2021年云南、贵州、四川、广西四省名校高考数学第三次大联考试卷（文科）（解析版）

2021 年四省名校高考数学第三次大联考试卷（文科） 一、选择题（每小题 5 分）. 1．已知集合 A＝{（x，y）|y≤ ，x，y ∈ N}，则集合 A 中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知复数 ，则它的共轭复数等于（ ） A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i 3．已知向量 ＝（2，3）， ＝（﹣1， λ ），若向量 ﹣2 与向量 共线，则| |＝（ ） A． B． C． D． 4．已知样本数据为 x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为 4，方差为 2，现加入一个数 4，得 到新样本的平均数为 ，方差为 s2，则（ ） A． ＞4，s2＞2 B． ＝4，s2＜2 C． ＜4，s2＜2 D． ＝4，s2＞2 5．已知等比数列{an}中，a2+a4＝30，a1a3＝9，则公比 q＝（ ） A．9 或﹣11 B．3 或﹣11 C．3 或 D．3 或﹣3 6．已知 α 为第二象限角，且 tan（ α ﹣ π ）＝﹣ ，则 cos（ ）＝（ ） A． B．﹣ C． D．﹣ 7．设 O 为坐标原点，直线 l 过定点（1，0），且与抛物线 C：y2＝2px（p＞0）交于 A，B 两点，若 OA⊥OB，|OA|＝|OB|，则抛物线 C 的准线方程为（ ） A．x＝﹣ B．x＝﹣ C．x＝﹣1 D．x＝﹣2 8．已知点 P（1，2），则当点 P 到直线 2ax+y﹣4＝0 的距离最大时，a＝（ ） A．1 B．﹣ C． D． 9．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉．现环保局要求其整改，降低声强．已 知声强 I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级 L （单位：dB）与声强 I 的函数关系式为 L＝10•lg（aI）．已知 I＝1013W/m2 时，L＝10dB．若 整改后的施工噪音的声强为原声强的 10﹣2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（ ） A．50dB B．40dB C．30dB D．20dB 10．给出下列命题： ① ln2＞ ， ② ln2＞ ， ③ log23＞log58，其中真命题为（ ） A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③11．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（ ） A．1 B．2 C． D． 12．已知函数 f（x）＝sinx+cosxsinx，则下列关于函数 f（x）的说法中，正确的个数是（ ） ① 2 π 是 f（x）的周期； ② f（x）是偶函数； ③ f（x）的图象关于直线 x＝ 对称； ④ f（x）的最小值是﹣ ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 13．已知命题 p： ∀ x ∈ [1，2]，x2﹣ax﹣3≤0，若 p 为真命题，则 a 的取值范围为 .（结 果用区间表示） 14．已知双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F（2，0），点 F 到其渐近线的距 离为 1，则双曲线的离心率为 ． 15．某工厂需要生产 A 产品与 B 产品，现有原料 18 吨，每件 A 产品需原料 3 吨，利润为 5 万元，每件 B 产品需原料 1 吨，利润为 1 万元，A 产品的件数不能超过 B 产品的件数的 ， 则工厂最大利润为 万元． 16．已知在三棱锥 P﹣ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠APC＝30°，平面 PAC⊥平 面 ABC，则三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cosC＝ ﹣ ． （1）求角 B； （2）若△ABC 外接圆的半径为 ，且 AC 边上的中线长为 ，求△ABC 的面积． 18．某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为 24，16，8．现在医务室通过血检进 行一种流行疾病的检查． （1）现采用分层抽样的方法从中抽取 6 人进行前期调查，求甲、乙、丙三个部门的员工 中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？ （2）将该企业所有员工随机平均分成 4 组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴 性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人 呈阳性，再逐个化验．已知每组化验结果呈阴性的概率都为 ，记 Bi（i＝1，2，3，4） 为“第 i 组化验结果呈阴性”， i（i＝1，2，3，4）为“第 i 组化验结果呈阳性”，请计 算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率． 19．已知四边形 ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD 沿 BD 边 折起，使得平面 ABD⊥平面 BCD，AD⊥CD．点 P 在线段 AD 上，平面 BPC 将三棱锥 A ﹣BCD 分成两部分，VA﹣BPC：VA﹣BCD＝1：2． （1）求证：BP⊥平面 ACD； （2）若 M 为 CD 的中点，求 M 到平面 BPC 的距离． 20．已知 F 是椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的左焦点，焦距为 4，且过点 P（ ，1）． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 与 C 交于 A，B 两点，l2 与 C 交于 D，E 两点，记 AB 的中点为 M，DE 的中点为 N，试判断直线 MN 是否过定点，若过定点，请 求出定点坐标，若不过定点，请说明理由． 21．已知函数 f（x）＝ex﹣kx2，其中 k 为实数，e 为自然对数的底数． （1）若 k＝ ，证明：当 x≥0 时，f（x）≥x+1 恒成立； （2）当 x≥0 时，f（x）≥2x+1﹣sinx 恒成立，求 k 的取值范围． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐 标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ α 为参数）．以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（ ﹣ θ ）＝1． （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的倾斜角； （2）已知点 M 的直角坐标为（0，1），直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A，B，求|MA|+|MB| 的值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+a2﹣1|+|x﹣6|． （1）当 a＝0 时，解不等式 f（x）＞12； （2）记集合 M＝{x|f（x）﹣2b＝0}，若存在 a ∈ R 使 M≠ ∅ ，求实数 b 的取值范围． 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合 A＝{（x，y）|y≤ ，x，y ∈ N}，则集合 A 中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 解：由已知可得满足条件的点有（0，0），（0，1）， （1，0），（1，1）共 4 个点， 所以集合 A 中的元素共有 4 个， 故选：B． 2．已知复数 ，则它的共轭复数等于（ ） A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i 解：复数 z＝ ＝ 所以它的共轭复数 ＝2+i 故选：B． 3．已知向量 ＝（2，3）， ＝（﹣1， λ ），若向量 ﹣2 与向量 共线，则| |＝（ ） A． B． C． D． 解：根据题意，向量 ＝（2，3）， ＝（﹣1， λ ），则 ﹣2 ＝（4，3﹣2 λ ）， 又由向量 ﹣2 与向量 共线，则有 2（3﹣2 λ ）﹣3×4＝0， 解可得： λ ＝﹣ ， 则 ＝（﹣1，﹣ ），则有| |＝ ＝ ， 故选：B． 4．已知样本数据为 x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为 4，方差为 2，现加入一个数 4，得 到新样本的平均数为 ，方差为 s2，则（ ） A． ＞4，s2＞2 B． ＝4，s2＜2 C． ＜4，s2＜2 D． ＝4，s2＞2 解：因为 x1，x2，x3，x4，x5 的平均数为 4，方差为 2， 所以当加入一个数 4，得到新样本的平均数为 ＝ ， 方差为 s2＝ ． 故选：B． 5．已知等比数列{an}中，a2+a4＝30，a1a3＝9，则公比 q＝（ ） A．9 或﹣11 B．3 或﹣11 C．3 或 D．3 或﹣3 解：由 a2+a4＝30，a1a3＝9，可得 ， 解得 q＝±3， 故选：D． 