2021届高三数学二轮专题六复习讲义数列

专题二 数列 一、单选题 题 1 定义 1 n i i n u   为 n 个正数 1 2 3, , , nu u u u 的“快乐数”.若已知正项数列 na 的前 n 项的“快乐数”为 1 3 1n  ，则数列 1 36 ( 2)( 2)n na a        的前 2019 项和为（ ） A． 2018 2019 B． 2019 2020 C． 2019 2018 D． 2019 1010 【答案】B 【讲评建议】本题考查根据 nS 求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前 n 项和；关键是能够准确理 解“快乐数”的定义，得到 nS ；从而利用 na 与 nS 的关系求解出数列的通项公式. 【解答过程】设 nS 为数列 na 的前 n 项和，由“快乐数”定义可知： 1 3 1n n S n   ，即 23nS n n  当 1n  时， 11 4a S  当 2n  且 n N 时， 1 6 2n n na S S n    经验证可知 1 4a  满足 6 2na n   6 2na n n N     ，       1 36 36 1 1 1 2 2 6 6 6 1 1n na a n n n n n n           数列   1 36 2 2n na a         的前 2019 项和为： 1 1 1 1 1 20191 2 2 3 2019 2020 2020       题 2 设数列 na 满足 1 3a  ， 2 6a  ，  2 *1 2 9n n n aa na    N ，（ ） A．存在 *nN ， na Q B．存在 0p  ，使得 1n na pa  是等差数列 C．存在 *nN ， 5na  D．存在 0p  ，使得 1n na pa  是等比数列 【答案】D 【讲评建议】与数列的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求 在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的 目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”， 逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 【解答过程】由  2 *1 2 9n n n aa na    N ，即 2 2 1 9n n na a a   ，则 2 3 1 2 9n n na a a    ， 两式相减，可得 2 2 3 1 2 2 1n n n n n na a a a a a      ，可得 + 1 2 + 3 + 2 1n n n n n na a a a a a    ，即 + 1 2 + 3 + 2 1n n n n n na a a a a a    恒成立， 所以数列 2 +1n n na a a       为常数列，因为又由 1 3a  ， 2 6a  ，可得 3 15a  ，则 2 1 3 3 15 36 a a a    ， 所以 2 +1 3n n na a a   ，即 12 +3 nn naa a   ，因为 1 2,a N a N   ，可得 2na N    ，可判定 A、C 不正确； 由 1 3a  ， 2 6a  ，可得 3 4 515, 39, 102,a a a   ，假设 B 成立，则 6 3 ,15 6 ,39 15 ,102 39p p p p    成等差数列，则9 3 24 9 63 24p p p     ，此时无解，所以 B 不正确；对于 D 中，假设 2 1 1 n n n n a pa qa pa      ， 所以 2 1( )n n na p q a pqa    ，由 3 1 p q pq     ，解得 3 5 3 53 ,2 2p q    ，所以存在 ,p q 使得  1n na pa  是等比数列. 题 3 若数列 na 的前 n 项和为 nS ， n n Sb n  ，则称数列 nb 是数列 na 的“均值数列”.已知数列 nb 是数 列 na 的“均值数列”且通项公式为 nb n ，设数列 1 1 n na a        的前 n 项和为 nT ，若 21 12nT m m   对一切 *nN 恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ） A． 1,3 B． 1,3 C．   , 1 3,   D．   , 1 3,   【答案】D 【讲评建议】数列与函数、不等式综合问题的求解策略： 1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 n 项和公式，求和方 法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问 题时要注意这一特殊性； 2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合 法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 【解答过程】由题意，数列 na 的前 n 项和为 nS ，由“均值数列”的定义可得 nS nn  ，所以 2 nS n ， 当 1n  时， 1 1 1a S  ； 当 2n  时，  22 1 1 2 1n n na S S n n n       ， 1 1a  也满足 2 1na n  ，所以 2 1na n  ， 所以   1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n na a n n n n           ，所以 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2nT n n n                      ，又 21 12nT m m   对一切 *nN 恒成 立，所以 21 112 2m m   ，整理得 2 2 3 0m m   ，解得 1m   或 3m  .即实数 m 的取值范围为    , 1 3,   . 题 4 在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述:今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百 二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽 马，二马相逢.则二马相逢时，良马比驽马多走了多少路程（ ） A．440 里 B．540 里 C．630 里 D．690 里 【答案】B 【讲评建议】解决数列与数学文化相交汇问题的关键： （1）读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意； （2）由题意，构造等差数列或等比数列或递推关系式的模型； （3）利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项，通项公式或前 n 项和的公式. 【解答过程】设良马每天所行路程为 na ，则 na 是以 103 为首项，以 13 为公差的等差数列， 其前 n 项为 nA ，驽马每天所行路程为 nb ，则 nb 是以 97 为首项，以 1 2  为公差的等差数列，其前项为 nB ，设共用 n 天二马相逢，则 2 1125n nA B   ,所以 ( 1) ( 1) 1103 13 97 ( ) 22502 2 2 n n n nn n        ，化简得 2 31 360 0n n   ，解得 9n  ， 9 9 8103 13 13952A     ， 9 2250 1395 855B    ，所以 9 9 1395 855 540A B    . 题 5 已知函数   1 1 ( ,2){ 2 ( 2) [2, ) x xf x f x x        ，设方程   1 22 x f x   的根从小到大依次为 1 2, , , , ,nx x x n N   ，则数列 ( )nf x 的前 n 项和为 （ ） A． 2n B． 2n n C． 2 1n  D． 12 1n  【答案】C 【讲评建议】本题考察分段函数的性质，数形结合思想，函数与方程思想，等比数列的和． 【解答过程】试题分析：由 ( )f x 的定义知，当 0x  时， ( ) 0f x  ， 当 [2 2,2 1]x n n   时， ( )f x 单 调递增，当 时， ( )f x 单调递减，其中 *n N ， 1(2 1) 2nf n   ，又函数 1 2( ) 2 x g x   是 R 上的增函数，因此方程 1 2( ) 2 x f x   的解为 2 1, *nx n n N   ， 1( ) 2n nf x  ，所以 1 2( ) ( ) ( )nf x f x f x   11 2 2 2 1n n      . 题 6《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作,其中有一个问题的大意为一年有二十四个节气,每个节气 晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同).二十四个节气及晷长变化如图所示,若冬 至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(注:一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至后的节气(小暑)晷长为 ( ). A. 五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸 【答案】B 【讲评建议】通过古代数学文化培养阅读能力以及数学建模的能力，将各个节气的晷长抽象成等差数列来 培育数学建模的数学素养,通过建模解决实际问题来培育数学运算的素养 【解答过程】设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an},即夏至时晷长为 a1=15,冬至时晷长为 a13=135, 由每个节气晷长损益相同可知,an+1-an=常数,所以数列{an}为等差数列,设公差为 d,由题意知 a13=a1+12d=15+12d=135,解得 d=10,则 a2=a1+d=15+10=25. 题 7 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于 1640 年提出了以下猜想 22 1( 0,1,2, )n nF n    是质数．