专 题 一 三 角
一、单选题
题 1.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头
部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲
学中的矛盾对立统一规律.图 2（正八边形 ABCDEFGH ）是由图 1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下
平面直角坐标系，设 1OA .则下述四个结论：①以直线OH 为终边的角的集合可以表示为
3 2 ,4 k k Z
；②以点O 为圆心、OA为半径的圆的弦 AB 所对的弧长为
4
；③ 2
2OA OD ；
④ 2, 2BF
中，正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【评讲建议】本题比较人性化，数学模型已经建立好，故只要相应的基本功扎实即可．弧度制熟练解决①②，
向量方面的基本功可判断③④．
【解答过程】①错，应为 7 2 ,4 k k Z
，②正确；③应为 2- 2OA OD ，④正确；故选 C
题 2.圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪
器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角
分别为 ， ，表影长之差为l ，那么表高为（ ）
A． (tan tan )
tan tan
l B． tan tan
tan tan
l
C． (tan tan )
tan tan
l
D． tan tan
tan tan
l
【答案】B
【分析】由题意作图，在 ACD△ 中，然后根据正弦定理表示出 AC ，然后在直角三角形中，利用正弦值表
示出表高 AB ，上下同时除以sin sin 即可.
【讲评建议】首先是结合图形理解题意，最好是重新画一个剖面图，这样就抽象为解三角形的问题，关键是将
所有的数据都准确地标在图上.
【解答过程】
如图，在 ACD△ 中， CAD ，所以由正弦定理得， sin sin
AC CD
，可得
( )
sin
sin
lAC = -
，
在 Rt ABC 中，
( )
sin sin tan tansin sin tan tan
l lAB AC ×= × = =- - .
故选：B
题 3．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛 A出发，沿南偏东 70
的方向航行 40 海里后到达海岛 B ，然后再从海岛 B 出发，沿北偏东35 的方向航行了 40 2 海里到达海岛 C .
若巡逻舰从海岛 A出发沿直线到达海岛C ，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）A．北偏东80 ，
20( 6 2) B．北偏东 65 ， 20( 3 2)
C．北偏东 65 ， 20( 6 2) D．北偏东80 ， 20( 3 2)
【答案】C
【分析】在 ABC 中， 70 35 105ABC ， 40AB ， 40 2BC ，故可由余弦定理求出边 AC
的长度，在 ABC 中，可由正弦定理建立方程
sin 105
BC AC
CAB sin
，求出 CAB ．
【讲评建议】本题考查解三角形的实际应用，基本功是阅读理解题意后准确画出图形，并建立解三角形的数
学模型．分析条件为两角及夹角，故先用余弦定理求出第三边，进而用正弦定理求出第二个角，再回到题目
将所求角翻译回方位角．还有双重根号的化简对学生可能有难度，要注意引导点拨.
【解答过程】
据题意知，在 ABC 中， 70 35 105ABC ， 40AB 海里， 40 2BC 海里，
所以 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC
2 2 2 640 (40 2) 2 40 40 2 4
3200 1600 3 ，
所以 1600 33200 20( 6 2)AC 海里，
又 40 2 20( 6 2)
sin sin105CAB
，所以 2sin 2CAB ，
又因为 CAB 为锐角，所以 45CAB ，
所以航行的方向和路程分别为北偏东 65 ， 20( 6 2) 海里.
故选：C.
