2021 年四省名校高考数学第三次大联考试卷（理科）
一、选择题（每小题 5 分）.
1．已知集合 A＝{x
∈
N|x2﹣2x≤0}，B＝{0，2，3，4}，则集合 A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{0，2} C．{2} D．{1，2}
2．已知复数 ，则它的共轭复数等于（ ）
A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
3．设随机变量 X，Y 满足 Y＝2X+b（b 为非零常数），若 E（Y）＝4+b，D（Y）＝32，则 E
（X）和 D （X）分别等于（ ）
A．4，8 B．2，8 C．2，16 D．2+b，16
4．已知向量 ＝（﹣1，2）， ＝（3，2），则 cos＜ ， ＞为（ ）
A． B．﹣ C． D．
5．已知等比数列{an}中，a2+a4＝30，a1a3＝9，则公比 q＝（ ）
A．9 或﹣11 B．3 或﹣11 C．3 或 D．3 或﹣3
6．设 O 为坐标原点，直线 l 过定点（1，0），且与抛物线 C：y2＝2px（p＞0）交于 A，B
两点，若 OA⊥OB，则抛物线 C 的准线方程为（ ）
A．x＝﹣ B．x＝﹣ C．x＝﹣1 D．x＝﹣2
7．已知函数 f（x）＝ sin（2x+
φ
）+cos（2x+
φ
）为奇函数，且存在 x0
∈
（0， ），使得
f（x0）＝2，则
φ
的一个可能值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉．现环保局要求其整改，降低声强．已
知声强 I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级 L
（单位：dB）与声强 I 的函数关系式为 L＝10•lg（aI）．已知 I＝1013W/m2 时，L＝10dB．若
整改后的施工噪音的声强为原声强的 10﹣2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（ ）
A．50dB B．40dB C．30dB D．20dB
10．已知（ ）m＝log3m，（ ）n＝log n，p＝cos
α
+ ，
α∈
[0， ），则 m，n，p
的大小关系为（ ）
A．n＜p＜m B．n＜m＜p C．m＜n＜p D．m＜p＜n
11．已知双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 且斜率为﹣
的直线与双曲线在第二象限的交点为 A，若（ + ）• ＝0，则此双曲线的
渐近线方程为（ ）
A．y＝± x B．y＝± x C．y＝± x D．y＝± x
12．设函数 f（x）＝ex﹣2x，直线 y＝ax+b 是曲线 y＝f（x）的切线，则 2a+b 的最大值是（ ）
A．e﹣1 B．﹣1 C．2e﹣4 D．e2﹣4
二、填空题：本题共 4 小题，毎小题 5 分。
13．已知点（x，y）满足不等式组 ，则 z＝5x+y 的最大值为 ．
14．（2x2 ）n 的展开式中所有二项式系数之和为 8，则该展开式中的常数项为 .
（用数字作答）
15．设数列{an}满足 a1＝6，an+1﹣an＝2n+4，bn 为 an 的个位数字，则 b1+b2+b3+…+b2021 的值
为 ．
16．已知在三棱锥 P﹣ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠APC＝30°，平面 PAC⊥平
面 ABC，则三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cosC＝ ﹣ ．
（1）求角 B；
（2）若△ABC 外接圆的半径为 ，且 AC 边上的中线长为 ，求△ABC 的面积．
18．某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为 6，9，12，员工 A 隶属于甲部门．现
在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的
概率为 ，且每个人血检是否呈阳性相互独立．
（1）现采用分层抽样的方法从中抽取 9 人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员
工中分别抽取多少人，并求员工 A 被抽到的概率；
（2）将甲部门的 6 名员工随机平均分成 2 组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈
阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一
人呈阳性，再逐个化验．记 X 为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求 X 的分布列和
