1
万有引力定律及其应用【原卷】
1．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量
的 10%，半径约为地球半径的 50%，下列说法正确的是（ ）
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
2．北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，
其轨道半径约为地球半径的 7 倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星
（ ）
A．周期大 B．线速度大 C．角速度大 D．加速度大
3．我国将在今年择机执行“天问 1 号”火星探测任务。质量为 m 的着陆器在着
陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为 t0、速度由 v0 减速到零的过程。
已知火星的质量约为地球的 0.1 倍，半径约为地球的 0.5 倍，地球表面的重力
加速度大小为 g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀
减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（ ）
2
A． 0
0
0.4 vm g t
B． 0
0
0.4 + vm g t
C． 0
0
0.2 vm g t
D． 0
0
0.2 + vm g t
4．火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均
可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为 3∶2，
则火星与地球绕太阳运动的（ ）
A．轨道周长之比为 2∶3
B．线速度大小之比为 3 : 2
C．角速度大小之比为 2 2 :3 3
D．向心加速度大小之比为 9∶4
5． “嫦娥四号”探测器于 2019 年 1 月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球
飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的 K 倍。
已知地球半径 R 是月球半径的 P 倍，地球质量是月球质量的 Q 倍，地球表面
重力加速度大小为 g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（ ）
A． RKg
QP B． RPKg
Q C． RQg
KP D． RPg
QK
6．若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为 G，则在该星体表面附近沿圆轨道
绕其运动的卫星的周期是（ ）
3
A． 3π
G B． 4π
G C． 1
3πG D． 1
4πG
7．火星的质量约为地球质量的 1
10
，半径约为地球半径的 1
2 ，则同一物体在火星
表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
8．如图所示，卫星 a、b、c 沿圆形轨道绕地球运行。a 是极地轨道卫星，在地球
两极上空约 1000km 处运行；b 是低轨道卫星，距地球表面高度与 a 相等；c
是地球同步卫星，则（ ）
A．a、b 的周期比 c 大
B．a、b 的向心力一定相等
C．a、b 的速度大小相等
D．a、b 的向心加速度比 c 小
9．发射地球静止轨道卫星的一种方式是采用 1925 年物理学家霍曼提出的霍曼转
移轨道，该轨道可消耗最小能量来发射地球静止轨道卫星。发射时首先让卫
星进入停泊轨道，在 D 点点火使卫星进入 GTO 轨道，在 F 点再次点火使卫星
4
进入 GEO 轨道。忽略因火箭点火产生的质量变化，则下列说法正确的是
（ ）
A．卫星在停泊轨道的运行速率小于在 GEO 轨道运行速率
B．卫星在 GTO 轨道上 D 点速率大于 F 点速率
C．卫星在 GTO 轨道上 F 点速率等于在 GEO 轨道运行速率
D．卫星在停泊轨道的机械能小于在 GEO 轨道的机械能
10．火星周围笼罩着空气层，与地球空气层相似。若宇航员在火星表面附近由静
止释放一个质量为 m 的小球，小球在下落过程中由于受到空气阻力，其加速
度 a 随位移 x 变化的关系图像如图所示。已知火星的半径为 R、自转周期为 T，
引力常量为 G，忽略火星自转对重力的影响，则下列说法正确的是（ ）
A．火星的“第一宇宙速度”为 0a R
5
B．火星的质量为 0a R
G
C．火星静止轨道卫星的轨道半径为 0T a R
D．小球下落过程中的最大速度为 0 0a x
11．暗物质是二十一世纪物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革
命。为了探测暗物质，我国在 2015 年 12 月 17 日成功发射了一颗被命名为“悟
空”的暗物质探测卫星。已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀
速圆周运动，经过时间 t（t 小于其运动周期），运动的弧长为 s，与地球中心
连线扫过的角度为β（弧度），引力常量为 G，则下列说法中正确的是（ ）
A．“悟空”的发射速度小于第一宇宙速度
B．“悟空”的向心加速度数值小于地球表面物体的重力加速度数值
C．“悟空”的环绕周期为 2 t
D．“悟空”的质量为
3
2
s
Gt
12．在某行星表面进行了如图所示的实验。一小物块从倾角为 37°的斜面顶端由
静止滑到底端所用时间为 t，已知斜面长度为 L，物块与斜面间的动摩擦因数
为 0.5，该行星的半径为 R，引力常量为 G，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则（ ）
A．该行星表面的重力加速度为 2
5L
t
B．该行星的密度为 2
15
2
L
RGt
6
C．该行星的第一宇宙速度为 2
