 的方程得
2 2
2 5 51 45 5t t
，
整理得 23 4 5 15 0t t ，设 A， B 两点所对应的参数分别为 1 2t t， ，所以 0 ， 1 2 5t t ，
由参数t 的几何意义知 1 2| | | | 5PA PB t t .
7．（2021·全国高三专题练习（理））在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2
,
2 ,
x t
y t
(t 为参数)，
以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4
sin cosm
.
（1）求 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程；
（2）若 1C 与 2C 交于 P ，Q 两点，求证： 1 1
OQOPk k
为定值.
【答案】（1） 1C 的普通方程为 2 1
2x y ， 2C 的直角坐标方程为 4 0x my ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）消去参数 t 后，得到曲线 1C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式 sin x ， sin y ，
求曲线 2C 的直角坐标方程；（2）首先判断 2t 的几何意义是抛物线 2 1
2x y 上的点(除原点外)与原点连线的
斜率，再将曲线 2
,
2 ,
x t
y t
代入 4 0x my ，
转化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示 1 1
OQOPk k
.
【详解】
（1）解：由 2
,
2 ,
x t
y t
(t 为参数)，消去参数t ，
得 2 1
2x y ，
即 1C 的普通方程为 2 1
2x y .
由 4
sin cosm
，
得 sin cos 4m ，
将 cosx ， siny 代入，得 4 0x my ，
∴ 2C 的直角坐标方程为 4 0x my .
（2）证明：由 2
,
2 ,
x t
y t
(t 为参数)，
得 2 0y t xx
，
故 2t 的几何意义是抛物线 2 1
2x y 上的点(除原点外)与原点连线的斜率.
由（1）知，当 0m 时， 2C ： 4x ，
则 1C 与 2C 只有一个交点，不合题意，故 0m .
把 2
,
2 ,
x t
y t
代入 4 0x my ，
得 22 4 0mt t ，
设 P ， Q 两点所对应的参数分别为 1t ， 2t ，
则 1 2
1
2t t m
， 1 2
2t t m
，
∴ 1 2
1 2 1 2
1
1 1 1 1 12
22 2 2 82OP OQ
t t m
k k t t t t
m
.
8．（2021·全国高三专题练习（文））在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 cos
2 sin
x
y
( 为
参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 32 cos 14
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角;
（2）已知点 M 的直角坐标为 0,1 ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点 ,A B ，求 MA MB 的值.
【答案】（1） 2 2 2x y ，
4
；（2） 6 .
【解析】
（1）根据参数方程与普通方程的转化可得曲线 C 的普通方程；由极坐标与直角坐标的转化可得直线 l 的直
角坐标方程，即可得直线的倾斜角；
（2）将直线 l 的直角坐标方程化为标准参数方程，联立椭圆方程，结合参数方程的几何意义即可求解.
【详解】
（1）曲线C 的参数方程为 2 cos
2 sin
x
y
，则有
cos
2
sin
2
x
y
，
则
2 2
2 2cos sin 12 2
x y ，即曲线C 的普通方程为 2 2 2x y .
直线l 的极坐标方程 32 cos 14
，展开可得 3 32 cos cos sin sin 14 4
，
将 cos
sin
x
y
代入，可得 2 22 12 2y x
，即 1y x ，即 1 0x y ，
所以斜率 1k ，则 tan 1 ，
由 0, ，可得
4
，所以直线l 的倾斜角为
4
.
（2）由（1）知，点 0,1M 在直线 : 1 0l x y 上，
则直线l 的参数方程为
2
2
21 2
x t
y t
(t 为参数).
将直线l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得
2 2
2 21 22 2t t
整理得： 2 2 1 0t t ，
设点 ,A B 对应的参数分别为 1 2,t t ，则 1 2 1 22, 1t t t t .
所以 22
1 2 1 2 1 2 1 24 2 4 1 6MA MB t t t t t t t t
【点睛】
方法点睛：本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义求线段关系，利
用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是：
（1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数 t 的一元二次方程；
（2）利用韦达定理写出 1 2t t ， 1 2t t ；
（3）利用弦长公式 2
1 2 1 2 1 24AB t t t t t t 代入计算.
9．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立
极坐标系．已知曲线 1C 的参数方程为 sin ,
cos2 ,
x
y
（ 为参数），直线 2C 的极坐标方程为 π
6
．
（1）将 1C 的参数方程化为普通方程， 2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求与直线 2C 平行且与曲线 1C 相切的直线l 的直角坐标方程．
【答案】（1） 21 2y x ， 3 3 0, 0x y x ；（2） 3 25
3 24y x .
【解析】
（1）将 sin ,
cos2 ,
x
y
转化为 2
sin ,
1 2sin ,
x
y
消去 求解；
（2）设切线方程为 3
3y x b= - + ，联立
2
3
3
1 2
y x b
y x
，由 0 求解.
