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带电粒子在组合场、复合场中的运动【原卷】
1．如图所示，在 xOy 平面内，匀强电场的方向沿 x 轴正方向，匀强磁场的方向
垂直于 xOy 平面向里。一电子在 xOy 平面内恰好做直线运动，则该电子的运
动方向为（ ）
A．沿 x 轴正方向
B．沿 x 轴负方向
C．沿 y 轴正方向
D．沿 y 轴负方向
2． CT 扫描是计算机 X 射线断层扫描技术的简称，CT 扫描机可用于对多种病
情的探测。图（a）是某种 CT 机主要部分的剖面图，其中 X 射线产生部分的
示意图如图（b）所示。图（b）中 M、N 之间有一电子束的加速电场，虚线
框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方
向前进，打到靶上，产生 X 射线（如图中带箭头的虚线所示）；将电子束打到
靶上的点记为 P 点。则（ ）
2
A．M 处的电势高于 N 处的电势
B．增大 M、N 之间的加速电压可使 P 点左移
C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使 P 点左移
3．如图所示，光滑绝缘水平面内有足够大的直角坐标系 xOy，第二象限内有水
平向左、垂直于 y 轴的电场强度 E＝2.5×10－2 N/C 的匀强电场，第一象限（包
含 y 轴）内有竖直向下的匀强磁场 B1，第四象限有竖直向下的匀强磁场 B2（图
中未画出）。在整个 x 轴上有粒子吸收膜，若粒子速度垂直于膜，可以穿过该
膜，且电荷量不变，速度大小不变；若粒子速度不垂直于膜，将被膜吸收。
不计膜的厚度。一质量为 m＝5.0×10－9 kg，电荷量为 q＝2.0×10－4 C 的带负电
的粒子，从 A 点（－20，0）以初速度 v0＝2.0×102 m/s 沿 y 轴正方向开始运动，
通过 y 轴上 B 点（图中未画出），之后将反复通过膜，而没有被膜吸收。不计
粒子重力。求：
(1)B 点距坐标原点 O 的距离 yB；
(2)匀强磁场 B1 大小；
(3)匀强磁场 B2 的取值范围。
3
4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直角三角形区域 ABC 内存在垂直纸面向里
的匀强磁场 B1，线段 CO=OB=L，θ=30°；第三象限内存在垂直纸面的匀强磁
场 B2（图中未画出），过 C 点放置着一面与 y 轴平行的足够大荧光屏 CD；第
四象限正方形区域 OBFE 内存在沿 x 轴正方向的匀强电场。一电子以速度 v0
从 x 轴上 P 点沿 y 轴正方向射入磁场，恰以 O 点为圆心做圆周运动且刚好不
从 AC 边射出磁场；此后电子经第四象限进入第三象限，经过 y 轴时速度方向
与 y 轴负方向成 60°角，最后到达荧光屏时速度方向恰好与荧光屏平行。已知
电子的质量为 m、电荷量为 e，不计电子的重力，求：
(1)P 点距 O 点的距离 d；
(2)电子在电场中的运动时间 t；
(3)第三象限内的磁感应强度 B2 的大小。
5．如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰三角形 ABC 区域内左半部分有方
4
向垂直纸面向外磁感应强度大小 B1=1T 的匀强磁场，右半部分有方向垂直 x
轴向下的匀强电场，边界上有磁场或电场。在 x 轴 OA 段上的 P 点（图中未
画出）有一粒子源（大小可忽略） ，能垂直 x 轴在纸面内以速度 v0（未知）
向磁场射人质量 m=2.4×10-7 kg。电荷量 q=1×10-5 C 的带正电粒子。粒子源
射出的粒子恰好不从磁场的 AC 边界射出且垂直于 y 轴射人电场，也恰好不从
电场的 BC 边界射出。已知 A、B、C 三点的坐标分别为（-3 m，0）、（3 m，
0）和（0，4 m） ，不计粒子受到的重力。求：
(1)P 点的坐标和粒子射入磁场的速度大小 U0；
(2)匀强电场的电场强度大小 E；
(3)粒子在磁场和电场中运动的总时间 t 总。
6．如图 1 所示，水平直线 MN 上方有竖直向下的匀强电场，场强 33 10 N / CE ，
MN 下方有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度 B 随时间 t 周期性变化的规律
如图 2 所示，规定垂直纸面向外为磁场正方向，在 0t 时，将一带正电的粒子
从电场中的 O 点处由静止释放，在 51 10 st 时通过 MN 上的 P 点进入磁场，
经过一段时间后，粒子最终打在足够大的挡板上。已知挡板位于 P 点左侧且
垂直于 MN，挡板与 P 点间的距离为 100cm；粒子的比荷 610 C / kgq
m
，不计
5
粒子的重力；计算中取 3 。
(1)求粒子从 P 点进入磁场时速度的大小；
(2)在 51 10 st 至 52 10 s 时间内，求粒子运动的轨道半径和周期；
(3)求粒子从 O 点出发运动到挡板所需的时间。
7．如图所示，光滑平台处于水平向右的匀强电场中（图中区域 I），其场强 1 2
mgE q
，
区域 II 存在场强未知的竖直向上的匀强电场 2E ，区域 III 存在场强未知的竖
直向上的匀强电场 3E 和垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为 m、带电量为 q 的
小球从 A 点无初速度释放，AO 距离为 L， 1OO 的距离也为 L。小球恰经过 1O 点
上方
2
L 处的 P 点再进入区域 III 做匀速圆周运动后又能无碰撞地滑上平台并刚
好回到 A 点。重力加速度为 g，求：
（1）区域 III 内电场的电场强度 3E ；
（2）区域 III 内匀强磁场的磁感应强度 B；
（3）小球从 A 点开始至回到 A 点的运动时间 t。
6
8．人类研究磁场的目的之一是为了通过磁场控制带电粒子的运动，某控制带电
粒子运动的仪器原理如图所示，区域 PP′M′M 内有竖直向下的匀强电场，电
场场强为 E=1×103V/m，宽度为 d=0.05m，长度为 L=0.40m；区域 MM′N′N
内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B=2.5×10-2T，长度也为 L=0.40m，
磁场宽度足够。比荷为 81 10 C/kgq
m
的带正电的粒子以水平初速度从 P 点射入
电场。边界 MM′不影响粒子的运动，不计粒子重力。
(1)若带电粒子以水平初速度v0=8×105m/s从P点射入电场后，求粒子从PP′M′M
区域射出的位置；
(2)当带电粒子射入电场的水平初速度为多大时，粒子只进入磁场一次就恰好垂
直 P′N′边界射出。
7
9．如图所示，平行金属板 MN 水平放置，板间距为 d，板长为 2d ，板间接有恒
定电压，两板间电场可看做匀强电场，且两板外无电场。紧邻金属板右侧有
垂直纸面向里的匀强磁场，边界线为 CD．线状离子源均匀发射出大量比荷为
k 的粒子，粒子以相同的速度由板的左侧进入板间，粒子速度方向与板平行，
若有 50%的粒子能从板间射出，不计粒子间的相互作用及粒子重力。
(1)求两极板所加电压 U 的大小；
(2)射出的粒子经磁场偏转后能全部回到板间，求磁感应强度 B 的最小值。
10．如图所示，直角坐标系 xOy 中，矩形 MNOA区域分布有沿 x 轴正方向的匀强电
场，场强大小为 E ，三角形 AOC 区域分布有垂直纸面向外的匀强磁场，N 、A
分别为 x 、y 轴上的两点，ON 、AC 长均为 L ， 30AOC 。在边界 NM 上0 3y L
范围内均匀分布着大量相同的带正电粒子，质量为 m ，电荷量为q，它们持续
不断地飘入电场并从静止开始加速运动，然后进入磁场。已知从 y 轴上 P 点（图
中未画出）进入磁场的粒子刚好垂直OC 边界离开磁场，且 3
4OP L ，不计带
电粒子的重力，不考虑带电粒子之间的相互作用，试求：
(1)磁场的磁感应强度大小 B ；
(2)带电粒子在电场和磁场中运动的最长时间 mt ；
8
(3) x 轴上有带电粒子打到的区域范围。
11．如图所示，直线 OA 与 x 轴正方向夹角为 37°，OA 上方与 y 轴之间有垂直
xoy 平面向外的匀强磁场 B2；OA 下方与直线 x=d 左侧之间有沿 y 轴负方向的
匀强电场，电场强度 44 10 V/m3E ，另有一半径 R=1m 的圆形匀强磁场区域，
磁感应强度 B1=0.2T，方向与 B2 相同，该圆与直线 x＝d 和 x 轴均相切，且与
x 轴相切于 S 点。一带负电的粒子从 S 点沿 y 轴的正方向以速度 v0 进入圆形
