专题五 解析几何
一、多选题
题 1.关于曲线
2
14
y x x 的以下描述，正确的是（）
A．该曲线的范围为： y R ， 1x B．该曲线既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称
C．该曲线与直线 2 0x y 有两个公共点 D．该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为 1
【答案】AD
【讲评建议】用方程研究性质，关键点是画出曲线表示的图形，考查了数形结合思想、转化的思想及计算
能力.
【解答过程】由题意，当 0x 时，曲线方程可以化为
2
2 14
y x ，即为焦点在 y 轴，对称轴是坐标轴的
椭圆的右半部分和 y 轴正半轴上的两个点，当 0x 时，曲线方程可以化为
2
2 14
y x ，即为焦点在 y 轴，对称轴是坐标轴的双曲线的左半部分，如图
该曲线的范围为： y R ， 1x ，所以 A 正确；
由图可知，该曲线关于 x 轴对称，不关于 y 轴对称，所以 B 错误；
曲线
2
2 14
y x 的渐近线方程是 2 0x y ，所以 2 0x y 是双曲线的一条渐近线，所以与双曲线无交
点，与椭圆有一个交点，所以 C 错误；
由图可知，曲线上到原点距离最小的点在椭圆部分，设 0 0( , )x y 是椭圆部分上的点，
则
2
20
0 14
y x ，即求 2 2
0 0y x 的最小值，所以
2 2
2 0 0
0
31 14 4
y yy ，所以当 0 0y
时， 2 2
0 0y x 最小，此时 0 1x ，即点 (1,0) 到原点的距离最小，最小值为 1 ，所以 D 正确.
故选：AD .
题 2.已知双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
， A 、 B 分别为双曲线的左、右顶点， 1F 、 2F 为左、右焦
点， 1 2 2F F c ，且 a ，b ，c 成等比数列，点 P 是双曲线C 的右支上异于点 B 的任意一点，记 PA ，PB
的斜率分别为 1k ， 2k ，则下列说法正确的是（ ）．
A．当 2PF x 轴时， 1 2 30PF F
B．双曲线的离心率 1 5
2e
C． 1 2k k 为定值 1 5
2
D．若 I 为 1 2PF F△ 的内心，满足 1 2 1 2IPF IPF IF FS S xS x R△ △ △ ，则 5 1
2x
【答案】BCD
【讲评建议】利用双曲线的定义与几何性质，圆的切线性质，根据
数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，是解决本题的关键所在
【解答过程】∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac，
如图，
对于 A，当 PF2⊥x 轴时，点 P 为
2
, bc a
,
2
2
1 2
1 2
| | 1tan | | 2 2 2
b
PF acaPF F F F c ac
，显然 1 2 30PF F ，选项 A 错误；
对于 B， 2 2 2 , 1,cac c a ab e
∴e2﹣e﹣1＝0，解得 1 5
2e （舍负），即选项 B 正确；
对于 C,设 ( , )P x y ，则 1 2,y yk kx a x a
，所以
2
1 2 2 2+
y y yk k x a x a x a
，
由点 ( , )P x y 在双曲线上可得
2 2 2
2 2
x a y
a b
，
代入
22 2 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2
1 51 1 2
1 5
2
y b y b ck k x a a y a a
，故 C 正确；
对于 D，设圆 I 的半径为 r， 1 2 1 2IPF IPF IF FS xSS 2 1 2
1 1 1| | | | | |2 2 2r PF r PF x r F F ，
即 1 2 1 2| | | | | |PF PF x F F ，由双曲线的定义知， 1 2| | | | 2 ,PF PF a
2 2a x c ，即 1 5 1
2
ax c e
，故选项 D 正确；
故选：BCD．
题 3.已知椭圆
2 2
: 125 20
x yM 的左、右焦点分别是 1F ， 2F ，左、右顶点分别是 1A ， 2A ，点 P 是椭圆上
异于 1A ， 2A 的任意一点，则下列说法正确的是（）
A． 1 2 5PF PF B．直线 1PA 与直线 2PA 的斜率之积为 4
5
C．存在点 P 满足 1 2 90F PF D．若 1 2F PF△ 的面积为 4 5 ，则点 P 的横坐标为 5
【答案】BD
【讲评建议】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质．有结论如下：椭圆上的点与两焦点连
线的斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点．
【解答过程】由题意 5, 2 5, 5a b c ， 1( 5,0)F ， 2 ( 5,0)F ， 1( 5,0)A ， 2 (5 ),0A ，短轴一个顶
点 2 (0, 5)B ，
1 2 2 10PF PF a ，A 错；
设 ( , )P x y ，则
2 2
125 20
x y ，
2
2 20(1 )25
xy ，
所以
1 2
2 2
2 2
1 420(1 )5 5 25 25 25 5PA PA
y y y xk k x x x x
，B 正确；
因为 2
2 2
2
5 1tan 122 5
OFOB F OB
，所以 2 20 45OB F ，从而 1 2 2 2 22 90F B F OB F ，
而 P 是椭圆上任一点时，当 P 是短轴端点时 1 2F PF 最大，因此不存在点 P 满足 1 2 90F PF ，C 错；
( , )P x y ，
1 2 1 2
1 3 4 52PF F P PS F F y y △ ， 4Py ，则
2 16 125 20
Px ， 5Px ，D 正确．
题 4.已知过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线与抛物线交于点 A ， B ，若 A ， B 两点在准线上的射影分别
为 M ， N ，线段 MN 的中点为C ，则（）
A． AC BC B．四边形 AMCF 的面积等于 AC MF
C． AF BF AF BF D．直线CA 与抛物线相切
【答案】ACD
【讲评建议】试题借助与抛物线相关的命题的判断，考查考生对抛物线的性质的掌握情况以及利用解析几
何的思想方法解决问题的能力，体现的学科素养是理性思维､数学探索.
