江西省鹰潭市2021届高三数学（理）3月第一次模拟试题（Word版附答案）

鹰潭市 2021 届高三第一次模拟考试 数学试题(理科) 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分. 1．已知  *2 1, , { ( 2)( 5) 0}A x x n n N B x x x       ∣ ∣ ，则 A B  （ ） A．{3,5} B．{3,4,5} C． (3,5) D．[3,5] 2．设等比数列 na 的公比 2q = ，前 n 项和为 nS ，则 3 4 S a 的值为（ ） A． 15 8 B．15 4 C． 7 4 D． 7 8 3．已知 2 2lna ， eb 1 ， 3 3lnc ，则 a 、b 、 c 的大小关系为（ ） A．b c a  B． c a b  C． a c b  D． c b a  4．下列说法中正确的是（ ） ①不等式 1 1 2x  的解集是 | 2x x  ②命题“ 2, 2 0x x x    R ”的否定是 2 0 0 0, 2 0x x x    R ③已知随机变量 X 服从正态分布  22,N  且  4 0.9P X   ，则  0 2 0.4P X   A．②③ B．①② C．③④ D．①②③ 5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔 裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征。函数 1( ) sin | | ( , 0)f x x x x xx           的图象可能为（ ） A. 6．已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的两个焦点分别为 2 1( ,0) ( ,0)( 0)F c F c c ， ，过点 2 ,0aP c      的直 线 与双曲线的左右两支分别交于 ,A B 两点，且 BFAF 21 3 ，则双曲线的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C． 5 D． 6 7．若 , ,2       ，且 2 5sin 5   ，   3sin 5     ，则 sin   （ ） A． 11 5 25  B． 5 5  C． 5 5 D． 11 5 25 B． C． D． 8．如图是某四面体 ABCD 水平放置时的三视图，图中网格纸的小正 方形的边长为 1，则四面体 ABCD 外接球的体积为（ ） A． 500 3  B．100 3  C．125 6  D． 20 9．已知随机变量 X 服从二项分布      3 1,aB ，其期望   1XE ，当 1 2 4 x y x y       时，目标函数 z x y  的最小值为b ，则 5a bx 的展开式中各项系数之和为（ ） A．0 B．1 C． 52 D． 53 10．已知 O 为 ABC 内的一点，满足  1 0OA OB OC        ，且 OAB 的面积与 OBC 的面积之比为 3：1，若在 ABC 内任取一点，则该点取自 OAC 的概率为（ ） A． 6 1 B． 3 1 C． 1 2 D． 3 2 11．函数 ( ) sin( ) 0,| | 2f x x           ，已知 ,06     为 ( )f x 图象的一个对称中心， 直线 13 12x  为 ( ) f x 图象的一条对称轴，且 ( ) f x 在 13 19,12 12       上单调递减．记满足 条件的所有 的值的和为 S ，则 S 的值为（ ） A． 8 5 B．12 5 C． 16 5 D． 18 5 12．已知奇函数  f x 的定义域为          2,00,2  ，其导函数是  'f x 。当      2,0 x 时，     0cossin  xxfxxf ，则关于 x 的不等式   xfxf sin62       的解集为（ ） A．           6,06,2  B．          2,66,2  C．          6,00,6  D．          2,60,6  第 II 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分． 13．若复数 2(1 ) 3 4 iz i   ，则 z  14．小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点 的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件 A 为“4 个人去的景点互不相同”， 事件 B 为“只有小赵去了龙虎山景点”，则  BAP 15．设抛物线 xy 22  的焦点为 F，过 F 的两条直线 1l ， 2l 分别交抛物线于点 A，B，C，D， 且 1l ， 2l 的斜率 1k ， 2k 满足 22 2 2 1  kk ，则 AB CD 的最小值为 16．已知 ABC 的内角 、 、A B C 的对边分别为 a b c、 、 ，若 2A B ，则 ab bac 22 的取值 范围为________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 已知正项等差数列 na 满足： 2 3 3 3 1 2n nS a a a    ， *Nn nS 是数列 na 的前 n 项和. （1）求数列 na 的通项公式； （2）令      * 1212 41 Nnaa nb nn n n  ，数列 nb 的前项和为 nT ，求 nT2 18．（本小题满分 12 分） 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目 标.在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名 词。