磁场区域，经过一段时间进入磁场区域 B2，且第一次进入磁场 B2 时的速度方
向与直线 OA 垂直。粒子速度大小 v0＝1.0×105m/s，粒子的比荷为
5= 5.0 10 C/kgq
m
，粒子重力不计。求：（计算结果均保留三位有效数字）
(1)粒子在圆形匀强磁场 B1 中运动的时间 t1；
(2)坐标 d 的值；
(3)要使粒子打不到 y 轴上，磁感应强度 B2 应满足的条件。
9
12．如图所示，光滑四分之一圆弧轨道位于竖直平面内，半径 R=0.8 m，与长 l=2.0
m 的绝缘水平面 CD 平滑连接。水平面右侧空间存在互相垂直的匀强电场和
匀强磁场，电场强度 E=20 N/C，方向竖直向上，磁场的磁感应强度 B=1.0 T，
方向垂直纸面向外。将质量为 m=2. 0
×
10-6 kg、带电量 q=1.0
×
10-6 C 的带正电
小球 a 从圆弧轨道顶端由静止释放，最后落在地面上的 P 点。已知小球 a 在
水平面 CD 上运动时所受的摩擦阻力 f = 0.1mg， 3PN ND 。取 g=10 m/s2 ，
求(结果可带根号):
(1)小球 a 运动到 D 点时速度的大小；
(2)水平面 CD 离地面的高度 h；
(3)从小球 a 开始释放到落地前瞬间的整个运过程中系统损失的机械能 E 。
13．如图所示.ABC 是固定在竖直平面内的绝缘圆弧轨道，圆弧半径为 R，A 点
与圆心 O 等高，B、C 点处于竖直直径的两端，PA 是一段绝缘的竖直圆管，
两者在 A 点平滑连接，整个装置处于方向水平向右的匀强电场中，一质量为
10
m、电荷量为+q 的小球从管内与 C 点等高处 P 由静止释放，一段时间后小球
离开圆管进人圆弧轨道运动。已知匀强电场的电场强度 3
4
mgE q
(g 为重力加速
度)，小球运动过程中的电荷量保持不变，忽略圆管和轨道的摩擦眼力，求(计
算结果可带根号):
(1)小球从释放到 A 经历的时间；
(2)小球到达 B 点时速度的大小；
(3)小球到达 B 点时对圆弧轨道的压力大小。
14．如图所示，在水平面上，平放一半径为 R 的光滑半圆管道，管道处在方向竖
直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中，另有一个质量为 m、带电量为＋q 的小
球。
(1)当小球从管口沿切线方向以速度 v0 射入时，求小球对管道侧壁的作用力大
小；
(2)现把管道固定在竖直面内，且两管口等高，磁场仍保持和管道平面垂直，如
图所示，空间再加一个水平向右、场强 E＝ mg
q 的匀强电场（未画出），若小球
仍以 v0 的初速度沿切线方向从左边管口射入，求小球在管道运动全程中获得的
最大速度。
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15．如图所示，绝缘直棒上的小球，其质量为 m、带电荷量是＋q，小球可在棒
上滑动。将此棒竖直放在互相垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，
电场强度是 E，磁感应强度是 B，小球与棒间的动摩擦因数为μ，已知 mg>μqE，
则小球由静止沿棒下滑过程中（小球所带电荷量不变）；
(1)最大加速度是多少？
(2)最大速度是多少？
16．如图所示，光滑四分之一圆弧轨道位于竖直平面内，半径 0.8mR ，与长 2.0ml
的绝缘水平面CD 平滑连接。水平面右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强
磁场，电场强度方向竖直向上，磁场的方向垂直纸面向外。将质量为
62.0 10 kgm ，带电量 61.0 10 Cq 的带正电小球 a 从圆弧轨道顶端由静止释放，
在磁场中恰好做匀速圆周运动，直接打在地面上的 P 点。已知小球 a 在水平面
CD 上运动时所受的摩擦阻力 0.1f mg ， 3PN ND ， 2 3mND ，取 210m/sg ，
求：
(1)小球 a 运动到 D 点时速度的大小；
12
(2)电场强度大小；
(3)磁感应强度大小。
17．如图甲所示，直角坐标系 xOy 位于竖直平面内且 x 轴沿水平方向，其第二象
限内有一对平行金属板 A、B，两板相距为 d，两板之间有方向平行于板面并
垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 1B ，第一象限某一矩形区域
内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 2B ，第四象限存在一未
知电场。第三象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 3B ，在
竖直方向存在交变电场，将一个倾角为 的滑绝缘斜面放置在此空间中。已知
大量带电量均为 q 的带电粒子从平行金属板左侧沿 x 轴正方向以相同的速度
0v 飞入平行金属板 A、B 之间，稳定后，某一质量为 m 的带电离子能沿平行
金属板中心线射出，经过第一象限的磁场偏转后进入第四象限未知电场做匀
减速直线运动，恰好沿斜面进入第三象限，此时粒子速度为 0，且此后一直在
第三象限内运动，取带电粒子刚进入斜面时为 0t 时刻，电场变化如图乙所示，
电场方向竖直向上为正，场强大小为 0E ，已知 3B 的大小数值上等于 2 m
q
，且
题中 d、 1B 、 2B 、q、m、 0v 、 0E 为已知量，不计带电粒子的重力及粒子间的
相互作用，则
13
（1）求稳定后两金属板之间的电势差 ABU ；
（2）求带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径 2r ；
（3）求第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角 的函数关系式；
（4）若带电粒子在第19s内恰好没有离开斜面，19s后电场变为垂直斜面向上的
匀强电场，电场大小变为 0
3 cosθ4 E ，并在斜面末端安装一垂直斜面的荧光屏CE 。
已知小球在电场变化后的 1 s4
内打在荧光屏上，且与 C 点的距离为 0
2
cos
32
qE
m
，求
19s末带电粒子与斜面底端 C 点的距离 L（计算结果用角度关系表示）。
18．利用磁场可以控制带电微粒的运动。如图甲所示，直角坐标系 xOy 平面内，
一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电微粒，以初速度 v0 在 t=0 时沿+x 方向从
坐标原点 O 射入，为平衡带电微粒的重力，空间加上了匀强电场，同时施加
垂直纸面向里的磁场，磁感应强度随时间周期性变化的规律如图乙所示。经
时间
0
4
3
a
v 微粒运动到 3 3( , )2 2
a a 处。重力加速度为 g。求：
14
(1)电场强度；
(2)磁感应强度大小；
(3)带电微粒能否再次回到 O 点？若能，求出相邻两次通过 O 点过程中微粒通
过的路程；若不能，求带电微粒总体朝哪个方向运动，并求出朝这个方向运动
的平均速度。
19．如图甲所示，竖直面 MN 的左侧空间中存在竖直方向的匀强电场（上、下及
左侧无边界）．一个质量为 m、电荷量为 q、可视为质点的带正电小球，以水
平初速度 0v 沿 PQ 向右做直线运动，Q 位于 MN 上，若小球刚经过 D 点时（t=0），
在电场所在空间叠加如图乙所示随时间做周期性变化、垂直纸面向里的匀强
磁场，使得小球再次通过 D 点时与 PQ 连线成 90°角，已知 D、Q 间的距离为
2L， 0t 小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响，重
力加速度为 g。求：
（1）电场强度 E 的大小和方向；
（2） 0t 与 1t 的比值；
（3）小球过 D 点后做周期性运动，则当小球运动的周期最大时，求出此时磁
感应强度 0B 的大小及运动的最大周期 mT 。
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20．如图甲所示，竖直平面内坐标系 xOy 的 y 轴左侧有一个加速电场，电压
U=100V，y 轴右侧存在变化的磁场，磁场方向与纸面垂直，规定向里为正方
向，其随时间变化如图乙所示。若将静止的电子加速后从 y=2 10-2m 处垂直 y
轴进入磁场。已知电子的比荷 111.8 10 C/kge
m
，不计重力，不考虑磁场变化引
起的电磁影响，计算时π取 3。
(1)求电子进入磁场时的速度；
(2)在坐标纸图丙上画出电子的运动轨迹，并求出电子运动轨迹的最高点和最低
点的纵坐标。