题 4. 如图，设在 ABC 中， AB BC AC ，从顶点 A连接对边 BC 上两点 D ，E ，使得 30DAE ，
若 16BD ， 5CE ，则边长 AB （）．
A. 38 B. 40 C. 42 D. 44
【答案】B
【分析】
结合正弦定理，设 AB x ， BAD ，对 BAD 可得
16
sin 60 sin
x
，同理对 EAC 可得
5
sin 90 sin 30
x
，联立解方程即可求解；也可对 BAD 和 EAC 使用余弦定理求得 2 2,AD AE ，
再对 ADE 使用正弦定理面积公式和余弦定理，联立方程即可求解
【评讲建议】本题的条件“ 30DAE ， 16BD ， 5CE ”很分散，不在一个三角形中，而能将条件联系
起来桥梁，实际是等边三角形的边长 x，其他的边长全用 x 表示．
【解答过程】方法一：设 AB x ， BAD ，在 BAD 中，由正弦定理：
16
sin 60 sin
x
，可以
化简得
3 cos 12
16 sin 2
x
，在 EAC 中，由正弦定理：
5
sin 90 sin 30
x
，可以化简得
3 sin5 12
cos 2x
，联立可得 1 5 1 3
16 2 2 4
x
x
，可以化简得 2 42 80 0x x ，解得 40x ， 2x
（舍去），故选 B．
方法二：利用余弦定理得 AB x ， 2 2 216 16AD x x ， 2 2 25 5AE x x ，而 ADE 的面积
1 3 121 sin302 2 2S x x AD AE ，则 3 21AD AE x x ，则在 ADE 中，由余弦定理得
2 2 221 2 cos30x AD AE AD AE ， 2 2 2 2 2 242 21 16 16 5 5 3 21x x x x x x x x ，
简化整理得 2 42 80 0x x ，即 40x ， 2x （舍），
故选：B．
【讲评建议】首先是理解题意画出示意图，，
题 5．将函数 3 cos 2 13f x x
的图象向左平移
3
个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函
数 g x 的图象，则下列关于函数 g x 的说法不正确的是（）
A. 最大值为 3 ，图象关于直线
12x 对称
B. 图象关于 y 轴对称
C. 最小正周期为
D. 图象关于点 ,04
对称
5【答案】A
【分析】本题主要考查函数 cos( +y A x ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质．
【评讲建议】首先复习 cos( +y A x ）的图象变换规律．利用函数 cos( +y A x ）的图象变换规律，求得
( )g x 的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答过程】
将函数 3 cos 2 13f x x
的图象向左平移
3
个单位长度，
得到 3 cos 2 1 3 cos 2 1 3 cos2 13 3y x x x
的图象；
再向上平移 1 个单位长度，得到函数 3cos2g x x 的图象，对于函数 g x ，它的最大值为 3 ，由于当
12x 时， 3
2g x ，不是最值，故 g x 的图象不关于直线
12x 对称，故 A 错误；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于 y 轴对称，故 B 正确；
它的最小正周期为 2
2
，故 C 正确；
当
4x 时， 0g x ，故函数 g x 的图象关于点 ,04
对称，故 D 正确.
故选：A
题 6.若不等式 1cos cos3 08m x x ≤ 对任意 0, 2x
恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. 9, 4
B. , 2 C. 9, 4
D. 9,8
【答案】A
【分析】本题主要考查函数 cos3x 的求解方法，然后用分离参数求范围．
【评讲建议】首先将 cos3x 用 cosx 来表示，也就是关于 cos 0,1t x 的三次函数．利用分离参数
1cos3 8
cos
x
m x
2 14cos 3.8cosx x
再利用导数求得 ( )g t 的范围，得出参数范围．
【解答过程】因为 0, ,2x
所以 cos 0,1 ,x 原不等式可变形为
1 1cos3 cos 28 8
cos cos
x x x
m x x
2
1cos cos2 sin sin2 18 4cos 3.cos 8cos
x x x x
xx x
令 cos 0,1 ,t x 则
2 14 3,8g t t g tt
3
3
3
2 2 2
1
1 64 1 48 8 88 8
ttt t t t
2
2
1 1
4 4 16
tt t
t
.
当 10, 4t
时 , 0,g t g t 单调递减; 当 1 ,14t
时 , 0,g t g t 单调递增，
所以 1 9 .4 4g t g
又 min( ) ,m g t 所以 9 .4m
题 7 意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作一《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘
的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将
画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角 ,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于 B 点，测得如下数
据: 6.9 , 7.1 , 12.6AB cm BC cm AC cm ，根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视
作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（）
A． ( , )6 4
B． ( , )4 3
C． 5( , )3 12
D． 5( , )12 2
【答案】B
【分析】本题以《蒙娜丽莎》的微笑曲线入题，实际是考查垂径定理，将解三角形和弦所对的圆心角相关联．