【解答过程】设
2
1
1,4
yA y
，
2
2
2,4
yB y
，直线 AB 的方程为 1x ty ，将直线 AB 的方程代入抛物线
方程，利用根与系数的关系得 1 2 4y y .
如图，由题意可得 1,0F ，准线方程为 1x .
设
2
1
1,4
yA y
，
2
2
2,4
yB y
，直线 AB 的方程为 1x ty ，
代人抛物线方程，得 2 4 4 0y ty ，所以 1 2 4y y ，
因为线段 MN 的中点为C ，所以 1 21, 2
y yC
，
所以
2
1 1 21,4 2
y y yCA
，
2
2 2 11,4 2
y y yCB
，
所以
2
1 2 1 21 016 2
y y y yCA CB ，所以 AC BC ，故 A 正确.
因为 11,M y ，所以 12,MF y ，所以 1 22 02
y yCA MF ，所以 AC MF ，
所以四边形 AMCF 的面积等于 1
2 AC MF ，故 B 错误.
根据抛物线的定义知
2
1 14
yAF AM ，
2
2 14
yBF BN ，所以
2 2
1 2 24 4
y yAF BF ，
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 21 216 4 4 4 4
y y y y y yAF BF ，所以 AF BF AF BF ，所以 C 正确.
不妨设点
2
1
1,4
yA y
在 x 轴上方，当 0y 时，由 2 4y x 得 2y x ， 1y
x
，
所以抛物线以点 A 为切点的切线方程为
2
1 1
12
11
1 2
4 2
4
y yy x y xyy
，
令 1x ，得
2 2
1 1 1 1 2 1 2
1 1 1
42
2 2 2 2
y y y y y y yy y y y
，所以点C 在以点 A 为切点的切线上，
即直线CA 与抛物线相切，故 D 正确.
题 5.已知点 ( 2,0)A ，圆 2 2:( 4) 16C x y ，点 P 在圆C 上运动，给出下列命题，其中正确的有（）
A． PA PC 的取值范围是[8，25]
B．在 x 轴上存在定点 (4,0)B ，使| |:| |PA PB 为定值
C．设线段 PA 的中点为Q ，则点Q 到直线 3 0x y 的距离的取值范围 3 2 1,3 2 1
D．过直线 4 0x y 上一点T 引圆C 的两条切线，切点分别为 M ， N ，则 CM CN 的取值范围
是(-16，0]
【答案】BD
【讲评建议】解析几何问题常见处理方法：
(1)正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；
(2)坐标化，把几何关系转化为坐标运算．
【解答过程】对于 A，设 (4cos 4,4sin )P ，∵ ( 2,0)A ， ( 4,0)C ，则
2 2=(2 4cos 4sin ) ( 4cos , 4sin ) 16cos 8cos 16sin 16 8 cos 8,24PA PC
，
故 A 错误；
对于 B，设 (4cos 4,4sin )P ，则
2 2
2 2
4cos 2 4sin 20 16cos 1: = = = 280 64cos4cos 8 4sin
PA PB
（ ） （ ）
（ ） （ ）
，
故 B 正确；
对于 C，设 (4cos 4,4sin )P ，则点Q 到直线 3 0x y 的距离
| 2 2 sin( ) 6|| 2cos 2sin 6| 4 3 2 2,3 2 2
2 2
d
，
故 C 错误；
对于 D，
如图示： min
| 4 0 4 | 4 2
2
CT ，又：CM TM CN TN⊥ , ⊥ ，
∴ 4 2cos ,cos 02 2 24 2
MCN CM MCN
CT
∠ ∠
∴ ° ° ° °45 ,90 90 ,1802
MCN MCN
∠ ，∴∠ ，
∴ =| || |cos MCN 16,0CM CN CM CN ∠
故 D 正确．
题 6.瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后
人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作
△
ABC，AB＝AC＝4，点 B(－1，3)，点 C(4，－2)，且其“欧
拉线”与圆 M： 2 2 2( 3)x y r 相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆 M 上点到直线 3 0x y 的最小距离为 2 2
B．圆 M 上点到直线 3 0x y 的最大距离为 3 2
C．若点（x，y）在圆 M 上，则 3x y 的最小值是3 2 2
D．圆 2 2( 1) ( ) 8x a y a 与圆 M 有公共点，则 a 的取值范围是[1 2 2,1 2 2]
【答案】ACD
【讲评建议】由题意结合“欧拉线”概念可得
△
ABC 的“欧拉线”即为线段 BC 的垂直平分线，结合直线方程的
知识可得线段 BC 的垂直平分线的方程，由直线与圆相切可得圆 M 的方程；由圆心到直线的距离可判断 A、
B；令 3z x y ，由直线与圆相切可得 z 的最值，即可判断 C；由圆与圆的位置关系即可判断 D；即可
得解.
