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专题六 函数与导数
一、单选题
题 1 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形
图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆 O （ O 为坐标原点）
的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．则下列函数中一定是“优美函数”的为（ ）
A． 1( )f x x x
B． 1( )f x x x
C． 2 2( ) ln 1f x x x D． 2( ) ln 1f x x x
【答案】D
【讲评建议】根据题意可知优美函数的图象过坐标原点，图象关于坐标原点对称，是奇函数，再分别检验
四个选项的正误即可得正确选项．
【解答过程】根据优美函数的定义可得优美函数的图象过坐标原点，图象关于坐标原点对称，是奇函数，
对于选项 A：如图（1）， 1( )f x x x
的定义域为 | 0x x ，所以不过坐标原点，不能将周长和面积同时
平分，故选项 A 不正确；对于选项 B：如图（2）， 1( )f x x x
的定义域为 | 0x x ，所以不过坐标原点，
不能将周长和面积同时平分，故选项 B 不正确；对于选项 C：如图（3）， 2 2( ) ln 1f x x x 定义域为 R ，
2 2( ) ln 1f x x x f x ，是偶函数，图象关于 y 轴对称，故选项 C 不正确；对于选项 D：如图（4），
2( ) ln 1f x x x 定义域为 R ， 2 2( ) ( ) ln 1 ln 1 ln1 0f x f x x x x x ，所以
( ) ( )f x f x ，所以 2( ) ln 1f x x x 图象过坐标原点，图象关于坐标原点对称，是奇函数，符合优
美函数的定义，选项 D 正确．
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
题 2 医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该
模型中，人体内药物含量 x(单位： mg )与给药时间 t(单位： h )近似满足函数关系式 0 1 ktkx ek
，
其中 0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg / h )．经测试发现，当 23t 时， 0
2
kx k
，则
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该药物的消除速率 k 的值约为( ln 2 0.69 )（ ）
A． 3
100 B． 3
10 C． 10
3 D．100
3
【答案】A
【讲评建议】本题关键是读懂题意，解方程即可．
【解答过程】由题知：将 23t ， 0
2
kx k
代入 0 1 ktkx ek
，得： 230 0 12
kk k ek k
，化简得 231
2
ke ．
即 1ln 232 k ，解得 ln 2 0.69 3
23 23 100k ．故选：A．
题 3 狄利克雷函数 ( )f x 满足：当 x 取有理数时， ( ) 1f x ；当 x 取无理数时， ( ) 0f x ．则下列选项不成
立的是（ ）
A． ( ) 0f x B． ( ) 1f x
C． 3( ) 0f x x 有 1 个实数根 D． 3( ) 0f x x 有 2 个实数根
【答案】C
【讲评建议】本题以狄利克雷函数为背景，考查函数与方程的概念及运算，逐项判定，即可求解．
【解答过程】根据狄利克雷函数的定义，当 x 取有理数时， ( ) 1f x ；当 x 取无理数时， ( ) 0f x ，
可得 ( ) 0f x 且 ( ) 1f x ，所以 A、B 正确；当 x 取有理数时，可得 3 3( ) 01f x xx ，解得 1x ；
当 x 取无理数时，可得 3 3( ) 00f x xx ，解得 0x （舍去），所以方程 3( ) 0f x x 只有 1 个实数根，
所以 C 正确、D 不正确．故选：C．
题 4 在必修第一册教材“8．2．1 几个函数模型的比较”一节的例 2 中，我们得到如下结论：当 0 2x 或 4x
时， 22x x ；当 2 4x 时， 22x x ，请比较 4log 3a ， πsin 3b ，
πcos 32c
的大小关系（ ）
A． a b c B．b a c C． c a b D．b c a
【答案】B
【讲评建议】关注题目信息，提供了一种解题方向．
【解答过程】因为 3sin 3 2b ，
π
3
1
2
cos 2
22 2c
，所以 b c ，对于 4 2
1log 3 log 32a ，令 2log 3t ，
则 2 3t ，故 (1,2)t ，当 0 2x 或 4x 时， 22x x ，所以 22t t ，即 23 t ，∴1 3t ，所以 3
2 2
ta b ，
将 ,a c 两边同时取底数为 4 的指数得 4
2
log 3 224 4 3,4 4 2 ,a c 因为
3
2 22 2 2 2 3 ，∴ c a ，所以
b a c ，故选：B．
题 5 定义方程 'f x f x 的实根 0x 叫做函数 f x 的“新驻点”，若函数 2 1xg x e ， ln 1h x x ，
3 1x x 的“新驻点”分别为 a ，b ， c ，则 a ，b ， c 的大小关系为（ ）
A． a b c B． c b a C． c a b D．b c a
【答案】B
【讲评建议】根据新驻点的定义解题，解方程时不必求准确根，关注根的大小即可．
【解答过程】由题意： 2 21'( ) 2 , '( ) , '( ) 31
xg x e h x x xx
，所以 , ,a b c 分别为
2 2 3 211 2 ,ln( 1) , 1 31
x xe e x x xx
的根，即为函数 2
1 ( ) 1xg x e ， 1
1( ) ln( 1) 1h x x x
，
3 2
1( ) 1 3x x x 的零点，可解得： 0a ；又因为： 1 1
1(0) 1 0, (1) ln 2 0, (0,1)2h h b ；又因为：
1 1(2) 0, (4) 15 0, (2,4)c ；所以： c b a ，故选：B．