10RL
t
D．该行星卫星的最小周期为 5
5
t R
L
13．迄今为止，人类已经发射了数千颗人造地球卫星，其中的通信、导航、气象
等卫星已极大地改变了人类的生活。如图所示为我国发射的二氧化碳监测卫
星轨迹示意图。已知该卫星在半径为 r 的圆轨道上运行，经过时间 t，通过的
弧长为 s。已知引力常量为 G。下列说法正确的是（ ）
A．该卫星的发射速度小于 7.9km/s
B．该卫星的运行速度大于 7.9km/s
C．可算出该卫星的周期为 2 rt
s
D．可算出地球平均密度为
2
2 2
3
4 r
s
G t
14．如图所示，O 点是近地点，Ⅰ是地球同步卫星轨道，Ⅱ是从地球上发射火星
探测器的转移轨道，Ⅲ是火星探测器在近火星点 P 制动后的圆形轨道，M 点
是Ⅰ、Ⅱ轨道的交点，则（ ）
7
A．火星探测器和地球同步卫星在 M 点的速度相等
B．火星探测器在 P 点制动后进入轨道Ⅲ运行时的速度约等于火星的第一宇宙
速度
C．火星探测器在 O 点的速度等于地球的第一宇宙速度
D．火星探测器刚运动到 P 点时的速度一定等于火星的第一宇宙速度
15．双星系统由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间
的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，
在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两颗星之间的距离为 L，设质量分别用 m1、m2 表示，且 m1：m2=5：2。
则可知（ ）
A．m1、m2 做圆周运动的线速度之比为 5：2
B．m1、m2 做圆周运动的角速度之比为 5：2
C．双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大
D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
16． 2020 年 5 月 5 日，长征五号 B 运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，
将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期
为 T，离地高度为 h，已知地球半径为 R，万有引力常量为 G，则（ ）
8
A．试验船的运行速度为 2 R
T
B．地球的第一宇宙速度为 3
2 R h
T R
C．地球的质量为 3
2
2 R h
GT
D．地球表面的重力加速度为 22
2
4 R h
RT
17．为了实现人类登陆火星的梦想，我国宇航员王跃和俄罗斯宇航员一起进行了
“模拟登火星”的实验活动，假设火星半径与地球半径之比为 1：2，火星质
量与地球质量之比为 1：9，已知地球表面的重力加速度为 g，地球半径为 R，
万有引力常量为 G，忽略自转的影响，则（ ）
A．火星表面与地球表面的重力加速度之比为 2：9
B．火星的密度为 3π
g
GR
C．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 2 :3
D．若王跃以相同初速度在火星表面与地球表面能竖直跳起的最大高度之比为
9：4
18．引力波探测于 2017 年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是产生引力波的来
源之一，假设宇宙中有一双星系统由 P、Q 两颗星体组成，这两颗星绕它们连
线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得 P 星的周期为 T，P、
Q 两颗星的距离为 l，P、Q 两颗星的轨道半径之差为 r P（ 星的轨道半径大于
Q 星的轨道半径），万有引力常量为 G，则（ ）
9
A．Q、P 两颗星的质量差为
2
2
4 rl
GT
B．P、Q 两颗星的运动半径之比为 l
l r
C．P、Q 两颗星的线速度大小之差为 2 r
T
D．P、Q 两颗星的质量之比为 l r
l r
19．引力波探测于 2017 年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是产生引力波的来
源之，假设宇宙中有一双星系统由 P、Q 两颗星体组成，这两颗星绕它们连
线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得 P 星的周期为 T，P、
Q 两颗星的距离为 l，两颗星的轨道半径之差为△r（P 星的轨道半径大于 Q
星的轨道半径）引力常量为 G，则 Q、P 两颗星的线速度大小之差的绝对值
△v，质量之差的绝对值△m 为（ ）
A． rv T
B． 2 rv T
C．
2 2
2
2 l rm GT
D．
2 2
2
4 l rm GT
20．甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的
2 倍。下列应用公式进行的推论正确的有（ ）
A．由v gR 可知，甲的速度是乙的 2 倍
B．由 2a r 可知，甲的向心加速度是乙的 2 倍
C．由 2
MmF G r
可知，甲的向心力是乙的 1
4
D．由
3
2
r kT
可知，甲的周期是乙的2 2 倍
10
21．如图所示，绕同一恒星运行的两颗行星 A 和 B，已知 A B2m m ，且 A 的轨道
是半径为 r 的圆轨道，B 的轨道是长轴QQ 为 2r 的椭圆轨道，其中Q到恒星
中心的距离为 Q 到恒星中心的距离的 2 倍，两轨道相交于 P 点。则：
(1)计算 A、B 绕恒星运动的周期之比；
(2)计算 A 在 P 点受到恒星的引力 AF 与 B 在 Q 点受到恒星的引力 BF 之比。
22． 2020 年 7 月 31 日，随着北斗三号全球卫星导航系统建成开通，“太空丝
绸之路”走上服务全球造福人类的时代新舞台！北斗系统的空间段主要由地
球同步轨道(GEO)卫星和中轨道(MEO)卫星等组成。如图为导航系统中的