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21．空间存在两个垂直于Oxy 平面的匀强磁场，y 轴为两磁场的边界，磁感应强
度分别为 02B 、 03B 。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点 O 沿 x 轴正向射
入磁场，速度均为 v。甲第 1 次、第 2 次经过 y 轴的位置分别为 P、Q，其轨
迹如图所示。甲经过 Q 时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为 m，电
荷量为 q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q 到 O 的距离 d；
(2)甲两次经过 P 点的时间间隔 t ；
(3)乙的比荷 q
m
可能的最小值。
22．某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N 为竖直放置的两金属板，两板
17
间电压为 U，Q 板为记录板，分界面 P 将 N、Q 间区域分为宽度均为 d 的 I、
Ⅱ两部分，M、N、P、Q 所在平面相互平行，a、b 为 M、N 上两正对的小孔。
以 a、b 所在直线为 z 轴， 向右为正方向，取 z 轴与 Q 板的交点 O 为坐标原
点，以平行于 Q 板水平向里为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向，建立空
间直角坐标系 Oxyz。区域 I、Ⅱ内分别充满沿 x 轴正方向的匀强磁场和匀强
电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为 B 和 E。一质量为 m，电荷量
为+q 的粒子，从 a 孔飘入电场（初速度视为零），经 b 孔进入磁场，过 P 面
上的 c 点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板 Q 上。不计粒子重力。
(1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径 R 以及 c 点到 z 轴的距离 L；
(2)求粒子打到记录板上位置的 x 坐标；
(3)求粒子打到记录板上位置的 y 坐标（用 R、d 表示）；
(4)如图乙所示，在记录板上得到三个点 s1、s2、s3，若这三个点是质子 1
1H、氚
核 3
1H 、氦核 4
2 He 的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的
相互作用，不要求写出推导过程）。
23．如图，在 0≤x≤h， y 区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应
强度 B 的大小可调，方向不变。一质量为 m，电荷量为 q（q>0）的粒子以速
18
度 v0 从磁场区域左侧沿 x 轴进入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过 y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，
并求在这种情况下磁感应强度的最小值 Bm；
（2）如果磁感应强度大小为 m
2
B ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。
求粒子在该点的运动方向与 x 轴正方向的夹角及该点到 x 轴的距离。
24．通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板
上质子数与衰变产生总质子数 N 的比值），可研究中子（ 1
0 n ）的 衰变。中子
衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子 eν 。如图所示，
位于 P 点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀
地发射 N 个质子。在 P 点下方放置有长度 1.2mL 以 O 为中点的探测板，P 点
离探测板的垂直距离OP 为 a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感
应强度大小为 B 的匀强磁场。
已知电子质量 31 2
e 9.1 10 kg 0.51MeV / cm ，中子质量 2
n 939.57MeV / cm ，质子质
量 2
p 938.27MeV / cm （c 为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。
若质子的动量 21 1 8 14.8 10 kg m s 3 10 MeV s mp 。
（1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以 MeV 为能量
单位）；
19
（2）当 0.15ma ， 0.1TB 时，求计数率；
（3）若 a 取不同的值，可通过调节 B 的大小获得与（2）问中同样的计数率，
求 B 与 a 的关系并给出 B 的范围。
带电粒子在组合场、复合场中的运动
1．如图所示，在 xOy 平面内，匀强电场的方向沿 x 轴正方向，匀强磁场的方向
垂直于 xOy 平面向里。一电子在 xOy 平面内恰好做直线运动，则该电子的运
动方向为（ ）
A．沿 x 轴正方向
B．沿 x 轴负方向
C．沿 y 轴正方向
20
D．沿 y 轴负方向
【答案】C
【详解】
电子垂直于磁场的方向运动时一定受到洛伦兹力，若电子的速度变化，则洛伦
兹力一定变化，故电子一定是做匀速直线运动，电子受力平衡。电子受到的静
电力沿 x 轴负方向，故所受洛伦兹力一定沿 x 轴正方向，根据左手定则判断可
知，电子应沿 y 轴正方向运动，故 ABD 错误，C 正确。
故选 C。
2． CT 扫描是计算机 X 射线断层扫描技术的简称，CT 扫描机可用于对多种病
情的探测。图（a）是某种 CT 机主要部分的剖面图，其中 X 射线产生部分的
示意图如图（b）所示。图（b）中 M、N 之间有一电子束的加速电场，虚线
框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方
向前进，打到靶上，产生 X 射线（如图中带箭头的虚线所示）；将电子束打到
靶上的点记为 P 点。则（ ）
A．M 处的电势高于 N 处的电势
B．增大 M、N 之间的加速电压可使 P 点左移
C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
21
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使 P 点左移
【答案】D
【详解】
A．由于电子带负电，要在 MN 间加速则 MN 间电场方向由 N 指向 M，根据
沿着电场线方向电势逐渐降低可知 M 的电势低于 N 的电势，故 A 错误；
B．增大加速电压则根据
21
2eU mv
可知会增大到达偏转磁场的速度；又根据在偏转磁场中洛伦兹力提供向心力有
2vevB m R
可得
mvR eB
可知会增大在偏转磁场中的偏转半径，由于磁场宽度相同，故根据几何关系可
知会减小偏转的角度，故 P 点会右移，故 B 错误；
C．电子在偏转电场中做圆周运动，向下偏转，根据左手定则可知磁场方向垂
直纸面向里，故 C 错误；
D．由 B 选项的分析可知，当其它条件不变时，增大偏转磁场磁感应强度会减
小半径，从而增大偏转角度，使 P 点左移，故 D 正确。
故选 D。
3．如图所示，光滑绝缘水平面内有足够大的直角坐标系 xOy，第二象限内有水
平向左、垂直于 y 轴的电场强度 E＝2.5×10－2 N/C 的匀强电场，第一象限（包
22
含 y 轴）内有竖直向下的匀强磁场 B1，第四象限有竖直向下的匀强磁场 B2（图
中未画出）。在整个 x 轴上有粒子吸收膜，若粒子速度垂直于膜，可以穿过该
膜，且电荷量不变，速度大小不变；若粒子速度不垂直于膜，将被膜吸收。
不计膜的厚度。一质量为 m＝5.0×10－9 kg，电荷量为 q＝2.0×10－4 C 的带负电
的粒子，从 A 点（－20，0）以初速度 v0＝2.0×102 m/s 沿 y 轴正方向开始运动，
通过 y 轴上 B 点（图中未画出），之后将反复通过膜，而没有被膜吸收。不计
粒子重力。求：
(1)B 点距坐标原点 O 的距离 yB；
(2)匀强磁场 B1 大小；
(3)匀强磁场 B2 的取值范围。
【答案】(1)40 m；(2) 1.25×10－4 T；(3) B2′≥1.5×10－4 T。
【详解】
