2021 年湘豫名校联盟高考数学联考试卷（文科）（4 月份）
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则 A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{1，2} D．{2}
2．已知复数 z 满足 z+ ＝8，z ＝25，则 z＝（ ）
A．3±4i B．±3+4i C．4±3i D．±4+3i
3．椭圆 C： ＝1 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．2021 年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语 3 门必
选科目外，考生再从物理、历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作为选
考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均
缩放成 5 分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的
是（ ）
A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、历史
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
5．已知 a＝log0.22，b＝20.3，c＝0.20.3，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a
6．已知 f（x）是奇函数，当 x≥0 时，f（x）＝ex﹣1（其中 e 为自然对数的底数），则 f（ln ）
＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
7．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别是它们所在线段的中点，则满足 A1F∥平面
BD1E 的图形个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若 tan
α
＝2sin（
α
﹣
π
），则 cos2
α
＝（ ）
A． B．1 C． 或 0 D． 或 1
9．设曲线 y＝lnx 与 y＝（x+a）2 有一条斜率为 1 的公切线，则 a＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．
10．已知双曲线 C： ＝1 的右焦点为 F，过原点 O 的直线与双曲线 C 交于 A，B 两
点，且∠AFB＝60°，则△ABF 的面积为（ ）
A．3 B． C．3 D．6
11．某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课
程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙
没有相同课程．则以下说法错误的是（ ）
A．丙有可能没有选素描
B．丁有可能没有选素描
C．乙丁可能两门课都相同
D．这四个人里恰有 2 个人选素描
12．如图，A，B，C，D，P 是球 O 上 5 个点，ABCD 为正方形，球心 O 在平面 ABCD 内，
PB＝PD，PA＝2PC，则 PA 与 CD 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知 ， 均为单位向量，若| ﹣ |＝ ，则 与 的夹角为 ．
14．若实数 x，y 满足约束条件 则 z＝2x+y 的最大值为 ．
15．已知的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 cosA（sinC﹣cosC）＝cosB，a＝2，c
＝ ，则角 C 大小为 ．
16．如图，函数 f（x）＝2sin（
ω
x+
φ
）（
ω
＞0，0＜
φ
＜
π
）的图象与坐标轴交于点 A，B，
C，直线 BC 交 f（x）的图象于点 D，O（坐标原点）为△ABD 的重心（三条边中线的交
点），其中 A（﹣
π
，0），则△ABD 的面积为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
60 分。
17．已知{an}是等差数列，a1＝1，a4＝10，且 a1，ak（k
∈
N*），a6 是等比数列{bn}的前 3 项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}是由数列{an}的项删去数列{bn}的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，
求数列{cn}的前 20 项的和．
18．如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ADC＝60°，现将△ADC 沿 AC 边折到△APC
的位置．
（1）求证：PB⊥AC；
（2）求三棱锥 P﹣ABC 体积的最大值．
19．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率＝利润÷保费收入）的频率分布直方
图如图所示：
（Ⅰ）试估计平均收益率；
（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在 20 元的基础上每增加 x 元，对应的销量 y（万份）
与 x（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下 5 组 x 与 y 的对应数据：
x（元） 25 30 38 45 52
销售 y（万册） 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8
据此计算出的回归方程为 ．
（i）求参数 b 的估计值；
（ii）若把回归方程 当作 y 与 x 的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率
估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该
最大收益．
20．已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，过 F 的所有弦中，最短弦长为 4．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）在抛物线 C 上有异于顶点的两点 A，B，过 A，B 分别做 C 的切线记两条切线交于