6．已知 α 为第二象限角，且 tan（ α ﹣ π ）＝﹣ ，则 cos（ ）＝（ ） A． B．﹣ C． D．﹣ 解：∵ α 为第二象限角，且 tan（ α ﹣ π ）＝﹣ ， ∴tan α ＝﹣ ，即 ＝﹣ ， 又 sin2 α +cos2 α ＝1， ∴sin α ＝ ，cos α ＝﹣ ， ∴cos（ ）＝ （cos α +sin α ）＝ ×（﹣ + ）＝ ． 故选：A． 7．设 O 为坐标原点，直线 l 过定点（1，0），且与抛物线 C：y2＝2px（p＞0）交于 A，B 两点，若 OA⊥OB，|OA|＝|OB|，则抛物线 C 的准线方程为（ ） A．x＝﹣ B．x＝﹣ C．x＝﹣1 D．x＝﹣2 解：因为三角形 AOB 为等腰直角三角形，所以直线 l 的方程为：x＝1， 根据抛物线的对称性可以确定∠AOx＝∠BOx＝ ，所以 A（1，1）， 代入抛物线方程可得 1＝2p，即 p＝ ， 所以抛物线的准线方程为：x＝﹣ ． 故选：A． 8．已知点 P（1，2），则当点 P 到直线 2ax+y﹣4＝0 的距离最大时，a＝（ ） A．1 B．﹣ C． D． 解：因为直线 2ax+y﹣4＝0 恒过定点 A（0，4）， 故当 PA 与直线垂直时，点 P 到直线的距离达到最大值，此时过 P，A 的直线的斜率为﹣ 2， 所以直线 2ax+y﹣4＝0 的斜率为 ， 故 ． 故选：B． 9．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉．现环保局要求其整改，降低声强．已 知声强 I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级 L （单位：dB）与声强 I 的函数关系式为 L＝10•lg（aI）．已知 I＝1013W/m2 时，L＝10dB．若 整改后的施工噪音的声强为原声强的 10﹣2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（ ） A．50dB B．40dB C．30dB D．20dB 解：由题意可知，L＝10•lg（aI）， 当 I＝1013W/m2 时，L＝10dB，有 10＝10•lga•1013，解得 a＝10﹣12， 故有 L＝10•lg10﹣12I， 当变为原声强的 10﹣2 时，I＝1011W/m2， 有 L＝10•lg10﹣12•1011，可得 I＝﹣10dB， 由此可知降低了 10dB﹣（﹣10dB）＝20dB， 故选：D． 10．给出下列命题： ① ln2＞ ， ② ln2＞ ， ③ log23＞log58，其中真命题为（ ） A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③解：对于 ① ， ，即 ln2＞ ，故 ① 正确； 对于 ② ，由 ，转换为 ， 设 f（x）＝ ，则 ，令 f′（x）＝0，解得 x＝e， 当 x ∈ （0，e）时，函数 f′（x）＞0，当 x ∈ （e，+∞）时，f′（x）＜0，故函数 f（x） 在（0，e）上单调递增， 故 ，即 ，故 ② 错误； 对于 ③ ，log23＞log58， 转 换 为 ， 由 于 ， 故 ， 所 以 ．即 ． 对于 ＝ ，由于 ， 故 ， 所以 ，所以 ， 故 log23＞log58， 故 ③ 正确． 故选：C． 11．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（ ） A．1 B．2 C． D． 解：由题意几何体是四棱锥 P﹣ABCD，过 P 作 PE⊥AD 于 E， 在正方体中有 CD⊥平面 PAD，所以 CD⊥PE， 又因为 AD∩CD＝D，所以 PE⊥平面 ABCD， 所以四棱锥的高为 PE， 由三视图可知 ，PE× ＝2×2，解得 PE＝ ． 所以该四棱锥的高为： ． 故选：D． 12．已知函数 f（x）＝sinx+cosxsinx，则下列关于函数 f（x）的说法中，正确的个数是（ ） ① 2 π 是 f（x）的周期； ② f（x）是偶函数； ③ f（x）的图象关于直线 x＝ 对称； ④ f（x）的最小值是﹣ ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解：函数 f（x）＝sinx+cosxsinx， 对于 ① ，函数 f（x+2 π ）＝sin（x+2 π ）+cos（x+2 π ）sin（x+2 π ）＝f（x），所以 2 π 是 f （x）的周期，故 ① 正确； 对于 ② ，函数 f（﹣x）＝sin（﹣x）+cos（﹣x）sin（﹣x）≠f（x），故函数 f（x）不是 偶函数，故 ② 错误； 对于 ③ ，f（ π ﹣x）＝sin（ π ﹣x）+cos（ π ﹣x）sin（ π ﹣x）≠f（x），故函数 f（x）的图 象不关于直线 x＝ 对称，故 ③ 错误； ④ 由于 f（x）＝sinx+cosxsinx， 所以 f′（x）＝cosx+cos2x﹣sin2x＝2cos2x+cosx﹣1， 令 f′（x）＝0，解得 ， 当 cosx＝ 时，即 sinx＝ ， f（x）的最小值是﹣ ，故 ④ 正确． 