【详解】
（1）因为曲线 1C 的参数方程为 sin ,
cos2 ,
x
y
（ 为参数），
所以 2
sin ,
1 2sin ,
x
y
消去 得 21 2y x .
因为直线 2C 的极坐标方程为 π
6
，
所以 π sin 3tan tan 6 cos 3
，
即 3
3
y
x
，所以 3 3 0, 0x y x .
（2）设切线方程为 3
3y x b= - + ，由
2
3
3
1 2
y x b
y x
，
得 2 32 1 03x x b ，
所以
2
3 8 1 03 b
，解得 25
24b ，
所以切线方程是 3 25
3 24y x ，
10．（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（理））在花语中，四叶草象征幸运.已知在极坐标系下，方程
2sin 2 对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”.
（1）当“四叶草”中的 π0, 2
时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；
（2）已知 A 为“四叶草”上的点，求点 A 到直线 π: sin 34l
距离的最小值以及此时点 A 的极坐标.
【答案】（1） π1,12
和 5π1,12
；（2）最小值为 1， π2, 4A
.
【解析】
（1）直接利用单位圆 1 与方程 2sin 2 联立即可求解；
（2）将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，观察发现点 π2, 4A
到直线l 的距离即为最小值
【详解】
（1）以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为： 1 ，
所以联立 1
2sin 2
， π0, 2
得 π
12
或 5π
12
，
所以所求交点的极坐标为 π1,12
和 5π1,12
.
（2）直线 π: sin 34l
的直角坐标方程为 3 2x y ，
“四叶草” 2sin 2 极径的最大值为 2，且可于点 π2, 4A
处取得，
连接 OA 且与直线 3 2x y 垂直且交于点 π3, 4M
，
所以点 A 与点 M 的距离的最小值为 1.
11．（2021·全国高三专题练习（文））在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 3 3cos
3sin
x
y
（ 为
参数），点 P 的坐标为 0m, ．
（1）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（2）若直线l ：
1
2
3
2
x m t
y t
（t 为参数）与曲线C 交于 A ， B 两点，若 2PA PB ，求 2 6m m 的取
值范围．
【答案】（1） 6cos ；（2） 9, 2 2,3 ．
【解析】
（1）先消去参数得到C 的直角坐标方程，再利用 cos , sinx y 代入即得 C 的极坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得到关于 t 的二次方程，再根据判别式大于零和
1 2 2PA PB t t ，即解得 2 6m m 的取值范围.
【详解】
解：（1）因为C 的参数方程为 3 3cos
3sin
x
y
（ 为参数），所以C 的直角坐标方程为 2 23 9x y ，
即 2 2 6x y x ，故C 的极坐标方程为 6cos ；
（2）将直线l ：
1
2
3
2
x m t
y t
（ t 为参数）代入 2 2 6x y x ，可得： 2 23 6 0t m t m m ，则
2 23 4 6 0m m m ，即 2 6 3m m ，
因为 2
1 2 6 2PA PB t t m m ，所以 29 6 2m m 或 22 6 3m m ，
故 2 6m m 的取值范围为 9, 2 2,3 ．
12．（2021·全国高三专题练习（文））在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2cos
sin
k
k
x t
y t
（t 为参数），
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 12 0 ．
（1）当 2k 时，求出 1C 的普通方程，并说明该曲线的图形形状．
（2）当 1k 时，P 是曲线 1C 上一点，Q 是曲线 2C 上一点，求 PQ 的最小值．
【答案】（1） 2 2,0 2x y x ，是以 (2,0)A ， (0,1)B 为端点的线段；（2） 7 13
13
.
【解析】
（1）利用 2 2sin cos 1t t 消去参数 t ，求出曲线 1C 的普通方程，即可得出结论；
（2）当 1k 时，曲线得 1C 普通方程，由 cos , sinx y ，将曲线 2C 化为直角坐标方程，利用点
到直线的距离公式可求解.
【详解】
（1）当 2k 时，消 t 得 2 2, 0, 0x y x y ，
是以 (2,0)A ， (0,1)B 为端点的线段．
（2）当 1k 时，曲线 1C 的普通方程为椭圆：
2
2 14
x y ；
由 cos , sinx y 得曲线 2C 的普通方程为直线： 2 3 12 0x y ；
由
2
2 14
2 3 12 0
x y
x y
得 2 72 12825 0yy ，
2 5184 128072 100 8 012 0 ，
可知直线与椭圆相离，则 PQ 的最小值为 P 到直线的距离最小值，
则 | 4cos 3sin 12 | |5sin( ) 12 | 12 5sin( )
13 13 13
t t t td ，当sin( ) 1t 时，有最小值 7 13
13
．
13．（2021·辽宁高三二模（文））（Ⅰ）求 2 1 2 3 4x + x 的解集 M ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设 a ，b ， c M ，证明： (2 )a b ， (2 )b c ， (2 )c a 不能都大于 1．
【答案】（Ⅰ）{ | 0 2}x x ；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）讨论 1
2x 、 1 3
2 2x 、 3
2x 分别求得解集，取并即为所求解集 M.
