测试卷19 三角函数（A）-2020年高考数学一轮复习必修1—5册（人教A版）单元过关检测试卷（解析版）

高中数学单元过关测试卷 三角函数（A） （测试卷 19） 测试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）（每小题有四个选项，只有一个正确） 1．与角9π 4 的终边相同的角可表示为( ) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋9 4π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π 4 (k∈Z) 【答案】C 【解析】 9 4π＝9 4 ×180°＝360°＋45°＝720°－315°， ∴与角9 4π的终边相同的角可表示为 k·360°－315°，k∈Z. 2．已知弧度为 2 的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A．2 B．sin 2 C． 2 sin 1 D．2sin 1 【答案】C 【解析】由题设知，圆弧的半径 r＝ 1 sin 1 ， ∴圆心角所对的弧长 l＝2r＝ 2 sin 1. 3．已知点 P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由题意可得 cos α＜0， tan α＜0， 则 sin α＞0， cos α＜0， 所以角α的终边在第二象限，故选 B. 4．将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A．π 3 B．π 6 C．－π 3 D．－π 6 【答案】C 【解析】将表的分针拨快应按顺时针方向旋转分针，故所形成的角为负角，故 A、B 不 正确．因为拨快 10 分钟，所以转过的角的大小应为圆周的1 6 ，故所求角的弧度数为－1 6 ×2π ＝－π 3. 4.cos 350°－2sin 160° sin－190° ＝( ) A．－ 3 B．－ 3 2 C． 3 2 D． 3 【答案】D 【解析】原式＝cos360°－10°－2sin180°－20° －sin180°＋10° ＝ cos 10°－2sin30°－10° －－sin 10° ＝ cos 10°－2 1 2cos 10°－ 3 2 sin 10° sin 10° ＝ 3. 5．当θ为第二象限角，且 sin θ 2 ＋π 2 ＝1 3 时， 1－sin θ cos θ 2 －sin θ 2 的值是( ) A．1 B．－1 C．±1 D．0 【答案】B 【解析】∵sin θ 2 ＋π 2 ＝1 3 ， ∴cos θ 2 ＝1 3. ∵θ为第二象限角， ∴θ 2 在第一象限，且 cos θ 2 ＜sin θ 2 ， ∴ 1－sin θ cos θ 2 －sin θ 2 ＝ － cos θ 2 －sin θ 2 cos θ 2 －sin θ 2 ＝－1. 6．函数 y＝ cos x－ 3 2 的定义域为( ) A． －π 6 ，π 6 B． kπ－π 6 ，kπ＋π 6 (k∈Z) C． 2kπ－π 6 ，2kπ＋π 6 (k∈Z) D．R 【答案】C 【解析】由 cos x－ 3 2 ≥0，得 cos x≥ 3 2 ，∴2kπ－π 6 ≤x≤2kπ＋π 6 ，k∈Z. 7．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A．y＝sin xcos x B．y＝sin2x C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x 【答案】A 【解析】y＝sin2x 为偶函数；y＝tan 2x 的周期为π 2 ；y＝sin 2x＋cos 2x 为非奇非偶函数， 故 B、C、D 都不正确，选 A． 8．将函数 f(x)＝－cos 2x 的图象向右平移π 4 个单位后得到函数 g(x)，则 g(x)具有性质( ) A．最大值为 1，图象关于直线 x＝π 2 对称 B．在 0，π 4 上单调递减，为奇函数 C．在 －3π 8 ，π 8 上单调递增，为偶函数 D．周期为π，图象关于点 3π 8 ，0 对称 【答案】B 【解析】由题意得函数 g(x)＝－cos 2x－2×π 4 ＝－sin 2x，易知其为奇函数，由－π 2 ＋2kπ ＜2x＜π 2 ＋2kπ，k∈Z 得－π 4 ＋kπ＜x＜π 4 ＋kπ，k∈Z，所以函数 g(x)＝－sin 2x 的单调递减区 间为 －π 4 ＋kπ，π 4 ＋kπ ，k∈Z，所以函数 g(x)＝－sin 2x 在 0，π 4 上单调递减，故选 B. 9．