直到 1732 年才被善于计算的大数学家欧拉算出 5 641 6700417F   ，不是质数．现设 na   2log 1 ,( 1,2, )nF n   ， nS 表示数列 na 的前 n 项和．则使不等式 2 1 2 2 3 1 2 2 2 n n nS S S S S S     2 2020 n 成立的最小正整数 n 的值是（提示 102 1024 ）（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【讲评建议】利用等比数列的求和公式及裂项相消法分别求出相关数列的前 n 项和，进而得到满足不等式 的最小正整数值. 【解答过程】把 22 1n nF   代入  2log 1n na F  ），得  2 2log 2 1 1 2n n na     ， 故    2 1 2 2 2 11 2 n n nS     ，则 1 1 2 1 1 1 4 2 1 2 1 n n n n nS S         ，则不等式 2 1 1 2 2 3 1 2 2 2 1 1 214 2 1 2020 n n n n nS S S S S S           成立，代入计算可得，当不等式成立时．n 的最小值 为 9． 题 8 对于数列 na ，规定 na 为数列 na 的一阶差分数列，其中  * 1n n na a a n   N ，对自然数  2k k  ，规定 k na 为数列 na 的 k 阶差分数列，其中 1 1 1 k k k n n na a a       .若 1 1a  ，且  2 * 1 2n n n na a a n      N ，则数列 na 的通项公式为（ ） A． 2 12n na n   B． 12n na n   C．   21 2n na n    D．   12 1 2n na n    【答案】B 【讲评建议】利用题中新定义，得出数列 na 的递推式，进而通过构造等差数列求得 na 的通项公式. 【解答过程】根据题中定义可得    2 * 1 1 1 2n n n n n n n na a a a a a na               N ， 即  1 12 2n n n n n n n na a a a a a a          ，即 1 2 2n n na a   ， 等式两边同时除以 12n ，得 1 1 1 2 2 2 n n n n a a    ， 1 1 1 2 2 2 n n n n a a    且 1 1 2 2 a  ， 所以，数列 2 n n a    是以 1 2 为首项，以 1 2 为公差的等差数列，  1 1 12 2 2 2 n n a nn     ， 因此， 12n na n   . 二、多选题 题 9.若数列 na 满足：对任意正整数 n ， 1n na a  为递减数列，则称数列 na 为“差递减数列”.给出下列 数列  * na n N ，其中是“差递减数列”的有（ ） A． 3na n B． 2 1na n  C． na n D． ln 1n na n   【答案】CD 【讲解建议】分别求出四个选项中数列  * na n N 对应的 1n na a  ，再进行判断. 【解答过程】对 A ，若 3na n ，则 1 3( 1) 3 3n na a n n      ，所以 1n na a  不为递减数列，故 A 错 误；对 B ，若 2 1na n  ，则 2 2 1 ( 1) 2 1n na a n n n       ，所以 1n na a  为递增数列，故 B 错误； 对C ，若 na n ，则 1 11 1n na a n n n n        ，所以 1n na a  为递减数列，故C 正确； 对 D ，若 ln 1n na n   ，则 1 2 1 1 1 1ln ln ln ln(1 )2 1 2 2n n n n n na a n n n n n n             ，由函数 2 1ln(1 )2y x x    在 (0, ) 递减，所以数 1n na a  为递减数列，故 D 正确. 题 10.对于数列 na ，若存在正整数 k  2k  ，使得 1k ka a  ， 1k ka a  ，则称 ka 是数列 na 的“谷值， k 是数列 na 的“谷值点”，在数列 na 中，若 9 8na n n    ，则数列 na 的“谷值点”为( ) A． 2 B． 3 C． 5 D． 7 【答案】AD 【讲解建议】由数列的通项公式求出前七项各项的值，然后根据题意进行求解即可, 【解答过程】因为 9 8na n n    ，所以 1 2 3 4 5 6 7 8 3 7 6 1 2 92, , 2, , , , ,2 4 5 2 7 8a a a a a a a a        ， 当 7,n n N  ， 9 9 98 0 8 8nn a n nn n n           ，此时数列单调递增， 2 1a a ， 2 3a a ， 7 6a a ， 7 8a a ，所以数列 na 的“谷值点”为 2，7. 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学运算能力，考查了数列的单调性，属于中档题. 题 11.