（Ⅱ）根据基本不等式有 0 (2 ) 1a a ， 0 (2 ) 1b b ， 0 (2 ) 1c c ，结合反证法即可证明结论.
【详解】
（Ⅰ）由题设， 1 3 22 2x + x ，
∴当 1
2x 时， 1 3 2 2 22 2x x x ，得 10 2x ；
当 1 3
2 2x 时， 1 3 1 22 2x x 恒成立；
当 3
2x 时， 1 3 2 2 22 2x x x ，得 3 22 x ；
∴综上，得 { | 0 2}M x x .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： a ，b ， (0,2)c ，
∴ 220 (2 ) ( ) 12
a aa a ， 220 (2 ) ( ) 12
b bb b ， 220 (2 ) ( ) 12
c cc c ，其中
等号成立的条件为 , , 1a b c .
∴ 0 (2 ) (2 ) (2 ) 1a b b c c a ，
假设 (2 )a b ， (2 )b c ， (2 )c a 都大于 1，即 (2 ) (2 ) (2 ) 1a b b c c a 显然与结论矛盾.
∴ (2 )a b ， (2 )b c ， (2 )c a 不能都大于 1，得证.
14．（2021·辽宁高三二模（理））已知 ( ) | 2 | | 1|f x x x
（Ⅰ）解不等式 f x x ；
（Ⅱ）设 ( )f x 的最大值为t ，如果正实数 m ， n 满足 2m n t ，求 2 1
m n
的最小值.
【答案】（Ⅰ）[ 3, 1] [3, ) ；（Ⅱ） 8
3 .
【解析】
（Ⅰ）利用零点分解法解不等式即可.
（Ⅱ）去绝对值，写出分段函数 ( )f x 的解析式，根据函数的单调性求出函数的最大值 3t ，从而可得
2 3m n ，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
解：（Ⅰ） ( ) | 2 | | 1|f x x x
①当 2x ≤ 时， ( ) 2 ( 1) 3f x x x x ， 3x ， 2x ， 3 2x
②当 2 1x 时， ( ) 2 ( 1) 2 1f x x x x x ， 2 1x ；
③当 1x 时， ( ) 2 ( 1) 3f x x x x ， Q 3x
综上知不等式 ( )f x x 的解集为[ 3, 1] [3, ) .
（Ⅱ）由已知，
3, 2
( ) 2 1, 2 1
3, 1
x
f x x x
x
，在 ( 2,1) 是增函数，
所以 max( ) 3f x ，
2 3 m n ， 0m ， 0n
则 2 1 1 2 1 ( 2 )3 m nm n m n
1 4 1 4 84 4 23 3 3
n m n m
m n m n
.
当且仅当 4n m
m n
，即 2 24m n ，
即 32 2m n ， 3
4n 时， 2 1
m n
取得最小值 8
3 .
15．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 ( ) | 3 3| | 2 |f x x x .
（1）求不等式 ( ) 10f x 的解集；
（2）若方程 ( ) 3 4f x a 有实数解，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） 15 5, ,4 4
；（2） 1, 2
.
【解析】
（1）分 2x ， 2 1x ， 1x 三种情况求解即可得答案.
（2）结合(1)的结论首先确定函数 ( )f x 的最小值，再解 min3 4a f x 即可得答案.
【详解】
（1）依题意，| 3 3| | 2 | 10x x .
当 2x 时， 3 3 2 10x x ，解得 15
4x ；
当 2 1x 时， 3 3 2 10x x ，解得 11
2x ，无解；
当 1x 时， 3 3 2 10x x ，则 5
4x ，故 5
4x ；
故不等式 ( ) 10f x 的解集为 15 5, ,4 4
.
（2）依题意， ( ) | 3 3| | 2 |f x x x
4 5, 2
2 1, 2 1
4 5, 1
x x
x x
x x
，
由一次函数的性质知， f x 在 , 1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
所以 min( ) 1 1f x f ，即 ( )f x 的值域为[1, ) ，
因为方程 ( ) 3 4f x a 有实数解，
所以 3 4 1a ，解得 1
2a ，
故实数 a 的取值范围为 1, 2
.
16．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数 ( ) | 1| | 2 4 |f x x x .
（1）求不等式 6f x 的解集；
（2）若存在 xR ，使不等式 2( ) 3| 2 | 2f x x t t 成立，求 t 的取值范围.