MEO 卫星轨道(低于 GEO 卫星轨道)示意图，MEO 卫星绕地球做匀速圆周运
动时对地球的张角为θ，已知地球半径为 R0，地球表面处的重力加速度大小为
g，不考虑地球的自转，求：
(1)MEO 卫星绕地球做匀速圆周运动的周期；
(2)设有 GEO 和 MEO 两卫星均在赤道平面内运行，其周期分别为 T1 和 T2。
若某时刻两者与地球球心成一直线，求三者再次位于一直线的最短时间间隔。
11
23．在天文观测中，观测到质量相等的三颗星始终位于边长为 L 的等边三角形三
个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为 T 的匀速圆周运动，如图所示。
已知引力常量为 G，不计其他星球对它们的影响。
（1）求每颗星的质量 m；
（2）若三颗星两两之间的距离均增大为原来的 2 倍，求三颗星稳定运动时的
线速度大小 v。
24．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：
三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，
绕某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示
为 A、B、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）若 A 星体的质量为 2m，B、
12
C 两星体的质量均为 m，三角形的边长为 a，求：
（1）A 星体所受合力的大小 FA；
（2）B 星体所受合力的大小 FB；
（3）C 星体的轨道半径 RC；
（4）三星体做圆周运动的周期 T．
25．如图所示，卫星沿椭圆轨道绕地球运动，近地点 A 到地面的距离可忽略不计，
远地点 B 与地球同步卫星高度相同。关于该卫星的下列说法中正确的是（地
球表面重力加速度 g 取 10m/s2）（ ）
A．在 A 点的速度 vA 可能小于 7.9km/s
B．在 A 点的加速度 aA 可能大于 10m/s2
C．在 B 点的速度 vB 一定小于地球同步卫星的运行速度
D．在 B 点的加速度 aB 一定小于地球同步卫星在该点的加速度
13
万有引力定律及其应用
1．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量
的 10%，半径约为地球半径的 50%，下列说法正确的是（ ）
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【答案】A
【详解】
A．当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范
围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，
故 A 正确；
B．第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速
度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故 B 错误；
C．万有引力提供向心力，则有
2
1
2
mvGMm
R R
解得第一宇宙速度为
1
GMv R
所以火星的第一宇宙速度为
14
10% 5=50% 5v v v 地 地火
所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故 C 错误；
D． 万有引力近似等于重力，则有
2
GMm mgR
解得星表面的重力加速度
22
10% 2= = = 550%
GMg g gR
火
地 地火
火
所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故 D 错误。
故选 A。
2．北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，
其轨道半径约为地球半径的 7 倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星
（ ）
A．周期大 B．线速度大 C．角速度大 D．加速度大
【答案】A
【详解】
卫星有万有引力提供向心力有
2 2
2
2 2
4Mm vG m mr m r mar r T
= = = =
可解得
15
GMv r
3
GM
r
3
2 rT GM
2
GMa r
可知半径越大线速度，角速度，加速度都越小，周期越大；故与近地卫星相比，
地球静止轨道卫星周期大，故 A 正确，BCD 错误。
故选 A。
3．我国将在今年择机执行“天问 1 号”火星探测任务。质量为 m 的着陆器在着
陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为 t0、速度由 v0 减速到零的过程。
已知火星的质量约为地球的 0.1 倍，半径约为地球的 0.5 倍，地球表面的重力
加速度大小为 g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀
减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（ ）
A． 0
0
0.4 vm g t
B． 0
0
0.4 + vm g t
C． 0
0
0.2 vm g t
D． 0
0
0.2 + vm g t
【答案】B
【详解】
忽略星球的自转，万有引力等于重力
2
MmG mgR
则
2
2 2
10.1 0.40.5
g M R
g M R
火 火 地
地 地 火
解得
16
0.4 0.4g g g 地火
着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知
0 00 v at
解得
0
0
va t
匀减速过程，根据牛顿第二定律得
f mg ma
解得着陆器受到的制动力大小为
0
0
(0.4 )vf mg ma m g t
ACD 错误，B 正确。
故选 B。