【解答过程】由 AB＝AC 可得
△
ABC 外心、重心、垂心均在线段 BC 的垂直平分线上，即
△
ABC 的“欧拉线”
即为线段 BC 的垂直平分线，
由点 B(－1,3)，点 C(4,－2)可得线段 BC 的中点为 3 1,2 2
，且直线的 BC 的斜率 3 2 11 4BCk
，
所以线段 BC 的垂直平分线的斜率 1k ，
所以线段 BC 的垂直平分线的方程为 1 3
2 2y x 即 1 0x y ，
又圆 M： 2 2 2( 3)x y r 的圆心为 3,0 ，半径为 r ，
所以点 3,0 到直线 1 0x y 的距离为 3 1 2
2
r
，
所以圆 M： 2 2( 3) 2x y ，
对于 A、B，圆 M 的圆心 3,0 到直线 3 0x y 的距离 3 3 3 2
2
d ，所以圆上的点到直线
3 0x y 的最小距离为3 2 2 2 2 ，最大距离为3 2 2 4 2 ，故 A 正确，B 错误；
对于 C，令 3z x y 即 3 0x y z ，当直线 3 0x y z 与圆 M 相切时，圆心 3,0 到直线的
距离为 3 22
z ，解得 3 2 2z 或 3 2 2z ，则 3x y 的最小值是3 2 2 ，故 C 正确；
对于 D，圆 2 2( 1) ( ) 8x a y a 圆心为 1,a a ，半径为 2 2 ，若该圆与圆 M 有公共点，则
2 22 2 2 1 3 2 2 2a a 即 2 22 2 18a a ，解得1 2 2 1 2 2a ，故 D
正确.
故选：ACD.
题 7.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D﹣ 中，P 为棱 1 1A B 的中点，点 Q 在侧面 1 1DCC D 内运动，
给出下列结论：其中结论正确的是（ ）
A．若 1BQ AC ，则动点 Q 的轨迹是线段；
B．若| | 2BQ ，则动点 Q 的轨迹是圆的一部分；
C．若 1 1QBD PBD ，则动点 Q 的轨迹是椭圆的一部分；
D．若点 Q 到 AB 与 1DD 的距离相等，则动点 Q 的轨迹是抛物线的一部分．
【答案】ABC
【讲评建议】建立适当的空间直角坐标系，用坐标法求轨迹方程的解决立体几何中轨迹问题的有效方法.
【解答过程】
建立如图示的坐标系，则
10,0,0 , 1,0,0 , 1,1,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ,D A B C D
1 1 1
11,0,1 , 1,1,1 , 0,1,1 , 1, ,1 , 0, , ,0 1,0 1, 1, 1, ,2A B C P Q y z y z BQ y z
对于 A：若
1BQ AC ，则 1, 1, 1,1, 1 0y z ，即 1+y-1-z=0
∴ 0 0 1,0 1y z y z
即动点 Q 的轨迹是线段.故 A 正确；
对于 B：若| | 2BQ ，则 2 21 1 2y z ，即 2 21 1 0 1,0 1y z y z
∴则动点 Q 的轨迹是圆的一部分.故 B 正确；
对于 C：易证 1 11 AB C DD ，若，设 BQ 交面 1 1AC D 于 E, 若 1 1QBD PBD ，则 E 的轨迹为一个圆，显
然面 1 1AC D与面 CDD1C1 不平行，所以 Q 的轨迹是椭圆的一部分，故 C 正确.
对于 D：若点 Q 到 AB 与 1DD 的距离相等，则 21y z ，∴ 2 2 1y z ，所以 Q 的轨迹是双曲线的一
部分，故 D 错误.