【答案】（1） 1,3 ；（2） 1,3 .
【解析】
（1）分 1, 1 2, 2x x x 三种情况去掉绝对值后解不等式 6f x 即可；
（2）令 ( ) ( ) 3 2 1 | 2|h x f x x x x ，求出其最大值，然后使其最大值大于等于 2 2t t ，解关于
t 的不等式即可得答案
【详解】
（1） | 1| | 2 4| 6x x ，
1
( 1) (2 4) 6
x
x x
或 1 2
( 1) (2 4) 6
x
x x
或 2
( 1) (2 4) 6
x
x x
解得 1
1
x
x
或 1 2
1
x
x
或 2
3
x
x
1x 或 1 2x 或 2 3x
1 3x
原不等式的解集为 1,3
（2）令 ( ) ( ) 3 2 1 | 2|h x f x x x x
则
3, 1
( ) 2 1, 1 2
3, 2
x
h x x x
x
max( ) 3h x ，
存在 xR ，使得 2( ) 3| 2 | 2f x x t t 成立，
23 2t t ， 1 3t
故满足条件的t 的取值范围为 1,3
17．（2021·全国高三专题练习（理））已知 2 2 0f x x m x m m 的最小值为 5
2
．
（1）求 m 的值；
（2）已知 0, 0a b ，且 2 2a b m ，求证：
3 3
1b a
a b
．
【答案】（1） 1m ；（2）证明见解析；
【解析】
（1）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出 ( )f x 的最小值，与已知最小值相等列式可求出；
（2）利用分析法结合基本不等式即可证明．
【详解】
解：（1）
3 , 2
( ) 2 2 3 , 2 2
3 , 2
x m x m
mf x x m x m x m m x
mx m x
， 0m
( )f x 在区间 ( ， ]2
m 上单调递减，在区间[ 2
m ， ) 上单调递增，
5( ) ( ) 32 2 2min
m mf x f m ，
1m ；
（2）由（1） 0a ， 0b ，且 2 2 1a b ，
要证
3 3
1b a
a b
，
只要证 4 4b a ab
，
即证 2 2 2 2 2( ) 2a b a b ab
，
即证 2 22 1 0a b ab ，
即证 (2 1)( 1) 0ab ab ，
即证 2 1ab ，
即证 2 22ab a b ，
显然 2 21 2a b ab
，当且仅当 2
2a b 时取等号．
3 3
1b a
a b
．
18．（2021·全国高三专题练习（文））数 1f x x x .
（1）求不等式 5f x 的解集;
（2）已知函数 f x 的最小值为t ，正实数 , ,a b c 满足 2 2 ,a b c t 证明: 1 1 2.a c b c
【答案】（1） [, 3 )2 , ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）解含绝对值的不等式，先要去掉绝对值号，将函数写为分段函数，然后再在各个区间求解，取并集.
（2）求出函数的最小值，即 1,t 得出 2 2a b c a c b c ，结合所要证明的不等式，联想到
基本不等式进行求解.
【详解】
(1)解:由题可得
1 2 , 0
1 1,0 1
2 1, 1
x x
f x x x x
x x
，
所以 5,f x
即 0
1 2 5
x
x
或 1 1
1 5
x
或 1
2 1 5
x
x
解得 2x ≤ 或 3,x
所以不等式 5f x 的解集为 [, 3 )2 , .
2 证明: 1 1 1f x x x x x ，
则 1,t
则 2 2a b c a c b c ，
故 1 1 1 1 1 1 2 22 2
b c a ca c b ca c b c a c b c a c b c
当且仅当 1a c b c 时取等号.
【点睛】
（1）解双绝对值不等式的办法通常利用分段函数，在不同区间上求解，最后取并集.
（2）利用 a b a b a b 求出最小值，即 1,t 特别要结合所证明的不等式的特点来进行变形，以
应用基本不等式解决问题，抓住特点是核心.
19．（2021·四川高三一模（文））已知函数 2 1 6f x x a x
（1）当 0a 时，解不等式 12f x
（2）记集合 2 0M x f x b ，若存在 a R 使 M ，求实数 b 的取值范围.
【答案】（1） 5{ | 2x x 或 19}2x ；（2） 5 ,2
.
【解析】
（1）根据绝对值的定义分类讨论解不等式；
（2）由绝对值三角不等式 ( )f x 的最小值，得 ( )f x 值域，2b 属于这个值域，从而得 2
min
2 5b a ，解之
可得结论．
【详解】
解:（1）当 0a 时有 1 6 12x x ;
当 1x 时，1 6 12,x x 则 5
2x ，
故 5
2x ；
当1 6x≤ ≤ 时， 1 6 12x x .
