第六届湖北省高三（4 月）调研模拟考试
数学试卷
2021.4
本试题卷共 6 页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 2 4 3 0A x x x ， 4 8xB x ，则 A B （ ）
A． 31, 2
B． 3,32
C． (2,3) D． (1,3)
2． 62 ( 1)x xx
的展开式中，含 3x 项的系数为（ ）
A．45 B． 45 C．15 D． 15
3．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 10 20S ， 20 30S ，则 30S （ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
4．设椭圆
2 2
14 3
x y 的一个焦点为 F ，则对于椭圆上两动点 A ， B ， ABF 周长的最大值为（ ）
A． 4 5 B．6 C． 2 5 2 D．8
5．下列对不等关系的判断，正确的是（ ）
A．若 1 1
a b
，则 3 3a b B．若 2 2
| | | |a b
a b
，则 2 2a b
C．若 2 2ln lna b ，则 | | | |2 2a b D．若 tan tana b ，则 a b
6．已知 ( )f x ， ( )g x 分别为定义在 R 上的奇函数和偶函数，则下列为奇函数的是（ ）
A． ( ( ))f g x B． ( ( ))g f x C． ( ( ))f f x D． ( ( ))g g x
7．为了更好地解决就业问题，国家在 2020 年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相
关政策去鼓励“地摊经济”．某摊主 2020 年 4 月初向银行借了免息贷款 8000 元，用于进货，因质优价廉，
供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的 20%，每月底扣除生活费 800 元，余款作为资金
全部用于下月再进货，如此继续，预计到 2021 年 3 月底该摊主的年所得收入为（ ）（取 11(1.2) 7.5 ，
12(1.2) 9 ）
A．24000 元 B．26000 元 C．30000 元 D．32000 元
8．在 ABC 中， 4AB ， 6AC ， 5BC ，点O 为 ABC 的外心，若 AO AB AC ，则
（ ）
A． 2
3
B． 3
5
C． 4
7
D． 5
9
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中有多项符合题目
要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分）
9．四张外观相同的奖券让甲，乙，丙，丁四人各随机抽取一，其中只有一张奖券可以中奖，则（ ）
A．四人中奖概率与抽取顺序无关
B．在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为 2
3
C．事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥
D．事件甲中奖与事件乙中奖互相独立
10．已知 为第一象限角， 为第三象限角，且 3sin 3 5
， 12cos 3 13
，则 cos( ) 可
以为（ ）
A． 33
65
B． 63
65
C． 33
65
D． 63
65
11．若四棱锥 P ABCD 的底面为矩形，则（ ）
A．四个侧面可能都是直角三角形
B．平面 PAB 与平面 PCD的交线与直线 AB ，CD 都平行
C．该四棱锥一定存在内切球
D．该四棱锥一定存在外接球
12．设 ( ) 2 | sin | cosf x x x ，则下列关于 ( )f x 的判断正确的有（ ）
A．对称轴为 x k ， k Z B．最小值为 5
C．一个极小值为 1 D．最小正周期为
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．设复数 1 3 iz ，若 2
1
iz
z
，则 1 2z z ________．
14．某圆台下底半径为 2，上底半径为 1，母线长为 2，则该圆台的表面积为________．
15．以抛物线 2 2 ( 0)y px p 焦点 F 为端点的一条射线交抛物线于点 A ，交 y 轴于点 B ，若| | 2AF ，
| | 3BF ，则 p ________．
16．若存在两个不相等的正实数 x ，y ，使得 2 2( ) e e 0y xm y x 成立，则实数 m 的取值范围是________．
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（本小题满分 10 分）
在① 3 4 20a b ，② 1 2a b ，③ 3 45 4S b 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
已知数列 na 为正项递增等比数列，其前 n 项和为 nS ， nb 为等差数列，且 2 42 1b b ， 5 23b b ， 2 5a b ，
________，求数列
3 2 1
1
logn nb a
的前 n 项和 nT ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) sin cos 3f x x x
．
（1）求 ( )f x 的单调增区间；
（2） ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 A 锐角，若 3( ) 4f A ， 5a ， 3b c ，
求 ABC 的面积．