点 Q 连接 QF，AF，BF，求证：QF2＝|AF|•|BF|．
21．已知函数 f（x）＝ex﹣x﹣a，对于
∀
x
∈
R，f（x）≥0 恒成立．
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）证明：当 时，cosx+tanx≤ex．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是曲线 C1：x2+（y﹣2）2＝4 上的动点，将 OP 绕点
O 顺时针旋转 90°得到 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，点 ，射线
θ
＝ 与曲线 C1，C2 分别相交于异
于极点 O 的 A，B 两点，求△MAB 的面积．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x﹣ |+|x﹣
λ
|，其中
λ
＞0．
（1）若对任意 x
∈
R，恒有 f（x）≥ ，求
λ
的最小值；
（2）在（1）的条件下，设
λ
的最小值为 t，若正数 m，n 满足 m+2n＝tmn，求 2m+n 的最
小值．
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则 A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{1，2} D．{2}
解：∵集合 A＝{﹣1，0，1，2}，
B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，
∴A∩B＝{2}．
故选：D．
2．已知复数 z 满足 z+ ＝8，z ＝25，则 z＝（ ）
A．3±4i B．±3+4i C．4±3i D．±4+3i
解：设 z＝a+bi（a，b
∈
R），依题意得，2a＝8，a2+b2＝25．
解得 a＝4，b＝±3，
所以 z＝4±3i．
故选：C．
3．椭圆 C： ＝1 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：椭圆 C： ＝1，可知 a＝ ，b＝ ，c＝ ＝1，
所以椭圆的离心率为 e＝ ＝ ．
故选：C．
4．2021 年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语 3 门必
选科目外，考生再从物理、历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作为选
考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均
缩放成 5 分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的
是（ ）
A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、历史
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
解：甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、生物（物理），
C 选项错，
故选：C．
5．已知 a＝log0.22，b＝20.3，c＝0.20.3，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a
解：∵a＝log0.22＜log0.21＝0，∴a＜0，
∵b＝20.3＞20＝1，∴b＞1，
∵0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b，
故选：A．
6．已知 f（x）是奇函数，当 x≥0 时，f（x）＝ex﹣1（其中 e 为自然对数的底数），则 f（ln ）
＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
解：∵f（ln ）＝f（﹣ln2）
∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）
∵当 x≥0 时，f（x）＝ex﹣1，
则 f（ln ）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（eln2﹣1）＝﹣1
故选：A．
7．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别是它们所在线段的中点，则满足 A1F∥平面
BD1E 的图形个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：
①
中，平移 A1F 至 D1F′，可知 D1F′与面 BD1E 只有一个交点 D1，则 A1F 与平面
BD1E 不平行；
②
中，由于 AF∥DE，而 AF
⊄
平面 BDE，DE
⊂
平面 BDE，故 A1F∥平面 BD1E；
③
中，平移 A1F 至 D1F′，可知 D1F′与面 BD1E 只有一个交点 D1，则 A1F 与平面 BD1E
不平行；
故选：B．
8．若 tan
α
＝2sin（
α
﹣
π
），则 cos2
α
＝（ ）
A． B．1 C． 或 0 D． 或 1
解：由题设得， ，
所以 sin
α
＝0，或 ．
所以 cos2
α
＝1﹣2sin2
α
＝1，或 ．
故选：D．
9．设曲线 y＝lnx 与 y＝（x+a）2 有一条斜率为 1 的公切线，则 a＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．
解：设与曲线 y＝lnx 相切的切点为（m，n），
y＝lnx 的导数为 y′＝ ，
由切线的斜率为 1，可得 ＝1，即 m＝1，
则切点为（1，0），
切线的方程为 y＝x﹣1，
与 y＝（x+a）2 联立，可得 x2+（2a﹣1）x+a2+1＝0，
由△＝（2a﹣1）2﹣4（a2+1）＝0，解得 a＝﹣ ，
故选：B．
10．已知双曲线 C： ＝1 的右焦点为 F，过原点 O 的直线与双曲线 C 交于 A，B 两
点，且∠AFB＝60°，则△ABF 的面积为（ ）
A．3 B． C．3 D．6
解：设双曲线的左焦点为 F1，连接 AF1，BF1，
由双曲线的定义知，|BF1|﹣|BF|＝2a＝8，|F1F|＝2c＝10，
由双曲线的对称性知，∠AFF1＝∠BF1F，
∵∠AFB＝60°，即∠AFF1+∠BFF1＝60°，
∴∠BF1F+∠BFF1＝60°，∴∠F1BF＝120°，
在 △ F1BF 中 ， 由 余 弦 定 理 知 ， cos ∠ F1BF ＝ ＝