二、结构不良题
题 8.在
①
M（x0，2）在抛物线 C 上，且|MF|＝3，
②
过焦点 F 作 x 轴的平行线，与抛物线 C 交于 G，H 两
点，|GH|＝4，
③
抛物线 C 的准线过双曲线 4y2﹣ ＝1 的下焦点这三个条件中任选一个，补充在下面
的问题中，并解答．问题：
问题：已知抛物线 C：y＝ （p＞0）的焦点为 F，点 A（1，p），______，若线段 AF 的垂直平分线交
抛物线于 P，Q 两点，求线段 PQ 的长度．
【讲评建议】分别选
①②③
进行讨论，选
①
由抛物线的方程可得焦点的坐标，由抛物线性质到焦点的距
离等于到准线的距离可得 p 的值，求出 A，F 的坐标，求出直线 AF 的斜率进而求出线段 AF 的中垂线的方
程，与抛物线联立求出 P，Q 的坐标，进而求出弦长|PQ|的值，
选
②
由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意可得 P，H 的坐标，由|PH|的值求出 p 的值，与
①
方法类似
求出弦长|PQ|；
选
③
由双曲线的方程求出双曲线的下焦点的坐标，可得抛物线的准线方程，进而求出 p 的值，与
①
类似
求出弦长|PQ|．
【解答过程】解：若选
①
，由题意可得抛物线的焦点 F（0， ），由|MF|＝2+ ＝3，可得 p＝2，
所以 A（1，2），F（0，1），k＝ ＝1，中点坐标为（ ， ）．
所以线段 AF 的中垂线的方程为：x+y﹣2＝0，
联立 解得 或 ，所以|PQ|＝ • ＝4 ．
选
②
由题意：可得抛物线的焦点 F（0， ），将 y＝ 代入 x2＝2py，得 x＝±p，
设 Q（﹣p， ），H（p， ），则|GH|＝2P，由 2p＝4，解得 p＝2，
所以抛物线的方程为：x2＝4y，
因为 p＝2，所以 A（1，2），F（0，1），所以线段 AF 的中垂线的方程为：x+y﹣2＝0，
联立 可得 x2+4x﹣8＝0，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），所以 x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣8，
所以|PQ|＝ |x1﹣x2|＝ ＝ ＝4 ．
选
③
可得抛物线的焦点 F（0， ），准线方程为 y＝﹣ ，
双曲线 4y2﹣ ＝1 的标准方程为： ﹣ ＝1，易知下焦点（0，﹣1），由﹣ ＝﹣1，解得 p＝2，
所以 A（1，2），F（0，1），所以线段 AF 的中垂线的方程为：x+y﹣2＝0，
联立 可得 x2+4x﹣8＝0，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），所以 x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣8，
所以|PQ|＝ |x1﹣x2|＝ ＝ ＝4 ．
题 9.在①离心率 1
2e ，②椭圆 C 过点 3(1, )2
，③ 1 2PF F 面积的最大值为 3 ，这三个条件中任选一个，补
充在下面 ( 横线处 ) 问题中，解决下面两个问题．
设椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a b
a b
的左、右焦点分别为 1F 、F，过 1F 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点，
已知椭圆 C 的短轴长为 2 3 ，_________.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若线段 PQ 的中垂线与 x 轴交于点 N，求证：
1
| |
| |
PQ
NF
为定值．
【讲评建议】（1）可选①，由题意可得 b，运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，解方程可得 a，c，
即可得到椭圆方程；
若选②，由题意可得 b，将已知点代入椭圆方程求得 a，即可得到椭圆方程；
若选③，可得 P 位于短轴的端点时，取得最大值，结合条件可得 b，c 的值，由 a，b，c 的关系可得 a 的
值，进而得到所求方程．
（2）设直线 l 的方程为 ( 1)y k x ，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得 | |PQ ；由中点
坐标公式可得 PQ 的中点 H，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 1 ，可得 N 的坐标，求得 1| |NF ，即可
得到定值．
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查线段的
垂直平分线的定义，以及直线的斜率公式、中点坐标公式的运用，考查化简运算能力．
【解答过程】解： (1) 选择①离心率 1
2e ，可得 1
2
ce a
， 2 2 3b ，即 2 2 3b a c ，
解得 2a ， 1c ，即有椭圆的方程为
2 2
14 3
x y ；
选②椭圆 C 过点 3(1, )2
，即有 2 2
1 9 1
4a b
，又 2 2 3b ，即 3b ，解得 2a ，
即有椭圆的方程为
2 2
14 3
x y ；
选③ 1 2PF F 面积的最大值为 3 ，可得 P 位于短轴的端点时，取得最大值，且为 1 2 32 c b ，
即为 3bc ，又 2 2 3b ，即 3b ， 1c ， 2 2 2a b c ，
即有椭圆的方程为
2 2
14 3
x y ；
(2)证明：设直线 l 的方程为 ( 1)y k x ，联立椭圆方程可得 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k ，
显然 0 ，
设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ，可得
2
1 2 2
8
3 4
kx x
k
，
2
1 2 2
4 12
3 4
kx x
k
，
可得
4 2 2
2 2 2
1 2 1 2 2 2 2 2
64 16 48 12(1 )| | 1 ( ) 4 1
(3 4 ) 3 4 3 4
k k kPQ k x x x x k
k k k
，
设 PQ 的中点为 ( , )H t s ，可得
2
1 2
2
4
2 3 4
x x kt
k
， 2
3
3 4
ks
k
，
由题意可得 2
2
2
3
13 4
4
3 4
HN
N
k
kk kk x
k
，解得
2
23 4N
kx
k
，
可得
2 2
1 2 2
3(1 )| | | 1 |
3 4 3 4
k kNF
k k
，
可得
1
| | 4| |
PQ
NF
，即为定值．
题 10.直线 l 经过两条直线 1l ： 4 0x y 和 2l ： 2 0x y 的交点，且________.