期望．
19．已知四边形 ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD 沿 BD 边
折起使得平面 ABD⊥平面 BCD，此时 AD⊥CD．点 P 为线段 AD 的中点．
（1）求证：BP⊥平面 ACD；
（2）若 M 为 CD 的中点，求 MP 与平面 BPC 所成角的正弦值．
20．已知 F 是椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的左焦点，焦距为 4，且过点 P（ ，1）．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 与 C 交于 A，B 两点，l2 与 C 交于 D，E
两点，记 AB 的中点为 M，DE 的中点为 N，试判断直线 MN 是否过定点，若过定点，请
求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
21．已知函数 f（x）＝ex﹣kx2，其中 k 为实数，e 为自然对数的底数．
（1）若 k＝ ，证明：当 x≥0 时，f（x）≥x+1 恒成立；
（2）当 x≥0 时，f（x）≥2x+1﹣sinx 恒成立，求 k 的取值范围．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐
标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （
α
为参数）．以坐标
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（
﹣
θ
）＝1．
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的倾斜角；
（2）已知点 M 的直角坐标为（0，1），直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A，B，求|MA|+|MB|
的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+a2﹣1|+|x﹣6|．
（1）当 a＝0 时，解不等式 f（x）＞12；
（2）记集合 M＝{x|f（x）﹣2b＝0}，若存在 a
∈
R 使 M≠
∅
，求实数 b 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知集合 A＝{x
∈
N|x2﹣2x≤0}，B＝{0，2，3，4}，则集合 A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{0，2} C．{2} D．{1，2}
解：∵集合 A＝{x
∈
N|x2﹣2x≤0}＝{x
∈
N|0≤x≤2}＝{0，1，2}，
B＝{0，2，3，4}，
∴集合 A∩B＝{0，2}．
故选：B．
2．已知复数 ，则它的共轭复数等于（ ）
A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
解：复数 z＝ ＝
所以它的共轭复数 ＝2+i
故选：B．
3．设随机变量 X，Y 满足 Y＝2X+b（b 为非零常数），若 E（Y）＝4+b，D（Y）＝32，则 E
（X）和 D （X）分别等于（ ）
A．4，8 B．2，8 C．2，16 D．2+b，16
解：随机变量 X，Y 满足 Y＝2X+b（b 为非零常数），若 E（Y）＝4+b，D（Y）＝32，
则 E（Y）＝2E（X）+b＝4+b．所以 E（X）＝2；D（Y）＝4D （X）＝32，
所以 D （X）＝8．
故选：B．
4．已知向量 ＝（﹣1，2）， ＝（3，2），则 cos＜ ， ＞为（ ）
A． B．﹣ C． D．
解：根据题意，向量 ＝（﹣1，2）， ＝（3，2），
则 + ＝（2，4）， ﹣ ＝（﹣4，0），
则有| + |＝2 ，| ﹣ |＝4，（ + ）•（ ﹣ ）＝﹣8，
则 cos＜ ， ＞＝ ＝﹣ ，
故选：B．
5．已知等比数列{an}中，a2+a4＝30，a1a3＝9，则公比 q＝（ ）
A．9 或﹣11 B．3 或﹣11 C．3 或 D．3 或﹣3
解：由 a2+a4＝30，a1a3＝9，可得 ，
解得 q＝±3，
故选：D．
6．设 O 为坐标原点，直线 l 过定点（1，0），且与抛物线 C：y2＝2px（p＞0）交于 A，B
两点，若 OA⊥OB，则抛物线 C 的准线方程为（ ）
A．x＝﹣ B．x＝﹣ C．x＝﹣1 D．x＝﹣2
解：当直线 l⊥x 轴时，可得 A（1， ），B（1，﹣ ），
由 AO⊥BO，得 1﹣2p＝0，所以 p＝ ，
当直线 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝k（x﹣1）代入 y2＝2px，
