专题 02复数（新高考地区专用）-2021届高三《新题速递·数学》4月刊（适用于高考复习）（解析版）

专题 02 复数 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、单选题 1．（2021·全国高三其他模拟）若 1 i 01 2iz   （i 为虚数单位），则 z 的模为（ ） A． 1 5 B． 3 5 C． 2 5 D． 10 5 【答案】D 【详解】       1 i 1 2i1 i 1 3i 1 3 i1 2i 1 2i 1 2i 5 5 5z              所以 1 9 10 25 25 5z    ． 故选：D． 2．（2021·辽宁高三其他模拟）若复数 z 满足 1 4 iz i   ，则 z 的共轭复数 z 为（ ） A． 1 16 16 i  B． 1 3 14 14 i C． 2 15 15 i  D． 3 5 17 17 i 【答案】D 【详解】 由复数的运算法则，可得   1 41 3 5 4 17 17 17 i ii iz i      ，所以 3 5 17 17 iz   . 故选：D. 3．（2021·全国高三其他模拟）复数 5 2 iz i   （其中i 为虚数单位），则 4z i  （ ） A．5 B． 5 C．2 D． 2 【答案】B 【详解】       5 2 5 25 (2 ) 1 22 2 2 5 i i i iiz i i ii i i            ， 则 4 1 2 4 1 2z i i i i        ，    2 24 1 2 5z i       . 故选：B． 4．（2021·全国高三其他模拟）若复数   3 2 1z i i   (i 是虚数单位)，则复数 z 的共轭复数在复平面内对 应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】 由复数   3 2 1 5z i i i    ，可得其共轭复数 5z i  ， 则 z 在复平面内对应的点 5, 1 位于第四象限. 故选：D. 5．（2021·全国高三其他模拟）已知i 是虚数单位，若 2 iz a  且| 3 | 10( 0)a i a   ，则 1 z i  （ ） A． 1 3 i2 2  B． 1 3 i2 2  C． 3 3 i2 2  D． 3 3 i2 2  【答案】B 【详解】 由| 3 | 10a i  ，得 2 23 10a   ，解得 1a   ． 因为 0a  ，所以 1a  ．所以 2 iz   ，则 2 (2 )(1 ) 1 3 1 1 (1 )(1 ) 2 2 z i i i ii i i i          . 故选:B 6．（2021·全国高三其他模拟）已知复数 4i( )z m m  R ，若 2 ( 3)i 5m   ，则 2 i z  的虚部为（ ） A．2 B．1 C． i D．-1 【答案】D 【详解】 由 2 ( 3)i 5m   得 3m  ，则 3 4i (3 4i)(2 i) 6 3i 8i 4 2 i2 i 2 i (2 i)(2 i) 5 z              ， 故 2 i z  的虚部为-1， 故选：D. 7．（2021·全国高三其他模拟）已知复平面中，平行四边形 ABCD 的顶点 A ， B ，C 的坐标分别为  0,0 ，  2,1 ， 3,2 ，则顶点 D 所对应的复数为（ ） A． 2 i B．1 i C．1 2i D．1 3i 【答案】B 【详解】 ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AD BC AC AB      ． 而  3,2AC  ，  2,1AB  ， ∴  1,1AD  ， ∴点 D 的坐标为 1,1 ， ∴顶点 D 所对应的复数为1 i . 故选：B． 8．（2021·全国高三其他模拟）已知i 为虚数单位，且 0 1 3 1 2 iz i   ，复数 z 满足 0 1z z  ，则复数 z 对应点 的轨迹方程为（ ） A．   2 21 1 4x y    B．   2 21 1 4x y    C．   2 21 1 1x y    D．   2 21 1 1x y    【答案】C 【详解】    0 1 3 1 21 3 11 2 5 i iiz ii       ，由题意知 0 1z z  ，则复数 z 对应点的轨迹方程为  21x    21 1y   . 故选：C． 二、多选题 9．（2021·山东高三专题练习）下面是关于复数 2 1 iz    （i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A．| | 2z  B． 2 2z i C．z 的共轭复数为1 i D．z 的虚部为 1 【答案】BD 【详解】 解： 2 2( 1 ) 11 ( 1 )( 1 ) iz ii i i            ， | | 2z  ，A 错误； 2 2iz  ，B 正确； z 的共轭复数为 1 i  ，C 错误； z 的虚部为 1 ，D 正确. 故选：BD. 10．