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题 6 如图，将一张边长为 1 的正方形纸 ABCD 折叠，使得点 B 始终落在边 AD 上，则折起的部分的面积最
小值为 （ ）
A． 1
4 B． 3
8 C． 2
5 D． 1
2
【答案】B
【讲评建议】本题的关键是选择变量，分析图形的几何性质构建梯形面积的求解过程．
【解答过程】（方法一）如图，设折痕交 AB 于 M，交 CD 于 N，过 N 作 NR⊥AB 与 R，则 RN＝BC＝1，
连 'BB ，交 MN 于 Q，则由折叠知，
△
MBQ 与 'MB Q△ 关于直线 MN 对称，即
△
MBQ≌ 'MB Q△ ，有 BQ
＝ 'B Q ，MB＝ 'MB ，MQ⊥ 'BB ，∵∠A＝∠MQB，∠ABQ＝∠ 'ABB ，∴
△
MBQ∽ 'B AB△ ，∴
' 'AB AB BB
MQ BQ MB
．
设 'AB x ，则 2' 1BB x ， 21 12BQ x ，代入上式得： 21' (1 )2BM B M x ，∵ 90MNR BMQ ，
' 90ABB BMQ ，∴ 'MNR ABB ，在 Rt MRN△ 和 Rt B'AB△ 中，
∵
'
90
MNR ABB
RN AB
A NRM
，∴ Rt MRN△ ≌ Rt B'AB△ ，∴ 'MR AB x ，
故 2 21 1' (1 ) ( 1)2 2C N CN BR MB MR x x x ，∴梯形 ' 'MNC B 的面积为
2 2 21 1 1 1 1 3[ ( 1) ( 1)] 1 ( )2 2 2 2 2 8S x x x ，得当 1
2x 时，梯形面积最小，其最小值 3
8
，故选：B．
（方法二）设 'ABB ，则 ' tanAB ， 2
tan 1' sin 2 2cosMB
， tanMR ，
∴ 2
1 tan2cosCN BR BM MR ，
则
2 2
2
2 2 2
1 1 1 1 sin cos sin cos 1( tan ) (tan tan 1)2 2cos 2cos 2 cos 2S
，所以当 1tan 2
时，
有 min
3
8S ，故选：B．
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二、多选题
题 7 数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图
案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个
圆的“优美函数”，下列说法错误的是（ ）
A．对于任意一个圆，其“优美函数”有有限个
B．正弦函数 siny x 可以同时是无数个圆的“优美函数”
C． 3( )f x x 可以是某个圆的“优美函数”
D．函数 ( )y f x 是“优美函数”的充要条件为函数 ( )y f x 的图象是中心对称图形
【答案】BC
【讲评建议】本题考查函数的新定义，主要涉及函数的对称性分析，对学生分析问题的能力要求较高．
【解答过程】对于 A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美
函数”有无数个，故选项 A 错误；对于 B：将圆的圆心放在正弦函数 siny x 的对称中心上，则正弦函数
siny x 是该圆的“优美函数”，故选项 B 正确；对于 C：因为函数 3( )f x x 图象关于原点成中心对称，
所以将圆的圆心放在原点，则函数 3( )f x x 是该圆的“优美函数”，故选项 C 正确；对于 D：函数 ( )y f x
的图象是中心对称图形，则函数 ( )y f x 不一定是“优美函数”，如 1( )f x x
；但是函数 ( )y f x 是“优美
函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：
所以函数 ( )y f x 的图象是中心对称图形是函数 ( )y f x 是“优美函数”的既不充分又不必要条件，故选
项 D 错误，故选：BC．
题 8 素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想： ( ) ln
xx x
，其中 ( )x
表示不大于 x 的素数的个数，即随着 x 的增大， ( )x 的值近似接近
ln
x
x
的值．从猜想出发，下列推断
正确的是（ ）
A．当 x 很大时，随着 x 的增大， ( )x 的增长速度变慢
B．当 x 很大时，随着 x 的增大， ( )x 减小
C．当 x 很大时，在区间 ( , )x x n （n 是一个较大常数）内，素数的个数随 x 的增大而减少
D．因为 (3) 2 ，所以 (3) n3
3
l
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【答案】AC
【讲评建议】本题以素数分布问题为背景，考查了利用导数研究函数的单调性，需要学生有较强的分析问
题、解决问题的能力．
【解答过程】设函数 ( ) , 0ln
xf x xx
且 1x ，则 2 2
ln 1 1 1( ) , 0ln ln ln
xf x xx x x
且 1x ，
3
2 ln( ) , 0(ln )
xf x xx x
且 1x ，当 x 时， ( ) 0f x ，所以当 x 很大时，随着 x 的增大， ( )x 的增长速
度变慢，故 A 正确；函数 ( ) ln
xf x x
的图象如图所示：
由图象可得随着 x 的增大， ( )x 并不减小，故 B 错误；当 x 很大时，在区间 ( , )x x n （n 是一个较大常数）
内，函数增长得慢，素数的个数随 x 的增大而减少，故 C 正确； 2ln 3 ln 9 3 ，故 D 错误．故选：AC．
题 9 如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为10 15 的半球，下面大圆刚好与高度
为 6 的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，
且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（ ）
A．10π B．18π C． 30π D． 40π
【答案】ABC
【讲评建议】本题考查圆锥的体积问题，结合导数单调性研究函数的最值，考查了推理能力与计算能力．