得 ky2﹣2py﹣2pk＝0（k≠0），
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 y1y2＝﹣2p，x1x2＝ ＝1，
由 OA⊥OB，得 x1x2+y1y2＝0，即 1﹣2p＝0，可得 p＝ ，
综上所述 p＝ ．
故抛物线 C 的标准方程为 y2＝x，
∴抛物线 C 的准线方程为 x＝﹣ ．
故选：A．
7．已知函数 f（x）＝ sin（2x+
φ
）+cos（2x+
φ
）为奇函数，且存在 x0
∈
（0， ），使得
f（x0）＝2，则
φ
的一个可能值为（ ）
A． B． C． D．
解：f（x）＝ sin（2x+
φ
）+cos（2x+
φ
）＝2sin（2x+ +
φ
），
∵f（x）为奇函数，
∴ +
φ
＝k
π
，k
∈
Z，即
φ
＝k
π
﹣ ，k
∈
Z，排除选项 B 和 D，
∵存在 x0
∈
（0， ），使得 f（x0）＝2，
∴2x0+ +
φ
＝ +2k
π
，k
∈
Z，即 x0＝ ﹣ +k
π
，k
∈
Z，
当
φ
＝ 时，x0＝﹣ +k
π
，k
∈
Z，无论 k 取何值，x0
∉
（0， ），即选项 A 错误，
故选：C．
8．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（ ）
A．1 B．2 C． D．
解：由题意几何体是四棱锥 P﹣ABCD，过 P 作 PE⊥AD 于 E，
在正方体中有 CD⊥平面 PAD，所以 CD⊥PE，
又因为 AD∩CD＝D，所以 PE⊥平面 ABCD，
所以四棱锥的高为 PE，
由三视图可知 ，PE× ＝2×2，解得 PE＝ ．
所以该四棱锥的高为： ．
故选：D．
9．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉．现环保局要求其整改，降低声强．已
知声强 I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级 L
（单位：dB）与声强 I 的函数关系式为 L＝10•lg（aI）．已知 I＝1013W/m2 时，L＝10dB．若
整改后的施工噪音的声强为原声强的 10﹣2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（ ）
A．50dB B．40dB C．30dB D．20dB
解：由题意可知，L＝10•lg（aI），
当 I＝1013W/m2 时，L＝10dB，有 10＝10•lga•1013，解得 a＝10﹣12，
故有 L＝10•lg10﹣12I，
当变为原声强的 10﹣2 时，I＝1011W/m2，
有 L＝10•lg10﹣12•1011，可得 I＝﹣10dB，
由此可知降低了 10dB﹣（﹣10dB）＝20dB，
故选：D．
10．已知（ ）m＝log3m，（ ）n＝log n，p＝cos
α
+ ，
α∈
[0， ），则 m，n，p
的大小关系为（ ）
A．n＜p＜m B．n＜m＜p C．m＜n＜p D．m＜p＜n
解：设 f（x）＝ ﹣ ，x
∈
（0，+∞），
则函数 f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵f（1）＝ ＞0，f（2）＝ ﹣ ＜0，
∴
∃
x0
∈
（1，2）使得 f（x0）＝0，∵f（m）＝0，∴1＜m＜2，
∵ ＝ ＞0，∴0＜n＜1，
∵
α∈
[0， ），∴cos
α∈
（0，1]，
∴p＝cos
α
+ ≥2 ＝2，当且仅当 cos
α
＝ ，即 cos
α
＝1，
α
＝0 时取等号，
∴p≥2，∴p＞m＞n．
故选：B．
11．已知双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 且斜率为﹣
的直线与双曲线在第二象限的交点为 A，若（ + ）• ＝0，则此双曲线的
渐近线方程为（ ）
A．y＝± x B．y＝± x C．y＝± x D．y＝± x
解：若（ + ）• ＝0，即（ + ）•（ ﹣ ）＝0，
可得 2＝ 2，即有|AF2|＝|F2F1|＝2c，
由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+2c，
在等腰三角形 AF1F2 中，tan∠AF2F1＝﹣ ，
cos∠AF2F1＝﹣ ＝ ，
化为 3c＝5a，
即 a＝ c，b＝ c，
可得 a：b＝3：4，故此双曲线的渐近线方程为 y＝± x，
故选：D．
12．设函数 f（x）＝ex﹣2x，直线 y＝ax+b 是曲线 y＝f（x）的切线，则 2a+b 的最大值是（ ）
A．e﹣1 B．﹣1 C．2e﹣4 D．e2﹣4
解：设切点为（m，n），
f（x）＝ex﹣2x 的导数为 f′（x）＝ex﹣2，
可得切线的斜率为 em﹣2，