某地一研究团队统计了该地区1000位居民的日行步数，得到如下表格： 日行步数（单位：千步）  0,2  2,4  4,6  6,8  8,10  10,12  12,14 人数 10 40 150 200 350 200 50 （1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过8 千步为标准进行分层抽 样，从上述1000位居民中抽取 200 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联 表判断是否有 5.97 ％的把握认为日行步数与居民年龄超过 40 岁有关； （2）以这1000位居民日行步数超过8 千步的频率代替该地区1位居民日行步数超过8千 的概率，每位居民日行步数是否超过8 千相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 位居民，其中日行步数超过8 千的最有可能（即概率最大）是多少位居民? 附：  2 0P K k 0.05 0.025 0.010 0k 3.841 5.024 6.635        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥中 P ABCD ， PA  平面 ABCD ， / /AD BC ， AD CD ，且 2,4,2  PABCCDAD （1）求证： AB PC ； （2）在线段 PD 上，是否存在一点 M ，使得二面角 M AC D  的大小为 45 ，如果存在，求 BM 与平面 MAC 所成的角的正弦值， 如果不存在，请说明理由。 20．（本小题满分 12 分） 已知函数   axexxxf x  ln ，     22 12 xexxxg x  . （1）若 1a ，求曲线  f x 在点   1, 1f 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若对任意 (0,1)x ， ( ) ( ) 0f x g x  ，求整数 a 的最小值。 21．（本小题满分 12 分） 如图：已知抛物线 1C ： 2 4x y 与椭圆 2C ：   2 2 2 2 1 0y x a ba b     有相同焦点 F ，Q 为抛物线 1C 与椭圆 2C 在第一象限的公共点，且 5 3QF  ， 过抛物线 1C 准线上一点 P 作直线 PA ， PB 与抛物线 1C 分 别相切于 A ， B 两点，直线 AB 交椭圆 2C 于C ， D 两点。 （1）求椭圆 2C 的方程； （2）求 PCD 的面积 S 的最小值。 （二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在极坐标系下有许多美丽的曲线，如贝努利双纽线 2 2 cos2a  的形状是一个横 8 字，和谐、对称、优美．以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴的直角坐标系下，曲线C 的 参数方程 2 cos , sin , x t y t       （ , ,2 k k t   Z 为参数）。 （1）求曲线C 的普通方程和贝努利双纽线的直角坐标方程； （2）若 2, 6a   ，将曲线 C 向左平移 2 个单位得到曲线 C  ，曲线 C  与贝努利双纽 线交于 ,A B 两点，求 ,A B 的极坐标。 23．（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 设函数   axxxf  12 ，   1 2g x x x    . （1）若 1a  ，解不等式   4f x  ； （2）如果任意 1x R ，都存在 2x R ，使得    1 2f x g x ，求实数 a 的取值范围。 鹰潭市 2021 届高三第一次模拟考试 数学试题(理科)参考答案 1-5 ADCAD 6-10 ACCBB 11-12 BD 13. 5 2 14. 9 2 15.8 16.  4,2 17.解：（1）因为 1n  时， 2 3 1 1S a ； 2n  时， 2 3 3 2 1 2S a a  ， 联立得： 2 3 1 1 2 3 3 2 1 2 S a S a a      即   2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 a a a a a a      解得 1 2 1 2 a a    ，所以公差 2 1 1d a a   所以 na n ；┈┈┈┈┈6 分 (2)          12 1112 111212 41 1   nnaa nb nn nn n n 14 4 14 112  n n nT n ┈┈┈┈┈12 分 18.（1）1000人中，步数不超过8 千步的有 400 人，超过8 千步有 600 人， 按分层抽样，抽取的人数中不超过8 千步的有 80 人，超过8千步的有 120 人，列联表如下： 日行步数 8 千步 日行步数 8 千步 总计 40 岁以上 40 80 120 40 岁以下（含 40 岁） 40 40 80 总计 80 120 200   024.5556.58012012080 40408040200 2 2  K 故有 5.97 ％的把握认为日行步数与居民年龄超过 40 岁有关.┈┈┈┈┈6 分 （2）每位居民步数超过8千的概率为 5 3 1000 600  ，┈┈┈┈┈7 分 设步数超过8 千的最有可能是 n 位居民， 则 5 63 5 58 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 191 1 20 20 20 211 1 20 20 20                                                n CC CC nn n nn n nn n nn n ， ∵ *Nn ∴ 12n ，即最有可能是 12 位居民.┈┈┈┈┈12 分 19.