则5 12 .无解﹔
当 6x 时， 1 6 12,x x 则 19
2x .
故 19
2x ．
故不等式 12f x 的解集为 5{ | 2x x 或 19}2x
（2） 2 2 2| |1 6 1 6 5xf x x a x a x a
当且仅当 2 1 6 0x a x 时取等号.
则可知 2
min 5f x a .
即 f x 的值域为 2 5,a ，
因为存在 a R 使 M .
故 2
min
2 5 5b a .
则故实数b 的取值范围为 5 ,2
.
20．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数 ( ) 3 5 3 3f x x x ．
（1）求不等式 ( ) 40f x 的解集；
（2）若不等式 2( ) 2logf x m m 对任意 xR 恒成立，求 m 的取值范围．
【答案】（1） 19 ,73
；（2） 0,4 ．
【解析】
（1）利用零点分段法，解不等式组即可得到结果.
（2）由绝对值三角不等式可得 3 5 3 3 8x x ，从而得到 22log 8m m ，然后解不等式可得 m 的范
围．
【详解】
（1） ( ) 3 5 3 3 40f x x x ，
∴
5
3
6 2 40
x
x
或
51 3
8 40
x
或 1
6 2 40
x
x
，
解得： 19 73 x ，
不等式 ( ) 40f x 的解集为 19 ,73
；
（2）因为 ( ) 3 5 3 3 3 5 3 3 8f x x x x x ，当 51 3x 时可取到等号，所以
22log 8m m ，令 22logg m m m ，
则 g m 为 0, 上的增函数，且 4 8g ，
所以 0 4m ，
故 m 的取值范围为 0,4 ．
21．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数 f(x)=|x-2|+|x+1|.
（1）解不等式 f(x)>x+2；
（2）记 f(x)的最小值为 m，正实数 a，b，c 满足 a+b+c=m，证明：
3 3 3 2 2 2
.3 3
a b c a b c
【答案】（1） ,1 3, ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用“零点分段法”，分为 2x
， 1 2x ， 1x 三种情形，解不等式即可；
（2）根据绝对值三角不等式求出 m 的值，可得 3 3 3
3 3 3 ( )
3
a b c a b c
a b c
，由柯西不等式可得
结果.
【详解】
（1）当 2x
时， 2 1 2 1 2f x x x x x ，解得 3x ，所以 3x ；
当 1 2x 时， 2 1 3 2,f x x x x 解得 1,x 所以 1 1;x
当 1x 时， 2 1 1 2 2,f x x x x x 解得 1 ,3x 所以 1.x
综上， 1x 或 3,x 故不等式的解集是 ,1 3, .
（2）因为 2 1 2 1 3,x x x x
当且仅当 2 1 0x x 时等号成立，
所以 3.m
2 2 2 2 2 23 3 3 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3
3 3 3 ( )
3 3
a b c a b c
a b c a b c
a b c
23 1 3 1 3 1
2 2 2 2 2 2 22 2 2
3 3
a a b b c c a b c
当且仅当
3 3 3
2 2 2
1 1 1
2 2 2
,a b c
a b c
即 a b c 时等号成立，
所以
3 3 3 2 2 2
3 3
a b c a b c
.
22．（2021·安徽安庆市·高三一模（文））已知函数 ( ) | 2 | | 1|f x x a x .
（1）当 2a 时，求不等式 1f x 的解集；
（2）若 0a ，不等式 2 0f x 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） 0,4 ；（2） 0,2 .
【解析】
（1）当 2a 时，求得函数 f x 的解析式，分类讨论，即可求解；
（2）当 0a ，化简函数 f x 的解析式，利用一次函数的性质，求得 min 12
af ，结合题意列出不等
式，即可求解.
【详解】
（1）当 2a 时，函数
3, 1
2 2 1 1 3 , 1 1
3, 1
x x
f x x x x x
x x
，
当 1x 时，由 1f x ，可得 3 1x ，解得1 4x ；
当 1 1x 时，由 1f x ，可得1 3 1x ，解得 0 1x ；
当 1x 时，由 1f x ，可得3 1x ，此时解集为空集，
综上所述：不等式 1f x 的解集为 0,4 .
（2）若 0a ，函数
1, 2
1 3 , 1 2
1 , 1
ax a x
af x a x x
a x x
由一次函数性质可知 f x 在 , 2
a
为减函数，在 +2
a
， 为增函数，
所以 min 12 2
a af f
，
因为不等式 2 0f x 恒成立，即 min 2f ，即 1 22
a ，解得 2a
又因为 0a ，所以 0,2a ，即实数 a 的取值范围 0,2 .