(1)设带电粒子在电场中的加速度为 a，运动时间为 t1，则
qE＝ma
|xA|＝ 1
2 at12
yB＝v0t1
解得
a＝1.0×103 m/s2
t1＝0.2 s
23
yB＝40 m
(2)设带电粒子在 B 点速度为 vB，沿 x 轴正方向分速度为 vx，vB 与 y 轴正方向
夹角为θ，则
vx＝at1
tanθ＝ 0
x
v
v
vB2＝v02＋vx2
解得
vx＝2.0×102 m/s
vB＝2 2 ×102 m/s
θ＝45°
粒子通过 B 点后在匀强磁场 B1 中做匀速圆周运动，且反复通过吸收膜，而没
有被膜吸收，则粒子速度垂直于膜即垂直于 x 轴。
设粒子做匀速圆周运动的圆心为 O1，轨道半径为 r1，则：
qvBB1＝m
2
1
Bv
r
r1cosθ＝yB
解得
r1＝40 2 m
B1＝1.25×10－4 T
24
(3)粒子第一次垂直于 x 轴即垂直于膜穿过膜后，将在第四象限做匀速圆周运动。
如果匀强磁场 B2 的方向竖直向下，粒子向 x 轴负方向偏转：
若粒子从负 y 轴上离开第四象限，速度方向与 y 轴正方向夹角，如果大于和等
于 90°，粒子不再回到 y 轴，如果小于 90°，粒子将运动到负 x 轴上，且不垂
直于 x 轴，被膜吸收。
若粒子从正 x 轴离开第四象限，粒子速度一定垂直于 x 轴，进入第一象限，然
后在第一象限做半个圆周运动后垂直于膜穿过膜进入第四象限，并且穿过点在
上次穿过点的右边，所以会反复通过膜，而没有被膜吸收。
这种情况，粒子在第四象限做圆周运动轨道半径最大为 r2m，匀强磁场 B2 大小
最小为 B2m，则
2r2m＝r1＋r1sinθ
qvBB2m＝m
2
2
B
m
v
r
设这种情况匀强磁场 B2 大小 B2′，则 B2′≥B2m
解得
B2m＝ 2
4(1 2) ×10－3 T≈1.5×10－4 T
即
B2′≥1.5×10－4 T
综上所述：当匀强磁场 B2 的方向竖直向下时磁感应强度大小 B2′≥1.5×10－4 T。
4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直角三角形区域 ABC 内存在垂直纸面向里
的匀强磁场 B1，线段 CO=OB=L，θ=30°；第三象限内存在垂直纸面的匀强磁
场 B2（图中未画出），过 C 点放置着一面与 y 轴平行的足够大荧光屏 CD；第
25
四象限正方形区域 OBFE 内存在沿 x 轴正方向的匀强电场。一电子以速度 v0
从 x 轴上 P 点沿 y 轴正方向射入磁场，恰以 O 点为圆心做圆周运动且刚好不
从 AC 边射出磁场；此后电子经第四象限进入第三象限，经过 y 轴时速度方向
与 y 轴负方向成 60°角，最后到达荧光屏时速度方向恰好与荧光屏平行。已知
电子的质量为 m、电荷量为 e，不计电子的重力，求：
(1)P 点距 O 点的距离 d；
(2)电子在电场中的运动时间 t；
(3)第三象限内的磁感应强度 B2 的大小。
【答案】(1) 2
L ；(2)
0
3
3
L
v ；(3) 0
2
3mvB eL
或 0
2
mvB eL
【详解】
(1)电子在区域 ABC 内以O点为圆心做匀速圆周运动，在G 点与 AC 相切，其运
动轨迹如图：
26
在 COG 中，根据几何知识有
d= sin30 2
LR L
(2)电子从 H 点进入电场做类平抛运动，设电子从OE 边离开且在电场中运动的
时间为t ，在 x 方向上有
0 tan 60xv v
根据运动学规律有
2 2
xvL t
解得
0
3
3
Lt v
(3)电子在第三象限运动时速度
0
02cos60
vv v
做匀速圆周运动有两种情况
①若磁场方向垂直于纸面向里，设其做匀速圆周运动的轨道半径为 1r ，圆心在
1O ，根
据几何知识有
1 1 sin30r r L
27
洛伦兹力提供向心力
2
2
1
vevB m r
解得
0
2
3mvB eL
②若磁场方向垂直于纸面向外，设其做匀速圆周运动的轨道半径为 2r ，圆心为
2O ，根据几何知识有
2 2sin30L r r
根据牛顿第二定律有
2
2
2
vevB m r
解得
0
2
mvB eL
5．如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰三角形 ABC 区域内左半部分有方
向垂直纸面向外磁感应强度大小 B1=1T 的匀强磁场，右半部分有方向垂直 x
轴向下的匀强电场，边界上有磁场或电场。在 x 轴 OA 段上的 P 点（图中未
画出）有一粒子源（大小可忽略） ，能垂直 x 轴在纸面内以速度 v0（未知）
向磁场射人质量 m=2.4×10-7 kg。电荷量 q=1×10-5 C 的带正电粒子。粒子源
射出的粒子恰好不从磁场的 AC 边界射出且垂直于 y 轴射人电场，也恰好不从
电场的 BC 边界射出。已知 A、B、C 三点的坐标分别为（-3 m，0）、（3 m，
0）和（0，4 m） ，不计粒子受到的重力。求：
(1)P 点的坐标和粒子射入磁场的速度大小 U0；
(2)匀强电场的电场强度大小 E；
(3)粒子在磁场和电场中运动的总时间 t 总。
28
【答案】(1) （-2.4 m，0）；100m/s；(2) 400
3E N/C ；(3) 3 3 6
250 s
【详解】
(1)粒子在磁场和电场中的运动轨迹如图所示
由几何关系可知
4tan tan 3
A B
粒子在磁场中运动的轨道半径
sin 2.4mr OA A
所以 P 点的坐标为（-2.4 m，0）
粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
2
0
0 1 mvqv B r
解得
29
0 100m/sv
(2)粒子在电场中运动时，其运动轨迹恰好与 BC 相切，由几何关系可知
0
tan atB v
2
0
1
2tan
OC r at
B v t
qEa m
5
21 10 m/s18a
解得
400
3E N/C
(3)粒子在磁场中运动 1
4
圆周，用时 1 4
Tt
2
0 1
2( )qv B m rT
解得
1
3 s250t
粒子在电场中沿电场方向做初速度为 0 的匀加速运动，则
2
2
1
2r at
解得
2
3 6 s250t
所以粒子在磁场和电场中运动的总时间
1 2
3 3 6 s250t t t
6．如图 1 所示，水平直线 MN 上方有竖直向下的匀强电场，场强 33 10 N / CE ，
30
MN 下方有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度 B 随时间 t 周期性变化的规律
如图 2 所示，规定垂直纸面向外为磁场正方向，在 0t 时，将一带正电的粒子
从电场中的 O 点处由静止释放，在 51 10 st 时通过 MN 上的 P 点进入磁场，
经过一段时间后，粒子最终打在足够大的挡板上。已知挡板位于 P 点左侧且
垂直于 MN，挡板与 P 点间的距离为 100cm；粒子的比荷 610 C / kgq
m
，不计
粒子的重力；计算中取 3 。
(1)求粒子从 P 点进入磁场时速度的大小；
(2)在 51 10 st 至 52 10 s 时间内，求粒子运动的轨道半径和周期；
(3)求粒子从 O 点出发运动到挡板所需的时间。
【答案】(1)3×104m/s；(2)20cm；4×10-5s；(3)1.3×10-4s。
【详解】
(1)电荷在电场中做匀加速直线运动，则
qE=ma
v0=at1
解得
6 3 5 41
0 10 3 10 1 10 m/s 3 10 m/sqEtv m
＝
(2)电荷在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
31
2vqvB m r
解得
mvr qB
在 t=1×10-5s 至 2×10-5s 时间内，B1=0.15T 时，半径
4
60
1
1
3 101 10 m 0.2m=20cm0.15
mvr qB
＝ ＝
周期
5 5
1 6
2 2 3 s 4 10 s 4 10 s10 0.15
mT qB
＝ ＝
(3)当 B2=0.30T 时，半径
4
0
2 6
2
3 10 m 0.1m10 0.30
mvr qB
＝ ＝
周期
5
2 6
2
2 2 3 s 2 10 s10 0.30
mT qB
＝ ＝
故电荷从 t=0 时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图所示。
从 t=0 到 t2=4×10-5s 时间内，电荷先沿直线 OP 运动 t1，再沿大圆轨迹运动 1
4
T ，
紧接着沿小圆轨电荷从 P 点开始的运动周期 T=6×10-5s，且在每一个 T 内向左