【评讲建议】首先根据题意画出图形．用等腰三角形的对称性得顶角 2ABC 的一半的正弦函数值 sin 的近
似值，求得 即 2 的范围，再利用圆的性质，得出《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为 与
的关系，即 2 ，从而得结论．
【解答过程】取 7AB BC ，设 2ABC ，
则
12.6
3 6 22sin 0.9 ( , )7 2 4
， 3( , )3 8
， 2 32 ( , )3 4
，
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为 ，则 2 ，
( , )4 3
，选：B．
题 8.已知函数 |cos|4|sin|3)( xxxf ，则下列命题错误的是（ ）
A．-π是函数 )(xf 的一个周期 B．直线 )(2 zkkx 为函数 )(xf 的对称轴方程
C．函数 )(xf 的最大值是 5 D． 4)( xf 在 ],0[ 有三个解
【答案】D
【分析】将正、余弦函数与绝对值联系在一起，首先是周期减半，然后是将四个象限分别考虑后得函数的的整
体性质，最好画出图像，然后分析．
【讲评建议】由绝对值即将函数分四个象限分别考虑后得分段函数，从而得到函数的图像，然后根据图像判断．
【解答过程】
解：∵f (π+x) = 3 )cos(4)sin( xx
=3 )(cos4sin xfxx
同理 )()( xfxf
)(|cos|4|sin|3|)cos(|4|)sin(|3)( xfxxxxxf
∴π是 )(xf 的一个周期， )(xf 是偶函数，∴-π是 f(x)的一个周期
∵当
20 x 时 xxxxxf cos4sin3|cos|4|sin|3)(
5)sin(5 x ，其中
5
3cos
5
4sin
（ 为锐角）
增区间 )2,0( ，减区间 )2,2( ，∵ )(xf 是偶函数
)(xf 的增区间 )2,2( ，减区间 )02( ，
∵π是 )(xf 的一个周期
∴ )(xf 的增区间是 )2,2( kk 和 )2,( kk ，k∈Z
减区间是 ),2( kk 和 )2,2( kk ，k∈Z
∴ )(xf 的最大值 5，最小值 3．
∵ )(cos4sin3)( xfxf ，k∈Z
∴直线 )(2 Zkkx 为函数 )(xf 的对称轴方程．
由图知， 4)( xf 在[0，π]上有四个解．
故选 D．
二、多选题
题 1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知任意角 以坐标原点为顶点，x 轴的非负半轴为始边，
若终边经过点 0 0( , )p x y ，且 ( 0)op r r ，定义： 0 0y xsos r
，称“ sos ”为“正余弦
函数”，对于“正余弦函数 y sosx ”，有同学得到以下性质，其中正确的是（ ）．（填上
所有正确性质的序号）
A．该函数的值域为 2, 2 ； B．该函数的图象关于原点对称；
C．该函数的图象关于直线 3
4x 对称； D．该函数为周期函数，且最小正周期为 2π；
【答案】AD
【分析】“正余弦函数”的实质就是正弦加余弦的和，就是 2 sin( )4y sosx x ．
【讲评建议】
本题主要考查的新定义题，关键是正确构建函数，利用三角函数的性质解题．
根据三角函数的定义可知 0 0cos , sinx r x y r x 带入 0 0y xsos r
即可得
0 0 sin cos 2 sin( )4
y xy sosx x x xr
代入答案验证即可．
【解答过程】
A 中，由三角函数的定义可知 0 0cos , sinx r x y r x ，
所以 0 0 sin cos 2 sin( ) [ 2, 2]4
y xy sosx x x xr
，所以是正确的；
B 中， 2 sin( )4y sosx x ，所以 0 2 sin(0 ) 1 04f ，所以函数关于原点
对称是错误的；
C 中，当 3
4x 时， 3 3( ) 2 sin( ) 2 sin 0 24 4 4f ，所以图象关于
3
4x 对称是错误的；
D 中， 2 sin( )4y sosx x ，所以函数为周期函数，且最小正周期为 2 ，所以是正
确的；
故选：AD
题 2．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，
并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；
一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即
22 2 2
2 21
4 2
c a bS c a
（S 为
三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有 ABC 满足 sin :sin :sin 2:3: 7A B C ，
且 ABC 的面积 6 3ABCS △ ，则下列结论正确的是（ ）
A． ABC 的周长为10 2 7 B． ABC 的三个内角 A 、C 、 B 成等差数
列
C． ABC 的外接圆半径为 4 21
3
D． ABC 的中线CD 的长为 3 2
【答案】AB
【分析】题意就是“三斜求积术”与“正弦定理和余弦定理”的联系，本题实质上是综合运用
正弦定理和余弦定理来求解．
【讲评建议】
本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有 2 sin
cR C
、
2 2 2
cos 2
a c bB ac
，考
查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算
能力，考查转化与化归思想。首先可根据sin :sin :sin 2:3: 7A B C 得出
: : 2:3: 7a b c ，然后根据 6 3ABCS △ 以及
22 2 2
2 21
4 2
c a bS c a
求出三
边的长，即可判断出 A 正确，然后根据余弦定理求出 1cos 2C ，则 π
3C ， 2A B C ，
B 正确，再然后根据 2 sin
cR C
即可判断出 C 错误，最后根据余弦定理求出 7cos 14B ，
再根据 7cos 14B 求出 CD 长，D 错误.