由切线方程 y＝ax+b，
可得 em﹣2＝a，且 am+b＝em﹣2m，
则 b＝（a+2）[1﹣ln（a+2）]，
2a+b＝2a+（a+2）[1﹣ln（a+2）]，
设 g（a）＝2a+（a+2）[1﹣ln（a+2）]，a＞﹣2，
g′（a）＝2﹣ln（a+2），
当﹣2＜a＜e2﹣2 时，g′（a）＞0，g（a）递增，当 a＞e2﹣2 时，g′（a）＜0，g（a）
递减，
可得 g（a）的最大值为 g（e2﹣2）＝e2﹣4，
即 2a+b 的最大值为 e2﹣4，
故选：D ．
二、填空题：本题共 4 小题，毎小题 5 分。
13．已知点（x，y）满足不等式组 ，则 z＝5x+y 的最大值为 26 ．
解：由约束条件作出可行域如图，
联立 ，解得 A（4，6），
由 z＝5x+y，得 y＝﹣5x+z，由图可知，当直线 y＝﹣5x+z 过 A 时，
直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 26．
故答案为：26．
14．（2x2 ）n 的展开式中所有二项式系数之和为 8，则该展开式中的常数项为 6 .（用
数字作答）
解：∵（2x2 ）n 的展开式中所有二项式系数之和为 2n＝8，∴n＝3，
则该展开式的通项公式为 Tr+1＝ •（﹣1）r•23﹣r•x6﹣3r，令 6﹣3r＝0，可得 r＝2，
故展开式中中的常数项为 •2＝6，
故答案为：6．
15．设数列{an}满足 a1＝6，an+1﹣an＝2n+4，bn 为 an 的个位数字，则 b1+b2+b3+…+b2021 的值
为 4046 ．
解：∵a1＝6，an+1﹣an＝2n+4，
∴a2﹣a1＝2×1+4，
a3﹣a2＝2×2+4，
a4﹣a3＝2×3+4，
…，
an﹣an﹣1＝2（n﹣1）+4，
累加可得 an﹣a1＝2（1+2+3+…+n﹣1）+4（n﹣1）＝（n﹣1）（n+4）＝n2+3n﹣4，
∴an＝n2+3n+2＝（n+1）（n+2），
∴a1＝2×3＝6，a2＝3×4＝12，a3＝4×5＝20，a4＝5×6＝30，a5＝6×7＝42，
a6＝7×8＝56，a7＝8×9＝72，a8＝9×10＝90，a9＝10×11＝110，a10＝11×12＝132，
∵bn 为 an 的个位数字，
∴b1＝6，b2＝2，b3＝0，b4＝0，b5＝2，b6＝6，…，
∴{bn}是以 5 为周期的周期数列，
∴b1+b2+b3+…+b2021＝（6+2+0+0+2）×404+6＝4046，
故答案为：4046．
16．已知在三棱锥 P﹣ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠APC＝30°，平面 PAC⊥平
面 ABC，则三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积为 80
π
．
解：由题意可知，P 点在圆周上运动，则 PAC 的外接圆的半径为 r，2r＝ ＝8，
解得 r＝4，如图，因为平面 PAC⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，所以 ABC 的
外接圆的圆心是 BC 的中点，几何体的外接球的球心是 ABC 外心的中垂线与圆 PAC 的圆
心的中垂线的交点 O，由题意可得 R＝ ＝ ，
所以三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积为：4
π
R2＝80
π
．
故答案为：80
π
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cosC＝ ﹣ ．
（1）求角 B；
（2）若△ABC 外接圆的半径为 ，且 AC 边上的中线长为 ，求△ABC 的面积．
解：（1）由 cosC＝ ﹣ ，
可得 2bcosC＝2a﹣c，
由正弦定理可得 2sinBcosC＝2sinA﹣sinC，即 2sinBcosC＝2sin（B+C）﹣sinC，
可得 sinC＝2sinCcosB，
又 sinC≠0，
所以 cosB＝ ，
因为 B 为三角形内角，
所以 B＝ ．
（2）由正弦定理可得 ＝2 ，可得 b＝3，
设 D 为 AC 边上的中点，则 AD＝ ，BD＝ ，2 ＝ + ，
两边平方，可得 4 2＝ 2+ 2+2 • ，即 17＝c2+a2+ac，
由余弦定理可得 b2＝a2+c2﹣2accosB，即 9＝a2+c2﹣ac，
两式相减可得 8＝2ac，即 ac＝4，
所以 S△ABC＝ acsinB＝ ．
18．某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为 6，9，12，员工 A 隶属于甲部门．现
在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的
概率为 ，且每个人血检是否呈阳性相互独立．