（2021·全国高三其他模拟）已知 ,a bR ， 1 i 3 2ia b    ，  1 i a bz   ，则（ ） A． z 的虚部是 2i B． 2z  C． 2iz   D． z 对应的点在第二象限 【答案】BC 【详解】 由复数相等可得 3, 1 2, b a       解得 1, 3, a b      所以    21 i 1 i 2ia bz      ， z 的虚部是 2，所以 A 选项错误； 2i 2z   ，所以 B 选项正确； 2iz   ，所以 C 选项正确； z 对应的点在虚轴上，所以 D 选项不正确. 故选：BC. 11．（2021·苏州大学附属中学高二月考）设 1 2 3, ,z z z 为复数， 1 0z  ．下列命题中正确的是（ ） A．若 2 3z z ，则 2 3z z  B．若 1 2 1 3z z z z ，则 2 3z z C．若 2 3z z ，则 1 2 1 3z z z z D．若 2 1 2 1z z z ，则 1 2z z 【答案】BC 【详解】 由复数模的概念可知， 2 3z z 不能得到 2 3z z  ，例如 2 3,1 1i iz z    ，A 错误； 由 1 2 1 3z z z z 可得 1 2 3( ) 0z z z  ，因为 1 0z  ，所以 2 3 0z z  ，即 2 3z z ，B 正确； 因为 21 2 1| || |z z z z ， 1 3 1 3| || |z z z z ，而 2 3z z ，所以 2 3 2| | | || |z z z ，所以 1 2 1 3z z z z ，C 正确； 取 1 21 , 1z i z i    ，显然满足 2 1 2 1z z z ，但 1 2z z ，D 错误. 故选：BC 12．（2020·全国高三专题练习）已知复数 π π1 cos2 sin 2 2 2z i           （其中 i 为虚数单位）下列 说法正确的是（ ） A．复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．z 可能为实数 C． 2cosz  D． 1 z 的实部为 1 2 【答案】BCD 【详解】 因为 π π 2 2    ，所以 π 2 π   ，所以 1 cos2 1   ，所以 0 1+cos2 2  ，所以 A 选项错误； 当sin 2 0, 0 2 2           ， 时，复数 z 是实数，故 B 选项正确；    2 21+cos2 sin 2 2+2cos2 2cosz        ，故 C 选项正确；    1 1 1 cos2 sin 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 sin 2 2 2cos2 i i z i i i                        ， 1 z 的实部 是 1 cos2 1 2 2cos2 2     ，故 D 选项正确； 故选：BCD. 三、填空题 13．（2021·北京延庆区·高三其他模拟）若复数   1 2z i a i   （i 为虚数单位）是纯虚数，则 a =___________． 【答案】 2 【详解】 解：复数    2+ 2 2 2+1 1 )2 ( 2a i aiz i a i i a a i      是纯虚数， 2 0a   ，且1 2 0a  ，解得： 2a   . 故答案为： 2 . 14．（2021·吉林吉林市·高二三模（文））已知i 是虚数单位，复数 1 iz i  ，则 z 的虚部为__________． 【答案】 1 【详解】 因为 1i  ，所以 1 1iz ii    ， 故 z 的虚部为 1 . 故答案为; 1 15．（2020·河南高三其他模拟（理））已知   20212 i z i  （i 为虚数单位），则 z  ___________. 【答案】 5 5 【详解】 因为 4 1i  ，所以 2021i i ，所以 i 1 2 i2 i 5 5z    ， 所以 2 21 2 5 5 5 5 25 5z z               故答案为： 5 5 . 16．（2020·新疆高三其他模拟（理））设复数 1z ， 2z 满足 1 22 2z z  ， 1 2 2 3z z i   ，则 1 2z z  __________． 【答案】 3 【详解】 ∵ 1 22 2z z  ，设 1 2cos 2 sinz i    ， 2 cos sinz i    ， ∴ 1 2 (2cos cos ) (2sin sin ) 2 3z z i i           ， ∴ 2cos cos 2 2sin sin 3         ，两式平方相加得： 4 1 4(cos cos sin sin ) 7       ，化简得： 1cos cos sin sin 2       ， ∴ 1 2 | (2cos cos ) (2sin sin ) |z z i         2 2(2cos cos ) (2sin sin )       5 4(cos cos sin sin )      5 2 3   . 故答案为： 3 .