【解答过程】令上部分的半球半径为 R ，可得 32 10 153 R ，解得 15R ，设小圆锥的底面半径为 r ，
小圆锥底面中心到球心距离为 h ，可知 r ， h ，和 R 可构成直角三角形，即 2 2 15r h ，小圆锥体积
2 21 16 15 6 0 153 3V r h h h h ．
令 215 6 0 15f h h h h ，则 3 5 1f h h h ，可知 f h 在 0,1 上单调递增，在
1, 15 上单调递减，所以当 1h 时， f h 最大， max 1 98f h f ，即 max
98
3V ，即 ABC 三个选项
都满足题意．故选：ABC．
题 10 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁
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伊兹布劳威尔（L．E．Brouwer）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 ( )f x ，存在一个点 0x ，
使得 0 0f x x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理
论，下列说法正确的是（ ）
A．函数 ( ) sinf x x 有 3 个不动点
B．函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a 至多有两个不动点
C．若定义在 R 上的奇函数 ( )f x ，其图象上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D．若函数 ( ) xf x e x a 在区间[0,1] 上存在不动点，则实数 a 满足1 a e （e 为自然对数的底数）
【答案】BCD
【讲评建议】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设
全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信
息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，
按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．本题根据题目中的定义，利用
导数研究函数的单调性，结合函数的奇偶性，研究函数最值，函数的零点与方程根的问题．
【解答过程】令 ( ) sing x x x ， ( ) 1 cos 0g x x ≥ ，因此 ( )g x 在 R 上单调递增，而 (0) 0g ，所以 ( )g x
在 R 有且仅有一个零点，即 ( )f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；
0a ， 2 0ax bx c x 至多有两个实数根，所以 ( )f x 至多有两个“不动点”，B 正确；
( )f x 为定义在 R 上的奇函数，所以 (0) 0f ，函数 ( )y f x x 为定义在 R 上的奇函数，
显然 0x 是 ( )f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，
因此 ( )f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；
因为 ( )f x 在[0,1] 存在“不动点”，则 ( )f x x 在[0,1] 有解，即 xe x a x 2xa e x x 在[0,1] 有解，
令 2( ) xm x e x x ， ( ) 1 2xm x e x ，令 ( ) 1 2xn x e x ， ( ) 2 0xn x e ， ln 2x ．当 0 ln 2x 时，
'( ) 0n x ， ( )n x 在 (0,ln 2) 单调递减，当 ln 2x 时， '( ) 0n x ， ( )n x 在 (ln 2,1) 单调递增，∴
min( ) (ln 2) 2 1 2ln 2 3 2ln 2 0n x n ，∴ ( ) 0m x 在[0,1] 恒成立，∴ ( )m x 在[0,1] 单调递增，
min( ) (0) 1m x m ， max( ) (1)m x m e ，∴1 a e ，D 正确．故选：BCD．
题 11 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受
到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数 7
1
sin 2 1
2 1i
i x
f x i
的图象就可以近似的模拟
某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f x 为周期函数，且最小正周期为 π B．函数 f x 为偶函数
C．函数 y f x 的图象关于直线 π
2x 对称 D．函数 f x 的导函数 f x 的最大值为 7
【答案】CD
【讲评建议】本题考查正弦、余弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的周期性、对称性以及余弦型
函数最值的判断，考查计算能力．
【解答过程】 sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xf x x ，
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xf x x
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xx f x ，
所以， 不是函数 y f x 的最小正周期，A 选项错误；
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sin 3 sin 5 sin 13sin 3 5 13
x x xf x x
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xx f x ，
且函数 y f x 的定义域为 R ，所以，函数 y f x 为奇函数，B 选项错误；