故选：B． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 13．已知命题 p： ∀ x ∈ [1，2]，x2﹣ax﹣3≤0，若 p 为真命题，则 a 的取值范围为 [ ） .（结果用区间表示） 解：命题 p： ∀ x ∈ [1，2]，x2﹣ax﹣3≤0，即 ＝x﹣ 对于 x ∈ [1，2]上恒成立， 即 f（x）＝x﹣ ，根据函数的性质函数 f（x）在定义域内单调递增， 故 ， 故 a 的取值范围为[ ，+∞）． 故答案为：[ ，+∞）． 14．已知双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F（2，0），点 F 到其渐近线的距 离为 1，则双曲线的离心率为 ． 解：双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F（2，0），点 F 到其渐近线的距离 为 1， 可得双曲线的渐近线的倾斜角为： ，斜率为： ，所以 ， e＝ ＝ ＝ ． 故答案为： ． 15．某工厂需要生产 A 产品与 B 产品，现有原料 18 吨，每件 A 产品需原料 3 吨，利润为 5 万元，每件 B 产品需原料 1 吨，利润为 1 万元，A 产品的件数不能超过 B 产品的件数的 ， 则工厂最大利润为 26 万元． 解：设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，总利润为 z， 则 ，目标函数 z＝5x+y，作出可行域如图： 由 ，解得 ，即 A（4，6）， 结合图形可知，当直线 y＝﹣5x+z 过 A（4，6）时，z 有最大值为：5×4+6＝26．． 故答案为：26． 16．已知在三棱锥 P﹣ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠APC＝30°，平面 PAC⊥平 面 ABC，则三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积为 80 π ． 解：由题意可知，P 点在圆周上运动，则 PAC 的外接圆的半径为 r，2r＝ ＝8， 解得 r＝4，如图，因为平面 PAC⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，所以 ABC 的 外接圆的圆心是 BC 的中点，几何体的外接球的球心是 ABC 外心的中垂线与圆 PAC 的圆 心的中垂线的交点 O，由题意可得 R＝ ＝ ， 所以三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积为：4 π R2＝80 π ． 故答案为：80 π ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cosC＝ ﹣ ． （1）求角 B； （2）若△ABC 外接圆的半径为 ，且 AC 边上的中线长为 ，求△ABC 的面积． 解：（1）由 cosC＝ ﹣ ， 可得 2bcosC＝2a﹣c， 由正弦定理可得 2sinBcosC＝2sinA﹣sinC，即 2sinBcosC＝2sin（B+C）﹣sinC， 可得 sinC＝2sinCcosB， 又 sinC≠0， 所以 cosB＝ ， 因为 B 为三角形内角， 所以 B＝ ． （2）由正弦定理可得 ＝2 ，可得 b＝3， 设 D 为 AC 边上的中点，则 AD＝ ，BD＝ ，2 ＝ + ， 两边平方，可得 4 2＝ 2+ 2+2 • ，即 17＝c2+a2+ac， 由余弦定理可得 b2＝a2+c2﹣2accosB，即 9＝a2+c2﹣ac， 两式相减可得 8＝2ac，即 ac＝4， 所以 S△ABC＝ acsinB＝ ． 18．某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为 24，16，8．现在医务室通过血检进 行一种流行疾病的检查． （1）现采用分层抽样的方法从中抽取 6 人进行前期调查，求甲、乙、丙三个部门的员工 中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？ （2）将该企业所有员工随机平均分成 4 组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴 性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人 呈阳性，再逐个化验．