23．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数 ( ) 2 | | | 2 |f x x x ．
（1）求不等式 ( ) 4f x 的解集；
（2）记 ( )f x 的最小值为 M，a，b，c 为正实数且 3a b c M ，求证：
2 2 2
6b c a
a b c
．
【答案】（1） 2| 23x x
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）对 x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；
（2）根据函数的单调性求出 ( )f x 的最小值 2M ，则 6a b c ，由基本不等式可得
2
2b a ba
，
2
2c b cb
，
2
2a c ac
，相加后化简即可.
【详解】
（1）依题意得
3 2, 2
( ) 2, 0 2
2 3 , 0
x x
f x x x
x x
，
2
3 2 4
x xx
,
0 2 0 22 4
x xx
,
0 2 02 3 4 3
x xx
,
综上可得 ( ) 4f x 的解集是 2| 23x x
；
（2）由
3 2, 2
( ) 2, 0 2
2 3 , 0
x x
f x x x
x x
可知
( )f x 在 ,0 上递减，在 0, 上递增，
( )f x 的最小值为 (0) 2f ，即 2M .
所以 6a b c ，
由
2
2b a ba
，
2
2c b cb
，
2
2a c ac
，
相加可得
2 2 2
2b c a a b c a b ca b c
，
即
2 2 2
6 12b c a
a b c
，
2 2 2
6b c a
a b c
当且仅当 2a b c 时取等号．
24．（2021·平凉市庄浪县第一中学高三其他模拟（理））已知 0a ， 0b ， 3 3 2a b ，证明：
(1) 5 5 4a b a b ；
(2) 2a b .
【答案】(1) 见解析(2) 见解析
【解析】
（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由 a3+b3＝2 转化为
3 2
3
a b
a b
ab，再由均值不等式可得：
3 2
3
a b
a b
ab≤ 2( )2
a b ，即可得到 1
4
（a+b）3≤2，问题得以证明．
【详解】
证明：（1）由柯西不等式得： 5 5 3 3 2 4a b a b a b （ ）（ ）（ ）＝ ，当且仅当 ab5＝ba5，即 a＝b＝1 时取等
号；
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，
∴
3 2
3
a b
a b
ab，
由均值不等式可得：
3 2
3
a b
a b
ab≤ 2( )2
a b
∴（a+b）3﹣2 33
4
a b ，
∴ 1
4
（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当 a＝b＝1 时等号成立．
25．（2021·河南高三一模（理））已知 , ,a b c 为正数,且 2a b c ,证明:
(1) 4
3ab bc ac ；
(2) 2 2 2 8a b c
b c a
.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）将 a+b+c＝2 平方，然后将基本不等式 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc a c ac 三式相加，进行证
明；（2）由 2 2 ,a b c bc
b b b
2 2 2 2,b a c ac c b a ba
c c c a a a
，三式相乘进行证明.
【详解】
(1)将 a+b+c＝2 平方得: 2 2 2 2 2 2 4a b c ab ab ac ，
由基本不等式知: 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc a c ac ，
三式相加得: 2 2 2a b c ab bc ac ，
则 2 2 24 2 2 2 3 3 3a b c ab bc ac ab bc ac
所以 4
3ab bc ac ，当且仅当 a＝b＝c＝ 2
3
时等号成立
(2)由 2 2a b c bc
b b b
，同理 2 2 2 2,b a c ac c b a ba
c c c a a a
则 2 2 2 2 2 2 8a b c bc ac ba
b c a b c a
，
即 2 2 2 8a b c
b c a
当且仅当 2
3a b c 时等号成立
26．（2018·全国高考真题（理））
设函数 2 1 1f x x x ．
（1）画出 y f x 的图像；
（2）当 0x ∈ ， ， f x ax b ，求 a b的最小值．
【答案】（1）见解析
（2）5
【解析】
（1）
13 , ,2
12, 1,2
3 , 1.
x x
f x x x
x x
y f x 的图像如图所示．
（2）由（1）知， y f x 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当
且仅当 3a 且 2b 时， f x ax b 在 0, 成立，因此 a b 的最小值为5．
27．（2019·全国高考真题（理））设 , ,x y z R ，且 1x y z .
（1）求 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)x y z 的最小值；
（2）若 2 2 2 1( 2) ( 1) ( ) 3x y z a 成立，证明： 3a ≤ 或 1a .
【答案】(1) 4
3
；(2)见详解.
【解析】
(1) 2 2 2 2 2 2 2 2[( 1) ( 1) ( 1) ](1 1 1 ) [( 1) ( 1) ( 1)] ( 1) 4x y z x y z x y z 故
2 2 2 4( 1) ( 1) ( 1) 3x y z 等号成立当且仅当 1 1 1x y z 而又因 1x y z ，解得
5
3
1
3
1
3
x
y
z
时等号成立
所以 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)x y z 的最小值为 4
3
.