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xf x x
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xx f x ，
所以，函数 y f x 的图象关于直线
2x 对称，C 选项正确；
cos cos3 cos5 cos13f x x x x x ，
1 cos 1x ， 1 cos3 1x ， 1 cos5 1x ，， 1 cos13 1x ，
则 cos cos3 cos5 cos13 7f x x x x x ，又 0 7f ，所以，函数 y f x 的最大值为 7，D 选
项正确．故选：CD．
题 12 函数 ( )f x 图象上不同两点 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 处的切线的斜率分别是 Ak ， Bk ， AB 为 A B、 两点
间距离，定义 ( , ) A Bk kA B AB
为曲线 ( )f x 在点 A 与点 B 之间的“曲率”，其中正确的命题为
（ ）
A．存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；
B．函数 3 2( ) 1f x x x 图像上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1，2，则 “曲率” ( , ) 3A B ；
C．函数 2( ) ( 0, R)f x ax b a b 图像上任意两点 A B、 之间 的“曲率” ( , ) 2A B a ；
D．设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 是曲线 ( ) xf x e 上不同两点，且 1 2 1x x ，若 ( , ) 1t A B 恒成立，则实数 t 的
取值范围是 ( ,1) ．
【答案】AC
【讲评建议】本题以定义新的概念“ ( , ) A Bk kA B AB
为曲线 ( )f x 在点 A 与点 B 之间的“曲率”为背景精心
设置了一道多项选择题，重在考查推理判断的推理论证能力．求解时要充分借助题设中新定义的新的信息，
对所给的四个命题进行逐一检验和推断，最后通过推理和判断得出结论．
【解答过程】因当 ( ) 2f x x 时， 2A Bk k ，曲率为 0 是常数，故 A 正确；又因当 1 21, 2x x 时，则
(1,1), (2,5)A B ， 2 23 1 2 1 1, 3 2 2 2 8A Bk k ，故 7( , ) 3
17
A Bk kA B AB
，所以 B 错误；
因 '( ) 2f x ax ，故 1 1 2 2( , ( )), ( , ( ))A x f x B x f x ， 1 22 , 2A Bk ax k ax ，所以
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 | | 2( , ) 2
| | 1 ( ) 1 ( )
A Bk k a x x aA B aAB x x a x x a x x
，故 C 正确；因
1 2 2| | 1 ( )x xAB e e , 1 2,x x
A Bk e k e ，故
1 2
1 2 2
| |( , ) 1
1 ( )
x x
A B
x x
k k e eA B AB e e
，又 ( , ) 0A B ，若
( , ) 1t A B 恒成立，所以 1
( , )t A B ，所以 1t ，所以 D 错误．故应填 AC．
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三、填空题
题 13 罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线 C：
2 2
3 3 1x y 的性质，其形美观，
常用于超轻材料的设计．曲线 C 围成的图形的面积 S 2（选填“＞”、“＜”或“＝”），曲线 C 上的
动点到原点的距离的取值范围是 ．（第一空 2 分，第二空 3 分）
【答案】＜；[ 1
2
，1]
【讲评建议】本题利用研究圆锥曲线的方法，结合幂函数及二次函数的性质，解决问题．
【解答过程】由题意知 , [ 1,1]x y 且既关于原点对称又关于 y 轴对称，当 , (0,1)x y 时，
2 2
3 3,x x y y ，
则 1x y ，同理可得曲线在 y＝x＋1，y＝x－1，y＝－x＋1，y＝－x－1 四条直线内部，所以 1 2 2 22S ，
2 4 2
2 2 2 2 33 3 3 1(1 ) 3 3 1 [ ,1]4d x y x x x x ，所以 1[ ,1]2d ．
题 14 有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数 ( )I t (t 的单位：天)的 Logistic 模型：
0.23( 53)( ) 1 e t
KI t
，其中 K 为最大确诊病例数．当 0 1 0.95I t K 时，标志着已初步制疫情(其中 ln19 3 )，
则 0t 约为___________．(结果保留整数)
【答案】65
【讲评建议】本题考查指数，对数的运算，本质是解指数型方程．
【解答过程】 0.23( 53)( ) 1 e t
KI t ， 00 0.23( 1 53)1 0.951 e t
KI t K
，
0 0
0
0.23( 52) 0.23( 52)
0.23( 52)
1 0.95 1 0.95 0.95e 0.05 0.95e1 e
t t
t
0 00.23( 52) 0.23( 52)
0
1 e 1 e 1 0.23( 52)9 ln 991
t t t 0
1 52 52 650.23 0 3
ln 9 3
.2t ．
题 15 2021 年湖北高考中政治、地理、化学、生物按照等级赋分，规则如下：原始分按照比例转换成 A，
B，C，D，E 五个等级，然后利用等级赋分公式将原始分转换为赋分，例如 B 等级赋分公式如下：
2
1
85
71
Y Y x
Y Y x
，其中Y 为原始分， x 为赋分， 1 2Y Y、 （ 1 2Y Y ）为各等级原始分区间的下限和上限，小王
地理考了 81 分，等级为 B，地理 B 等级原始分区间为 75 86 ，可以列式 86 81 85
81 75 71
x