19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面为菱形， M 为 1BB 中点， N 为 1AA 中点， P 为 1 1B C 中点．
（1）证明：直线 PN // 平面 AMD ；
（2）若 1AA 平面 ABCD ， 2AB ， 1 4AA ， 60BAD ，求平面 AMD 与平面 1PND 所成的锐二
面角的余弦值．
20．（本小题满分 12 分）
第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 2 月 4 日至 2022 年 2 月 20 日在北京举行实践“绿色奥运、科
技奥运、人文奥运”理念，举办一届“有特色、高水平”的奥运会，是中国和北京的庄严承诺，也是全世
界的共同期待．为宣传北京冬奥会，激发人们参与冬奥会的热情，某市开展了关于冬奥知识的有奖问答．从
参与的人中随机抽取 100 人，得分情况如下：
（Ⅰ）得分在 80 分以上称为“优秀成绩”，从抽取的 100 人中任取 2 人，记“优秀成绩”的人数为 X ，求 X
的分布列及数学期望；
（Ⅱ）由直方图可以认为，问卷成绩值Y 服从正态分布 2,N ，其中 近似为样本平均数， 2 近似为
样本方差．
①求 (77.2 89.4)P Y ；
②用所抽取 100 人样本的成绩去估计城市总体，从城市总人口中随机抽出 2000 人，记 Z 表示这 2000 人中
分数值位于区间 (77.2,89.4) 的人数，利用①的结果求 ( )E Z ．
参考数据： 150 12.2 ， 146 12.1 ， ( ) 0.6826P Y ，
( 2 2 ) 0.9544P Y ， ( 3 3 ) 0.9974P Y ．
21．（本小题满分 12 分）
过双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x y a ba b
左焦点 1F 的动直线 l 与 的左支交于 A ，B 两点，设 的右焦点为 2F ．
（1）若三角形 2ABF 可以是边长为 4 的正三角形，求此时 的标准方程；
（2）若存在直线l ，使得 2 2AF BF ，求 离心率的取值范围．
22．（本小题满分 12 分）
已知 2( ) e (2 1)ex xf x a a x ， aR ．
（1）讨论 ( )f x 的单调区间；
（2）若 0x ， ( ) (3 1)cosf x a x 恒成立，求实数 a 的取值范围．
第六届湖北省高三（4 月）调研模拟考试数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A B D C C D C ABC CD ABD AC
二、填空题
13． 2 2 14．11 15．3 16． 2m
三、解答题
17．设 na 公比 q ， nb 公比 d ，则：
2 4 1 1 1
5 2 1 1
2 1 2 2 3 1 1 2 13 4 3 3 2 n
b b b d b d b b nb b b d b d d
∴ 2 5 9a b
若选① 3
3 4
2
20 27 3 3n
n
aa b q aa
若选② 2
1 2
1
3 3 3n
na ab q aa
若选③ 3 2
1 139 1 39 3,3S a q qq
，又因为 na 递增，
∴
3 2 1
1 1 1 1 13 3 log (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1
n
n
n n
q a b a n n n n
1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 3 5 2 1 2 1 2 1n
nT n n n
18．（1）
2cos 3sin sin cos 3sin( ) sin 2 2 2 2
x x x x xf x x
sin 2sin 2 3cos2 3 33
4 4 4 2 4
xx x
令 2 2 22 3 2k x k ， 5
12 12k k x k Z
( )f x 的单调增区间是 5 ,12 12k k
， k Z
（2）
sin 2 3 33 2 2 4 4 3
A
A k
， k Z ，∵ A 为锐角，∴
3A
由余弦定理得： 2 2 2 2 2 22 cos 5 ( ) 3 5a b c bc A b c bc b c bc
又 43 3b c bc
面积 1 1 4 3 3sin2 2 3 2 3S bc A
19．（1）连 1B N 由 1B P//BC//AD ， 1B P 平面 AMD ，∴ 1B P// 平面 AMD
1AN B M ， 1AN //B M
四边形 1ANB M 为平行四边形，
∴ 1NB //AM ，∵ 1B N 平面 AMD ，∴ 1B N // 平面 AMD
∵ 1 1 1NB B P B ，∴平面 1NB P// 平面 AMD ．∵ PN 平面 1NB P
∴ PN // 平面 AMD
（2）连 AC 交 BD 于O ，有 AC BD ，以O 为原点，OA、 OB 为 x 轴、 y 轴正方向，建立空间直角坐
标系
( 3,0,0)A ， (0, 1,0)D ， (0,1,2)M ， 3 1, ,42 2P
， ( 3,0,2)N ， 1(0, 1,4)D ， ( 3,1,0)DA ，
(0,2,2)DM ， 3 3 1, , 22 2PN
， 3 3, ,02 2PD
，
设平面 AMD 法向量 ( , , )x y z
0 3 0
2 2 00
DA x y
z yDM
，取 (1, 3, 3)
设平面 1PND 法向量 , ,x y z
3 3 1 2 00 2 2
0 3 3 02 2
x y zPN
PD x y
，取 ( 3,1,2)
平面 AMD 与平面 1PND 所成锐二面角余弦值为
| | 42| cos , 14| | | |
∣