【解答过程】
A 项：设 ABC 的内角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、 c ，
因为sin :sin :sin 2:3: 7A B C ，所以由正弦定理可得 : : 2:3: 7a b c ，
设 2a t ， 3b t ， 7 0c t t ，
因为 6 3ABCS △ ，所以
22 2 2
2 21 7 4 96 3 7 44 2
t t tt t
，
解得 2t ，则 4a ， 6b ， 2 7c ，
故 ABC 的周长为10 2 7 ，A 正确；
B 项：因为
2 2 2 16 36 28 1cos 2 2 4 6 2
a b cC ab
，
所以 π
3C ， π 2ππ 23 3A B C ，
故 ABC 的三个内角 A 、C 、 B 成等差数列，B 正确；
C 项：因为 π
3C ，所以 3sin 2C ，
由正弦定理得 2 7 4 212 sin 33
cR C
， 2 21
3R ，C 错误；
D 项：由余弦定理得
2 2 2 16 28 36 7cos 2 142 4 2 7
a c bB ac
，
在 BCD△ 中 4BC ， 7BD ，
由余弦定理得
216 7 7cos 142 4 7
CDB
，解得 19CD ，D 错误，
故选：AB.
题 3．出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元 920 左右给出了一个关于垂直
高度为 h 的日晷及其投影长度 s 的公式： sin(90 )
sin
hs
，即等价于现在的 cots h ，
我们称 coty x 为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（ ）
A．函数 coty x 的最小正周期为 2
B．函数 coty x 关于 ,0 对称
C．函数 coty x 在区间 0, 上单调递减
D．函数 tany x 的图象与函数 coty x 的图象关于直线
2x 对称
【答案】 BC
【分析】“余切函数”的实质就是正切函数的导数，只要注意定义域以后，其他相应可得，
可作出图像来判断．
【讲评建议】
本题考查了函数的周期，单调性，对称，意在考查学生的对于函数知识的综合应用.
画出函数图像，根据函数图像得到函数周期，单调性，对称，得到答案.
【解答过程】
cos 1cot sin tan
xy x x x
，画出函数图像，如图所示：
故函数的最小正周期为 ，关于 ,0 对称，区间 0, 上单调递减.
且函数 tany x 的图象与函数 coty x 的图象不关于直线
2x 对称.
故选： BC .
题 4．以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与
导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”
的核心内容.其定理陈述如下：如果函数 f x 在闭区间 ,a b 上连续，在开区间 ,a b 内可
导，则在区间 ,a b 内至少存在一个点 0 ,x a b ，使得 0f b f a f x b a ，
0x x 称为函数 y f x 在闭区间 ,a b 上的中值点，若关于函数
sin 3cosf x x x 在区间 0, 上的“中值点”的个数为 m ，函数 xg x e 在区间
0,1 上的“中值点”的个数为 n ，则有（ ）(参考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ， 3.14 ，
2.72e .)
A． 1m B． 2m C． 1n D． 2n
【答案】BC
【分析】阅读理解“中值定理”的实质后，将问题转化为方程 0
3cos 3x
在区间
0, 上的实数根的个数和方程 11 xe e 在区间 0,1 上的实数根的个数问题．
【讲评建议】
本题考查函数导数中的新定义问题，考查方程实数根的个数的判断，解答本题的关键是将问
题转化为方程 0
3cos 3x
在区间 0, 上的实数根的个数和方程 11 xe e 在区
间 0,1 上的实数根的个数问题，数形结合即可．
【解答过程】
设函数 f x 在区间 0, 上的“中值点”为 0x
由 cos 3sinf x x x ，
则由拉格朗日中值定理可得： 00 0f f f x
又 0 3 3 2 3f f
即 0 0 00 cos 3sin 2cos 3
2 3f x x x x
所以 0
3cos 3x
， 3 11 2
，
作出函数 cos 3y x
和 3y 的图象,如图 1.
由图可知，函数 cos 3y x
和 3y 的图象在 0, 上有两个交点.
所以方程 0
3cos 3x
在 0, 上有两个解，即函数 f x 在区间 0, 上有 2 个
“中值点”.
所以 2m
又 xg x e ，函数 g x 在区间 0,1 上的“中值点”为 1x ，
则由拉格朗日中值定理可得： 01 0 1 0g g g x
即 11 xe e ，
作出函数 xy e 与 1y e 的图象，如图 2
1 1e e , 当 0,1x 时，1 xe e
由图可知，函数 xy e 与 1y e 的图象在区间 0,1 上有 1 个交点.
即方程 11 xe e 在区间 0,1 上有 1 个解.
