高
中
新
课
标
理
科
数
学
(必修+选修)
所
有
知
识
点
总
结
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引言
1.课程内容：
必修课程由 5 个模块组成：
必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）
必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修 3：算法初步、统计、概率。
必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
必修 5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、
数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，
进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有 4 个系列：
系列 1：由 2 个模块组成。
选修 1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修 1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图
系列 2：由 3 个模块组成。
选修 2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修 2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数
选修 2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。
系列 3：由 6 个专题组成。
选修 3—1：数学史选讲。
选修 3—2：信息安全与密码。
选修 3—3：球面上的几何。
选修 3—4：对称与群。
选修 3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修 3—6：三等分角与数域扩充。
系列 4：由 10 个专题组成。
选修 4—1：几何证明选讲。
选修 4—2：矩阵与变换。
选修 4—3：数列与差分。
选修 4—4：坐标系与参数方程。
选修 4—5：不等式选讲。
选修 4—6：初等数论初步。
选修 4—7：优选法与试验设计初步。
选修 4—8：统筹法与图论初步。
选修 4—9：风险与决策。
选修 4—10：开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点：
重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数
难点：函数、圆锥曲线
高考相关考点：
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件
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⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与
指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函
数的图象与性质、三角函数的应用
⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用
⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应
用
⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应
用
⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布
⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数：复数的概念与运算
高中数学 必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N 表示自然数集， N 或 N 表示正整数集， Z 表示整数集，Q 表示有理数集， R 表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象 a 与集合 M 的关系是 a M ，或者 a M ，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{ x | x 具有的性质}，其中 x 为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做
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空集().
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质 示意图
子集
BA
（或
)AB
A 中的任一元素都
属于 B
(1)A A
(2) A
(3)若 BA 且 B C ，则 A C
(4)若 BA 且 B A ，则 A B 或
B A
真子集
A
B
（或
B
A）
BA ，且 B 中至
少有一元素不属于
A
（1） A
（A 为非空子集）
(2)若 A B
且 B C
，则 A C
B A
集合
相等 A B
A 中的任一元素都
属于 B，B 中的任
一元素都属于 A
(1)A B
(2)B A
A(B)
（7）已知集合 A 有 ( 1)n n 个元素，则它有 2n 个子集，它有 2 1n 个真子集，它有 2 1n 个非空子集，它有 2 2n
非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称 记号 意义 性质 示意图
交集 A B { | ,x x A 且
}x B
（1） A A A
（2） A
（3） A B A
A B B
并集 A B { | ,x x A 或
}x B
（1） A A A
（2） A A
（3） A B A
A B B
补集 U Að { | , }x x U x A 且 1 ( )UA A ð
2 ( )UA A U ð
( ) ( ) ( )U U UA B A B
( ) ( ) ( )U U UA B A B
A
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式 解集
| | ( 0)x a a { | }x a x a
| | ( 0)x a a |x x a 或 }x a
| | ,| | ( 0)ax b c ax b c c
把 ax b 看成一个整体，化成 | |x a ，
| | ( 0)x a a 型不等式来求解
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（2）一元二次不等式的解法
判别式
2 4b ac 0 0 0
二次函数
2 ( 0)y ax bx c a
的图象
O
=O L
O
一元二次方程
2 0( 0)ax bx c a
的根
2
1,2
4
2
b b acx a
（其中 1 2 )x x
1 2 2
bx x a
无实根
2 0( 0)ax bx c a
的解集
1{ |x x x 或 2}x x { |x }2
bx a
R
2 0( 0)ax bx c a
的解集
1 2{ | }x x x x
〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
（1）函数的概念
①设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有
唯一确定的数 ( )f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到
B 的一个函数，记作 :f A B ．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设 ,a b 是两个实数，且 a b ，满足 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做[ , ]a b ；满足 a x b 的
实数 x 的集合叫做开区间，记做 ( , )a b ；满足 a x b ，或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，
分 别 记 做 [ , )a b ， ( , ]a b ； 满 足 , , ,x a x a x b x b 的 实 数 x 的 集 合 分 别 记 做
[ , ),( , ),( , ],( , )a a b b ．
注意：对于集合{ | }x a x b 与区间 ( , )a b ，前者 a 可以大于或等于b ，而后者必须
a b ．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
① ( )f x 是整式时，定义域是全体实数．
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② ( )f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③ ( )f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1．
⑤ tany x 中， ( )2x k k Z ．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若 ( )f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义
域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 ( )f x 的定义域为[ , ]a b ，其复合函数 [ ( )]f g x 的定义域
应由不等式 ( )a g x b 解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小
（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度
不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或
最值．
③判别式法：若函数 ( )y f x 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y ，则
在 ( ) 0a y 时，由于 ,x y 为实数，故必须有 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y ，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函
数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对
应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
（6）映射的概念
①设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的