，
∴﹣ ＝ ，
∴|BF|•|BF1|＝12，
∴△ABF 的面积 S＝ ＝ |BF|•|BF1|•sin∠F1BF＝ ×12×sin120°＝3 ．
故选：C．
11．某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课
程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙
没有相同课程．则以下说法错误的是（ ）
A．丙有可能没有选素描
B．丁有可能没有选素描
C．乙丁可能两门课都相同
D．这四个人里恰有 2 个人选素描
解：因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．
那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；
若丙没选素描，则丁必定选择了素描．
综上，必定有且只有 2 人选择素描，选项 A，B，D 判断正确
不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，
则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：
情形一：
甲 乙 丙 丁
素描 √ × √ ×
摄影 √ × × √
情形二：
甲 乙 丙 丁
素描 √ × × √
摄影 √ × √ ×
由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此 C 不正确．
故选：C．
12．如图，A，B，C，D，P 是球 O 上 5 个点，ABCD 为正方形，球心 O 在平面 ABCD 内，
PB＝PD，PA＝2PC，则 PA 与 CD 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：ABCD 为正方形，故 AB∥CD，所以∠PAB 即为所求异面直线所成角，
设球 O 的半径为 R，由题意可得 PA2+PC2＝4R2，又 PA＝2PC，
可得 ， ， ，
所以 ．
故选：D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知 ， 均为单位向量，若| ﹣ |＝ ，则 与 的夹角为 ．
解：根据题意，设 与 的夹角为
θ
，
， 均为单位向量，若| ﹣ |＝ ，则| ﹣ |2＝3，
变形可得：cos
θ
＝﹣ ，
又由 0≤
θ
≤
π
，则
θ
＝ ，
故答案为： ．
14．若实数 x，y 满足约束条件 则 z＝2x+y 的最大值为 4 ．
解：作出可行域如图所示，
则当直线 z＝2x+y 过点 A 时直线的截距最大，z 取最大值．
由
⇒
；
∴A（3，﹣2），z 取最大值：2×3﹣2＝4．
故答案为：4．
15．已知的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 cosA（sinC﹣cosC）＝cosB，a＝2，c
＝ ，则角 C 大小为 ．
解：因为 cosA（sinC﹣cosC）＝cosB，所以 cosA（sinC﹣cosC）＝﹣cos（A+C），
所以 cosAsinC＝sinAsinC，所以 sinC（cosA﹣sinA）＝0，
因为 C
∈
（0，
π
），∴sinC≠0，所以 cosA＝sinA，则 tanA＝1，所以 ，
又 ，则 ，因为 c＜a，所以 ，故 ．
故答案为： ．
16．如图，函数 f（x）＝2sin（
ω
x+
φ
）（
ω
＞0，0＜
φ
＜
π
）的图象与坐标轴交于点 A，B，
C，直线 BC 交 f（x）的图象于点 D，O（坐标原点）为△ABD 的重心（三条边中线的交
点），其中 A（﹣
π
，0），则△ABD 的面积为 ．
解：因为 O 为△ABD 的重心，A（﹣
π
，0），
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ．
因为 ，
所以 ，
又 0＜
φ
＜
π
，
所以 ，
所以 ，
于是 ，
故△ABD 的面积为 ．
故答案为： ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
60 分。
17．已知{an}是等差数列，a1＝1，a4＝10，且 a1，ak（k
∈
N*），a6 是等比数列{bn}的前 3 项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}是由数列{an}的项删去数列{bn}的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，
求数列{cn}的前 20 项的和．
解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，
由 a1＝1，a4＝10，可得 1+3d＝10，解得 d＝3，
则 an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；
且 a1，ak（k
∈
N*），a6 是等比数列{bn}的前 3 项，
可得 ak2＝a1a6，即有（3k﹣2）2＝16，解得 k＝2，
则等比数列{bn}的公比为 ＝4，
则 bn＝4n﹣1；
（2）由（1）可得 an＝3n﹣2，bn＝4n﹣1，
当取数列{an}的前 24 项时，包含数列{bn}的前 4 项，
此时{cn}中包含 20 项，
所以数列{cn}的前 20 项的和为 24×1+ ×24×23×3﹣（1+4+16+64）
＝767．
18．如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ADC＝60°，现将△ADC 沿 AC 边折到△APC
的位置．
（1）求证：PB⊥AC；
（2）求三棱锥 P﹣ABC 体积的最大值．
解：（1）证明：如图
取 AC 的中点为 O，连接 PO、OB…………（1 分）
易得 AC⊥PO，AC⊥OB…………
∴AC⊥平面 POB…………
又 PB 在平面 POB 内∴AC⊥PB…………
（2）VP﹣ABC＝VA﹣POB+VC﹣POB…………
＝ …………
当∠POB＝90°时，VP﹣ABC 的最大值为 1 …………
19．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率＝利润÷保费收入）的频率分布直方
图如图所示：
（Ⅰ）试估计平均收益率；
（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在 20 元的基础上每增加 x 元，对应的销量 y（万份）