设θ是第三象限角，且|cos θ 2|＝－cosθ 2 ，则θ 2 是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】由于θ是第三象限角，所以 2kπ＋π＜θ＜2kπ＋3π 2 (k∈Z)，kπ＋π 2 ＜θ 2 ＜kπ＋3π 4 (k∈Z)； 又|cos θ 2|＝－cosθ 2 ，所以 cos θ 2 ≤0，从而 2kπ＋π 2 ≤θ 2 ≤2kπ＋3π 2 (k∈Z)，综上可知 2kπ ＋π 2 ＜θ 2 ＜2kπ＋3π 4 (k∈Z)，即θ 2 是第二象限角． 10．集合 αkπ＋π 4 ≤α≤kπ＋π 2 ，k∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 【答案】C 【解析】当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π 4 ≤α≤2nπ＋π 2 ，此时α表示的范围与π 4 ≤α≤π 2 表示的 范围一样；当 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π 4 ≤α≤2nπ＋π＋π 2 ，此时α表示的范围与π＋π 4 ≤α≤π ＋π 2 表示的范围一样． 11．已知 sin α＋3cos α＋1＝0，则 tan α的值为( ) A．4 3 或3 4 B．－3 4 或－4 3 C．3 4 或－4 3 D．－4 3 或不存在 【答案】D 【解析】 由 sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos2α＝1，即 5cos2α＋3cos α＝ 0，解得 cos α＝－3 5 或 cos α＝0，当 cos α＝0 时，tan α的值不存在，当 cos α＝－3 5 时，sin α ＝－3cos α－1＝4 5 ，tan α＝sin α cos α ＝－4 3 ，故选 D. 12．若 sin θ，cos θ是方程 4x2＋2mx＋m＝0 的两根，则 m 的值为( ) A．1＋ 5 B．1－ 5 C．1± 5 D．－1－ 5 【答案】B 【解析】 由题意知 sin θ＋cos θ＝－m 2 ，sin θ·cos θ＝m 4. 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m2 4 ＝1＋m 2 ， 解得 m＝1± 5. 又Δ＝4m2－16m≥0， ∴m≤0 或 m≥4，∴m＝1－ 5. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．已知角α的始边与 x 轴非负半轴重合，终边在射线 4x－3y＝0(x≤0)上，则 cos α－ sin α＝________. 【答案】1 5 【解析】 角α的始边与 x 轴非负半轴重合，终边在射线 4x－3y＝0(x≤0)上， 不妨令 x＝－3，则 y＝－4，∴r＝5，∴cos α＝x r ＝－3 5 ，sin α＝y r ＝－4 5 ， 则 cos α－sin α＝－3 5 ＋4 5 ＝1 5. 14．在直角坐标系中，O 是原点，A( 3，1)，将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到点 B，则点 B 的坐标为________. 【答案】(－1， 3) 【解析】依题意知 OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点 B 的坐标为(x，y)， 则 x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝ 3，即 B(－1， 3)． 15．已知π 2 ＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，则 sin α－9π 2 ＝________. 【答案】 2 2 3 【解析】 ∵π 2 ＜α＜π，∴cos α＜0. ∵3sin 2α＝2cos α， 即 6sin α·cos α＝2cos α， ∴sin α＝1 3 ，则 sin α－9π 2 ＝－cos α＝ 1－sin2α＝2 2 3 . 16．已知α是三角形的内角，且 sin α＋cos α＝1 5 ，则 tan α＝________. 【答案】－4 3 【解析】由 sin α＋cos α＝1 5 ， sin2α＋cos2α＝1， 消去 cos α整理，得 25sin2α－5sin α－12＝0， 解得 sin α＝4 5 或 sin α＝－3 5. 因为α是三角形的内角， 所以 sin α＝4 5. 又由 sin α＋cos α＝1 5 ，得 cos α＝－3 5 ， 所以 tan α＝－4 3. 