(1) 求直线 l 的方程；
(2) 求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答
计分．
①与直线 2 1 0x y 平行． ②直线 l 在 x 轴上的截距为 1 .2
【讲评建议】本题主要考查的是直线方程的求解，直线与直线平行斜率的特点，难度一般，属于基础题.
选① (1) 先求出交点 P 再根据两直线平行即可求出直线方程. (2) 解出直线与 x 轴、y 轴交点，再求面积即可.
选② (1) 先求出交点 P，再根据直线 l 在 x 轴上的截距为 1
2
，即可得到直线方程； (2) 解出直线与 x 轴、y
轴交点，再求面积即可.
【解答过程】选① (1)直线 l 经过直线 1l ： 4 0x y 与直线 2l ： 2 0x y 的交点 P ，
解方程组 4 0
2 0
x y
x y
，解得 1
3
x
y
，即 (1,3)P ，
直线 l 平行于直线 2 1 0x y ， 设直线 l 的方程为 2 0x y m ，
把 (1,3)P 代入，得 2 3 0m ，解得 1m ， 直线 l 的方程为 2 1 0.x y
(2) 在直线 l： 2 1 0x y 中，令 0x ，得 1y ；令 0y ，得 1 .2x
直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积： 1 1 11 .2 2 4S
选② (1)直线 l 经过直线 1l ： 4 0x y 与直线 2l ： 2 0x y 的交点 P，
解方程组 4 0
2 0
x y
x y
，解得 1
3
x
y
，即 (1,3)P ，
由题意知直线 l 的斜率存在，设为 k，且 0k ，则 l 为 3 ( 1)y k x
直线 l 在 x 轴上的截距为 1 3 1.2 2
k
k
， 2k ，
直线 l 的方程为 2 1 0.x y
(2) 在直线 l： 2 1 0x y 中，令 0x ，得 1y ；令 0y ，得 1 .2x
直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积： 1 1 11 .2 2 4S
三、文化情境题
题 11.如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐·金筐宝钿团花纹
金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银
细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的 右 支 与 直 线
0, 4, 2x y y 围成的曲边四边形 ABMN 绕 y 轴旋转
一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为10 3
3
，下底外直径为 2 39
3
，则双曲线 C 的离心
率为（ ）
A． 2 B．2 C． 3 D．3
【答案】B
【讲评建议】利用上口外直径、下底外直径确定 M、N 点坐标，代入双曲线方程求出 a，b 的值，进而求
出离心率。
【解答过程】由题意可知 5( 3,4)3M ， 39( , 2)3N
由于双曲线 C 经过 M、N 两点，
则
2
2 2
2
2 2
5( 3) 163 1
39( ) 43 1
a b
a b
，解得 3, 3a b
所以 2 2 2 3c a b
则双曲线的离心率为 2 3 2
3
ce a
，故选 B
题 12.古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线.某同学用平行于母
线 PA 且过母线 PB 的中点 M 的平面去截圆锥，所得截线为如图所示的抛物线.若该圆锥的高 1PO ，底面
半径 3OA ，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A． 3 B．3 C． 3
2
D． 3
2
【答案】D
【讲评建议】先利用中位线计算 1OM ，结合对称性判断抛物线以OM 为对称轴，焦点在OM 上，再
以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程 2 2 0y px p ，根据点在抛物线上求得参数 p 即得结果.
【解答过程】由题意知，M 是 PB 的中点，O 是 AB 的中点， ABP△ 中，OM 是中位线， //AP OM ，
2 21 1 1 1 3 12 2 2OM AP PO OA ，
截圆锥的平面平行于母线 PA 且过母线 PB 的中点 M，故 O 也在截面上，同时根据对称性可知抛物线的对称
轴为 OM ，焦点在 OM 上，建立以 M 为原点，OM 为 x 轴，过 M 点的垂线为 y 轴，则设抛物线与底面
交点为 E，则 1, 3E Ex OM y OA ，
设抛物线为 2 2 0y px p ，则3 2 1p ，解得 3
2p ，即该抛物线焦点 ,02
p
到准线
2
px 的距
离为 p，即为 3
2 .
故选：D.
四、双空题
题 13.2021 年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线 Z ：
2 4x y 的焦点为 F ，圆 F ： 22 1 4x y 与抛物线 Z 在第一象限的交点为 , 4
mP m
，直线l ：
0x t t m 与抛物线 Z 的交点为 A ，直线l 与圆 F 在第一象限的交点为 B ，则 m ______； FAB 周
长的取值范围为______．
【答案】2 4,6
【讲评建议】联立圆与抛物线的方程即可求得 m，然后由 0 2x t t 分别与抛物线，与圆的方程联立
求得 A，B 的坐标，再结合抛物线的定义求解.
【解答过程】如图所示：
由
2
22
4
1 4
0, 0
x y
x y
x y
，解得 2,
1
x
y
，
∴ 2m
由 2 4
x t
x y
，解得 2
4
x t
ty
，
所以
2
, 4
tA t
由 22 1 4
x t
x y
，解得
21 4
x t
y t
，
所以 2,1 4B t t ，
由抛物线的定义得：∴ AF AC ，
∴ FAB 周长 FA FB AB 2AC AB BF BC 24 4t .