x
，计算出 x 79
分即为赋分．假设高考中小明地理、化学原始分均为Y ，等级均为 B，地理 B 等级原始分区间为 a~c，化
学 B 等级原始分区间为 b~c(b≥a)，转换后，地理赋分为 1t ，化学赋分为 2t ，则 1t _______ 2t (空格处填“ ”
或“ ”)．
【答案】
【讲评建议】本题解题关键在于找到地理和化学赋分满足的共同关系，利用函数的单调性判断即可．求出
赋分的表达式，作差比较也完全可以．
【解答过程】由题意可知， 1
1 1
85 14 171 71
tc Y
Y a t t
，故
1
14 1 171
c Y Y c
t Y a a Y
，同理 2
2
85
71
tc Y
Y b t
，
解得
2
14 171
Y c
t b Y
，把 ,a b 看作自变量 x，1 2,t t 看作对应函数值 y，即 14 171
Y c
y x Y
，依题意，c b a ，
x Y c ，故令 ( ) 1Y cf x x Y
，由 0Y c ，故分式函数 ( ) 1Y cf x x Y
在 0,Y 内是增函数，因为 a b ，
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所以
1 2
14 14
71 71t t
，由 14( ) 71g t t
在 (71, ) 上单调减，所以 1 2t t ．故答案为： ．也可以直接求出的
1 2,t t 表达式，作差比较．
题 16 函数 g x
y f x 在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到 ln lny g x f x ，
然后两边同时求导得
ln f xy g x f x g xy f x
，于是 [ ]g xy f x
ln f xg x f x g x f x
，
用此法探求 1
11 0xy x x 的导数_________．
【答案】 1 211 ln 1 1 xy x x
【讲评建议】本题解题关键是读懂题意，考查学生运用新知的能力．
【解答过程】在函数 1
11 0xy x x 中，令 ( ) 1f x x ， 1( ) 1g x x
，由已知所给的公式得：
1
1
2
1 1 1[ ] ln ( 1) [ ln( 1) ]( 1) 1 1
g x xf xy f x g x f x g x x xf x x x x
，化简得：
1 211 ln 1 1 xy x x ．
题 17 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列 na ： 1，1，2，3，5，8，…，该数列从
第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为
1 1 5 1 5
2 25
n n
na
．该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式），
是用无理数表示有理数的一个范例．设 n 是不等式 2log 1 5 1 5 6
x x
x
的正整数解，则 n
的最小值为__________．
【答案】9
【讲评建议】本题以经典数学问题斐波那契数列为背景，构造斐波那契数列通项公式的结构，运用函数性
质解决不等式解的问题．
【解答过程】设 n 是不等式 2log 1 5 1 5 6
x x
x
的正整数解，
∴ 2log 1 5 1 5 6
n n
n
，即 61 5 1 5 2
n n n ，∴ 61 5 1 5 22 2
n n
，
∴
61 1 5 1 5 2
2 25 5
n n
，即
62
5na ，则
12
2 2 4096
5 5na ，又 na 单调递增，且
2 2 2 2
8 9
409621 345a a ，故答案为：9．
题 18 如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6．动点 P 从点 A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到 A
点，记 P 运动的路程为 x，点 P 到此三角形中心 O 距离的平方为 f(x)，请写出一个关于 ( )f x 性质的正
确结论： ．
第 10页，总 15页
【答案】①函数 f(x)的最大值为 12；②函数 f(x)的图象的对称轴方程为 x＝9；③关于 x 的方程 3f x kx
最多有 6 个实数根．（答案不唯一）
【讲评建议】本题需要写出 P 分别在 , ,AB BC CA上运动时的函数解析式 2( )f x OP ，利用分段函数图象解
决与函数有关的问题，如函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等．解决上述问
题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解．
【解答过程】
P 分别在 AB 上运动时的函数解析式 2 2( ) 3 ( 3) ,(0 6)f x OP x x ，
P 分别在 BC 上运动时的函数解析式 2 2( ) 3 ( 9) ,(6 12)f x OP x x ，
P 分别在 CA 上运动时的函数解析式 2 2( ) 3 ( 15) ,(12 18)f x OP x x ，
∴
2
2 2
2
3 ( 3) ,(0 6)
( ) | | 3 ( 9) ,(6 12)
3 ( 15) ,(12 18)
x x
f x OP x x
x x
，
由图象可得，方程 3f x kx 最多有 6 个实数根．写出以上任一结论即可．
题 19 定义函数 f x x x ，其中 x 表示不超过 x 的最大整数，例如， 1.3 1 ， 1.5 2 ， 2 2 ，
当 *0, Nx n n 时， f x 的值域为 nA ，记集合 nA 中元素的个数为 na ，则
试卷第 11页，总 15页
2 3 4 2021
1 1 1 1
1 1 1 1a a a a
的值为______．
【答案】 4040
2021
【讲评建议】本题是函数与数列的综合题，考查了学生综合运用知识的能力．解题的关键在于根据已知条
件得当 *0, , Nx n n 时的 na 的通项公式，进而利用裂项相消求和法求和即可得答案．
【解答过程】根据题意得：
0, 0,1 ,
1, 1,2 ,
2, 2,3 ,
3, 3,4 ,
4, 4,5 ,
1, 1, .