所以函数 g x 在区间 0,1 上有 1 个“中值点”，即 1n
故选：BC
题 5．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种
三角函数：定义1 cos 为角 的正矢，记作 sinver ，定义1 sin 为角 的余矢，记作
cov siner ，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数 cov sin siny er x ver x 在 ,4
上是减函数
B．若 cov sin 1 2sin 1
er x
ver x
，则 7cov sin 2 sin 2 5er x ver x
C．函数 sin 2020 cov sin 20203 6f x ver x er x
，则 f x 的最大值 2 2
D． sin cov sin2ver er
【答案】BD
【分析】“定义1 cos 为角 的正矢，记作 sinver ，定义1 sin 为角 的余矢”就是正
余弦函数的简单对称和平移变换，把新的定义转换为已有的熟悉的函数就可得解．
【讲评建议】
本题的关键点是读懂三角函数正矢和余矢的定义，能将已知条件化简，能熟练运用诱导公式，
cos 2020 sin 20203 6x x
，以及同角三角函数基本关系齐次式化弦为切，属于
中档题.
【解答过程】
由正矢和余矢的定义可得：
对于选项 A： cov sin sin 1 sin 1 cosy er x ver x x x
cos sin 2 cos 4x x x
所以在区间 3,4 4
单调递减，故选项 A 错误；
对于选项 B：因为 cov sin 1 1 sin 1 tan 2sin 1 1 cos 1
er x x xver x x
，
则
2 2
2 2
cos sin 2sin coscov sin 2 sin 2 cos2 sin 2 cos sin
x x x xer x ver x x x x x
2 2
2 2
1 tan 2tan 1 2 2 2 7
1 tan 1 2 5
x x
x
，所以 B 正确；
对于选项 C： sin 2020 cov sin 20203 6f x ver x er x
2 cos 2020 sin 20203 6x x
2 cos 2020 sin 2020 2 2sin 20206 2 6 6x x x
所以则 f x 的最大值 4 ，故选项 C 不正确，
对于选项 D： sin 1 cos 1 sin cov sin2 2ver er
，故选项 D 正确；
故选：BD
题 6．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联
网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数 7
1
sin 2 1
2 1i
i xf x i
的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f x 为周期函数，且最小正周期为 π
B．函数 f x 为奇函数
C．函数 y f x 的图象关于直线 π
2x 对称
D．函数 f x 的导函数 f x 的最大值为 7
【答案】BCD
【分析】“ 7
1
sin 2 1
2 1i
i xf x i
”的实质就是正余弦函数的和，但不是简单的和，即
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xf x x 周期性未保留，奇偶性和对称性保留，求导后
变为余弦函数的和．
【讲评建议】
利用周期的定义可判断 A 选项的正误；利用奇偶性的定义可判断 B 选项的正误；利用函数
的对称性可判断 C 选项的正误；求得函数 y f x 的导数，求出 y f x 的最大值，可
判断 D 选项的正误.
【解答过程】
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xf x x ，
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xf x x
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xx f x ，
所以， 不是函数 y f x 的最小正周期，A 选项错误；
sin 3 sin 5 sin 13sin 3 5 13
x x xf x x
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xx f x ，
且函数 y f x 的定义域为 R ，所以，函数 y f x 为奇函数，B 选项正确；
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xf x x
sin3 sin5 sin13sin 3 5 13
x x xx f x ，
所以，函数 y f x 的图象关于直线
2x 对称，C 选项正确；
cos cos3 cos5 cos13f x x x x x ，
1 cos 1x ， 1 cos3 1x ， 1 cos5 1x ， ， 1 cos13 1x ，
则 cos cos3 cos5 cos13 7f x x x x x ，又 0 7f ，所以，函数 y f x
的最大值为 7 ，D 选项正确.
故选：BCD.
三填空题
题 1.写出一个以
2
为周期且在区间(
4
，
2
)单调递增函数 ( )f x ________．
【分析】由最小正周期为
2
，可考虑三角函数中的正弦型函数或者余弦型函数．
【讲评建议】这类开放题要引导学生从熟悉的函数模型出发，结合条件构造函数.
【解答过程】由最小正周期为
2
，可考虑函数 )0(,sin)( AxAxf ，或者函数
)0(,cos)( AxAxf 满足；根据最小正周期
2
T ，可得 2 .
故函数可以是 xxf 2sin)( 或者 ,2cos)( xxf 中任一个，又 )(xf 在区间(
4
，
2
)上单
调递增函数,所以可取 xxf 2cos)( ;
故答案为： xxf 2cos)( .