元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B 的映射，记
作 :f A B ．
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②给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 ,a A b B ．如果元素 a 和元素b 对应，那么我们把元素 b 叫做元
素 a 的象，元素 a 叫做元素b 的原象．
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
性 质 定义 图象 判定方法
函数的
单调性
如果对于属于定义域I 内
某个区间上的任意两个
自变量的值 x1、x2,当 x．1．= 0n ,且 n N )结论都成立。
考点三 证明
1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:
数系的扩充和复数的概念
复数的概念
(1) 复数:形如 ( , )a bi a R b R 的数叫做复数， a 和 b 分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数 ( , )a bi a R b R 中,当 0b ,就是实数; 0b ,叫做虚数;当 0, 0a b 时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
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复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设 1 2, ( , , , )z a bi z c di a b c d R 则
（1） 1 2 ( ) ( )z z a c b d i （2） 1 2 ( ) ( )z z ac bd ad bc i （3） 1
22 2
2
( ) ( ) ( 0)z ac bd ad bc i zz c d
2,几个重要的结论
(1) 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | | | 2(| | | | )z z z z z z (2) 2 2| | | |z z z z (3)若 z 为虚数,则 2 2| |z z
3.运算律
(1) m n m nz z z ;(2) ( )m n mnz z ;(3) 1 2 1 2( ) ( , )n n nz z z z m n R
4.关于虚数单位 i 的一些固定结论：
（1） 2 1i （2） 3i i （3） 4 1i （2） 2 3 4 0n n n ni i i i
数学选修 2－3
第一章 计数原理
知识点：
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有 M1 种不同的方法，在第二类办法中有 M2 种不同的方
法，……，在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法，那么完成这件事情共有 M1+M2+……+MN 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成 N 个步骤，做第一 步有 m1 种不同的方法，做第二步有 M2 不同的方法，……，
做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。
3、排列：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列
4、排列数： ),,()!(
!)1()1( Nmnnmmn
nmnnnA m
5、组合：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
6、组合数：
)!(!
!
!
)1()1(
mnm
nCm
mnnn
A
AC m
nm
m
m
nm
n
)!(!
!
!
)1()1(
mnm
nCm
mnnn
A
AC m
nm
m
m
nm
n
;mn
n
m
n CC m
n
m
n
m
n CCC 1
1
7、二项式定理： ( )a b C a C a b C a b C a b C bn
n
n
n
n
n
n
n
r n r r
n
n n 0 1 1 2 2 2 … …
8、二项式通项公式二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 ： ， … …T C a b r nr n
r n r r
1 0 1( )
第二章 随机变量及其分布
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量
叫做随机变量． 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量 X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随
机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn
X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率 P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布，简称分布列
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4、分布列性质① pi≥0, i =1，2， … ； ② p1 + p2 +…+pn= 1．
5、二点分布：如果随机变量 X 的分布列为：
其中 06.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关
回归分析
回归直线方程 bxay ˆ
其中
xSS
SP
xx
yyxx
xnx
yxnxy
b
2
22 )(
))((
)(1
1
, xbya
高中数学选修 4-1 知识点总结
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定：
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似
系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑 6 个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别
成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三
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角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，
那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个
三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的
第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三
角形相似。
相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
直角三角形的射影定理
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜
边的比例中项。
圆周定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质与判定定理
定理 1：圆的内接四边形的对角互补。
定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
与圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
选修 4-4 数学知识点
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：
1．坐标系：
① 理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
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③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行
极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极
坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结：
1．伸缩变换：设点 ),( yxP 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
).0(,yy
0),(x,x:
的作用下，点 ),( yxP
对应到点 ),( yxP ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线 Ox 叫做极轴；再选定一个长度单
位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点 M 的极坐标：设 M 是平面内一点，极点O 与点 M 的距离 || OM 叫做点 M 的极径，记为 ；以极轴Ox
为始边，射线 OM 为终边的 xOM 叫做点 M 的极角，记为 。有序数对 ),( 叫做点 M 的极坐标，记为
),( M .
极坐标 ),( 与 )Z)(2,( kk 表示同一个点。极点O 的坐标为 )R)(,0( .
4.若 0 ,则 0 ,规定点 ),( 与点 ),( 关于极点对称，即 ),( 与 ),( 表示同一点。
如果规定 20,0 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 ),( 表示；同时，极坐标 ),( 表
示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：
6。圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心， r 为半径的圆的极坐标方程是 r ；
在极坐标系中，以 )0,(aC )0( a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 cos2a ；
在极坐标系中，以
)2,( aC )0( a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 sin2a ；
7.在极坐标系中， )0( 表示以极点为起点的一条射线； )R( 表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点 )0)(0,( aaA ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 acos .