x
x
x
x x
x
n x n n
进而得
0, 0,1 ,
, 1,2 ,
2 , 2,3 ,
3 , 3,4 ,
4 , 4,5 ,
1 , 1, .
x
x x
x x
x x x x
x x
n x x n n
所以 x x 在各区间中的元素个数为：1,1,2,3,4, , 1n ，所以当 *0, Nx n n 时， f x 的值域为 nA ，
集合 nA 中元素的个数为 na 满足： 1 1 11 1 2 3 4 1 1 2n
n na n
，所以
11 2n
n na
，所以
1 2 1 121 1 1na n n n n
，所以
2 3 4 2021
1 1 1 1
1 1 1 1a a a a
1 1 1 1 1 1 1 40402 2 11 2 2 3 2020 2021 2021 2021
．
题 20 某同学向王老师请教一题：若不等式 4 ln 1xx e a x x 对任意 1,x 恒成立，求实数 a 的取
值范围．王老师告诉该同学：“ 1xe x 恒成立，当且仅当 0x 时取等号，且 4lng x x x 在 1,
有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中 a 的取值范围是__________．
【答案】 , 4
【讲评建议】本题是信息题，运用好题目所给信息是快速解题的关键，处理好指数式与对数式的关系是本
题的难点，本质是指对数式的同构关系．
【解答过程】 1x ， ln 0x ，由 4 ln 1xx e a x x 可得
4 4ln1 1
ln ln
x x xx e x e xa x x
，
由于不等式 1xe x 恒成立，当且仅当 0x 时取等号，且存在 0 1x ，使得 0 0 04ln 0g x x x ，所以，
4ln 4ln 1 11 4ln ln
x x x x xe x
x x
，当且仅当 0x x 时，等号成立， 4a ．因此，实数 a 的取值范
围是 , 4 ．
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四、解答题
题 21 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲
线的曲率定义如下：若 f x 是 f x 的导函数， f x 是 f x 的导函数，则曲线 y f x 在点 ,x f x 处
的曲率
3
2 21
f x
K
f x
．已知函数 ln cos 1 0, 0xf x ae x b x a b ，若 0a ，则曲线 y f x
在点 1, 1f 处的曲率为 2
2
．
（1）求 b ；
（2）若函数 f x 存在零点，求 a 的取值范围；
（3）已知1.098 ln3 1.099 ， 0.048 1.050e ， 0.045 0.956e ，证明：1.14 ln π 1.15 ．
【讲评建议】本题以“曲率”为问题背景，本质是解决函数问题．第（1）问关键在于求导；第（2）问关
键在于等价转化的使用以及常用不等式（ ln 1x x ）的使用以及放缩法；第（3）问在于利用第（2）问
的条件 ln 1 1
x
x
e e
进行比较．
【解答过程】（1）当 0a 时， ln cos 1f x x b x ， 1f b ． 1 sin 1f x b xx
，
2
1 cos 1f x b xx
．∴ f x 在 1, b 处的曲率为 3
2
1 2 122
bk b
．
（2） ln cos 1ln cos 1 0x
x
x xf x ae x x a e
．
令 ln 1h x x x ，则 1 11 xh x x x
，当 0,1x 时， 0h x ，当 1,x 时， 0h x ，
所以函数 h x 在 0,1 单调递增，在 1, 单调递减，所以 (1) 0h x h ，则 ln 1x x ．
又令 x
xm x e
，则 1' x
xm x e
，当 0,1x 时， 0m x ，当 1,x 时， 0m x ，
所以函数 m x 在 0,1 单调递增，在 1, 单调递减，所以 1(1)m x m e
．
令 ln cos 1
x
x xg x e
，∴ ln 1 1
x x
x xg x e e e
，当且仅当 1x 时取“ ”，显然，当 1a e
时， f x 无
零点．
当 10 a e
时， 11g ae
， 1
11 cos 11 0
e
eg ae e
，∴存在 1 ,1x e
使 0g x a ，符合题意．
试卷第 13页，总 15页
综上：实数 a 的取值范围为 10, e
．
（3）由（2）知 ln 1 1
x
x
e e
，∴ 1ln 1 xx e （当且仅当 1x 时取“ ”）
∴
π 1 0.0483πln 13 e e