4．火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均
可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为 3∶2，
则火星与地球绕太阳运动的（ ）
A．轨道周长之比为 2∶3
B．线速度大小之比为 3 : 2
C．角速度大小之比为 2 2 :3 3
D．向心加速度大小之比为 9∶4
17
【答案】C
【详解】
A．由周长公式可得
2C r地 地
2C r火 火
则火星公转轨道与地球公转轨道周长之比为
2 3
2 2
C r
C r
火 火
地 地
A 错误；
BCD．由万有引力提供向心力，可得
2
2
2
Mm vG ma m m rr r
则有
2
GMa r
GMv r
3
GM
r
即
2
2
4
9
a r
a r
火 地
地 火
2
3
rv
v r
地火
地 火
3
3
2 2
3 3
r
r
地火
地 火
BD 错误，C 正确。
18
故选 C。
5． “嫦娥四号”探测器于 2019 年 1 月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球
飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的 K 倍。
已知地球半径 R 是月球半径的 P 倍，地球质量是月球质量的 Q 倍，地球表面
重力加速度大小为 g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（ ）
A． RKg
QP B． RPKg
Q C． RQg
KP D． RPg
QK
【答案】D
【详解】
假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为m 和 0m 的两个物体，则在地球和
月球表面处，分别有
2
MmG mgR
，
0
02
M mQG m g
R
P
解得
2Pg gQ
设嫦娥四号卫星的质量为 1m ，根据万有引力提供向心力得
1 2
12
M m vQG m RR KK PP
解得
RPgv QK
故选 D。
19
6．若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为 G，则在该星体表面附近沿圆轨道
绕其运动的卫星的周期是（ ）
A． 3π
G B． 4π
G C． 1
3πG D． 1
4πG
【答案】A
【详解】
卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则
2
2 2
4GMm m RR T
p= ， 34
3V R ， M
V
知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期
3T G
7．火星的质量约为地球质量的 1
10
，半径约为地球半径的 1
2 ，则同一物体在火星
表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
【答案】B
【详解】
设物体质量为 m，则在火星表面有
1
1 2
1
M mF G R=
在地球表面有
2
2 2
2
M mF G R=
由题意知有
20
1
2
1
10
M
M =
1
2
1
2
R
R
故联立以上公式可得
2
1 1 2
2
2 2 1
1 4 0.410 1
F M R
F M R
故选 B。
8．如图所示，卫星 a、b、c 沿圆形轨道绕地球运行。a 是极地轨道卫星，在地球
两极上空约 1000km 处运行；b 是低轨道卫星，距地球表面高度与 a 相等；c
是地球同步卫星，则（ ）
A．a、b 的周期比 c 大
B．a、b 的向心力一定相等
C．a、b 的速度大小相等
D．a、b 的向心加速度比 c 小
【答案】C
【详解】
A．万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律：
2
2 2
4MmG m rr T
21
解得：
2 34 rT GM
，轨道半径越大，周期越大，根据题意可知 a 、b 的周期比c小，
故 A 错误；
BD．万有引力提供向心力：
02
MmG mar
解得： 0 2
GMa r
，a 、b 的轨道半径相同，所以向心加速度大小相同，方向不同，
c的轨道半径最大，向心加速度最小，故 BD 错误；
C．万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律：
2
2
Mm vG mr r
解得： GMv r
，a 、b 的轨道半径相同，所以速度大小相同，方向不同，故 C
正确。
故选 C．
9．发射地球静止轨道卫星的一种方式是采用 1925 年物理学家霍曼提出的霍曼转
移轨道，该轨道可消耗最小能量来发射地球静止轨道卫星。发射时首先让卫
星进入停泊轨道，在 D 点点火使卫星进入 GTO 轨道，在 F 点再次点火使卫星
进入 GEO 轨道。忽略因火箭点火产生的质量变化，则下列说法正确的是
（ ）
22
A．卫星在停泊轨道的运行速率小于在 GEO 轨道运行速率
B．卫星在 GTO 轨道上 D 点速率大于 F 点速率
C．卫星在 GTO 轨道上 F 点速率等于在 GEO 轨道运行速率
D．卫星在停泊轨道的机械能小于在 GEO 轨道的机械能
【答案】BD
【详解】
A．根据
2
2
Mm vG mr r
可得
GMv r
在停泊轨道半径比 GEO 轨道半径小，则速率比在 GEO 轨道大，A 错误；
B．根据开普勒第二定律可知，卫星在 GTO 轨道上 D 点速率大于 F 点速率，B
正确；
C．GTO 轨道进入 GEO 轨道需要在 F 点点火加速，则卫星在 GTO 轨道上 F 点
23
速率小于在 GEO 轨道运行速率，C 错误；
D．两次点火卫星机械能均增加，所以 GEO 机械能大于停泊轨道机械能，D
正确。
故选 BD。
10．火星周围笼罩着空气层，与地球空气层相似。若宇航员在火星表面附近由静
止释放一个质量为 m 的小球，小球在下落过程中由于受到空气阻力，其加速
度 a 随位移 x 变化的关系图像如图所示。已知火星的半径为 R、自转周期为 T，