题 2．数学家华罗庚倡导的“0.618 优选法”在各领域都应用广泛,0.618 就是黄金分割比
5 1
2m 的近似值,黄金分割比还可以表示成 2sin18,则
2
2
4
2 cos 27 1
m m
的值为
【分析】将 0 5 12sin18 2
代入计算
【讲评建议】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，关键在于引导学生找出已知式与
待求式之间的联系及函数的差异.
【解答过程】由题可知 5 12sin18 2m ，所以 2 4sin18m .
则
2 2
2 2
4 2sin18 4 4sin 18
2cos 27 1 2cos 27 1
m m
2sin18 2cos18
cos54
2sin36
cos54
2 .
故填：2.
题 3.7 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定
理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”
黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它
是一个顶角为36 的等腰三角形(另一种是顶角为 108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄
金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 ABC 中，
5 1
2
BC
AC
.根据这些信息，可得 sin 234 的值为
【分析】计算得 72ACB ，然后将 sin 234 转化为 cos144
【讲评建议】本题关键在于引导学生如何用三角函数知识解决问题.
【解答过程】由题意可得 72ACB ，且
1
5 12cos 4
BC
ACB AC
，
所以
2
2 5 1 5 1cos144 2cos 72 1 2 14 4
，
所以 5 1sin234 sin 144 90 cos144 4
，
故填：
题 4.如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，
问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈=10 尺），现被风折断尖端落在地上，
竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角
（锐角）为 ，则 tan( )4
________.
【分析】建立三角函数模型求解
【讲评建议】本题以古文化为背景,考查了勾股定理、锐角三角函数的定义
以及两角和的正切公式.
【解答过程】由题意，设折断处离地面的高为 x 尺
则由勾股定理得 2 2 23 (10 x)x ，化简得 20 91x ，解得 4.55x .
4
15
∴ 4.55 91tan 3 60
，∴
tan tan 1514tan 4 311 tan tan 4
.
故填： 151
31
题 5．“割圆术”是我国古代计算圆周率 的一种方法.在公元 263年左右，由魏晋时期的数学
家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求 .当时刘微
就是利用这种方法，把 的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率
的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求
的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至
于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，
这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率 ，
则 的近似值是（精确到 0.01）（参考数据sin15 0.2588o ）
【分析】假设圆的半径为 r ，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的 24 个等腰三
角形，顶角为 360
24
，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果.
【讲评建议】本题重点在于引导学生使用分割法，利用面积建立方程.
【解答过程】设圆的半径为 r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的 24 个等腰三角
形
且顶角为 360 1524
，所以正二十四边形的面积为 2124 sin15 12 sin152
r r r ，
所以 2 212 sin15 12sin15 3.11 r r
故填：3.11
四、解答题
题 1．从① ABC△ 的面积 2S ；② AD CD 这两个条件中任选一个，补充在下面的
问题中进行求解.如图，在平面四边形 ABCD 中， 2AB CD ， 3
4B ，对角线 AC
平分 BAD ，且______________，求线段 AD 的长.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【分析】选①由面积得 BC ，再由余弦定理得 cos BAC
进而求线段 AD 的长.而
②可由正弦定理得 tan BAC ，运算量和难度均要大一些.
【讲评建议】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理，属于基础题.要让学生在选择之前
就能预测后续的运算量，这样就能选择①作答，从而有效减少运算量.
【解答过程】选①， 2S
1 22 2 2 22 2S BC BC
28 4 2 2 2 2 2 52AC
20 4 8 2 5cos cos52 2 5 2
BAC CAD
2 2 520 2 2 5 45AD AD
2 8 16 0AD AD ， 4AD .
题 2．在① 2 2 22b ac a c ,② cos sina B b A ,③ sin cos 2B B 这三个条件中
任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.
已知 ABC 的内角 A, B ,C 的对边分别为 a ,b , c ______________,
3A , 2b ,
求 ABC 的面积.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【分析】选择①用余弦定理；选择②用正弦定理；选择③用三角函数的图像和性质，殊途同
归．
【讲评建议】引导学生根据所悬条件合理选用正弦定理或余弦定理，然后主要用三角形的面
积公式，必要时结合三角函数的图像和性质.最后还要让学生增强选择条件利于解题的预判
能力．
【解答过程】选择①： 2 2 22b ac a c ,
由余弦定理
2 2 2 2 2cos 2 2 2
a c b acB ac ac
,因为 (0, )B ,所以
4B ;
由正弦定理
sin sin
a b
A B
,得
2 sinsin 3 3sin 2
2
b Aa B
,
因为
3A ,
4B ,所以 5
3 4 12C ,
所以 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C
,
所以 1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C
.