0,2t Q ， 24 4 4,6t 故答案为：2， 4,6 ．
题 14.在平面上给定相异两点 A，B，设点 P 在同一平面上且满足 | |
| |
PA
PB
，当 0 且 1 时，P 点的
轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲
线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
， 1 2,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A，B 为双曲线虛轴的上､下端点，动点 P 满
足 | | 2| |
PB
PA
， PAB△ 面积的最大值为 4.点 M，N 在双曲线上，且关于原点 O 对称，Q 是双曲线上一点，
直线 QM 和QN 的斜率满足 3QM QNk k ，则双曲线方程是______________；过 2F 的直线与双曲线右支
交于 C，D 两点(其中 C 点在第一象限)，设点 M ､ N 分别为 1 2CF F△ ､ 1 2DF F△ 的内心，则 MN 的范围是
____________.
【答案】
2
2 13
yx [ 4 32, )3
【讲评建议】设 (0, ), (0, ), ( , )A b B b P x y ，根据 | | 2| |
PB
PA
，求得 2 2 25 4( ) ( )3 3
b bx y ，结合 PAB△ 的
最大面积得到 2 3b ，再根据 3QM QNk k ，得出
2
2 13
yx ，设边 1 2 1 2, ,CF CF F F 上的切点分别为 , ,R S T ，
根据内心的性质，得到 MN x 轴，设直线 CD 的倾斜角为 ，在 2MF N 中，得到 2
sinMN ，进而
求得 MN 的取值范围.
【解答过程】设 (0, ), (0, ), ( , )A b B b P x y ，
由题意知 | | 2| |
PB
PA
，可得 2PB PA ，即 2 2 2 2( ) 2 ( )x y b x y b ，
整理得 2 2 25 4( ) ( )3 3
b bx y ，可得圆心为 5(0, )3
b ，半径 4
3
br ，
所以 PAB△ 的最大面积为 1 42 42 3
bb ，解得 2 3b ，即
2 2
2 13
x y
a
，
设 1 1( , ), ( , )Q x y M x y ，则 1 1( , )N x y ，则
2 2
1 1
2 13
x y
a
，可得
2 2
2 1
1 2
3( )a xy a
，同理
2 2
2
2
3( )a xy a
则 1 2
1 2
,QM QN
y y y
xk y
x x xk ，则
2 22 2
12 2 2 2
1
2 2 2 2
1 1
3( )3( )
3QM QN
a xa x
y y a a
x x x xk k
，
整理得 2 1a ，所以双曲线的方程为
2
2 13
yx .
如图所示，设边 1 2 1 2, ,CF CF F F 上的切点分别为 , ,R S T ，
则 ,M T 横坐标相等，则 1 1 2 2, ,CR CS F M FT F S F T ，
由 1 2 2CF AF ，即 1 2( ) 2CR RF CS SF ，即
1 2 2RF SF ，
即 1 2 2FT F T ，即点 M 的横坐标为 0x ，则 0( ,0)T x ，于是 0 0( ) 2x c c x ，可得 0 1x ，
同样内心 N 的横坐标也为1，则 MN x 轴，
设直线 CD 的倾斜角为 ，则 2 2, 902 2OF N MF O ，
在 2MF N 中，
sin cos2 2( )[tan tan(90 )] ( )( )2 2 cos sin2 2
MN c a c a
2 2sin cos 22 2( ) ( ) sinsin cos2 2
c a c a
，
由双曲线的方程，可得 1, 3a b ，则 2 2 2c a b ，可得 2
sinMN ，
又由直线 CD 为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为 3b
a
，倾斜角为 60 ，
可得 60 90 ，即 3 sin 12
，可得 MN 的取值范围是[ 4 32, )3
.
故答案为：
2
2 13
yx ；[ 4 32, )3
.
五、新定义题
题 15.双扭线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系 xOy
中，把到定点 1 ,0F a ， 2 ,0F a 距离之积等于 2 0a a 的点的轨迹称为双扭线 C．已知点 0 0,P x y 是
双扭线 C 上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．双扭线 C 关于原点 O 中心对称； B． 02 2
a ay ；
C．双扭线 C 上满足 1 2PF PF 的点 P 有两个； D． PO 的最大值为 2a ．
【答案】ABD
【讲评建议】本题考查了动点轨迹方程的性质判定，因为轨迹方程比较复杂，故在作不出图像时，需要根
据题意求出动点的方程进行对称性分析，同时结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.