已知每组化验结果呈阴性的概率都为 ，记 Bi（i＝1，2，3，4） 为“第 i 组化验结果呈阴性”， i（i＝1，2，3，4）为“第 i 组化验结果呈阳性”，请计 算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率． 解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3：2：1， 由于采用分层抽样的方法从中抽取 6 人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，1 人， 该企业总共有 24+16+8＝48 名员工， 记事件 A：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等， ∴每位员工被 抽到的概率为 P＝ ＝ ． （2）记“恰有两个组需要进一步逐个化验”为事件 B，所有分组化验的结果有 16 种， 分别为： （ B1 ， B2 ， B3 ， B4 ） ， （ ） ， （ ） ， （ ），（ ）， （ ， B3 ， B4 ） ， （ ） ， （ ） ， （ ），（ ）， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ），（ ）， （ ）， 其中，恰有两个组化验结果呈阳性，即需要进一步逐个化验的情况有 6 种，分别为： （ ， B3 ， B4 ） ， （ ） ， （ ） ， （ ），（ ），（ ）， 每组化验结果呈阴性与阳性互为对立， ∴每组化验呈阳性的概率都为 ， 则上述每个结果出现的可能性都相等， ∴恰有两个组需要进一步逐个化验的概率为 P（B）＝ ＝ ． 19．已知四边形 ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD 沿 BD 边 折起，使得平面 ABD⊥平面 BCD，AD⊥CD．点 P 在线段 AD 上，平面 BPC 将三棱锥 A ﹣BCD 分成两部分，VA﹣BPC：VA﹣BCD＝1：2． （1）求证：BP⊥平面 ACD； （2）若 M 为 CD 的中点，求 M 到平面 BPC 的距离． 【解答】（1）证明：因为 AB﹣AD，∠BAD＝60°，所以△ABD 为等边三角形， 因为 VA﹣BPC：VA﹣BCD＝1：2，VA﹣BPC＝VD﹣BPC， 设点 A 到平面 BPC 的距离为 hA，点 D 到平面 BPC 的距离为 hD， 所以 ， 所以 hA＝hD，即 ，所以 P 为 AD 的中点，所以 BP⊥AD， 取 BD 的中点 E，连结 AE，则 AE⊥BD， 又因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，且 AE ⊂ 平面 ABD， 所以 AE⊥平面 BCD，因为 CD ⊂ 平面 BCD，所以 AE⊥CD， 又 CD⊥AD，AE∩AE＝A，AE，AE ⊂ ABD，所以 CD⊥平面 ABD， 因为 BP ⊂ 平面 ABD，所以 CD⊥BP， 又因为 AD∩CD＝D，AD，CD ⊂ 平面 ACD， 所以 BP⊥平面 ACD； （2）解：因为 E 为 BD 的中点，正三角形 ABD 的边长为 2，所以 ， 由（1）可知 AE⊥平面 BCD，又因为 P 为 AD 的中点， 所以点 P 到平面 BCD 的距离为 ， 连结 BM，由（1）可知，CD⊥BD，∠BCD＝30°， 所以 CD＝ ，BC＝4，BP＝ ， 所以 ， 由（1）可知，BP⊥平面 ACD，CP ⊂ 平面 ACD，所以 BP⊥CP， 所以 ， 设点 M 到平面 BPC 的距离为 d， 则由等体积法可得，VM﹣BCP＝VP﹣BCM， 所以 ， 故 ＝ ， 故点 M 到平面 BPC 的距离为 ． 20．已知 F 是椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的左焦点，焦距为 4，且过点 P（ ，1）． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 与 C 交于 A，B 两点，l2 与 C 交于 D，E 两点，记 AB 的中点为 M，DE 的中点为 N，试判断直线 MN 是否过定点，若过定点，请 求出定点坐标，若不过定点，请说明理由． 解：（1）由题意可知 ，解得 ， ∴椭圆 C 的方程为： ． （2）由题意知，当直线 l1，l2 其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为 0，此时直 线 MN 的方程为 y＝0， 当直线 l1，l2 斜率都存在时，设 l1：x＝my﹣2（m≠0）， 设点 A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程 ， 化简可得（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，且△＞0， 所以 ，y1y2＝ ， 则 x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝ ， ∴M（ ， ）， 同理由 可得 N（ ， ）， 则 kMN＝ ＝ ， 所以直线 MN 的方程为 y﹣ ＝ ， 化简得：y＝ ＝ ， 此时直线 MN 过定点（﹣ ，0）， 易知当直线 l1，l2 其中一条的斜率不存在时，直线 MN 的方程为 y＝0，亦过点（﹣ ，0）， 综上所述，直线 MN 恒过定点（﹣ ，0）． 