若选择②： cos sina B b A ,则sin cos sin sinA B B A ,
因为sin 0A ,所以sin cosB B ,因为 (0, )B ,所以
4B ;
由正弦定理
sin sin
a b
A B
,得
2 sinsin 3 3sin 2
2
b Aa B
,
因为
3A ,
4B ,所以 5
3 4 12C ,
所以 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C
,
所以 1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C
.
若选择③：sin cos 2B B ,则 2 sin 24B
,所以sin 14B
,
因为 (0, )B ,所以 5,4 4 4B
,所以
4 2B ,所以
4B ;
由正弦定理
sin sin
a b
A B
,得
2 sinsin 3 3sin 2
2
b Aa B
,
因为
3A ,
4B ,所以 5
3 4 12C ,
所以 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C
,
所以 1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C
.
题 3．已知函数 22cos cos 3sin sin cos6x x xx xf x
．
（Ⅰ）求 f x 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）将函数 y f x 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将
得到的图像向左平移
4
个单位长度，得到函数 y g x 的图像，若关于 x 的方程
2
2 2 0g x a g x a 在 3 ,4 4
上恰有 2 个根，求 a 的取值范围．
【分析】本题第一问需将解析式化为一般式，考察学生对两角和与差的余弦公式、二倍角公
式等公式的考察；第二问需根据图像变换先得到函数 y g x 的解析式，利用因式分解可
以解出 =2 =g x g x a或 ，根据函数值域可以得到 =2 = 1g x g x a和 分别对应 个根。
【讲评建议】引导学生重视公式的灵活运用，第 2 问三角方程的点评可以结合图像数形结合，
这样便于理解。
【答案】（Ⅰ）最小正周期为 ． 5 ,12 12k k
（ k Z ）；（Ⅱ） 1,1 .
【解答过程】（Ⅰ） 22cos cos 3sin sin cos6x x xx xf x
2 23 cos sin cos 3sin sin cosx x x x x x
3 cos2 sin 2x x
2sin 2 3x
．
所以 f x 的最小正周期为 2
2T ．
令 2 2 22 3 2k x k ，得 5
12 12k x k （ k Z ）．
所以 f x 的单调递增区间为 5 ,12 12k k
（ k Z ）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 2sin 2 3f x x
，
所以 72sin 2sin3 4 12x xg x
．
由 2
2 2 0g x a g x a ，得 2g x 或 g x a ．
当 3 ,4 4x
时， 7 5,12 6 6x
．
当且仅当 7
12 2x ，即
12x 时， 2g x ．
所以 g x a 仅有一个根，因为 2sin 16
， 52sin 16
，
所以 a 的取值范围是 1,1 ．
题 4.已知函数 ( ) sin( )( 0, 0)f x A x A 的图像是由 2 sin( )3y x 的图像向右平
移
3
个单位得到的．
（1）若 f(x)的最小正周期为π，求 f(x)的与 y 轴距离最近的对称轴方程；
（2）若 f(x)在[ ],2
上仅有一个零点，求ω的取值范围．
【分析】本题第一问主要是图像变换、三角函数的图像与性质(对称性、周期性)；第二问三
角方程的根的个数的理解。
【讲评建议】本题第一问先根据周期性求出ω，在处理图像变换时，要注意将ω提取出来，
这是一个易错点，在处理对称轴方程时先利用整体代入求出所有的对称轴方程，再进行比较
求出与 y 轴最近的；第二问先求出三角方程的所有的根，f(x)在[ ],2
上仅有一个零点等价
于临近的三个根，中间在区间[ ],2
内，前后两个在区间外。
【解析】（1）因为 f x 的最小正周期为 ，
2
， 2 ，
f x 的图像是由 2 sin 3y x
的图像向右平移
3
个单位得到，
2 sin 3 3f x x
，即 2 sin 2 3f x x
，
令 2 3 2x k ， k Z ，得 f x 的对称轴方程为
2 12
kx ， k Z ，
要使直线
2 12
kx （ k Z ）与 y 轴距离最近，则须 5
2 12
k 最小，
1k ，此时对称轴方程为
12x ，即所求对称轴方程为
12x .
（2）由已知得： 2 sin 3 3f x x
，
令 0f x 得：
3 3x k ， k Z ，即 3 3k
x
， k Z ，
f x 在 ,2
上仅有一个零点，
3 3
2
1 3 3
2
1 3 3
k
k
k
， k Z ， 0 ，
3 1 6 22
6 8
3 2
2
k k
k
k
， 0 ，
6 2 0
3 1 6 22
3 26 8 2
k
k k
kk
，解得： 1 23 k ，
k Z ， 1k ， 51 2
.