(2)
因为 2 2 2 1( 2) ( 1) ( ) 3x y z a ，所以 2 2 2 2 2 2[( 2) ( 1) ( ) ](1 1 1 ) 1x y z a .
根据柯西不等式等号成立条件，当 2 1x y z a ，即
22 3
21 3
2
3
ax
ay
az a
时有
2 2 2 2 2 2 2 2[( 2) ( 1) ( ) ](1 1 1 ) ( 2 1 ) ( 2)x y z a x y z a a 成立.
所以 2( 2) 1a 成立，所以有 3a ≤ 或 1a .
28．（2019·全国高考真题（理））已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：
（1） 2 2 21 1 1 a b ca b c
；
（2） 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1） 1abc 1 1 1 1 1 1 abc bc ac aba b c a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2a b c a b b c c a ab bc ac
当且仅当 a b c 时取等号
2 2 2 1 1 12 2a b c a b c
，即： 2 2 2 1 1 1a b c a b c
≥
（2） 3 3 3 3a b b c c a a b b c c a ，当且仅当 a b c 时取等号
又 2a b ab ， 2b c bc ， 2a c ac （当且仅当 a b c 时等号同时成立）
3 3 3 23 2 2 2 24a b b c c a ab bc ac abc
又 1abc 3 3 3 24a b b c c a
29．（2019·全国高考真题（文））已知 ( ) | | | 2 | ( ).f x x a x x x a
（1）当 1a 时，求不等式 ( ) 0f x 的解集；
（2）若 ( ,1)x 时， ( ) 0f x ，求 a 的取值范围.
【答案】（1） ( ,1) ；（2）[1, )
【解析】
（1）当 1a 时，原不等式可化为| 1| | 2 | ( 1) 0x x x x ；
当 1x 时，原不等式可化为 (1 ) (2 )( 1) 0x x x x ，即 2( 1) 0x ，显然成立，
此时解集为 ( ,1) ；
当1 2x 时，原不等式可化为 ( 1) (2 )( 1) 0x x x x ，解得 1x ，此时解集为空集；
当 2x 时，原不等式可化为 ( 1) ( 2)( 1) 0x x x x ，即 2( 1 0)x ，显然不成立；此时解集为空集；
综上，原不等式的解集为 ( ,1) ；
（2）当 1a 时，因为 ( ,1)x ，所以由 ( ) 0f x 可得 ( ) (2 )( ) 0a x x x x a ，
即 ( )( 1) 0x a x ，显然恒成立；所以 1a 满足题意；
当 1a 时， 2( ), 1( ) 2( )(1 ),
x a a xf x x a x x a
，因为 1a x 时， ( ) 0f x 显然不能成立，所以 1a 不满
足题意；
综上， a 的取值范围是[1, ) .
30．（2018·全国高考真题（文））设函数 ( ) 5 2f x x a x .
（1）当 1a 时，求不等式 ( ) 0f x 的解集；
（2）若 ( ) 1f x 恒成立，求 a 的取值范围.
【答案】(1)[ 2,3] ；(2) , 6 2, .
【解析】
（1）当 1a 时，
2 4, 1,
2, 1 2,
2 6, 2.
x x
f x x
x x
可得 0f x 的解集为{ | 2 3}x x ．
（2） 1f x ≤ 等价于 2 4x a x ．
而 2 2x a x a ，且当 2x 时等号成立．故 1f x ≤ 等价于 2 4a ．
由 2 4a 可得 6a 或 2a ，所以 a 的取值范围是 , 6 2, ．
31．（2018·全国高考真题（文））已知 1 1f x x ax .
（1）当 1a 时，求不等式 1f x 的解集；
（2）若 0,1x 时不等式 f x x 成立，求 a 的取值范围.
【答案】（1） 1
2x x
；（2） 0,2
【解析】
（1）当 1a 时， 1 1f x x x ，即
2, 1,
2 , 1 1,
2, 1.
x
f x x x
x
故不等式 1f x 的解集为 1
2x x
．
（2）当 0,1x 时 1 1x ax x 成立等价于当 0,1x 时 1 1ax 成立．
若 0a ，则当 0,1x 时 1 1ax ；
若 0a ， 1 1ax 的解集为 20 x a
，所以 2 1a
，故 0 2a ．
综上， a 的取值范围为 0,2 ．
32．（2018·全国高考真题（文））
在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的方程为 2y k x .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 .
（1）求 2C 的直角坐标方程；
（2）若 1C 与 2C 有且仅有三个公共点，求 1C 的方程.
【答案】(1) 2 2( 1) 4x y .
(2) 4 23y x .