（1）现采用分层抽样的方法从中抽取 9 人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员
工中分别抽取多少人，并求员工 A 被抽到的概率；
（2）将甲部门的 6 名员工随机平均分成 2 组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈
阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一
人呈阳性，再逐个化验．记 X 为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求 X 的分布列和
期望．
解：（1）由题意知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 6：9：12＝2：3：4，
所以分层抽样抽取的 9 人中，甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 2 人，3 人，4 人，
记事件 M 为“员工 A 被抽到”，则 P（A）＝ ＝ ．
（2）甲部门的 6 名员工随机平均分成 2 组，每组 3 人，
记“每组血样化验结果呈阴性”为事件 B，则 P（B）＝ ＝ ，
所以 X 的所有可能取值为 2，5，8，
P（X＝2）＝（P（B））2＝ ，
P（X＝5）＝ •P（B）＝2×（1﹣ ）× ＝ ＝ ，
P（X＝8）＝ ＝（1﹣ ）2＝ ，
所以 X 的分布列如下，
X 2 5 8
P
所以数学期望 E（X）＝2× +5× +8× ＝ ．
19．已知四边形 ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD 沿 BD 边
折起使得平面 ABD⊥平面 BCD，此时 AD⊥CD．点 P 为线段 AD 的中点．
（1）求证：BP⊥平面 ACD；
（2）若 M 为 CD 的中点，求 MP 与平面 BPC 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为 AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD 为等边三角形，
因为 P 为 AD 的中点，所以 BP⊥AD，
取 BD 的中点 E，连结 AE，则 AE⊥BD，
因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，所以 AE⊥平面 BCD，
又 CD
⊂
平面 BCD，所以 AE⊥CD，
又因为 CD⊥AD，AD∩AE＝A，AE，AD
⊂
平面 ABD，所以 CD⊥平面 ABD，
因为 BP
⊂
平面 ABD，所以 CD⊥BP，
又因为 CD∩AD＝D，CD，AD
⊂
平面 ACD，
所以 BP⊥平面 ACD；
（2）解：由（1）可知 CD⊥BD，取 BC 的中点 F，则 EF⊥DE，即 EA，EF，ED 两两垂
直，
以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则
，
所以 ，
设平面 BPC 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 x＝1，则 ，故 ，
又 ，
所以 ，
故 MP 与平面 BPC 所成角的正弦值为 ．
20．已知 F 是椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的左焦点，焦距为 4，且过点 P（ ，1）．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 与 C 交于 A，B 两点，l2 与 C 交于 D，E
两点，记 AB 的中点为 M，DE 的中点为 N，试判断直线 MN 是否过定点，若过定点，请
求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
解：（1）由题意可知 ，解得 ，
∴椭圆 C 的方程为： ．
（2）由题意知，当直线 l1，l2 其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为 0，此时直
线 MN 的方程为 y＝0，
当直线 l1，l2 斜率都存在时，设 l1：x＝my﹣2（m≠0），
设点 A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程 ，
化简可得（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，且△＞0，
所以 ，y1y2＝ ，
则 x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝ ，