三、解答题（6 大题，共 70 分） 17.（10 分）已知半径为 10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. 【解析】 (1)在△AOB 中，AB＝OA＝OB＝10， 所以△AOB 为等边三角形． 因此弦 AB 所对的圆心角α＝π 3. (2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 l＝α·R＝π 3 ×10＝10π 3 ， S 扇形＝1 2R·l＝1 2α·R2＝50π 3 . 又 S△AOB＝1 2OA·OB·sinπ 3 ＝25 3. 所以弓形的面积 S＝S 扇形－S△AOB＝50 π 3 － 3 2 . 18.（12 分）已知 sin(3π＋α)＝2sin 3π 2 ＋α ，求下列各式的值： (1) sin α－4cos α 5sin α＋2cos α ； (2)sin2α＋sin 2α. 【解析】 由已知得 sin α＝2cos α. (1)原式＝ 2cos α－4cos α 5×2cos α＋2cos α ＝－1 6. (2)原式＝sin2α＋2sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ sin2α＋sin2α sin2α＋1 4sin2α ＝8 5. 19．（12 分）已知 sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； (2)求α 2 终边所在的象限； (3)试判断 tan α 2sinα 2cos α 2 的符号． 【解析】 (1)由 sin α＜0，知α在第三、四象限或 y 轴的负半轴上； 由 tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限， 其集合为 α2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π 2 ，k∈Z . (2)由 2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π 2 ，k∈Z， 得 kπ＋π 2 ＜α 2 ＜kπ＋3π 4 ，k∈Z， 故α 2 终边在第二、四象限． (3)当α 2 在第二象限时，tan α 2 ＜0， sin α 2 ＞0，cos α 2 ＜0， 所以 tanα 2 sin α 2cos α 2 取正号； 当α 2 在第四象限时，tan α 2 ＜0， sin α 2 ＜0，cos α 2 ＞0， 所以 tan α 2 sin α 2cos α 2 也取正号． 因此，tan α 2sin α 2cos α 2 取正号． 20.（12 分）已知 f(α)＝ sinπ－αcos2π－αtan －α＋3π 2 tan π 2 ＋α ·sin－π－α . (1)化简 f(α)； (2)若α是第三象限角，且 cos α－3π 2 ＝1 5 ，求 f(α)的值. 【解析】 (1)f(α)＝ sin α·cos α·tan －α＋3π 2 －2π tan π 2 ＋α ·sin α ＝ sin α·cos α· －tan π 2 ＋α tan π 2 ＋α ·sin α ＝－cos α. (2)∵cos α－3π 2 ＝－sin α＝1 5 ， ∴sin α＝－1 5 ， 又α是第三象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－2 6 5 ， 故 f(α)＝2 6 5 . 21．（12 分）已知函数 f(x)＝2 3sin x 2 ＋π 4 ·cos x 2 ＋π 4 －sin(x＋π)． (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若将 f(x)的图象向右平移π 6 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间[0， π]上的最大值和最小值． 【解析】(1)f(x)＝2 3sin x 2 ＋π 4 ·cos x 2 ＋π 4 －sin(x＋π) ＝ 3cos x＋sin x＝2sin x＋π 3 ， 于是 T＝2π 1 ＝2π. (2)由已知得 g(x)＝f x－π 6 ＝2sin x＋π 6 . ∵x∈[0，π]，∴x＋π 6 ∈ π 6 ，7π 6 ， ∴sin x＋π 6 ∈ －1 2 ，1 ， ∴g(x)＝2sin x＋π 6 ∈[－1,2]． 故函数 g(x)在区间[0，π]上的最大值为 2，最小值为－1. 22.（12 分）已知函数 f(x)= 3 sin(ωx+φ)+2sin2 + 2 -1(ω>0,0