引力常量为 G，忽略火星自转对重力的影响，则下列说法正确的是（ ）
A．火星的“第一宇宙速度”为 0a R
B．火星的质量为 0a R
G
C．火星静止轨道卫星的轨道半径为 0T a R
D．小球下落过程中的最大速度为 0 0a x
【答案】AD
【详解】
A．小球刚释放瞬间即 0x 时的速度为零，故此时小球所受空气阻力为零，
可知火星表面的重力加速度大小为 0a ，由
2
1
0
vma m R
可得火星的“第一宇宙速度”
1 0v a R
24
故 A 正确；
B．由
02
MmG ma
R
可得火星的质量
2
0a RM G
故 B 错误；
C．由
2
2
2MmG m rr T
可得火星静止轨道卫星的轨道半径
2 2
03
24
a R Tr
故 C 错误；
D．当小球下落的速度最大时 0a ，此时 0x x ， ma x 图线与 x 轴包围的“面
积”表示合力对小球做的功，根据动能定理有
2
0 0 m
1 1
2 2ma x mv
解得小球下落过程中的最大速度
m 0 0v a x
故 D 正确。
11．暗物质是二十一世纪物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革
命。为了探测暗物质，我国在 2015 年 12 月 17 日成功发射了一颗被命名为“悟
空”的暗物质探测卫星。已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀
速圆周运动，经过时间 t（t 小于其运动周期），运动的弧长为 s，与地球中心
25
连线扫过的角度为β（弧度），引力常量为 G，则下列说法中正确的是（ ）
A．“悟空”的发射速度小于第一宇宙速度
B．“悟空”的向心加速度数值小于地球表面物体的重力加速度数值
C．“悟空”的环绕周期为 2 t
D．“悟空”的质量为
3
2
s
Gt
【答案】BC
【分析】
第一宇宙速度是发射地球卫星的最小发射速度；利用“悟空”在一定时间内扫
过的角度可求得“悟空”运行的周期，根据万有引力提供向心力列式可求解出
地球的质量。
【详解】
A．第一宇宙速度是航天器围绕地球作圆周运动时必须具备的速度,也叫环绕速
度，在地球发射航天器必须大于或等于第一宇宙速度，否则受地球引力作用会
坠落，所以第一宇宙速度被称为最小的发射速度，故 A 错误；
B．“悟空”卫星绕地球做匀速圆周运动，地球的万有引力提供向心力，则有
2
1
MmG mar
得向心加速度
2
1
GMa r
近地卫星的向心加速度等于地球表面重力加速度，由此可知“悟空”的向心加
速度数值小于地球表面物体的重力加速度数值，故 B 正确；
26
C．“悟空”的环绕周期为
2 2 tT
t
故 C 正确；
D．“悟空”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即
2
2
MmG m rr
t
联立解得地球的质量为
3
2
sM Gt
故 D 错误。
故选 BC。
12．在某行星表面进行了如图所示的实验。一小物块从倾角为 37°的斜面顶端由
静止滑到底端所用时间为 t，已知斜面长度为 L，物块与斜面间的动摩擦因数
为 0.5，该行星的半径为 R，引力常量为 G，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则（ ）
A．该行星表面的重力加速度为 2
5L
t
B．该行星的密度为 2
15
2
L
RGt
C．该行星的第一宇宙速度为 2
10RL
t
D．该行星卫星的最小周期为 5
5
t R
L
【答案】BC
27
【详解】
A．设行星表面的重力加速度为 g ，物块沿斜面下滑，则
sin37 cos37mg mg ma
根据
21
2L at
解得行星表面的重力加速度为
2
10Lg t
A 错误；
B．在行星表面，根据
2
MmG mgR
解得行星的质量
G
gRM
2
行星的体积
34
3
RV
行星的密度
M
V
解得
2
15
2
L
RGt
B 正确；
C．设卫星的质量为 'm ，根据
2
' 'vm m gR
28
解得行星的第一宇宙速度
2
10RLv gR t
C 正确；
D．在行星表面附近运行时，周期最小，根据
' 2
'
2 2
4MmG m RR T
解得
10
5
t RLT L
D 错误。
故选 BC。
13．迄今为止，人类已经发射了数千颗人造地球卫星，其中的通信、导航、气象
等卫星已极大地改变了人类的生活。如图所示为我国发射的二氧化碳监测卫
星轨迹示意图。已知该卫星在半径为 r 的圆轨道上运行，经过时间 t，通过的
弧长为 s。已知引力常量为 G。下列说法正确的是（ ）
A．该卫星的发射速度小于 7.9km/s
B．该卫星的运行速度大于 7.9km/s
C．可算出该卫星的周期为 2 rt
s
D．可算出地球平均密度为
2
2 2
3
4 r
s
G t
【答案】C
29
【详解】
A．v=7.9 km/s 为第一宇宙速度，是最小的地面发射速度，卫星轨道半径比地
球半径大，因此其发射速度应大于 7.9km/s，故 A 错误；
B．v=7.9km/s 为第一宇宙速度，是最大的运行速度，卫星轨道半径比地球半
径大，因此其运行速度应小于 7.9km/s，故 B 错误；
C．“碳卫星”的线速度
2sv rt T
解得该卫星的周期
2 rtT s
故 C 正确；
D．根据万有引力提供向心力
2
2
Mm vG mr r
地球质量
2
2
s rM Gt
密度
2
2
34
3
s r
M Gt
V R
地球半径未知，密度无法求解，故 D 错误；
故选 C。
14．如图所示，O 点是近地点，Ⅰ是地球同步卫星轨道，Ⅱ是从地球上发射火星
探测器的转移轨道，Ⅲ是火星探测器在近火星点 P 制动后的圆形轨道，M 点
30
是Ⅰ、Ⅱ轨道的交点，则（ ）
A．火星探测器和地球同步卫星在 M 点的速度相等
B．火星探测器在 P 点制动后进入轨道Ⅲ运行时的速度约等于火星的第一宇宙
速度
C．火星探测器在 O 点的速度等于地球的第一宇宙速度
D．火星探测器刚运动到 P 点时的速度一定等于火星的第一宇宙速度