∴M（ ， ），
同理由 可得 N（ ， ），
则 kMN＝ ＝ ，
所以直线 MN 的方程为 y﹣ ＝ ，
化简得：y＝ ＝ ，
此时直线 MN 过定点（﹣ ，0），
易知当直线 l1，l2 其中一条的斜率不存在时，直线 MN 的方程为 y＝0，亦过点（﹣ ，0），
综上所述，直线 MN 恒过定点（﹣ ，0）．
21．已知函数 f（x）＝ex﹣kx2，其中 k 为实数，e 为自然对数的底数．
（1）若 k＝ ，证明：当 x≥0 时，f（x）≥x+1 恒成立；
（2）当 x≥0 时，f（x）≥2x+1﹣sinx 恒成立，求 k 的取值范围．
解：（1）证明：当 k＝ 时，设 g（x）＝ex﹣ x2﹣x﹣1（x≥0），
g′（x）＝ex﹣x﹣1，…（1 分）
则 g″（x）＝ex﹣1≥0，
故 g′（x）在[0，+∞）上单调递增…
故当 x≥0 时，g′（x）≥g′（0）＝0，
故 g（x）在[0，+∞）上单调递增，…
故当 x≥0 时，g（x）≥g（0）＝0，
故当 x≥0 时，f（x）≥x+1 恒成立；…
（2）设 h（x）＝ex﹣kx2﹣2x﹣1+sinx（x≥0），
则 h（x）min≥0，注意到 h（0）＝0，…
则 h′（x）＝ex﹣2kx﹣2+cosx（x≥0），
则 h′（0）＝0…
h″（x）＝ex﹣2k﹣sinx，h″（0）＝1﹣2k，
h″′（x）＝ex﹣cosx≥0，则 h″（x）在[0，+∞）上单调递增，…
当 k≤ 时，h″（0）＝1﹣2k≥0，由于 h″（x）在[0，+∞）上单调递增，
则当 x≥0 时，h″（x）≥h″（0）≥0，则 h′（x）在[0，+∞）上单调递增，
故 h′（x）≥h′（0）＝0，则 h（x）在[0，+∞）上单调递增，
故 h（x）≥h（0）＝0，符合题意；…
当 k＞ 时，h″（0）＝1﹣2k＜0，
利用（1）中已证结论可得
由于 h″（x）在[0，+∞）上单调递增，h″（1+2k）＝e1+2k﹣2k﹣sin（1+2k）≥1+（1+2k）
﹣2k﹣1＞0，
故必然存在 x0
∈
（0，1+2k），使得 x
∈
（0，x0）时，h″（0）＜0，
则 h′（x）在（0，x0）上单调递减，
故当 x
∈
（0，x0）时，h′（x）＜h′（0）＝0，
则 h（x）在（0，x0）上单调递减，
则当 x
∈
（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，不符合题意；…
综上，k 的取值范围为（﹣∞， ]…
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐
标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （
α
为参数）．以坐标
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（
﹣
θ
）＝1．
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的倾斜角；
（2）已知点 M 的直角坐标为（0，1），直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A，B，求|MA|+|MB|
的值．
解：（1）曲线 C 的参数方程为 （
α
为参数），
整理得 x2+y2＝2．
直线 l 的极坐标方程为 cos（ ﹣
θ
）＝1，根据 ，整理得 x﹣y+1
＝0．
所以直线的倾斜角为 ．
（2）把直线的方程转换为参数方程 （t 为参数），代入 x2+y2＝2，
得到： ，
整理得 ，t1t2＝﹣1，
所以|MA|+|MB|＝ ＝ ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+a2﹣1|+|x﹣6|．
（1）当 a＝0 时，解不等式 f（x）＞12；
（2）记集合 M＝{x|f（x）﹣2b＝0}，若存在 a
∈
R 使 M≠
∅
，求实数 b 的取值范围．
解：（1）a＝0 时，f（x）＞12 即|x﹣1|+|x﹣6|＞12，
当 x＜1 时，1﹣x+6﹣x＞12，解得：x＜﹣ ，
当 1≤x≤6 时，x﹣1+6﹣x＞12，则 5＞12，无解，
当 x＞6 时，x﹣1+x﹣6＞12，解得：x＞ ，
故不等式 f（x）＞12 的解集是{x|x＜﹣ 或 x＞ }；
（2）f（x）＝|x+a2﹣1|+|x﹣6|≥|x+a2﹣1﹣（x﹣6）|＝|a2+5|，
当且仅当（x+a2﹣1）（x﹣6）≤0 时取“＝”，
则可知 f（x）min＝a2+5，即 f（x）的值域是[a2+5，+∞），
∵存在 a
∈
R，使得 M≠
∅
，
故 2b≥（a2+5）min＝5，则 b≥ ，
故实数 b 的取值范围是[ ，+∞）．
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