【解答过程】对 A，设动点 ,C x y ，由题意可得 C 的轨迹方程为 2 22 2 2x a y x a y a
把 ,x y 关于原点对称的点 ,x y 代入轨迹方程，显然成立；
对 B，因为 0 0,P x y ，故
1 2 1 2 1 2 1 2 0
1 1sin2 2PF FS PF PF F PF F F y ．
又 2
1 2PF PF a ，所以 2
1 2 0sin 2a F PF a y ，
即 0 1 2sin2 2
a ay F PF ，故 02 2
a ay ．故 B 正确；
对 C，若 1 2PF PF ，则 0 0,P x y 在 1 2F F 的中垂线即 y 轴上．
故此时 0 0x ，代入 2 22 2 2x a y x a y a ，
可得 0 0y ，即 0,0P ，仅有一个，故 C 错误；
对 D，因为 1 2POF POF ，故 1 2cos cos 0POF POF ，
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
1 2
02 2
OP OF PF OP OF PF
OP OF OP OF
，
因为 1 2OF OF a ， 2
1 2PF PF a ，故 2 2 22
1 22 2OP a PF PF ．
即 22 2
1 2 1 22 2OP a PF PF PF PF ，所以 22
1 22 OP PF PF ．
又 1 2 1 2 2PF PF F F a ，当且仅当 P ， 1F ， 2F 共线时取等号．故 22 2
1 22 (2 )OP PF PF a ，
即 2 22OP a ，解得 2OP a ，故 D 正确．
故选：ABD.
题 16.我们把离心率为 5 1
2
的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为 5 1
2
的双曲线称为黄金双曲
线，则（ ）
A．曲线
2 2
13 5 1
x y
是黄金双曲线
B．如果双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
是黄金双曲线，那么 2b ac （c 为半焦距）
C．如果双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
是黄金双曲线，那么右焦点 2F 到一条渐近线的距离等于焦距的
四分之一
D．过双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的右焦点 2F 且垂直于实轴的直线 l 交 C 于 M、N 两点，O 为坐
标原点，若 90MON ，则双曲线 C 是黄金双曲线
【答案】BD
【讲评建议】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常
见有两种方法：
①求出 a，c，代入公式 ce a
；
②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不
等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)．
【解答过程】对于 A：
2 2
13 5 1
x y
， 2 3a ， 2 5 1b ，所以 2 5 4c ，所以
22
2
2
5 1 3 5
2 2
5 4
3
ce a
，故 A 错误；
对于 B：双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
是黄金双曲线，所以 5 1
2
ce a
，由 2 2 2c a b ，所以
2
2 2 25 1 5 1
2 2b a a a ac
，故 B 正确；
对于 C：双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的一条渐近线 by xa
，则 2 ,0F c 到其距离
2
2
1
1
bcd ba b
a
，而由 B 可知， 2 21
4b ac c ，故 C 错误；
对于 D：当 0x 时，
2 4
2 2
2 21c by ba a
，令
2
, bM c a
，
2
, bN c a
，则
2
, bOM c a
，
2
, bON c a
，
所以
4
2
2 0bOM ON c a
，则 2b ac ，由 B 可知，双曲线 C 是黄金双曲线，故 D 正确；
题 17.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
上点 0 0,P x y 处的曲率半径公式为
3
2 2 2
2 2 0 0
4 4
x yR a b a b
，则下列说法正确的是（ ）
A．对于半径为 R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为 R
B．椭圆
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
上一点处的曲率半径的最大值为 a
C．椭圆
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
上一点处的曲率半径的最小值为
2b
a
D．对于椭圆
2
2
2 1 1x y aa
上一点 0
1 ,2 y
处的曲率半径随着 a 的增大而减小
【答案】AC
【讲评建议】对新定义的量进行运算
【解答过程】圆： 2 2 2
0 0, ,x y R P x y ，曲率半径为
3
2 2 2
2 2 0 0
4 4
x yR R RR R
，A 正确；
0 0,P x y 在椭圆
2 2
0 0
2 2 1 0x y a ba b
上，
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2020 0 0 0 0 0 0
4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
bb xx y x x x x xa
a b a b a b a b a a b b
2 2
2 20
02 4 2
1 , 0,c x x ab a b
，
∴
2 2
0 0
4 4 2 2
1 1,x y
a b a b
，
2 2
,b aR a b
，B 错误，C 正确；
33 3 3
4 22 2 22 2 2 3
04 4 2 4 2
1 1 1 1 11 14 4 4 4 4R a y a aa a a a a
3 3
4 8 4 22 2
3 3 3 3
4 2
1 1 1 114 4 4 4a a a aa a
令
8 4 2
3 3 31 1
4 4f a a a a
， 1a ， 11 1 5 11
4 23 3 3 32 4 1 1 8 4 03 3 6 6f a a a a a a a
，
∴ R 在( )1,+¥ 上随 a 增大而增大，D 错误.
题 18.画法几何的创始人－法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以
椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆
＝1(a>b>0)的离心率为
，
F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点，A,B 为椭圆上两个动点．直线 l 的方程为 bx+ay-a2-b2=0.下列说法正确的是
A.C 的蒙日圆的方程为 x2+y2=3b2 B.对直线 l 上任意点 P, PA PB >0
C.记点 A 到直线 l 的距离为 d,则 d-|AF2|的最小值为 4 3
3
b
D.若矩形 MNGH 的四条边均与 C 相切，则矩形 MNGH 面积的最大值为 6b2
【答案】AD
【讲评建议】在理解蒙日圆概念的基础上利用特殊位置确定蒙日圆的方程，则下面各个选项正误就很好确
定了.