沿 PM 移动 s1=2r1=40cm，电荷到达挡板前经历了 2 个完整周期，沿 PM 运动
32
距离 s=2s1=80cm，最后 d-s=20cm 内电荷正好运动 1
4
T 垂直撞击挡板。
则电荷从 O 点出发运动到挡板所需的时间
t 总=t1+2T+ 1
4
T
解得
t 总=1.3×10-4s
7．如图所示，光滑平台处于水平向右的匀强电场中（图中区域 I），其场强 1 2
mgE q
，
区域 II 存在场强未知的竖直向上的匀强电场 2E ，区域 III 存在场强未知的竖
直向上的匀强电场 3E 和垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为 m、带电量为 q 的
小球从 A 点无初速度释放，AO 距离为 L， 1OO 的距离也为 L。小球恰经过 1O 点
上方
2
L 处的 P 点再进入区域 III 做匀速圆周运动后又能无碰撞地滑上平台并刚
好回到 A 点。重力加速度为 g，求：
（1）区域 III 内电场的电场强度 3E ；
（2）区域 III 内匀强磁场的磁感应强度 B；
（3）小球从 A 点开始至回到 A 点的运动时间 t。
【答案】（1） mg
q ；（2） 2m gLqL ；（3） 24 3π
4 gLg
【详解】
33
根据题意，做出小球的运动轨迹示意如图所示
（1）小球在区域 III 做匀速圆周运动，则：
3 0qE mg
解得：
3
mgE q
（2）小球在区域 I 内做匀加速运动，设到达 O 点时速度为 0v
由动能定理有：
2
1 0
1
2qE L mv
得出
0v gl
小球从 O 到 P 做类平抛运动，设经过时间 2t 到达 P 点，速度为 v，有：
0 2L v t
2qE mg ma
2
2
1
2 2
L at
得出
2
lt g
， 2
2mgE q
由动能定理得：
34
2 2
2 0
1 1
2 2 2
LqE mg mv mv
设小球从 1O N 边界进入区域 III 时速度与 1O N 的夹角为θ，有
0
sin vv
得出
2sin 2
， 2v gl
小球在区域 III 内做匀速圆周运动，有：
2vqvB m R
得出
22
sin 2
L
R L
得：
2mB gLqL
（3）根据题意：从 A 到 O，小球做匀加速运动，有：
0 1 1v a t
1 1qE ma
得出
1 2 lt g
小球在区域 III 内做匀速圆周运动有：
2πRT v
3
2π 2
2πt T
得出
35
3
3π
4
lt g
对小球运动全程，有：
1 2 32 2t t t t
得：
24 3π
4t gLg
8．人类研究磁场的目的之一是为了通过磁场控制带电粒子的运动，某控制带电
粒子运动的仪器原理如图所示，区域 PP′M′M 内有竖直向下的匀强电场，电
场场强为 E=1×103V/m，宽度为 d=0.05m，长度为 L=0.40m；区域 MM′N′N
内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B=2.5×10-2T，长度也为 L=0.40m，
磁场宽度足够。比荷为 81 10 C/kgq
m
的带正电的粒子以水平初速度从 P 点射入
电场。边界 MM′不影响粒子的运动，不计粒子重力。
(1)若带电粒子以水平初速度v0=8×105m/s从P点射入电场后，求粒子从PP′M′M
区域射出的位置；
(2)当带电粒子射入电场的水平初速度为多大时，粒子只进入磁场一次就恰好垂
直 P′N′边界射出。
36
【答案】(1) P′下方，0.0125m；(2) 53.6 10 m/s
【详解】
(1)假设粒子以水平速度从 P 点射入电场后，做类平抛运动从 M′M 边界飞出，
由牛顿第二定律可得
11 21 10 m/sqEa m
竖直方向由位移公式可得
21
2d at
联立解得 t=1×10-6s
水平方向做匀速运动
x=v0t=0.8m
x=0.8m＞L=0.4m 所以假设不成立，粒子从 P′M′边射出，假设粒子从 P′点下方
y 处射出
0L v t
2
1
1
2y at
联立可得
2
0
1
2
Ly a v
=0.0125 m
(2)同第一问原理可得：粒子在电场中做类平抛运动的水平位移
x=v0t
即在 t=1×10-6s 粒子进入磁场时，垂直边界的速度
vy=at
设粒子进入磁场时的速度与磁场边界之间的夹角为α，则粒子进入磁场时的速
度
37
sin sin
yv atv
在磁场中由牛顿第二定律可得
2vqvB m R
得
mvR qB
分情况讨论，第一种情况粒子第一次进入磁场后，垂直边界 M′N′从磁场射出，
如图 1 所示必须满足
1 sinx R L
联立解得
01
matv t LqB
得
5
01 3.6 10 m/sv
第二种情况，粒子第一次进入磁场后，垂直边界 P′M′从电场射出，如图 2 所
示，必须满足
22( sin )x R L
联立解得
38
022( )matv t LqB
得
5
02 1.6 10 m/sv
9．如图所示，平行金属板 MN 水平放置，板间距为 d，板长为 2d ，板间接有恒
定电压，两板间电场可看做匀强电场，且两板外无电场。紧邻金属板右侧有
垂直纸面向里的匀强磁场，边界线为 CD．线状离子源均匀发射出大量比荷为
k 的粒子，粒子以相同的速度由板的左侧进入板间，粒子速度方向与板平行，
若有 50%的粒子能从板间射出，不计粒子间的相互作用及粒子重力。
(1)求两极板所加电压 U 的大小；
(2)射出的粒子经磁场偏转后能全部回到板间，求磁感应强度 B 的最小值。
【答案】(1)
2
0
4
vU k
；(2) 0
min
4vB kd
【详解】
解：(1)粒子在板间做类平抛运动，有
02d v t
21
2 2
d at
qUa md
39
解得
2
0
4
vU k
(2)如图所示，设粒子以速度 v 进入磁场，速度偏转角为 ，
则
yv at
0
tan yv
v
0
cos
vv
由几何关系
2 cos 2
dR
2mvqvB R
由以上各式解得
0
min
4vB kd
10．如图所示，直角坐标系 xOy 中，矩形 MNOA区域分布有沿 x 轴正方向的匀强电
场，场强大小为 E ，三角形 AOC 区域分布有垂直纸面向外的匀强磁场，N 、A
分别为 x 、y 轴上的两点，ON 、AC 长均为 L ， 30AOC 。在边界 NM 上0 3y L
范围内均匀分布着大量相同的带正电粒子，质量为 m ，电荷量为q，它们持续
不断地飘入电场并从静止开始加速运动，然后进入磁场。已知从 y 轴上 P 点（图
中未画出）进入磁场的粒子刚好垂直OC 边界离开磁场，且 3
4OP L ，不计带
40
电粒子的重力，不考虑带电粒子之间的相互作用，试求：
(1)磁场的磁感应强度大小 B ；
(2)带电粒子在电场和磁场中运动的最长时间 mt ；
(3) x 轴上有带电粒子打到的区域范围。
【答案】(1) 4 6
3
Em
qL
；(2) 2 63 6
Lm Lm
Eq Eq
；(3) 30 2
Lx
【详解】
(1)由几何关系可知，OP 长为 3
4
L ， 经过 P 点的粒子速度垂直边界OC ，可知
轨迹圆心在O点，半径为
3
4
Lr
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力，有
2vqvB m r
电场中，根据牛顿第二定律，有
Eqa m
2v aL
41
联立,可解得
4 6
3
EmB qL
(2)从 M 点进入的带电粒子在电场和磁场中运动的时间最长
在电场中运动的时间
1
2 23 3L Lmt a Eq
粒子在磁场中做圆周运动的周期
2 6
4
r LmT v Eq
在磁场中运动的时间
2
2 6
3 6
Lmt T Eq
所以，带电粒子在电场和磁场中运动的最长时间为
1 2
2 63 6
Lm Lmt t t Eq Eq
(3)如图所示，设粒子从Q 点进入磁场的运动轨迹的圆心为 1O ，圆心角为 ，经
过边界OC 上的点 1S ，然后做匀速直线运动，交 x 轴于点 2S ，
由几何关系在 1 2OS S 中， 2 1OS S 根据正弦定理
2 1
1 2sin sin
OS OS
OS S
42
在 1 1O OS 中，根据正弦定理
1
sin30 sin sin
r OS
可得
2
1 2
3
sin sin30 2
OS r L
OS S
2 1 2
3 sin2
LOS OS S
由于
1 20 120OS S
所以
2
30 2
LOS
即 x 轴上有带电粒子通过的区域范围为
30 2
Lx
11．如图所示，直线 OA 与 x 轴正方向夹角为 37°，OA 上方与 y 轴之间有垂直
xoy 平面向外的匀强磁场 B2；OA 下方与直线 x=d 左侧之间有沿 y 轴负方向的