【答案】B
【详解】
A．火星探测器从 M 点飞离地球，万有引力不足以提供向心力，地球同步卫星
绕地球做圆周运动，则火星探测器和地球同步卫星在 M 点的速度一定不相等，
A 项错误；
B．火星探测器在 P 点制动后绕火星做圆周运动，轨道为近火星轨道，故制动
后的速度约为火星的第一宇宙速度，B 项正确；
C．火星探测器经近地点 O 后做离心运动，可知在 O 点的速度大于地球的第一
宇宙速度，C 项错误；
D．由题可知，火星探测器在靠近火星阶段的运动轨道不是圆周，需减速做向
心运动，所以刚运动到 P 点时的速度一定大于火星的第一宇宙速度，D 项错误。
故选 B。
15．双星系统由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间
31
的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，
在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两颗星之间的距离为 L，设质量分别用 m1、m2 表示，且 m1：m2=5：2。
则可知（ ）
A．m1、m2 做圆周运动的线速度之比为 5：2
B．m1、m2 做圆周运动的角速度之比为 5：2
C．双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大
D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
【答案】D
【分析】
双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，对两颗星分别用牛
顿第二定律和万有引力定律列式求解。
【详解】
AB．双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，设为 ，则
有
2 21 2
1 1 2 22
Gm m m r m rL
解得轨道半径之比等于质量的反比，即
1 2 2 1: : 2:5r r m m
根据线速度与角速度关系可知
v r
32
则 1m 、 2m 做圆周运动的线速度之比等于轨道半径之比为 2:5，故 AB 均错误；
CD．根据角速度与周期的关系可知
2T
由上式可知
2 2
2
1 2
4 L rm GT
2 2
1
2 2
4 L rm GT
则总质量
2 3
1 2 2
4 Lm m GT
双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小；双星的质量一定，双
星之间的距离越大，其转动周期越大，故 C 错误，D 正确。
故选 D。
16． 2020 年 5 月 5 日，长征五号 B 运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，
将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期
为 T，离地高度为 h，已知地球半径为 R，万有引力常量为 G，则（ ）
A．试验船的运行速度为 2 R
T
B．地球的第一宇宙速度为 3
2 R h
T R
C．地球的质量为 3
2
2 R h
GT
D．地球表面的重力加速度为 22
2
4 R h
RT
【答案】B
33
【详解】
A．试验船的运行速度为 2 ( )R h
T
，故 A 错误；
B．近地轨道卫星的速度等于第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力有
2
2
Mm vG mR R
根据试验船受到的万有引力提供向心力有
2
2
2( ) ( )( )
MmG m R hR h T
船
船
联立两式解得第一宇宙速度
3
2 R hv T R
故 B 正确；
C．根据试验船受到的万有引力提供向心力有
2
2
2( ) ( )( )
MmG m R hR h T
船
船
解得
32
2
4 R hM GT
故 C 错误；
D．地球重力加速度等于近地轨道卫星向心加速度，根据万有引力提供向心力
有
2
2
Mm vG m mgR R
根据试验船受到的万有引力提供向心力有
2
2
2( ) ( )( )
MmG m R hR h T
船
船
34
联立两式解得重力加速度
32
2 2
4 R hg R T
故 D 错误。
故选 B。
17．为了实现人类登陆火星的梦想，我国宇航员王跃和俄罗斯宇航员一起进行了
“模拟登火星”的实验活动，假设火星半径与地球半径之比为 1：2，火星质
量与地球质量之比为 1：9，已知地球表面的重力加速度为 g，地球半径为 R，
万有引力常量为 G，忽略自转的影响，则（ ）
A．火星表面与地球表面的重力加速度之比为 2：9
B．火星的密度为 3π
g
GR
C．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 2 :3
D．若王跃以相同初速度在火星表面与地球表面能竖直跳起的最大高度之比为
9：4
【答案】CD
【详解】
A．星球表面重力与万有引力相等有
2
GMmmg R
可得重力加速度为
2
GMg R
得火星与地球表面的重力加速度之比为
' 4
9
g
g
35
故 A 错误；
B．在火星表面重力与万有引力相等有
'2
'' GM mmg R
得火星的质量为
2'' '
gRM G
火星的体积为
34π '' 3
RV 所以火星的密度为
'2
'3
' 43' 3 ' 29' 14π' 4 π ' 3 π4 π× 23
g R gM g gG
RV G R G RG R
故 B 错误；
C．根据
2
1
2
vGMm mR R
得
1
GMv R
所以火星与地球的第一宇宙速度之比
1 2 2
9 1 3
v M R
v M R
火 火 地
地 地 火
故 C 正确；
D．根据公式 22gh v 得
2
2
vh g
所以以相同初速度在火星表面与地球表面能竖直跳起的最大高度之等于火星
36
表面与地球表面重力加速度的反比，即 9：4，故 D 正确。
故选 CD。