与 x（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下 5 组 x 与 y 的对应数据：
x（元） 25 30 38 45 52
销售 y（万册） 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8
据此计算出的回归方程为 ．
（i）求参数 b 的估计值；
（ii）若把回归方程 当作 y 与 x 的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率
估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该
最大收益．
解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，
取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
平均收益率为 0.05×0.10+0.15×0.20+0.25×0.25+0.35×0.30+0.45×0.10+0.55×0.05
＝ （50+300+625+1050+450+275）＝0.275．
（Ⅱ）（i） ＝ ， ＝
所以
（ii）设每份保单的保费为 20+x 元，则销量为 y＝10﹣0.1x，
则保费收入为 f（x）＝（20+x）（10﹣0.1x）万元，f（x）＝200+8x﹣0.1x2＝360﹣0.1（x
﹣40）2
当 x＝40 元时，保费收入最大为 360 万元，
保险公司预计获利为 360×0.275＝99 万元．
20．已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，过 F 的所有弦中，最短弦长为 4．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）在抛物线 C 上有异于顶点的两点 A，B，过 A，B 分别做 C 的切线记两条切线交于
点 Q 连接 QF，AF，BF，求证：QF2＝|AF|•|BF|．
解：（1）当过 F 的直线的斜率不存在时，此时弦长为 2p，
当过 F 的直线的斜率存在时，设直线的方程为 y＝k（x﹣ ），与抛物线的方程 y2＝2px
联立，
可得 k2x2﹣p（k2+2）x+ ＝0，
可得弦长 l＝x1+x2+p＝p+ +p＝2p+ ＞2p，
所以最短弦长为 2p＝4，即 p＝2，
所以抛物线的方程为 y2＝4x；
（2）证明：可设 A（ ，y1），B（ ，y2），
过 A 的切线 AQ 的方程为 y＝k1（x﹣ ）+y1，
与 y2＝4x 联立，可得 y2﹣y﹣ +y1＝0，
由△＝1﹣k1（y1﹣ ）＝0，解得 k1y1＝2，
所以切线 AQ 的方程为 y1y＝2x+ ，
同理可得切线 BQ 的方程为 y2y＝2x+ ，
联立可得 Q 的坐标为（ ， ），
于是|AF|•|BF|＝（1+ ）（1+ ），
|QF|2＝（ ﹣1）2+ ＝ + + +1＝（1+ ）（1+ ），
所以|QF|2＝|AF|•|BF|．
21．已知函数 f（x）＝ex﹣x﹣a，对于
∀
x
∈
R，f（x）≥0 恒成立．
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）证明：当 时，cosx+tanx≤ex．
解：（1）由 ex﹣x﹣a≥0 恒成立，得 a≤ex﹣x 对
∀
x
∈
R 恒成立，
令 g（x）＝ex﹣x，g'（x）＝ex﹣1，
当 x＞0，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当 x＜0，g'（x）＜0，g（x）单调减，g（x）min＝g（0）＝1，
故所求实数 a 的取值范围为（﹣∞，1]；
（2）证明：由（1）得 ex≥x+1．
欲证 cosx+tanx≤ex，只需证 cosx+tanx≤x+1 即可，
令 h（x）＝cosx+tanx﹣x﹣1，
，
令 F（x）＝sinx+sin2x﹣1，则易知 F（x）在 单调递增，且 F（0）＜0， ，
故存在 ，使得 F（x0）＝0；
当 x
∈
[0，x0）时，F（x）＜0，h'（x）≤0，h（x）单调递减，
当 时，F（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
又 h（0）＝0， ，h（x）max＝h（0）＝0，
故当 时，cosx+tanx≤ex．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是曲线 C1：x2+（y﹣2）2＝4 上的动点，将 OP 绕点
O 顺时针旋转 90°得到 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，点 ，射线
θ
＝ 与曲线 C1，C2 分别相交于异
于极点 O 的 A，B 两点，求△MAB 的面积．
解：（1）由题知点 Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆，
所以曲线 C2 的方程为（x﹣2）2+y2＝4．…………………………………………
∵
ρ
2＝x2+y2，x＝
ρ
cos
θ
，y＝
ρ
sin
θ
，
所以曲线 C1 的极坐标方程为
ρ
＝4sin
θ
，…………………………………………
曲线 C2 的极坐标方程为
ρ
＝4cos
θ
．………………………………………………
（2）在极坐标系中，设点 A，B 的极径分别为
ρ
1，
ρ
2，
所以 ，………………………
点 到射线 的距离为 ，…………………
故△MAB 的面积 ．………………………
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x﹣ |+|x﹣
λ
|，其中
λ
＞0．
（1）若对任意 x
∈
R，恒有 f（x）≥ ，求
λ
的最小值；
（2）在（1）的条件下，设
λ
的最小值为 t，若正数 m，n 满足 m+2n＝tmn，求 2m+n 的最
小值．
解：∵f（x）＝|x﹣ |+|x﹣
λ
|≥|（x﹣ ）﹣（x﹣
λ
）|＝|
λ
﹣ |，∴f（x）min＝|
λ
﹣ |，
对任意 x
∈
R，恒有 f（x）≥
⇔
|
λ
﹣ |≥ ，解得
λ
≥1 或
λ
≤0，
又∵
λ
＞0，故
λ
≥1，所以
λ
的最小值为 1．
（2）由（1）得 t＝1，∴m+2n＝mn，∴ + ＝1，
∴2m+n＝（2m+n）（ + ）＝ + +5≥2 +5＝9，
当且仅当 ＝ ，即 m＝n＝3 时取等号，
∴2m+n 的最小值为 9．
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