匀强电场，电场强度 44 10 V/m3E ，另有一半径 R=1m 的圆形匀强磁场区域，
磁感应强度 B1=0.2T，方向与 B2 相同，该圆与直线 x＝d 和 x 轴均相切，且与
x 轴相切于 S 点。一带负电的粒子从 S 点沿 y 轴的正方向以速度 v0 进入圆形
磁场区域，经过一段时间进入磁场区域 B2，且第一次进入磁场 B2 时的速度方
向与直线 OA 垂直。粒子速度大小 v0＝1.0×105m/s，粒子的比荷为
5= 5.0 10 C/kgq
m
，粒子重力不计。求：（计算结果均保留三位有效数字）
43
(1)粒子在圆形匀强磁场 B1 中运动的时间 t1；
(2)坐标 d 的值；
(3)要使粒子打不到 y 轴上，磁感应强度 B2 应满足的条件。
【答案】(1) -51.57 10 s ；(2)5.11m；(3)B2>0.193T
【详解】
（1）在磁场 B1 中，洛伦兹力提供向心力，则有
2
1
vqvB m r
1 1mr R
轨迹恰为四分之一圆，则有
2 rT v
-5
1
1 2 = =1.57 10 s4 4 2
T m mt qB qB
（2）在电场中做类平抛运动，则有竖直方向速度
50
y
4 10 m/stan37 3
vv
竖直方向做匀加速做直线运动，则有
y
qEv tm
又根据
0x v t
44
y0
2
vy t
联立解得坐标 d 的值
1tan37 46 m 5.11mtan37 9
x y rd
（3）进入磁场 B2 的速度为
50
1
5 10 m/ssin37 3
vv
当带电粒子与 y 轴相切时，圆周半径
2 1
2
35 mcos37 sin37 9
r y rr
联立解得
2
140 m81r
洛伦兹力提供向心力
2
1
2
vqvB m r
要使粒子打不到 y 轴上，所以
2 0.193TB
12．如图所示，光滑四分之一圆弧轨道位于竖直平面内，半径 R=0.8 m，与长 l=2.0
m 的绝缘水平面 CD 平滑连接。水平面右侧空间存在互相垂直的匀强电场和
匀强磁场，电场强度 E=20 N/C，方向竖直向上，磁场的磁感应强度 B=1.0 T，
方向垂直纸面向外。将质量为 m=2. 0
×
10-6 kg、带电量 q=1.0
×
10-6 C 的带正电
小球 a 从圆弧轨道顶端由静止释放，最后落在地面上的 P 点。已知小球 a 在
水平面 CD 上运动时所受的摩擦阻力 f = 0.1mg， 3PN ND 。取 g=10 m/s2 ，
求(结果可带根号):
(1)小球 a 运动到 D 点时速度的大小；
45
(2)水平面 CD 离地面的高度 h；
(3)从小球 a 开始释放到落地前瞬间的整个运过程中系统损失的机械能 E 。
【答案】(1) 2 3 m sDv ；(2) 2 3mh ；(3) 57.3 10 JE
【详解】
(1)设小球 a 运动到 D 点时的速度为 vD，从小球 a 释放至 D 点，由动能定理得
21 02 DmgR fl mv
解得
2 3 m sDv
(2)小球 a 进入复合场后，满足
Eq mg
小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，如图所示
根据牛顿第二定律得
2
D
D
vqBv m r
又因为 3PN ND ，由图可知 2r h ，联立解得
2 3mh
46
(3)系统损失的机械能为
2 51( ) 7.3 10 J2 DE mg R h mv
13．如图所示.ABC 是固定在竖直平面内的绝缘圆弧轨道，圆弧半径为 R，A 点
与圆心 O 等高，B、C 点处于竖直直径的两端，PA 是一段绝缘的竖直圆管，
两者在 A 点平滑连接，整个装置处于方向水平向右的匀强电场中，一质量为
m、电荷量为+q 的小球从管内与 C 点等高处 P 由静止释放，一段时间后小球
离开圆管进人圆弧轨道运动。已知匀强电场的电场强度 3
4
mgE q
(g 为重力加速
度)，小球运动过程中的电荷量保持不变，忽略圆管和轨道的摩擦眼力，求(计
算结果可带根号):
(1)小球从释放到 A 经历的时间；
(2)小球到达 B 点时速度的大小；
(3)小球到达 B 点时对圆弧轨道的压力大小。
【答案】(1) 2Rt g
；(2) 11
2Bv gR ；(3)13
2 mg
【详解】
(1)小球释放后有
21= 2R gt
得
47
2Rt g
(2)小球从 P 运动到 B 的过程中，由动能定理得
212 02 Bmg R EqR mv
解得
11
2Bv gR
(3)小球在最低点 B 时，根据牛顿第二定律得
2
N
BvF mg m R
解得
N
13
2F mg
则由牛顿第三定律得小球对圆弧轨道的压力大小为13
2 mg
14．如图所示，在水平面上，平放一半径为 R 的光滑半圆管道，管道处在方向竖
直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中，另有一个质量为 m、带电量为＋q 的小
球。
(1)当小球从管口沿切线方向以速度 v0 射入时，求小球对管道侧壁的作用力大
小；
(2)现把管道固定在竖直面内，且两管口等高，磁场仍保持和管道平面垂直，如
图所示，空间再加一个水平向右、场强 E＝ mg
q 的匀强电场（未画出），若小球
仍以 v0 的初速度沿切线方向从左边管口射入，求小球在管道运动全程中获得的
最大速度。
48
【答案】(1)
2
0
0
mv qv BR + ；(2)
2 2 2
2 (2 2 2)q B R gRm
【详解】
(1)当小球从管口沿切线方向以速度 v0 射入时，对小球进行受力分析得
=N F F 洛伦兹力 向
即
2
0
0
vN Bqv m R
有
2
0
0
vN Bqv m R
根据牛顿第三定律可知小球对管道侧壁的作用力大小为
2
0
0
vBqv m R
；
(2)求最大速度方法一：
当小球到达管道中方位角为θ的位置（如图所示）时，应用动能定理有：
mgRsinθ＋Eq（R＋Rcosθ）＝ 1
2 mv2－ 1
2 mv02
即
v2＝
2 2 2
2
q B R
m
＋2gR＋2gR（sinθ＋cosθ）
对函数 y＝sinθ＋cosθ求极值，可得θ＝45°时
ymax＝ 2
所以
49
vm＝
2 2 2
2 (2 2 2)q B R gRm
求最大速度方法二：
如图所示，根据场的叠加原理，小球所受的等效重力为
mg′＝ 2 2( ) ( )mg Eq ＝ 2 mg
tanφ＝ mg
Eq ＝1
即
φ＝45°
小球在等效重力场的最低点时，即当小球到达管道中方位角为θ＝φ＝45°时，
速度最大。
由动能定理
mgRsinθ＋qE（R＋Rsinθ）＝ 1
2 mvm2－ 1
2 mv02
解得
vm＝
2 2 2
2 (2 2 2)q B R gRm
15．如图所示，绝缘直棒上的小球，其质量为 m、带电荷量是＋q，小球可在棒
上滑动。将此棒竖直放在互相垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，
电场强度是 E，磁感应强度是 B，小球与棒间的动摩擦因数为μ，已知 mg>μqE，
则小球由静止沿棒下滑过程中（小球所带电荷量不变）；
(1)最大加速度是多少？
(2)最大速度是多少？
50
【答案】(1) qEg m
；(2) mg E
qB B
【详解】
(1)在带电小球下滑的过程中，小球受重力、电场力、支持力、摩擦力和洛伦兹
力，受力分析如图所示。
在竖直方向
fmg F ma－ ＝ ， f NF F＝
水平方向
NF qvB qE＝ ＋
解得
mg qvB qEa m
随着小球速度 v 的增加，小球加速度减小。所以，小球向下做加速度逐渐减小
的加速运动，最后加速度减小到零，小球做匀速直线运动。
开始时，v＝0，此时加速度最大
m
qEa g m
(2)当小球匀速时，a＝0，小球处于平衡状态，此时速度最大，设最大速度为
51
vm
根据平衡条件
m 0mg qv B qE
所以
m
mg Ev qB B
16．如图所示，光滑四分之一圆弧轨道位于竖直平面内，半径 0.8mR ，与长 2.0ml
的绝缘水平面CD 平滑连接。水平面右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强
磁场，电场强度方向竖直向上，磁场的方向垂直纸面向外。将质量为
62.0 10 kgm ，带电量 61.0 10 Cq 的带正电小球 a 从圆弧轨道顶端由静止释放，
在磁场中恰好做匀速圆周运动，直接打在地面上的 P 点。已知小球 a 在水平面
CD 上运动时所受的摩擦阻力 0.1f mg ， 3PN ND ， 2 3mND ，取 210m/sg ，
求：
(1)小球 a 运动到 D 点时速度的大小；
(2)电场强度大小；
(3)磁感应强度大小。