18．引力波探测于 2017 年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是产生引力波的来
源之一，假设宇宙中有一双星系统由 P、Q 两颗星体组成，这两颗星绕它们连
线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得 P 星的周期为 T，P、
Q 两颗星的距离为 l，P、Q 两颗星的轨道半径之差为 r P（ 星的轨道半径大于
Q 星的轨道半径），万有引力常量为 G，则（ ）
A．Q、P 两颗星的质量差为
2
2
4 rl
GT
B．P、Q 两颗星的运动半径之比为 l
l r
C．P、Q 两颗星的线速度大小之差为 2 r
T
D．P、Q 两颗星的质量之比为 l r
l r
【答案】CD
【详解】
ABD．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相
等，所以 Q 星的周期为 T，根据题意可知
P Qr r l
P Qr r r
解得
2P
l rr
2Q
l rr
则 P、Q 两颗星的运动半径之比为 l r
l r
，根据
37
2 2
2
P Q
P P Q Q
m m m r m rl
可得
2 2
Q
P
r lm G
2 2
P
Q
r lm G
则质量差为
2 2 2 2 2 2 2 2
2
4)Q P
P Q Q P
r l r l l l rm m r rG G G GT
（
质量比为
QP
Q P
rm l r
m r l r
故 AB 错误，D 正确；
C．P 星的线速度大小
2 P
P
r l rv T T
（ ）
Q 星的线速度大小
2 Q
Q
r l rv T T
（ ）
则 P、Q 两颗星的线速度大小之差为
2
P Q
rv v v T
故 C 正确。
故选 CD。
19．引力波探测于 2017 年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是产生引力波的来
源之，假设宇宙中有一双星系统由 P、Q 两颗星体组成，这两颗星绕它们连
38
线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得 P 星的周期为 T，P、
Q 两颗星的距离为 l，两颗星的轨道半径之差为△r（P 星的轨道半径大于 Q
星的轨道半径）引力常量为 G，则 Q、P 两颗星的线速度大小之差的绝对值
△v，质量之差的绝对值△m 为（ ）
A． rv T
B． 2 rv T
C．
2 2
2
2 l rm GT
D．
2 2
2
4 l rm GT
【答案】BD
【详解】
双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所
以 Q 星的周期为 T；根据题意可知
P Qr r l
P Qr r r
解得
2P
l rr
2Q
l rr
AB． P 星的线速度大小
2 P
P
r l rv T T
（ ）
Q 星的线速度大小
2 Q
Q
r l rv T T
（ ）
则 P、Q 两颗星的线速度大小之差为
2
P Q
rv v v T
39
故 A 错误，B 正确；
CD．根据
2 2
2
P Q
P P Q Q
m mG m r m rl
可
2 2
Q
P
r lm G
2 2
P
Q
r lm G
则质量差为
2 2 2 2 2 2 2 2
2
4)Q P
P Q Q P
r l r l l l rm m m r rG G G GT
（
选项 C 错误，D 正确。
故选 BD。
20．甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的
2 倍。下列应用公式进行的推论正确的有（ ）
A．由v gR 可知，甲的速度是乙的 2 倍
B．由 2a r 可知，甲的向心加速度是乙的 2 倍
C．由 2
MmF G r
可知，甲的向心力是乙的 1
4
D．由
3
2
r kT
可知，甲的周期是乙的2 2 倍
【答案】CD
【详解】
卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则
40
2 2
2
2 2
4GMm mvF m r m r mar r T
向
A．因为在不同轨道上 g 是不一样的，故不能根据v gR 得出甲乙速度的关系，
卫星的运行线速度
GMv r
代入数据可得
2= 2
v r
v r
甲 乙
乙 甲
故 A 错误；
B．因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据 2a r 得出两卫星
加速度的关系，卫星的运行加速度
2
GMa r
代入数据可得
2
2
1= 4
a r
a r
甲 乙
乙 甲
故 B 错误；
C．根据 2
GMmF r
向 ，两颗人造卫星质量相等，可得
2
2
1= 4
F r
F r
向甲 乙
乙 甲向
故 C 正确；
D．两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律
3
2
r kT
，可得
3
3 =2 2T r
T r
甲 甲
乙 乙
故 D 正确。
41
故选 CD。
21．如图所示，绕同一恒星运行的两颗行星 A 和 B，已知 A B2m m ，且 A 的轨道
是半径为 r 的圆轨道，B 的轨道是长轴QQ 为 2r 的椭圆轨道，其中Q到恒星
中心的距离为 Q 到恒星中心的距离的 2 倍，两轨道相交于 P 点。则：
(1)计算 A、B 绕恒星运动的周期之比；
(2)计算 A 在 P 点受到恒星的引力 AF 与 B 在 Q 点受到恒星的引力 BF 之比。
【答案】(1)1:1；(2) 8
9
【详解】
(1)由开普勒第三定律
3
2
a kT
得
3 3
A B
2 2
A B
R R
T T
由题意知
A BR rR
解得
A B: 1:1T T
42
(2)由于 A 的轨道是半径为 r 的圆轨道，B 的轨道是长轴QQ 为 2r 的椭圆轨道，
其中Q到恒星中心的距离为 Q 到恒星中心的距离的 2 倍，因此 P 点到恒星的