20．（1）得分 80 以上的人数为100 10 (0.008 0.002) 10 ， X 可能取值为 0，1，2
2
90
2
100
C 89( 0) C 110P X ，
1 1
10 90
2
100
C C 2( 1) C 11P X ，
2
10
2
100
C 1( 2) C 110P X ， X 分布列为
89 2 1 1( ) 0 1 2110 11 110 5E X
X 0 1 2
P 89
110
2
11
1
110
（ 2 ）
10 (35 0.002 45 0.009 55 0.022 65 0.033 75 0.024 85 0.008 95 0.002)x 65
2 2 2 2 2(35 65) 10 0.002 (45 65) 10 0.009 (55 65) 10 0.022 ( 75 65) 10 0.024s
2 2(85 65) 10 0.008 (95 65) 10 0.002 150
取 65x ， 2 12.2s
① 1(77.2 89.4) [ ( 2 2 ) ( )] 0.13592P Y P Y P Y
② ~ (2000,0.1359)Z B ， ( ) 2000 0.1359 271.8E Z
21．（1）依题意得：
1 2AF ， 2 4AF ， 1 2 2 3F F ．∴ 2 12 2a AF AF ， 1a
1 22 2 3c F F ， 3c ， 2 2 2 2b c a
此时 的方程为
2
2 12
yx
（2）设l 的方程为 x my c ，与
2 2
2 2 1x y
a b
联立，得 2 2 2 2 2 42 0b m a y b cmy b
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则
2
1 2 2 2 2
2b cmy y b m a
，
4
1 2 2 2 2
by y b m a
，由 2 2AF BF
2 2 1 2 1 20 0F A F B x c x c y y
2 4 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 22 2 0 1 4 4 0my c my c y y m b m c b c b m a
2 2 22 4 2 2 2 2 2 2 2
4
41 4 1 1 4a cm b a c m a c c ab
∴ 4 4 2 2 4 26 0 e 6e 1 0c a a c ，
又∵ e 1 ，∴ 21 e 3 2 2
∴1 e 1 2
又 A 、 B 在左支且l 过 1F ，
∴ 1 2 0y y ，
4 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 4 2
40 1 1b a a c am mb m a b b b
∴ 2 2 2 2 24 e 5a b c a
综上所述 5 e 1 2
22．（1） 2( ) 2 e (2 1)e 1 e 1 2 e 1x x x xf x a a a
0a 时， ( ) 0f x ， ( )f x 在 ( , ) 上递减；
0a 时， ( ) 0f x ， 1ln 2x a
1ln 2x a
， ( ) 0f x ， ( )f x 递减；
1ln 2x a
， ( ) 0f x ， ( )f x 递增；
综上所述，
0a 时， ( ) 0f x ， ( )f x 在 ( , ) 上递减；
0a 时， ( )f x 在 1,ln 2a
递减； ( )f x 在 1ln ,2a
递增
（2）令 2( ) ( ) (3 1)cos e (2 1)e (3 1)cosx xg x f x a x a a x a x
当 0x ， ( ) 0g x ，取
2
2
e 2 0 02 e 2e
x a a
2( ) 2 e (2 1)e 1 (3 1)sinx xg x a a a x
当 1
2a 时，由（1）， 1ln 02a
， ( )f x 在[0, ) 上单增；
( ) (0) (3 1)cos (3 1)(1 cos ) 0g x f a x a x 满足题意
当 10 3a 时，∵ 1 sin 1x ， 2 2( ) 2 e (2 1)e 1 (3 1) 2 e (2 1)e 3x x x xg x a a a a a a
令 ex t ， 2
1( ) 2 (2 1) 3h t at a t a ， 1(1) 1 0h a ，由 1( )h t 是开口向上的二次函数，
故存在 1 21x x ，使得 1 1 1 2 0h x h x ，且 21 t x 时， 1( ) 0h t
∴ 20 lnx x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 单减 ( ) (0) 0g x g ，不合题意；
当 1 1
3 2a 时，令 ( ) e 1 sin ( 0)xF x x x ， ( ) e cos 1 cos 0 ( )xF x x x F x 单增，
∴ ( ) (0) 0F x F ，即 sin e 1xx
∴ 2 2( ) 2 e (2 1)e 1 (3 1) e 1 2 e (5 2)e 3x x x x xg x a a a a a a
令 ex t ， 2
2 ( ) 2 (5 2) 3h t at a t a ， 2 (1) 4 2 0h a ，
同理可得，故存在 1 21x x ，使得 2 1 2 2 0h x h x ，且 21 t x 时， 2 ( ) 0h t
∴ 20 lnx x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 单减 ( ) (0) 0g x g ，不合题意；
综上所述： 1
2a
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