【答案】(1)3.46m/s；(2)20N/C；(3)1T
【详解】
52
(1)设小球 a 到 D 点时的速度为 vD，从小球 a 释放至 D 点，由动能定理
21
2 DmgR fL mv
解得
vD=2 3 =3.46m/s
(2)小球 a 进入复合场后
Eq=mg
解得
6
61.0
2.0 10 1 N/C 20N/C0
0
1
mgE q
(3)小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，如图所示，
由
2
D
D
vBv q m r
由图可知
4 3mr
解得
B=1T
17．如图甲所示，直角坐标系 xOy 位于竖直平面内且 x 轴沿水平方向，其第二象
53
限内有一对平行金属板 A、B，两板相距为 d，两板之间有方向平行于板面并
垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 1B ，第一象限某一矩形区域
内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 2B ，第四象限存在一未
知电场。第三象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 3B ，在
竖直方向存在交变电场，将一个倾角为 的滑绝缘斜面放置在此空间中。已知
大量带电量均为 q 的带电粒子从平行金属板左侧沿 x 轴正方向以相同的速度
0v 飞入平行金属板 A、B 之间，稳定后，某一质量为 m 的带电离子能沿平行
金属板中心线射出，经过第一象限的磁场偏转后进入第四象限未知电场做匀
减速直线运动，恰好沿斜面进入第三象限，此时粒子速度为 0，且此后一直在
第三象限内运动，取带电粒子刚进入斜面时为 0t 时刻，电场变化如图乙所示，
电场方向竖直向上为正，场强大小为 0E ，已知 3B 的大小数值上等于 2 m
q
，且
题中 d、 1B 、 2B 、q、m、 0v 、 0E 为已知量，不计带电粒子的重力及粒子间的
相互作用，则
（1）求稳定后两金属板之间的电势差 ABU ；
（2）求带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径 2r ；
（3）求第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角 的函数关系式；
（4）若带电粒子在第19s内恰好没有离开斜面，19s后电场变为垂直斜面向上的
匀强电场，电场大小变为 0
3 cosθ4 E ，并在斜面末端安装一垂直斜面的荧光屏CE 。
已知小球在电场变化后的 1 s4
内打在荧光屏上，且与 C 点的距离为 0
2
cos
32
qE
m
，求
19s末带电粒子与斜面底端 C 点的距离 L（计算结果用角度关系表示）。
54
【答案】（1） 1 0ABU B dv ；（2） 0
2
2
mvr qB
；（3）
2 2
0
2 2
2
(1 cos )m v
q B
；（4） 0 0
2
cos 3 cos
32 32
qE qE
m m
【详解】
（1）粒子在第二象限的两板间沿直线运动，则满足
1 0
ABU q B v qd
解得
1 0ABU B dv
（2）粒子在第一象限的矩形磁场中做匀速圆周运动，则
55
2
0
2 0
2
vB qv m r
解得
0
2
2
mvr qB
（3）第一象限的矩形磁场的最小面积
2 2
0
2 2 2 2
2
(1 cos ) (1 cos )m vS r r q B
（4）在 19s 之前电场和磁场共存时粒子没有离开斜面，粒子在刚进入第三象
限后在电场的作用下加速，电场加速度后粒子在只有磁场存在的情况下做匀速
圆周运动，则由
2 2,v RqvB m TR v
可得
3
2 1smT B q
代入数据解得 1sT ；说明粒子在磁场单独存在的情况下做一个完整的匀速圆
周运动，然后继续电场加速，磁场完整圆周运动的情形，当粒子即将脱离斜面
时，则垂直斜面方向一定满足
3 0 cosB qv E q
在 19s 时电场的大小和方向均改变，则将粒子的速度分解为沿斜面运动的 3
4 v 和
1
4 v ，则有
3 0
3 3 cos4 4B qv qE
粒子的 3
4 v 的速度受到的洛伦兹力和电场力平衡，做沿斜面的匀速直线运动，
56
1
4 v 的速度做只受洛伦兹力的匀速圆周运动，而运动了 1 s4
打在屏幕上，因此运
动了 1
4
圆周，根据条件可得圆周运动在斜面和垂直斜面的位移相同，因此总位
移为做圆周运动的半径加匀速直线的位移，即
0 0 0
2 2
cos cos 3 cos3 1
32 4 4 32 32
qE qE qEvx m m m
18．利用磁场可以控制带电微粒的运动。如图甲所示，直角坐标系 xOy 平面内，
一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电微粒，以初速度 v0 在 t=0 时沿+x 方向从
坐标原点 O 射入，为平衡带电微粒的重力，空间加上了匀强电场，同时施加
垂直纸面向里的磁场，磁感应强度随时间周期性变化的规律如图乙所示。经
时间
0
4
3
a
v 微粒运动到 3 3( , )2 2
a a 处。重力加速度为 g。求：
(1)电场强度；
(2)磁感应强度大小；
(3)带电微粒能否再次回到 O 点？若能，求出相邻两次通过 O 点过程中微粒通
过的路程；若不能，求带电微粒总体朝哪个方向运动，并求出朝这个方向运动
的平均速度。
【答案】(1) mg
q ，方向竖直向上；(2) 0mvB qa
；(3)能再次回到 O 点， 4 6 3s a a
【详解】
(1)对带电微粒，由平衡条件得
qE mg
57
电场强度大小为
mg
q
E
方向竖直向上。
(2)对带电微粒，在运动到 3 3( , )2 2
a a 的过程中，轨迹如图所示
由图可求得带电微粒在磁场作用时的运动半径
r a
此过程中，洛仑兹力提供带电微粒做圆周运动的向心力
2
0
0
vBqv m r
求得
0mvB qa
(3)带电微粒在周期性磁场作用下，运动轨迹如图所示
所以带电微粒能再次回到 O 点，它相邻两次通过 O 点的过程中带电微粒的路
58
程为
43 3 2 3 4 6 33s a a a a
19．如图甲所示，竖直面 MN 的左侧空间中存在竖直方向的匀强电场（上、下及
左侧无边界）．一个质量为 m、电荷量为 q、可视为质点的带正电小球，以水
平初速度 0v 沿 PQ 向右做直线运动，Q 位于 MN 上，若小球刚经过 D 点时（t=0），
在电场所在空间叠加如图乙所示随时间做周期性变化、垂直纸面向里的匀强
磁场，使得小球再次通过 D 点时与 PQ 连线成 90°角，已知 D、Q 间的距离为
2L， 0t 小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响，重
力加速度为 g。求：
（1）电场强度 E 的大小和方向；
（2） 0t 与 1t 的比值；
（3）小球过 D 点后做周期性运动，则当小球运动的周期最大时，求出此时磁
感应强度 0B 的大小及运动的最大周期 mT 。
【答案】（1） mg
q ，竖直向上；（2）3π:2；（3） 0mv
qL ，
0
(6 8)
v
L
【详解】
（1）不加磁场时，小球沿直线 PQ 做直线运动，有
qE=mg
解得
59
E= mg
q
电场强度的方向竖直向上。
（2）小球能再次通过 D 点，其运动轨迹如下图所示
设半径为 r，做圆周运动的周期为 T，则
0 1r v t ，
0
2 rT v
， 0
3
4t T
解得
0
1
3
2
t
t
（3）当小球运动周期最大时，其运动轨迹应与 MN 相切，如下图所示
由几何关系得 2R=2L 由牛顿第二定律得
2
0
0
vqv B m L
解得
B0= 0mv
qL
60
m
0 0
6 8 LsT v v
20．如图甲所示，竖直平面内坐标系 xOy 的 y 轴左侧有一个加速电场，电压
U=100V，y 轴右侧存在变化的磁场，磁场方向与纸面垂直，规定向里为正方
向，其随时间变化如图乙所示。若将静止的电子加速后从 y=2 10-2m 处垂直 y
轴进入磁场。已知电子的比荷 111.8 10 C/kge
m
，不计重力，不考虑磁场变化引
起的电磁影响，计算时π取 3。
(1)求电子进入磁场时的速度；
(2)在坐标纸图丙上画出电子的运动轨迹，并求出电子运动轨迹的最高点和最低
点的纵坐标。
61
【答案】(1) 66 10 m/s ；
(2)
最高点纵坐标值 0.04my ，最低点纵坐标值 0.02my
【详解】
（1）根据
21
2eU mv ①
得
66 10v m/s ②
（2）在磁场中洛伦兹力充当向心力轨道半径 r
2mvevB r
③.