中心的距离与 B 到 Q 点到恒星中心的距离为
pr r ， Q
2
3
rr
根据万有引力定律得 A 在 P 点受到恒星的引力与 B 在 Q 点受到恒星的引力之比
A
2
A P
BB
2
Q
MmGF r
MmF G r
解得
A
B
8
9
F
F
22． 2020 年 7 月 31 日，随着北斗三号全球卫星导航系统建成开通，“太空丝
绸之路”走上服务全球造福人类的时代新舞台！北斗系统的空间段主要由地
球同步轨道(GEO)卫星和中轨道(MEO)卫星等组成。如图为导航系统中的
MEO 卫星轨道(低于 GEO 卫星轨道)示意图，MEO 卫星绕地球做匀速圆周运
动时对地球的张角为θ，已知地球半径为 R0，地球表面处的重力加速度大小为
g，不考虑地球的自转，求：
(1)MEO 卫星绕地球做匀速圆周运动的周期；
(2)设有 GEO 和 MEO 两卫星均在赤道平面内运行，其周期分别为 T1 和 T2。
若某时刻两者与地球球心成一直线，求三者再次位于一直线的最短时间间隔。
43
【答案】(1)
0
3
2
sin ( )2
RT
g
；(2) 1 2
1 22( )
TTt T T
【详解】
(1)在地球表面
2
0
Mmmg G R
MEO 卫星绕地球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
2
2 2
4MmG m rr T
由几何关系得
0
sin 2
Rr
MEO 卫星绕地球做匀速圆周运动的周期
0
3
2
sin ( )2
RT
g
(2)设三者在一条直线到再次位于一直线，GEO 卫星运动的圆心角为θG，MEO
卫星运动的圆心角为θM，若经历最短的时间间隔为 t，则有
θM-θG=π
则有
2 1
2 2 tT T
最短时间间隔
1 2
1 22( )
TTt T T
23．在天文观测中，观测到质量相等的三颗星始终位于边长为 L 的等边三角形三
44
个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为 T 的匀速圆周运动，如图所示。
已知引力常量为 G，不计其他星球对它们的影响。
（1）求每颗星的质量 m；
（2）若三颗星两两之间的距离均增大为原来的 2 倍，求三颗星稳定运动时的
线速度大小 v。
【答案】（1）
2 3
2
4
3
Lm GT
；（2） 6
3
Lv T
【详解】
（1）由受力分析可知，三颗星要稳定的运动，每颗星受到的合力一定指向圆
心，由几何关系可知，轨道半径
1
3
3r L
它们两两之间的万有引力大小
2
2
mF G L
每颗星的向心力由另两颗星对它的万有引力的合力提供，则
2
12
42 cos30F m rT
45
解得
2 3
2
4
3
Lm GT
（2）由万有引力提供向心力可知
2 2
2 2
3 4Gm m rr T
可知
3
2
2 3
1
rT Tr
又
2
2
2 rv T
， 2 12r r
解得
6
3
Lv T
24．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：
三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，
绕某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示
为 A、B、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）若 A 星体的质量为 2m，B、
C 两星体的质量均为 m，三角形的边长为 a，求：
（1）A 星体所受合力的大小 FA；
46
（2）B 星体所受合力的大小 FB；
（3）C 星体的轨道半径 RC；
（4）三星体做圆周运动的周期 T．
【答案】（1）
2
22 3 Gm
a
（2）
2
2
7Gm
a
（3） 7
4 a （4） 3
π aT Gm
【详解】
（1）由万有引力定律，A 星体所受 B、C 星体引力大小为
2
4 2 2
2A B
R CA
m m mF G G Fr a
,
则合力大小为
2
22 3A
mF G a
（2）同上，B 星体所受 A、C 星体引力大小分别为
2
2 2
2
2 2
2A B
AB
C B
CB
m m mF G Gr a
m m mF G Gr a
则合力大小为
2
2cos60 2Bx AB CB
mF F F G a
2
2sin 60 3By AB
mF F G a
．
可得
2
2 2
27B Bx By
mF F F G a
（3）通过分析可知，圆心 O 在中垂线 AD 的中点，
47
2 23 1 7
4 2 4CR a a a
（4）三星体运动周期相同，对 C 星体，由
22
2
27C B C
mF F G m Ra T
可得
2
2
aT Gm
25．如图所示，卫星沿椭圆轨道绕地球运动，近地点 A 到地面的距离可忽略不计，
远地点 B 与地球同步卫星高度相同。关于该卫星的下列说法中正确的是（地
球表面重力加速度 g 取 10m/s2）（ ）
A．在 A 点的速度 vA 可能小于 7.9km/s
B．在 A 点的加速度 aA 可能大于 10m/s2
C．在 B 点的速度 vB 一定小于地球同步卫星的运行速度
D．在 B 点的加速度 aB 一定小于地球同步卫星在该点的加速度
【答案】C
【详解】
A．卫星发射速度为 7.9km/s 时可以成为绕地球的近地卫星，要变轨为椭圆轨
道，需要向后喷气加速，则过 A 点的速度大于 7.9km/s，故 A 错误；
B．A 点离地面的高度忽略不计，则 A 点的加速度由万有引力产生，故 A 点的
加速度等于地面处的重力加速度为 10m/s2，故 B 错误；
48
C．卫星经过椭圆的 B 点时，需要加速变轨为同步卫星轨道，故 B 点速度一定
小于同步卫星的线速度，故 C 正确；
D．卫星在椭圆轨道的 B 点和在同步卫星轨道的 B 点，都是万有引力产生加速
度，故 B 点的加速度等于同步卫星的加速度，故 D 错误；
故选 C。
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