大联考试卷
数学(文)·(3－2)
(试卷总分 150 分 考试时间 120 分钟)
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合
题目要求的。
1.已知集合 A＝{1，a2}，B＝{－1，0，1}，若 A∪B＝B，则 A 中元素的和为
A.0 B.1 C.2 D.－1
2.已知 a 为实数，复数 z＝(a－2)＋ai(i 为虚数单位)，复数 z 的共轭复数为 z ，若 z 为纯虚数，
则 1－ z ＝
A.1－2i B.1＋2i C.2＋i D.2－i
3.给出一组样本数据：1，4，m，3，它们出现的频率分别为 0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据
的平均值为 2.5，从 1，4，m，3 中任取两个数，则这两个数的和为 5 的概率为
A. 1
2
B. 2
3
C. 1
3
D. 1
4
4.如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是
A.2 B.1 C.高 D.考
5.已知锐角α，β满足 cosα＝ 2 5
5
，sin(α－β)＝－ 3
5
，则 sinβ的值为
A. 2 5
5
B. 5
5
C. 2 5
25
D. 5
25
6.已知 a＝(0，－2)，b＝(－1，1)，c＝(x，y)，若 a＋b－c＝0，则|b＋2c|＝
A.2 2 B. 7 C.2 D. 10
7.已知 P 是曲线 C：x＋ 22y y ＝0 上的点，Q 是直线 x－y－1＝0 上的一点，则|PQ|的最小
值为
A. 3 2
2
B. 2 －1 C. 2
2
－1 D. 2
2
8.已知函数 f(x)＝log3x，给出三个条件：①f(an)＝2n；②f(an)＝n；③f(an)＝ 1
n
。从中选出一个
能使数列{an}成等比数列的条件，在这个条件下，数列{an}的前 n 项和 Sn＝
A.3n－1 B.2n＋1－1 C. 1
2
(3n－1) D. 3
2
(3n－1)
9.已知函数 f(x)＝log4(x＋k)的图象如图所示，则 2f(2)＋2－f(2)＝
A.2 3 B.2 C. 4 3
3
D. 5
2
10.已知椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 F1、F2，B 是椭圆 C 的上顶点，
直线 x＝ 1
3
c 与直线 BF2 交于点 A，若∠AF1F2＝
4
，则椭圆 C 的离心率为
A. 5
5
B. 3
3
C. 2
2
D. 3
2
11.如图，已知四棱锥 S－ABCD 的底面是边长为 6 的菱形，∠BAD＝60°，AC，BD 相交于点
O，SO⊥平面 ABCD，SO＝4，E 是 BC 的中点，动点 P 在该棱锥表面上运动，并且总保持 PE
⊥AC，则动点 P 的轨迹的长为
A.3 B.7 C.13 D.8
12.已知曲线 C1：f(x)＝xex 在 x＝0 处的切线与曲线 C2：g(x)＝ alnx
x
(a∈R)在 x＝1 处的切线平
行，令 h(x)＝f(x)g(x)，则 h(x)在(0，＋∞)上
A.有唯一零点 B.有两个零点 C.没有零点 D.不确定
第 II 卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第
22～23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中横线上。
13.执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出 i 的值为 。
14.已知数列{an}是等差数列，a1≥－1，a2≤2，a3≥0，则 z＝3a1－a5 的最大值是 。
15.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，且对任意的 n∈N*，都有
2n 2 n
2n 1 n 2
na log an 1
n 2a a log n
，
则 S61＝ 。
16.已知函数 f(x)＝x3＋lg(x＋ 2x 1 )，若|a－1|·[f(2a－3)＋f(2)]>0，则实数 a 的取值范围
是 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(12 分)一年一度的剁手狂欢节——“双十一”，使千万女性朋友们非常纠结。2020 年双十一，
淘宝点燃火炬瓜分 2.5 个亿，淘宝、京东、天猫等各大电商平台从 10 月 20 号就开始预订，进
行了强大的销售攻势。天猫某知名服装经营店，在 10 月 21 号到 10 月 27 号一周内，每天销
售预定服装的件数 x(百件)与获得的纯利润 y(单位：百元)之间的一组数据关系如下表：
(1)若 y 与 x 具有线性相关关系，判断 y 与 x 是正相关还是负相关；
(2)试求 y 与 x 的线性回归方程；
(3)该服装经营店打算 11 月 2 号结束双十一预定活动，预计在结束活动之前，每天销售服装的
件数 x(百件)与获得的纯利润 y(单位：百元)之间的关系仍然服从(1)中的线性关系，若结束当
天能销售服装 14 百件，估计这一天获得的纯利润与前一周的平均利润相差多少百元？(有关计
算精确到小数点后两位)
参考公式与数据： 1
2
1
( )( )
ˆ ˆˆ, ,
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
y bx a b a y bx
x x
。
7
1
3487i i
i
x y
。
18.(12 分)在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且直线 x＝A 为函数 f(x)
＝ 3 sin2x＋2sin2x 图象的一条对称轴。
(1)求 A；
(2)若 a＝4，求△ABC 面积的最大值。
19.(12 分)如图，在三棱锥 S－ABC 中，已知△SAC 是正三角形，G 为△SAC 的重心，D，E
分别为 SC，AB 的中点，F 在 AB 上，且 AF＝ 1
3
AB。
(1)求证：DE∥平面 SGF；
(2)若平面 SAC⊥平面 ACB，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，求三棱锥 S－ABC 的体积。
20.(12 分)已知椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线 l 与椭
圆交于 A，B 两点，P 为椭圆的下顶点，△OPF2 为等腰三角形，当 l⊥x 轴时，△OAB 的面积
为 2
2
。
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若直线 l 不与坐标轴垂直，线段 AB 的中垂线 l'与 y 轴交于点 M，若直线 F1M 的斜率为 1
3
，
求直线 l 的方程。
21.(12 分)已知函数 f(x)＝ex，g(x)＝x2＋ax－x＋1。
(1)当 a＝2 时，令函数 h(x)＝
g x 2
f x
，若不等式 h(x)≤m 在区间[0，2]上有解，求实数 m 的
取值范围；
(2)令φ(x)＝(x－1)f(x)－ag(x)＋(a2－a)x＋a，当 a> 1
2
时，若函数φ(x)的极小值为－2a，求 a 的
值。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(10 分)[选修 4－4 坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过定点 P(3，0)，倾斜角为α(0
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