【解答过程】易知点 Q(a,b)在蒙日圆上，所以方程为 x2+y2=a2+b2，又由
e =
=
=
，得 a2=2b2，
A 正确；l 过顶点 P(b,a)，而 Q 又满足蒙日圆方程，所以 P 在圆 x2+y2=3b2 上，当 A、B 恰为切点时，
=
t h
，B 错误；由 A 在椭圆上，故|AF1|+|AF2|=2a，所以 d-AF2=d-(2a-AF1)=d+AF1-2a，当 F1A⊥l 时，d+AF1
有最小值，即 F1 到 l 距离
=
，即
=
，所以
㔮㤰 =
b a
，C 错误；当矩形四
边都与椭圆 C 相切时，它为蒙日圆得内接矩形，对角线为蒙日圆得直径，设边长为 x,y，则
x2+y2=(2r)2=4r2=12b2，
矩形
= xy ≤
= 6
，D 正确；故选 AD。
题 19.由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光
学性质：一束平行于抛物线轴的光线
2 4
4 13
y x
y x
，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物
线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与 x 轴重合，顶点与原点重合，如图，
若抛物线过点 1 ,14A
，平行于对称轴的光线经过点 A 反射后，反射光线交抛物线于点 B ，则线段 AB
的中点到准线的距离为（ ）
A． 2 B．17
4
C． 25
8 D． 25
4
【答案】C
【讲评建议】将 1 ,14A
代入抛物线方程可得抛物线方程，利用 1 ,14A
和焦点坐标求出直线 AB 的
方程，与抛物线方程联立可得点 B 的坐标，进而可得 AB 的中点坐标，即可求解.
【解答过程】设抛物线方程为： 2 2y px ，将点 1 ,14A
代入可得 11 2 4p ，解得： 2p ，
所以抛物线方程为： 2 4y x ，焦点为 1,0F ， 1x ，
由题意可得：直线 AB 的方程为： 1 00 11 14
y x
，即 4 13y x ，
由
2
4 13
4
y x
y x
可得： 2 3 4 0y y ，解得： 1
1
4
4
x
y
或 2
2
1
4
1
x
y
，
所以 1 ,14A
， 4, 4B ，可得 AB 的中点为 17 3,8 2
，
所以线段 AB 的中点到准线的距离为17 17 2518 2 8 8
p ，
故选：C
题 20.若椭圆或双曲线上存在点 P ，使得点 P 到两个焦点 1 2,F F 的距离之比为 2:1，且存在 1 2PF F△ ，则称
此椭圆或双曲线存在“ 点”，下列曲线中存在“ 点”的是（ ）
A．
2 2
136 32
x y B．
2 2
116 15
x y C．
2 2
15 4
x y D．
2
2 115
yx
【答案】C
【讲评建议】求出满足条件 1
2
2
1
PF
PF
时的 1PF 和 2PF ，再求出 1 2F F ，验证 1PF ， 2PF ， 1 2F F 能否
是三角形的三边长，即可得．本题考查新定义“ 点”，解题方法是弱化条件，求出满足部分条件的 P 点具
有的性质，验证是否满足另外的条件：构成三角形．从而完成求解．
【解答过程】 1
2
2
1
PF
PF
，则 1 22PF PF ，若是椭圆，则 1 2 23 2PF PF PF a ， 2
2
3
aPF ，
1
4
3
aPF ，
若是双曲线，则 1 2 2 2PF PF PF a ， 1 4PF a ，
A 中椭圆， 6, 2a c ， 2 4PF ， 1 8PF ， 1 2 4F F ，不存在 1 2PF F△ ；
B 中椭圆， 4, 1a c ， 1
8
3PF ， 1
16
3PF ， 1 2 2F F ，不存在 1 2PF F△
C 中双曲线， 5, 3a c ，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是 23 5 3
ac a ，
2 2 5PF ， 1 4 5PF ， 1 2 6F F ，构成 1 2PF F△ ，存在“ 点”，
D 中双曲线， 1a ， 4c ， 2 2PF ， 1 4PF ， 1 2 8F F ，不存在 1 2PF F△
故选：C．
题 21.“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图， ABC
的三条边长分别为 BC a ， AC b ， AB c .延长线段CA 至点 1A ，使得 1AA a ，以此类推得到点
2 1 2 1, , ,A B B C 和 2C ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知 4, 3, 5a b c ，则由 ABC 生成的
康威圆的半径为___________.
【答案】 37
【讲评建议】利用弦长相等， 1 2 2 1 2 1AC A B B C ，圆心与弦所在直线距离相等，得圆心是直角 ABC
的内心，从而易求得圆半径．
【解答过程】设 M 是圆心，因为 1 2 2 1 2 1AC A B B C ，因此 M 到直线 , ,AB BC CA 的距离相等，从而 M
是直角 ABC 的内心，作 MN AC 于 N ，连接 2MC ，则 3 4 5 12MN CN ，
2 1 5 6NC ，
所以 2 2
2 1 6 37MC ．
故答案为： 37 ．
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