，∴ 0.048ln π 1 ln3 1.050 1 1.099 1.15e
又∵
3 1 0.045π3ln 1π e e
，∴ 0.045ln π ln3 1 1.098 1 0.956 1.14e
综上：1.14 ln π 1.15 ．
题 22 已知函数 2( ) 1 ln(1 )f x x a x ， ( )a R ．
（1）当 2a 时，求 ( )f x 在 (0, (0))f 处的切线方程；
（2）若 ( )f x 存在两个极值点 1 2 1 2,x x x x ，且 1 2f x mx ，求 m 的取值范围．
【讲评建议】本题考查导函数的几何意义，考查函数极值点问题．在由有关极值点的不等式问题中解题关
键是消元，本题需要把 1
2
( )f x
x
中三个变量变成一个变量，利用极值点的性质进行转化即可得，然后再利用
导数研究函数的单调性得范围．
【解答过程】（1）由题意 2( ) 2 1f x x x
， (0) 2f ，又 (0) 1f ，
因此切线方程是 1 2y x ，即 2 1 0x y ；
（2）函数定义域是 ( ,1) ，
22 2( ) 2 1 1
a x x af x x x x
，
1 0x 恒成立，因此由 ( )f x 有两个极值点得 22 2 0x x a 在 ( ,1) 上有两个不等的实根．
∴ 2
4 8 0
2 1 2 1 0
a
a
，解得 10 2a ， 1 2 1x x + ， 1 2 2
ax x ，因此有 1 2
10 12x x ，
则由 1 2( )f x mx 得
2 2
1 1 1 1 1 2 1
1 1 1
2 2 2
( ) 1 ln(1 ) 1 2 ln(1 ) ( 1) 2 ln(1 )f x x a x x x x xm x x xx x x
，
令 1( ) 2 ln(1 ) 1, (0, )2h x x x x x ， 2 2(1 )ln(1 ) 1( ) 2ln(1 ) 11 1
x x x xh x x x x
， 1(0, )2x 时，
( ) 0h x ， ( )h x 单调递减，∴ 3ln 2 ( ) 22 h x ，所以 3ln 2 2m ．
题 23 已知函数 2( ) 2sin 2f x x x x ，曲线 ( )f x 在函数零点处的切线方程为 y kx b ．
（1）求 k ，b 的值；
（2）当 0k 时，若有 1 2( )kx b f x 成立，求证： 2 1 0x x ．
【讲评建议】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，零点存在性定理，在一点处的切线方程，构造函
数证明不等式．第二问的关键是目标分析，找到 1 2,x x 转化关系．
【解答过程】（1）由题意得：因为 2( ) 2sin 2f x x x x ，定义域为 xR ．
( ) 2cos 2 2f x x x ，因为 ( ) 2sin 2 0f x x ，所以 '( )f x 在 xR 上为减函数．因为
(0) 2 2 0f ， ( ) 2 0f ，所以由零点存在定理可知， ( )f x 在 (0, )x 上必存在一点 0x 使
0 0f x ，所以当 0,x x 时， ( ) 0f x ，即 ( )f x 在 0,x x 上为增函数，当 0 ,x x 时， ( ) 0f x ，
即 ( )f x 在 0 ,x x 上为减函数，所以 ( )f x 极大值 0f x ，故 ( )f x 至多有两个零点，
又因为 (0) 0f ， (2 ) 0f ，故 0x ， 2x 是 ( )f x 的两个零点，所以由 (0) 2 2f ， (2 ) 2 2f ，
第 14页，总 15页
所以两切线方程为： (2 2 )y x 或 2(2 2 ) 4 4y x ，所以 2 2
0
k
b
或 2
2 2
4 4
k
b
；
（2）由已知得 2
2 2 21 2sin( 22 2 ) x xx x ．
设 2( ) (2 2 ) 2sin 2F x x x x x ，则 ( ) 2 2cos 2F x x x ，因为 ( ) 2sin 2 0F x x ，
所以 ( ) 2 2cos 2F x x x 在 xR 上为增函数，因为 (0) 0F ，所以当 ( ,0)x 时， ( ) 0F x ，即 ( )F x
在 ( ,0) 上为减函数，当 [0, )x 时， ( ) 0F x ≥ ， ( )F x 在[0, ) 上为增函数，
所以 ( ) (0) 0F x F ，即 2(2 2 ) 2sin 2x x x x ，所以 2
2 2 2 2 1(2 2 ) 2sin 2 (2 2 )x x x x x ，
所以 2 1x x ，所以 2 1 0x x ．
题 24 已知函数 ln