记数列{an}的前 n 项和为 Sn，若存在实数 H，使得对任意的 n∈N+，都有 nS 0，…，所以(Tn)min＝T1＝c1＝1. 选择② 由 bn＝bn-1＋2(n≥2)知{bn}是以 b1＝1 为首项，2 为公差的等差数列，所以 bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以 12 )( 1 3n n n nc a b n    ，因为 cn＝(2n－1)·3n－1>0，即 c1>0，c2>0，c3>0，…，所以(Tn)min＝T1＝c1＝1. 选择③ 由 5bn＝－bn-1(n≥2)知{bn}是以 b1＝1 为首项， 1 5  为公比的等比数列，所以   11 5 n nb    ， 所以    1 1 1 1 33 5 5 n n n n n nc a b         ，所以    31 5 5 313 8 51 5 n n nT          ，当 n 为奇数时，由于  3 05 n   ， 故 5 8nT  ；当 n 为偶数时，由于  3 05 n   ，故 5 8nT  ，由  5 318 5 n nT       在 n 为偶数时单调递增， 所以当 n＝2 时，  min 5 16 2 8 25 5nT    ，综上所述：Tn 的最小值为 2 5 . 题 30.已知 na 是无穷数列.给出两个性质：①对于 na 中任意两项 , ( )i ja a i j ，在 na 中都存在一项 ma ， 使得 2 i j ma a a  ；②对于 na 中任意项 ( 3)na n… ，在 na 中都存在两项 , ( )k la a k l ，使得 2n k la a a  . （1）若 2 ( 1,2, )n na n   ，判断数列 na 是否满足性质①，说明理由； （2）若 ( 1,2, )na n n   ，判断数列 na 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （3）若 na 是递增数列， 1 0a  ，且同时满足性质①和性质②，证明： na 为等差数列. 【讲解建议】（1）由 2n na  ，根据题意，得到 12 2 1m j p   ，由 2m j 为偶数， 12 1p  为奇数，即可得 出结论；（2）由 ( 1,2, )na n n   ，验证性质①②，即可求解；（3）由 na 是递增数列且 1 0a  ，得到 当 2,n n N   时， 0na  ，根据题意，得出 2n l ka a a  ，结合数学归纳，即可求解. 【解答过程】（1）由 2n na  ，性质①是任意 , ( )i ja a i j ，存在 2 i j ma a a  ， 令i j p  ，则 na 要满足 12 2 2 ( 0)m i j j p    ，可得 12 2 (2 1)m j p  ，可得 12 2 1m j p   ， 其中 2m j 为偶数， 12 1p  为奇数，所以不成立，如：当 4, 3i j  时， 5 32 2 2 24m    ，不存在这样 的 m . （2）当 ( 1,2, )na n n   时，2 2 ,i ja a i j i j    ，所以 2 0i j  ，所以存在 2m i j  使得数列 na 满足性质①；对性质②，取 1k n  ， 2, 3l n n   ，则 1 22 2( 1) ( 2)n n na a a n n n        成立， 所以满足性质②.综上可得，数列 na 同时满足性质①②. （3）由 na 是递增数列， 1 0a  ，所以，当 2,n n N   时， 0na  ，因为满足性质①和性质②，所 以 2n k la a a  ，即 2n l ka a a  ，当 3n  时， 3 2l ka a a  ，已知 k l ，所以 3l k  ，又由 ,k l N  ， 所以 1, 2l k  ，即数列 na 前三项成等差数列.假设 na 前 ( 3)s s  项成等差数列，即 1 ( 1) , 1,2, ,na a n d n s     ，则当 1n s  时，若 1 12s s sa a a   ，由性质①知，必存在 ( 1)ma m s  ， 使得 1 12 s s m sa a a a    成立，因为 1 1 1 12 2[ ( 1) ] [ ( 2) ]s sa a a s d a s d a sd         ，所以必有 1 1 1( 1) s sa s d a a a sd      成立，又由性质②知， 1 1 12 (2 1)s ka a a a k d      ，则 2 1 ( 1, )k l s s    与 2 1k l N    矛盾，所以 1 12s s sa a a   成立，所以数列 na 的前 1s  项也成 等差数列，所以数列 na 为等差数列. 【点评】与数列的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求 在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的 目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”， 逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. ③作差后，作差部分应用为 1n  的等比数列求和.