（1）如图，四边形 ABCD 是直角梯形， 由 4,2  BCCDAD 可得 22 ABAC , ∴ ABC 是等腰直角三角形，即 AB AC ， ∵ PA 平面 ABCD，∵ PA AB ， 则 PACABABAC ABPA 平面      PCAB PACPC PACAB       平面 平面 ┈┈┈┈┈5 分 （2）假设存在符合条件的点 M ，且  10  DPDM 如图建立空间直角坐标系 xyzD  ， 则        2,0,2,0,2,0,0,2,4,0,0,2 PCBA     2,0,22,0,2,2  DMADAMAC 设平面 AMC 的法向量为  zyxn ,,1  ，则             0212 0 0 0 1 1 zx yx nAM nAC  取        12,1,11n ，取平面 ADC 的法向量  1,0,02 n ┈┈┈┈┈10 分 则   2 1 2 2 122 )1(2,cos 22 21      nn ，即          2 2,2,3,2,1,11 BMn 设 BM 与平面 MAC 所成的角为 ，则 9 62,cossin 1  nBM ┈┈┈┈┈12 分 20.解：（1）若 1a ，则函数   xexxxf x  ln ，定义域为 (0, ) ，可得   xexxf  ln ， 则     efef  1,11 ，故曲线  f x 在点   1, 1f 的切线l 方程为 1 exy 设切线l 与 yx, 轴分别交于 A,B 两点， 令 0x 得 1y ，令 0y 得 ex 1 ，即  1,0,0,1      BeA , 所以 eS AOB 2 1 ┈┈┈┈┈4 分 （2）由 (0,1)x ，    0 2) l( n xa x x xf x g x e      ， 设    2 lnxh x x e x x    ， (0,1)x ，则     l1 xx x h x e       ， 当 0 1x  时， 1 0x   ， 设   1xu x e x   ，则   2 1 0xu x e x    ，所以  u x 在 (0,1) 上单调递增. 又 1 2 02u e       ，  1 1 0u e   ，  0 1 ,12x      ，使得  0 0u x  ，即 0 0 1xe x  ， 0 0ln x x  .┈┈┈┈┈9 分 当  00,x x 时，   0u x  ，   0h x  ；当  0 ,1x x 时，   0u x  ，   0h x  ， 函数  h x 在 0(0, )x 内单调递增，在 0( ),1x 内单调递减，         0 0 0 0 0 0 0 0max 0 0 1 22 ln 2 2 1 2xh x h x x e x x x x xx x                 ， 函数 0 0 21 2y xx        在 0 1 ,12x     时单调递增，     0 4, 3h x    ，   a h x 对任意的  0,1x 恒成立，又 a Z ，  a 的最小值是 3 .┈┈┈┈┈12 分 21.解：（1）∵ 5 3QF  ，∴ 51 3Qy   ，∴ 2 3Qy  ， 2 8 3Qx  . ∵Q 为抛物线 1C 与椭圆 2C 在第一象限的公共点，∴ 2 2 4 8 19 3a b   且 2 2 1a b  ， ∴ 2 2 4 3 a b     ，∴ 2C ： 2 2 14 3 y x  .┈┈┈┈┈4 分 （2）由已知得直线 l 斜率存在，设为 1y kx  设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  1,0 xP ，则由抛物线 1C ： 2 4 1 xy  知 xy 2 1 ， ∴直线 PA ： 2 1 1 1 1 2 4y x x x  ， PB ： 2 2 2 1 1 2 4y x x x  ， ∴ 4,2 21021  xxxxx 设直线 AB 的方程为： mkxy  联立      yx mkxy 42 得 0442  mkxx ，即 44,4 2121  mxx ， ∴  1,2,1  kPm ┈┈┈┈┈7 分 设  3 3,C x y ，  4 4,D x y 由     2 2 2 2 21 3 4 6 9 0 36 4 44 3 1 y x k x kx k y kx                ， 3 4 2 6 3 4 kx x k     ， 3 4 2 9 3 4x x k   ∴     2 22 2 3 4 3 4 2 22 36 361 4 1 3 43 4 kk x x x x kD kk C          ，    2 2 2 2 2 36 4 4 12 1 1 3 4 3 4 k k k k k        ┈┈┈┈┈10 分 ∴ 2 2 2 2 1P l k h k     ，∴  2 2 2 2 12 1 2 21 1 2 2 3 4 1PCD P l k k S CD h k k        △  3 2 2 2 12 1 3 4 k k    . 令 21 ( 1)k t t   ，∴ 3 212( ) 3 1 tg t t   ，∴ 1 2 2 18 ( 1)'( ) 0(3 1) t tg t t   ， ∴当 1t  ，即 0k  时， PCDS 取最小值 3.┈┈┈┈┈12 分 22.解（Ⅰ）直线l 的普通方程为 tan ( 2)( 2)y x x   ． 由 2 2 cos2a  ，得  4 2 2 2 2 2cos sina      ， ∴贝努利双纽线的直角坐标方程为   22 2 2 2 2x y a x y   ┈┈┈┈┈5 分． （Ⅱ）曲线C 向左平移 2 个单位得到曲线 : tan ( 0)C y x x   ，当 6   时，其极坐标方 程为 ( 0)6    ，联立 2 4cos2 , ,6       得 2   ， 2, , 2,6 6A B            ．┈┈┈┈┈10 分 23.解：（1）①当 1x 时，   413  xxf ，解得 3 5x ； ②当 11  x 时，   43  xxf ，解得方程无解； ③当 1x 时，   413  xxf ，解得 1x ； 综上，原不等式的解集为       ,13 5, ┈┈┈┈┈5 分 （2）由任意 1x R ，都存在 2x R ，使得    1 2f x g x 得：      y y f x y y g x   又因为   112  aaxxxf   1 12 2 4g x x xx x        所以 1 4a  所以 5a   或 3a  ．┈┈┈┈┈10 分