xef x x xx
，其中 2.71828...e 是自然对数的底数．
（1）若曲线 ( )y f x 与直线 y a 有交点，求 a 的最小值；
（2）①设 1x x x
，问是否存在最大整数 k，使得对任意正数 x 都 1 12
kf x f x 成立？
若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由；
②若曲线 ( )y f x 与直线 y a 有两个不同的交点 ,A B ，求证： 2| | 2 ( 2) 1AB a e ．
【讲评建议】本题根据函数的性质研究函数图象及不等式恒成立问题．
【解答过程】（1）由己知得，
2
( 1) e
'( ) , 0
xx x
f x xx
．
由于 e 1x x x ，所以 ( ) 0f x 可得 1x ， ( ) 0f x 可得 0 1x ，当 x 变化时， '( )f x 与 ( )f x 的变化
情况如下表所示：
x (0,1) 1 (1, )
'( )f x － 0 ＋
( )f x ↘ 极小值
1e
↗
当 0x 时， f x 有最小值 0 1f e ，因此，当曲线 ( )y f x 与直线 y a 有交点时， min (1) 1a f e ．
（2）①由（1）知 ( ) (1) 0f x f ， 1x x x
在 1+， 上单调递增，在 0,1 上单调递减，所以 ( ) (1) 0x
当 0k 时，又 ( ) (1) 0x ，则 [ ( ) (1)] 0 ( ) (1)2
k x f x f ，原不等式恒成立．
当 1k 时，令 ( ) ( ) (1) [ ( ) (1)]2
kF x f x f x ，则 2
( 1) 2e 2 ( 1)
'( ) '( ) '( )2 2
xx x k xkF x f x x x
．
设 ( ) 2e 2 ( 1)xp x x k x ，得 '( ) 2e 2xp x k ，故当 x 变化时， ( )p x 与 ( )p x 的变化情况如下表所示：
x 0,ln 1 2
k
ln 1 2
k
ln 1 ,2
k
( )p x － 0 ＋
( )p x ↘ 极小值 ↗
试卷第 15页，总 15页
这样，当 1k 时，
23 3 8e( ) ln 2 3ln ln 02 2 27p x p
，此时当 x 变化时， )'(F x 与 ( )F x 的变化情况如下
表所示：
x (0,1) 1 (1, )
)'(F x － 0 ＋
( )F x ↘ 极小值 ↗
得 ( ) (1) 0F x F ，即原不等式恒成立．
当 2k 时，得 (1) 2e (2 2) 2(e 2 ) 0p k k ．
设 2( ) xm x e x ， 0x ，则 '( ) e 2 ( )xm x x n x ， '( ) e 2xn x ，易得 ( )n x 在 (0,ln 2) 上单调减，在 (ln 2, )
上单调增，所以 min( ) (ln 2) 2 2ln 2 0n x n ，即 '( ) 0m x 在 (0, ) 上恒成立，所以 ( )m x 在 (0, ) 上单调
增，即 2( ) e (0) 1xm x x m ，所以，当 0x 时，有 2ex x ，则
4 2 2 2( 4) 2e 2( 4) ( 4 1) 2( 4) 7 8 9 24 0kp k k k k k k k k k ，所以 ( )p x 在 (1, 4)k 内有
唯一零点 0x ．此时 x 变化时， )'(F x 与 ( )F x 的变化情况如下表所示：
x (0,1) 1 01,x 0x 0 ,x
)'(F x ＋ 0 － 0 ＋
( )F x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
得 0 (1) 0F x F ，即原不等式不恒成立．
综上所述，存在最大整数 1k ，使得原不等式恒成立．
②证明：设 1,A x a ， 2 ,B x a ， 1 2x x ．由（1）可知 (1) 1f e ，所以 1 (1) 1f x f a e ，
2 (1) 1f x f a e ，由①可得
1 1
2 2
1(1) (1) ,2
1(1) (1) ,2
f x f x
f x f x
即
1
1
2
2
1 1e 1 22
1 1e 1 22
a x x
a x x
所以 1 2, x x 都满足不等式 1 1e 1 22a x x
，即 2 2( e 2) 1 0x a x ，
故区间 1 2,x x 为不等式 2 2( e 2) 1 0x a x 解集的子集，得 2
2 1| | 2 ( e 2) 1AB x x a ．
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