【解析】
（1）由 cosx ， siny 得 2C 的直角坐标方程为
2 21 4x y ．
（2）由（1）知 2C 是圆心为 1,0A ，半径为 2 的圆．
由题设知， 1C 是过点 0,2B 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 1l ，y 轴左边的射线为 2l ．由
于 B 在圆 2C 的外面，故 1C 与 2C 有且仅有三个公共点等价于 1l 与 2C 只有一个公共点且 2l 与 2C 有两个公共
点，或 2l 与 2C 只有一个公共点且 1l 与 2C 有两个公共点．
当 1l 与 2C 只有一个公共点时， A到 1l 所在直线的距离为 2 ，所以
2
2 2
1
k
k
，故 4
3k 或 0k ．
经检验，当 0k 时， 1l 与 2C 没有公共点；当 4
3k 时， 1l 与 2C 只有一个公共点， 2l 与 2C 有两个公共点．
当 2l 与 2C 只有一个公共点时， A到 2l 所在直线的距离为 2 ，所以
2
2 2
1
k
k
，故 0k 或 4
3k ．
经检验，当 0k 时， 1l 与 2C 没有公共点；当 4
3k 时， 2l 与 2C 没有公共点．
综上，所求 1C 的方程为 4 23y x ．
33．（2019·江苏省高考真题）在极坐标系中，已知两点 3, , 2,4 2A B
，直线 l 的方程为
sin 34
.
（1）求 A，B 两点间的距离；
（2）求点 B 到直线 l 的距离.
【答案】（1） 5 ；
（2）2.
【解析】
（1）设极点为 O.在△OAB 中，A（3，
4
），B（ 2 ，
2
），
由余弦定理，得 AB= 2 23 ( 2) 2 3 2 cos( ) 52 4
.
（2）因为直线 l 的方程为 sin( ) 34
，
则直线 l 过点 (3 2, )2
，倾斜角为 3
4
．
又 ( 2, )2B ，所以点 B 到直线 l 的距离为 3(3 2 2) sin( ) 24 2
.
34．（2019·全国高考真题（理））如图，在极坐标系Ox 中， (2,0)A ， ( 2, )4B ， ( 2, )4C ， (2, )D ，
弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是 (1,0) ， (1, )2
， (1, ) ，曲线 1M 是弧 AB ，曲线 2M 是弧 BC ，
曲线 3M 是弧 CD .
（1）分别写出 1M ， 2M ， 3M 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 1M ， 2M ， 3M 构成，若点 P 在 M 上，且| | 3OP ，求 P 的极坐标.
【答案】(1) 2cos ( [0, ])4
, 32sin ( [ , ])4 4
, 32cos ( [ , ])4
,
(2) ( 3, )6
, ( 3, )3
, 2( 3, )3
, 5( 3, )6
.
【解析】
(1)由题意得，这三个圆的直径都是 2，并且都过原点.
1 : 2cos ( [0, ])4M ，
2
3: 2cos( ) 2sin ( [ , ])2 4 4M , 3
3: 2cos( ) 2cos ( [ , ])4M .
(2)解方程 2cos 3( [0, ])4
得
6
，此时 P 的极坐标为 ( 3, )6
解方程 32sin 3( [ , ])4 4
得
3
或 2
3
，此时 P 的极坐标为 ( 3, )3
或 2( 3, )3
解方程 32cos 3( [ , ])4
得 5
6
，此时 P 的极坐标为 5( 3, )6
故 P 的极坐标为 ( 3, )6
, ( 3, )3
, 2( 3, )3
, 5( 3, )6
.
35．（2019·全国高考真题（文））在极坐标系中，O 为极点，点 0 0 0( , )( 0)M 在曲线 : 4sinC 上，
直线 l 过点 (4,0)A 且与 OM 垂直，垂足为 P.
（1）当 0 = 3
时，求 0 及 l 的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.
【答案】（1） 0 2 3 ，l 的极坐标方程为 sin( ) 26
；（2） 4cos ( )4 2
【解析】
（1）因为点 0 0 0( , )( 0)M 在曲线 : 4sinC 上，
所以 0 04sin 4sin 2 33
；
即 (2 3, )3M ，所以 tan 33OMk ，
因为直线 l 过点 (4,0)A 且与 OM 垂直，
所以直线l 的直角坐标方程为 3 ( 4)3y x ，即 3 4 0x y ；
因此，其极坐标方程为 cos 3 sin 4 ，即 l 的极坐标方程为 sin( ) 26
；
（2）设 ( , )P x y ，则 OP
yk x
，
4AP
yk x
，
由题意，OP AP ，所以 1OP APk k ，故
2
2 14
y
x x
，整理得 2 2 4 0x y x ，
因为 P 在线段 OM 上，M 在 C 上运动，所以 0 2,0 2x y ，
所以，P 点轨迹的极坐标方程为 2 4 cos 0 ，即 4cos ( )4 2
.
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