题 5．某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+ )(A>0，ω>0，| |< 2
)在某一个周期内的图
象时，列表并填入了部分数据，如表：
x 0 2
π 3
2
2π
x - 6
3
5
6
sinA x
0 2 -2 0
（1）请将上表数据补充完整，并求出函数 f(x)的解析式；
（2）将 y=f(x)的图象的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，再向右平移
6
个单
位后，得到函数 y=g(x)的图象.若关于 x 的方程 22( ( )) ( ) 1 0g x m g x 在区间[0, ) 上有
两个不等实根，求实数 m 的取值范围．
【分析】（1）先分析理解表格和题意，然后补全表格得，接着按振幅、周期和初相的顺序得
函数的解析式
（ 2 ） 结 合 （ 1 ） 根 据 图 像 变 换 的 原 理 得 y=g(x) 的 解 析 式 ， 关 于 x 的 方 程
22( ( )) ( ) 1 0g x m g x 实际是关于 t=g(x)的二次方程，讨论 t=g(x)的取值范围与对称轴
的关系得本题的答案.
【讲评建议】（1）可以先复习“五点作图法”来帮助理解表格和题意，然后补全表格得，初
相的求解务必注意范围；
（2）t=g(x)的取值范围是基本功，作为二次方程，用二次函数的模型讨论 t=g(x)的取值
范围与对称轴的关系是本题的关键.
【解答过程】（1）补全表格如下：
x 0 2
π 3
2
2π
x - 6
12
3
7
12
5
6
sinA x 0 2 0 -2 0
根据表格数据可知 5A ， 5 +6 6T ，而 0 ，所以 2 2T .所以
2sin 2f x x ， 2sin 212 6f
，由于
2
，所以
6 2 3
.所以 2sin 2 + 3f x x .
（2）由（1）知 ( ) sin 2g x x ，
题意 22 sin 2 sin 2 1 0x m x 在区间[0, ) 上有两个不等实根，
令 sin 2t x ， [0, )x ，则
题意 方程 22 1 0t mt 在 -1,1)t ( 内仅有一个根，且另一个根 1 ．
令 2( ) 2 1h t t mt ，则由 (0) 1h 得
题意
2 8 0
-1 04
m
m
或
2 8 0
0 14
m
m
或 (-1) 0h 或
(1) 0h ( , 3) 2 2 2 2 (3,+ )m ；
4．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ， 2c .有以下 3 个条件：
① 2 cosc A b ；② 2 2 cosb a c A ；③ 2a b c .
请在以上 3 个条件中选择一个，求 ABC 面积的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【分析】选择①由正弦定理得 A C ，三角函数的有界性得面积的最大值；
选择②由正弦定理得
3C ，然后由余弦定理和基本不等式得面积的最大值；
选择③由三边关系得C 范围，然后由余弦定理和基本不等式得面积的最大值.
【讲评建议】先由题意不管如何选择，都是两个条件，所以才有变化范围，故有求 ABC 面
积的最大值，然后分别分析①②③的运算量的大小，用正弦定理或结合余弦定理将边角转化，
最后由面积公式得面积的最大值.
【解答过程】若选择①由正弦定理
sin sin sin
a b c
A B C
可将 2 cosc A b 化为： 2sin cos sinC A B
又 A B C ，所以sin sin( )B A C 所以 2sin cos sin( )C A A C
即sin cos cos sin 0A C A C ，
sin( ) 0A C ， A C 2a c
所以 1 sin 2sin 22ABCS ac B B （当
2B 时取到等号）
所以 ABC 面积的最大值为 2.
若选择②
由正弦定理
sin sin sin
a b c
A B C
可将 2 2 cosb a c A 化为：
2sin sin 2sin cosB A C A
又 A B C ，所以sin sin( )B A C 所以 2sin( ) sin 2sin cosA C A C A
即 2sin cos sinA C A ，
1cos 2C 又 (0, )C ，
3C
又由余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C 可得：
2 24 2a b ab ab ab ab （当且仅当 a b 时取等号）
1 sin 2sin 32ABCS ab C C 所以 ABC 面积的最大值为 3 .
若选择③因为 2c ，所以 2 4 2a b c ab
4ab （当且仅当 a b 时取等号）
又由余弦定理
2 2 2
cos 2
a b cC ab
得：
2 2 2 2 23 1( ) ( ) 12 4 2cos 2 2 2 2
a ba b a b ab abC ab ab ab
（当且仅当 a b 时取等号）┅8 分
0 3C 1 1sin 4 sin 32 2 3ABCS ab C
（当且仅当 a b 时取等号）
所以 ABC 面积的最大值为 3 .
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