21．已知函数 f（x）＝ex﹣kx2，其中 k 为实数，e 为自然对数的底数． （1）若 k＝ ，证明：当 x≥0 时，f（x）≥x+1 恒成立； （2）当 x≥0 时，f（x）≥2x+1﹣sinx 恒成立，求 k 的取值范围． 解：（1）证明：当 k＝ 时，设 g（x）＝ex﹣ x2﹣x﹣1（x≥0）， g′（x）＝ex﹣x﹣1，…（1 分） 则 g″（x）＝ex﹣1≥0， 故 g′（x）在[0，+∞）上单调递增… 故当 x≥0 时，g′（x）≥g′（0）＝0， 故 g（x）在[0，+∞）上单调递增，… 故当 x≥0 时，g（x）≥g（0）＝0， 故当 x≥0 时，f（x）≥x+1 恒成立；… （2）设 h（x）＝ex﹣kx2﹣2x﹣1+sinx（x≥0）， 则 h（x）min≥0，注意到 h（0）＝0，… 则 h′（x）＝ex﹣2kx﹣2+cosx（x≥0）， 则 h′（0）＝0… h″（x）＝ex﹣2k﹣sinx，h″（0）＝1﹣2k， h″′（x）＝ex﹣cosx≥0，则 h″（x）在[0，+∞）上单调递增，… 当 k≤ 时，h″（0）＝1﹣2k≥0，由于 h″（x）在[0，+∞）上单调递增， 则当 x≥0 时，h″（x）≥h″（0）≥0，则 h′（x）在[0，+∞）上单调递增， 故 h′（x）≥h′（0）＝0，则 h（x）在[0，+∞）上单调递增， 故 h（x）≥h（0）＝0，符合题意；… 当 k＞ 时，h″（0）＝1﹣2k＜0， 利用（1）中已证结论可得 由于 h″（x）在[0，+∞）上单调递增，h″（1+2k）＝e1+2k﹣2k﹣sin（1+2k）≥1+（1+2k） ﹣2k﹣1＞0， 故必然存在 x0 ∈ （0，1+2k），使得 x ∈ （0，x0）时，h″（0）＜0， 则 h′（x）在（0，x0）上单调递减， 故当 x ∈ （0，x0）时，h′（x）＜h′（0）＝0， 则 h（x）在（0，x0）上单调递减， 则当 x ∈ （0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，不符合题意；… 综上，k 的取值范围为（﹣∞， ]… 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐 标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ α 为参数）．以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（ ﹣ θ ）＝1． （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的倾斜角； （2）已知点 M 的直角坐标为（0，1），直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A，B，求|MA|+|MB| 的值． 解：（1）曲线 C 的参数方程为 （ α 为参数）， 整理得 x2+y2＝2． 直线 l 的极坐标方程为 cos（ ﹣ θ ）＝1，根据 ，整理得 x﹣y+1 ＝0． 所以直线的倾斜角为 ． （2）把直线的方程转换为参数方程 （t 为参数），代入 x2+y2＝2， 得到： ， 整理得 ，t1t2＝﹣1， 所以|MA|+|MB|＝ ＝ ． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+a2﹣1|+|x﹣6|． （1）当 a＝0 时，解不等式 f（x）＞12； （2）记集合 M＝{x|f（x）﹣2b＝0}，若存在 a ∈ R 使 M≠ ∅ ，求实数 b 的取值范围． 解：（1）a＝0 时，f（x）＞12 即|x﹣1|+|x﹣6|＞12， 当 x＜1 时，1﹣x+6﹣x＞12，解得：x＜﹣ ， 当 1≤x≤6 时，x﹣1+6﹣x＞12，则 5＞12，无解， 当 x＞6 时，x﹣1+x﹣6＞12，解得：x＞ ， 故不等式 f（x）＞12 的解集是{x|x＜﹣ 或 x＞ }； （2）f（x）＝|x+a2﹣1|+|x﹣6|≥|x+a2﹣1﹣（x﹣6）|＝|a2+5|， 当且仅当（x+a2﹣1）（x﹣6）≤0 时取“＝”， 则可知 f（x）min＝a2+5，即 f（x）的值域是[a2+5，+∞）， ∵存在 a ∈ R，使得 M≠ ∅ ， 故 2b≥（a2+5）min＝5，则 b≥ ， 故实数 b 的取值范围是[ ，+∞）．