2021届高三二轮复习微专题课件——不等式恒成立或有解问题（共37张PPT）

INNOVATIVE DESIGN 微课二　不等式恒成立或有解问题 题型分类突破 题型跟踪训练 内 容 索 引 1 2 /////// /////// 题型分类突破1 索引 题型一　分离法求参数的取值范围 【例1】(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； 解　当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，x∈R， f′(x)＝ex＋2x－1. 故当x∈(－∞，0)时，f′(x)0. 所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. 索引 ①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a∈R. 索引 则h′(x)＝ex－x－1，令H(x)＝ex－x－1， H′(x)＝ex－1>0， 故h′(x)在(0，＋∞)上是增函数， 因此h′(x)>h′(0)＝0，故函数h(x)在(0，＋∞)上递增， 故当x∈(0，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)－1. 当x∈(－1，0)时，g′(x)>0，所以g(x)在(－1，0)上单调递增； 当x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，求实数a的取值范围. 解　因为对任意x>0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立， 当x∈(0，e)时，h′(x)>0； 索引 题型二　等价转化法求参数范围 【例2】函数f(x)＝x2－2ax＋ln x(a∈R). (1)若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求a的值； 索引 【例2】函数f(x)＝x2－2ax＋ln x(a∈R). (2)若不等式2xln x≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围. 则在区间(0，1)上，g′(x)0，函数g(x)为增函数. 由题意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得a≤4， 所以实数a的取值范围是(－∞，4]. 索引 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，如f(x)≥a 恒成立，则f(x)min≥a，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数 范围. 感悟升华 索引 【训练2】已知f(x)＝ex－ax2，若f(x)≥x＋(1－x) ex在[0，＋∞)恒成立，求实数a的 取值范围. 解　f(x)≥x＋(1－x)ex，即ex－ax2≥x＋ex－xex， 即ex－ax－1≥0，x≥0. 令h(x)＝ex－ax－1(x≥0)，则h′(x)＝ex－a(x≥0)， 当a≤1时，由x≥0知h′(x)≥0， ∴在[0，＋∞)上h(x)≥h(0)＝0，原不等式恒成立. 当a>1时，令h′(x)>0，得x>ln a； 令h′(x)g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)min. (2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max. (3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)min. (4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)max. 感悟升华 索引 解　因为f′(x)＝a－ex，x∈R. 当a≤0时，f′(x)0时，令f′(x)＝0，得x＝ln a. 由f′(x)>0，得f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)； 由f′(x)0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，单调递减区间为(ln a，＋∞). 索引 解　因为∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex， 索引 当x在区间(0，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)随x的变化情况如下表： 题型跟踪训练2 01 0702 03 04 05 06 索引 即a≤x－xln x在(0，＋∞)上有解. 令h(x)＝x－xln x，则h′(x)＝－ln x. 由h′(x)＝0，得x＝1. 当01时，h′(x)mf(x2)－g(x2)恒成立. 01 0702 03 04 05 06 索引 6.已知函数f(x)＝mex－x2. (1)若m＝1，求曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程； 解　当m＝1时，f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x. 所以f(0)＝1，且斜率k＝f′(0)＝1. 故所求切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0. 01 0702 03 04 05 06 索引 6.已知函数f(x)＝mex－x2. (2)若关于x的不等式f(x)≥x(4－mex)在[0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围. 解　由mex－x2≥x(4－mex)得mex(x＋1)≥x2＋4x. 所以m≥ .即实数m的取值范围为[ ，＋∞). 01 0702 03 04 05 06 索引 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由题意，f′(1)＝1－a－b＝0，得b＝1－a. 令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a－1. 若1