)0(nt,sin
,cos,222
xx
yay
xyx
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8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 yx, 都是某个变数t 的函数
),(
),(
tgy
tfx
并
且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 ),( yxM 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参
数方程，联系变数 yx, 的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9．圆
222 )()( rbyax 的参数方程可表示为
)(.sin
,cos 为参数
rby
rax
.
椭圆
12
2
2
2
b
y
a
x
)0( ba 的参数方程可表示为
)(.sin
,cos 为参数
by
ax
.
抛物线 pxy 22 的参数方程可表示为
)(
.2
,2 2
为参数t
pty
pxx
.
经过点 ),( ooO yxM ，倾斜角为 的直线l 的参数方程可表示为
.sin
,cos
o
o
tyy
txx
（t 为参数）.
10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使 yx, 的
取值范围保持一致.
高中数学选修 4--5 知识点
1、不等式的基本性质
①（对称性） a b b a
②（传递性） ,a b b c a c
③（可加性） a b a c b c
（同向可加性） dbcadcba ,
（异向可减性） dbcadcba ,
④（可积性） bcaccba 0,
bcaccba 0,
⑤（同向正数可乘性） 0, 0a b c d ac bd
（异向正数可除性） 0,0 a ba b c d c d
⑥（平方法则） 0 ( , 1)n na b a b n N n 且
⑦（开方法则） 0 ( , 1)n na b a b n N n 且
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⑧（倒数法则） babababa 110;110
2、几个重要不等式
① 2 2 2a b ab a b R ，
,（当且仅当 a b 时取" " 号）. 变形公式：
2 2
.2
a bab
②（基本不等式） 2
a b ab a b R，
,（当且仅当 a b 时取到等号）.
变形公式： 2a b ab
2
.2
a bab
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）
3
3
a b c abc ( )a b c R 、 、 （当且仅当 a b c 时取到等号）.
④ 2 2 2a b c ab bc ca a b R ，
（当且仅当 a b c 时取到等号）.
⑤
3 3 3 3 ( 0, 0, 0)a b c abc a b c
（当且仅当 a b c 时取到等号）.
⑥
0, 2b aab a b
若 则
（当仅当 a=b 时取等号）
0, 2b aab a b
若 则
（当仅当 a=b 时取等号）
⑦ b
a
nb
na
ma
mb
a
b
1
，（其中 0 0 0)a b m n ， ，
规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.
⑧
2 20 ;a x a x a x a x a 当 时， 或
2 2 .x a x a a x a
⑨绝对值三角不等式 .a b a b a b
3、几个著名不等式
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①平均不等式：
2 2
1 1
2
2 2
a b a baba b
， ,a b R（ ，当且仅当 a b 时取" " 号）.
（即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均）.
变形公式：
2 2 2
;2 2
a b a bab
2
2 2 ( ) .2
a ba b
②幂平均不等式：
2 2 2 2
1 2 1 2
1... ( ... ) .n na a a a a an
③二维形式的三角不等式：
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y 1 1 2 2( , , , ).x y x y R
④二维形式的柯西不等式：
2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( , , , ).a b c d ac bd a b c d R 当且仅当 ad bc 时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( ) .a a a b b b a b a b a b
⑥一般形式的柯西不等式：
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2( ... )( ... )n na a a b b b 2
1 1 2 2( ... ) .n na b a b a b
⑦向量形式的柯西不等式：
设 ,
是两个向量，则 ,
当且仅当
是零向量，或存在实数 k ，使 k
时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设 1 2 1 2... , ...n na a a b b b 为 两 组 实 数 . 1 2, ,..., nc c c 是 1 2, ,..., nb b b 的 任 一 排 列 ， 则
1 2 1 1 1 1 2 2... ...n n n n na b a b a b a c a c a c 1 1 2 2 ... .n na b a b a b （反序和 乱序和 顺序和），当且仅当
1 2 ... na a a 或 1 2 ... nb b b 时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数 ( )f x ,对于定义域中任意两点 1 2 1 2, ( ),x x x x 有
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .2 2 2 2
x x f x f x x x f x f xf f 或
则称 f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
①舍去或加上一些项，如
2 21 3 1( ) ( ) ;2 4 2a a
②将分子或分母放大（缩小），
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如
2
1 1 ,( 1)k k k
2
1 1 ,( 1)k k k
2 2 1 2 ,
2 1k k k k k k
*1 2 ( , 1)
1
k N k
k k k
等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
2 0( 0)ax bx c 或
2( 0, 4 0)a b ac 解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
( ) 0 ( ) ( ) 0( )
( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( )
f x f x g xg x
f x g xf x
g xg x
（ “ 或 ”时同理）
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
⑴
2
( ) 0
( ) ( 0)
( )
f x
f x a a
f x a
⑵
2
( ) 0
( ) ( 0)
( )
f x
f x a a
f x a
⑶
2
( ) 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) [ ( )]
f x f xf x g x g x g xf x g x
或
⑷
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) [ ( )]
f x
f x g x g x
f x g x
⑸
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x
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规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法：
⑴当 1a 时,
( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x
⑵当 0 1a 时,
( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x
规律：根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
⑴当 1a 时,
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
⑵当 0 1a 时,
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0 .