周期
2 rT v
④
在 80 0. 5 10 s 的半径 1 0.01mR ， 8
1 1 10 sT ⑤
在 8 80.5 10 s 1.0 10 s 做匀速直线运动位移 s vt ⑥
在 8 81.0 10 s 3.0 10 s 内的半径 2 0.02mR ，周期 8
2 2 10 sT ⑦
在 8 83.0 10 s 3.5 10 s 内 0.03ms vt ⑧
在 83.5 10 s 之后与前面相同，电子的运动轨迹如图⑨
62
电子轨迹的最高点纵坐标值 0.04my ，最低点纵坐标值 0.02my ⑩
21．空间存在两个垂直于Oxy 平面的匀强磁场，y 轴为两磁场的边界，磁感应强
度分别为 02B 、 03B 。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点 O 沿 x 轴正向射
入磁场，速度均为 v。甲第 1 次、第 2 次经过 y 轴的位置分别为 P、Q，其轨
迹如图所示。甲经过 Q 时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为 m，电
荷量为 q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q 到 O 的距离 d；
(2)甲两次经过 P 点的时间间隔 t ；
(3)乙的比荷 q
m
可能的最小值。
【答案】(1)
03
mvd qB
；(2)
0
2 mt qB
；(3) ' 2='
q q
m m
【详解】
63
(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由
2vqvB m R
得，
1
02
mvR qB
， 2
03
mvR qB
Q、O 的距离为：
1 2
0
2 2 3
mvd R R qB
(2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为 d，粒子再次经过 P，经过 N 个周
期，
12 3ROPN d d
所以，再次经过 P 点的时间为
3t NT T
由匀速圆周运动的规律得
1
1
0
2 R mT v qB
， 2
2
0
2 2
3
R mT v qB
绕一周的时间为
1 2
0
5
2 2 6
T T mT qB
所以，再次经过 P 点的时间为
0
53 2
mt T qB
两次经过 P 点的时间间隔为
1
0
2
2
T mt t qB
64
(3)由洛伦兹力提供向心力，由
2vqvB m R
得，
1
0
'' 2 '
m vR q B
， 2
0
'' 3 '
m vR q B
完成一周期运动上升的距离
1 2' 2 ' 2 'd R R
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在 Q 点相遇，则
12 ' 'R nd OQ d ，
' ' '
1 2 1 1 2( )2 2 2 2 2
T T T T Tn
结合以上式子，n 无解。
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在 Q 点相遇，则
'nd OQ ，
' '
1 2 1 2( )2 2 2 2
T T T Tn
计算可得
' ='
q qnm m
（n=1，2，3……）
由于甲乙粒子比荷不同，则 n=2 时，乙的比荷 '
'
q
m
最小，为
' 2='
q q
m m
22．某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N 为竖直放置的两金属板，两板
间电压为 U，Q 板为记录板，分界面 P 将 N、Q 间区域分为宽度均为 d 的 I、
Ⅱ两部分，M、N、P、Q 所在平面相互平行，a、b 为 M、N 上两正对的小孔。
以 a、b 所在直线为 z 轴， 向右为正方向，取 z 轴与 Q 板的交点 O 为坐标原
点，以平行于 Q 板水平向里为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向，建立空
间直角坐标系 Oxyz。区域 I、Ⅱ内分别充满沿 x 轴正方向的匀强磁场和匀强
电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为 B 和 E。一质量为 m，电荷量
65
为+q 的粒子，从 a 孔飘入电场（初速度视为零），经 b 孔进入磁场，过 P 面
上的 c 点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板 Q 上。不计粒子重力。
(1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径 R 以及 c 点到 z 轴的距离 L；
(2)求粒子打到记录板上位置的 x 坐标；
(3)求粒子打到记录板上位置的 y 坐标（用 R、d 表示）；
(4)如图乙所示，在记录板上得到三个点 s1、s2、s3，若这三个点是质子 1
1H、氚
核 3
1H 、氦核 4
2 He 的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的
相互作用，不要求写出推导过程）。
【答案】(1) 2mqUR qB
2
2
2 2mqU mUL dqB qB
；(2)
2
2 24 2
md Ex mU qd B
；
(3)
2
2 2
2 2
dy R R d
R d
；(4)s1、s2、s3 分别对应氚核 3
1H 、氦核 4
2 He 、质子 1
1H
的位置
【详解】
(1)设粒子经加速电场到 b 孔的速度大小为 v，粒子在区域 I 中，做匀速圆周运
动对应圆心角为α，在 M、N 两金属板间，由动能定理得
qU= 1
2 mv2 ①
在区域 I 中，粒子做匀速圆周运动，磁场力提供向心力，由牛顿第二定律得
66
2vqvB m R
②
联立①②式得
2mqUR qB
③
由几何关系得
2 2 2d R L R （ ） ④
2 2
cos R d
R
⑤
sin = d
R
⑥
联立①②④式得
2
2
2 2mqU mUL dqB qB
⑦
(2)设区域Ⅱ中粒子沿 z 轴方向的分速度为 vz，沿 x 轴正方向加速度大小为 a，
位移大小为 x，运动时间为 t，由牛顿第二定律得
qE=ma ⑧
粒子在 z 轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得
coszv v ⑨
zd v t ⑩
粒子在 x 方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得
21
2x at ⑪
联立①②⑤⑧⑨⑩⑪式得
2
2 24 2
md Ex mU qd B
⑫
(3)设粒子沿 y 方向偏离 z 轴的距离为 y，其中在区域Ⅱ中沿 y 方向偏离的距离
67
为 y'，由运动学公式得
y'=vtsinα ⑬
由题意得
y=L+y' ⑭
联立①④⑥⑨⑩⑬⑭式
2
2 2
2 2
dy R R d
R d
⑮
(4)s1、s2、s3 分别对应氚核 3
1H 、氦核 4
2 He 、质子 1
1H的位置。
23．如图，在 0≤x≤h， y 区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应
强度 B 的大小可调，方向不变。一质量为 m，电荷量为 q（q>0）的粒子以速
度 v0 从磁场区域左侧沿 x 轴进入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过 y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，
并求在这种情况下磁感应强度的最小值 Bm；
（2）如果磁感应强度大小为 m
2
B ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。
求粒子在该点的运动方向与 x 轴正方向的夹角及该点到 x 轴的距离。
【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里； 0
m = mvB qh ；（2） π
6
； (2 3)y h
【详解】
（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向
垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为 R，根据洛伦兹力公
68
式和圆周运动规律，有
2
0
0
vqv B m R
①
由此可得
0mvR qB
②
粒子穿过 y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在 y 轴正半轴上，
半径应满足
R h ③
由题意，当磁感应强度大小为 Bm 时，粒子的运动半径最大，由此得
0
m = mvB qh ④
（2）若磁感应强度大小为 m
2
B ，粒子做圆周运动的圆心仍在 y 轴正半轴上，由
②④式可得，此时圆弧半径为
2R h ⑤
粒子会穿过图中 P 点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在 P 点的运动方
向与 x 轴正方向的夹角为α，
由几何关系
1sin 2 2
h
h
⑥
即 π
6
⑦
69
由几何关系可得，P 点与 x 轴的距离为
2 (1 cos )y h ⑧
联立⑦⑧式得
(2 3)y h ⑨
24．通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板
上质子数与衰变产生总质子数 N 的比值），可研究中子（ 1
0 n ）的 衰变。中子
衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子 eν 。如图所示，
位于 P 点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀
地发射 N 个质子。在 P 点下方放置有长度 1.2mL 以 O 为中点的探测板，P 点
离探测板的垂直距离OP 为 a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感
应强度大小为 B 的匀强磁场。
已知电子质量 31 2
e 9.1 10 kg 0.51MeV / cm ，中子质量 2
n 939.57MeV / cm ，质子质
量 2
p 938.27MeV / cm （c 为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。
若质子的动量 21 1 8 14.8 10 kg m s 3 10 MeV s mp 。
（1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以 MeV 为能量
单位）；
（2）当 0.15ma ， 0.1TB 时，求计数率；
（3）若 a 取不同的值，可通过调节 B 的大小获得与（2）问中同样的计数率，
求 B 与 a 的关系并给出 B 的范围。
70
【答案】(1) 0.7468MeV (2) 2
3 (3) 15 T40B
【详解】
（1）核反应方程满足质量数和质子数守恒：
01 1 1
0 e0 1 1n p e ν
核反应过程中：
2 2 2
n p e 0.79MeVdE m c m c m c
根据动量和动能关系：
2
p
p
0.0432MeV2k
pE m
则总动能为：
e ν p 0.7468MeVd kE E E E
（2）质子运动半径：
0.3mpR eB
如图甲所示：
打到探测板对应发射角度：
6
可得质子计数率为：
71
4
23
2 3
（3）在确保计数率为 2
3
的情况下：
2R a
即： 3
200B a
如图乙所示：
恰能打到探测板左端的条件为：
2 2
2 max
max4 4 4
R LR
即： 15 T40B
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