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
规律：根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法：
⑴定义法：
( 0).( 0)
a aa a a
⑵平方法：
2 2( ) ( ) ( ) ( ).f x g x f x g x
⑶同解变形法，其同解定理有：
① ( 0);x a a x a a
② ( 0);x a x a x a a 或
③ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)f x g x g x f x g x g x
④ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)f x g x f x g x f x g x g x 或
规律：关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如 2 0ax bx c 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论 a 与 0 的大小；
⑵讨论 与 0 的大小；
⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
⑴不等式 2 0ax bx c 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
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①当 0a 时 0, 0;b c
②当 0a 时
0
0.
a
⑵不等式 2 0ax bx c 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当 0a 时 0, 0;b c
②当 0a 时
0
0.
a
⑶ ( )f x a 恒成立 max( ) ;f x a
( )f x a 恒成立 max( ) ;f x a
⑷ ( )f x a 恒成立 min( ) ;f x a
( )f x a 恒成立 min( ) .f x a
15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
由于直线 0Ax By C 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax By C 后所得的实数的符号相同.所以，在实际判
断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点 0 0( , )x y （如原点），由 0 0Ax By C 的正负即可判断出
0Ax By C ( 或 0) 表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据 0Ax By C ( 或 0) ，观察 B 的符号与不等式开口的符号，若同号， 0Ax By C ( 或 0)
表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数 z Ax By ( ,A B 为常数）的最值：
法一：角点法：
如果目标函数 z Ax By （ x y、 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共
区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应 z 值，最大的那个数为目标函数 z 的最
大值，最小的那个数为目标函数 z 的最小值
法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 0 : 0l Ax By ，平移直线 0l （据可行域，将直线 0l
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平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解 ( , )x y ；第四步，将最优解 ( , )x y 代入目标函数 z Ax By 即可
求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
利用 z 的几何意义：
A zy xB B
,
z
B 为直线的纵截距.
①若 0,B 则使目标函数 z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处， z 取得最大值，使直线的纵截距最小
的角点处， z 取得最小值；
②若 0,B 则使目标函数 z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处， z 取得最小值，使直线的纵截距最小
的角点处， z 取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型： ;z Ax By
②“斜率”型：
yz x
或
;y bz x a
③“距离”型：
2 2z x y 或
2 2 ;z x y
2 2( ) ( )z x a y b 或
2 2( ) ( ) .z x a y b
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
附：高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
Ux A x C A , Ux C A x A .
2.德摩根公式
( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B .
3.包含关系
A B A A B B U UA B C B C A
UA C B UC A B R
4.容斥原理
( ) ( )card A B cardA cardB card A B
( ) ( )card A B C cardA cardB cardC card A B
( ) ( ) ( ) ( )card A B card B C card C A card A B C .
5．集合 1 2{ , , , }na a a 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1 个；非空子集有 2n –1 个；非空的真子集
有 2n –2 个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式 2( ) ( 0)f x ax bx c a ;
(2)顶点式 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a ;
(3)零点式 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a .
7.解连不等式 ( )N f x M 常有以下转化形式
( )N f x M [ ( ) ][ ( ) ] 0f x M f x N
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| ( ) |2 2
M N M Nf x ( ) 0( )
f x N
M f x
1 1
( )f x N M N
.
8.方程 0)( xf 在 ),( 21 kk 上有且只有一个实根,与 0)()( 21 kfkf 不等价,前者是后者的一个必要而不是
充分条件.特别地, 方程 )0(02 acbxax 有且只有一个实根在 ),( 21 kk 内,等价于 0)()( 21 kfkf ,或
0)( 1 kf 且
22
21
1
kk
a
bk ,或 0)( 2 kf 且 2
21
22 ka
bkk .
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数 )0()( 2 acbxaxxf 在闭区间 qp, 上的最值只能在
a
bx 2
处及区间的两端点处取得，具
体如下：
(1)当 a>0 时，若 qpa
bx ,2
，则 min max max( ) ( ), ( ) ( ), ( )2
bf x f f x f p f qa
；
qpa
bx ,2
， max max( ) ( ), ( )f x f p f q ， min min( ) ( ), ( )f x f p f q .
(2) 当 a
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