上海市普陀区2021届高三数学4月第二模试题（Word版附答案）

普陀区 2020 学年第二学期高三数学质量调研 2021.4 考生注意: 1.本场考试时间 120 分钟.试卷 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形 码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务 必填涂或书写在答 题纸上与试卷题号 对应的区域，不得 错位.在试 卷上 作答一律不得分. 4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题 . 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设全集 U }2,1,0,1{ ，若集合 }2,0,1{A ，则 ACU . 2. 若复数 i iz  2 （i 表示虚数单位），则 zIm . 3. 函数 xxy 1 的零点为 . 4. 曲线 xy 42  的顶点到其准线的距离为 . 5. 若 1)3cos(   ，则 cos . 6. 设棱长为 2 的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 . 7. 设 8)12( x 8 8 2 210 xaxaxaa   ，则  821 aaa  . 8. 设 无 穷 等 比 数 列 }{ na 的 前 n 项 和 为 nS ， 若 11 a ， 且   3lim 1   nn SS ， 则 公 比 q . 9. 设 x 、 y 均为非负实数且满足      022 0 yx yx ，则 yx 3 的最小值为 . 10. 某学校从 4 名男生、3名女生中选出 2 名担任招生宣讲员，则在这 2 名宣讲员中男、女生 各1 人的概率为 （结果用最简分数表示）. 11. 设 ),( yxM 是直线 3 yx 上的动点，若 21  x ，则 x y y x 11  的最大 值为 . 12. 如图，在△ ABC 中， 2 C ， 3AC ， 1BC . 若O 为△ ABC 内部的点且满足 0 ||||||  OC OC OB OB OA OA ，则 ||:||:|| OCOBOA . 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项.考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设 a 、b 均为非零实数且 ba  ，则下列结论中正确的是（ ） )A( 22   ba )B( 11   ba )C( 22 ba  )D( 33 ba  14. 设 167  m ，则双曲线 1716 22  m y m x 的焦点坐标是（ ） )A( )0,4( )B(  0,3 )C( )5,0(  )D(  4,0  15. 设 , 是两个不重合的平面， ml, 是两条不重合的直线，则“  // ”的一个充分非必 要条件是（ ） )A( l   ， m   且 //l ， //m )B( l   ， m   ，且 ml // )C( l ， m 且 ml // )D( //l ， //m ，且 ml // 16. 已知函数 x x xf 31 3)(  ，设 ix （ 3,2,1i ）为实数，且 0321  xxx . 给出下列结论： 1 若 0321  xxx ，则 2 3)()()( 321  xfxfxf ； 2 若 0321  xxx ，则 2 3)()()( 321  xfxfxf . 其中正确的是（ ） )A( ①与②均正确 )B( ①正确，②不正确 )C( ①不正确，②正确 )D( ①与②均不正确 （第 12 题） 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写 出必要的 步骤. 17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图，设底面半径为 2 的圆锥的顶点、底面中心依次为 P 、O ， AB 为其底面的直 径. 点C 位于底面圆周上，且 90BOC . 异面直线 PA与CB 所成角的大小为 60 . （1）求此圆锥的体积； （2）求二面角 OBCP  的大小（结果用反三角函数值表示）. 18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 设函数 xxf 2log)(  （ 0x ）的反函数为 )(1 xf  . （1）解方程： 0)(2)2(  xfxf ； （2）设 )(xgy  是定义在 R 上且以 2 为周期的奇函数.当 10  x 时， )()( 1 xfxg  ，试 求 )10(log2g 的值. 19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分） 如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为 iA （ 4,3,2,1i ）， 3021 AA 米， 120412  AAA ，D 为对角线 42 AA 和 31AA 的交点.他以 2A 、 4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与 21AA 相交于 1A 、另一段弧与 43AA 相交于 3A ，这 两段弧恰与 42 AA 均相交于 D .设  DAA 21 . （1）若两段圆弧组成“甬路” L （宽度忽略不计），求 L 的长（结果精确到1 米）； （2）记此园地两个扇形面积之和为 1S ，其余区域的面积为 2S .对于条件（1）中的 L ， 当 12.0 2 1 31  S S AA L 时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理 P A B C O （第 17 题） 1A 2A 3A 4A D （第 19 题） 由. 20.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 已知曲线  : 1243 22  yx 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，直线l 经过 1F 且与  相交于 A 、 B 两点. （1）求△ 21AFF 的周长； （2）若以 2F 为圆心的圆截 y 轴所得的弦长为 22 ，且l 与圆 2F 相切，求l 的方程； （3）设 l 的一个方向向量 ),1( kd  ，在 x 轴上是否存在一点 M ，使得 |||| MBMA  且 5 5tan MAB ？若存在，求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 记实数 a 、b 中的较大者为 },max{ ba ，例如 2}2,1max{  ， 1}1,1max{  .对于无穷数 列 }{ na ，记 },max{ 212 kkk aac  （ *Nk ），若对于任意的 *Nk ，均有 kk cc 1 ，则称数 列 }{ na 为“趋势递减数列”. （1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列 }{ na 是否为“趋势递减数列”，并说明理由. ① n na    2 1 ， ② 2sin nan  ； （2）设首项为1 的等差数列 }{ nb 的前 n 项和为 nS 、公差为 d ，且数列 }{ nS 为“趋势递减数 列”，求 d 的取值范围； （3）若数列 }{ nd 满足 1d 、 2d 均为正实数，且 || 12   nnn ddd ，求证： }{ nd 为“趋势递减 x y 1F 2FO （第 20 题） 数列”的充要条件为 }{ nd 的项中没有 0 . 2020 学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1． }1{ 2. 2 3. 1 4.1 5. 2 1 6. 12 7. 0 8. 2 1 9. 3 10. 7 4 11. 2 63  12. 1:2:4 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项.考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 题号 13 14 15 16 答案 D B C A 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤. 17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 解: （1）设圆锥的高为 h .以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 所在的直线分别为 x 、 y 、 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.根据题设条件，可得 )0,0,2(C 、 ),0,0( hP 、 )0,2,0( A 、 )0,2,0(B . ),2,0( hPA  ， )0,2,2(CB ……3 分 由异面直线 PA与CB 所成角的大小为 60 ， 得 2 1 444 |0)(2)2()2(0| |||| 60cos 2      h h CBPA CBPA ， 解得 2h .……5 分 圆锥的体积 V  3 8223 1 3 1 2 sh .…………6 分 （2）取 BC 的中点 D , 连接OD 、 PD . 由 OCOB  ，得 BCOD  ；再由 PCPB  ，得 BCPD  . P A B C O x y D 所以 PDO 即为二面角 OBCP  的平面角.……10 分 PO  圆锥的底面，所以 ODPO  ，故 POD 为直角三角形. 在△ POD 中， 22 1  BCOD ， 2PO ，故 PDOtan 2 OD PO ……13 分 即 PDO 2arctan ，故二面角 OBCP  的大小为 2arctan …………14 分 （坐标法比照给分） 18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 解：（1） 0)(2)2(  xfxf 0log2)2(log 22  xx （*）……2 分 将（*）变形，得 2 22 log)2(log xx  ，……3 分 即 022  xx ，解得 2x 或 1 .……5 分 经检验 1x 为增根.所以原方程的解集为 }2{ .……6 分 （2） xxf 2)(1  （ Rx ），所以当 10  x 时， xxg 2)(  ……9 分， 由于 )(xgy  是定义在 R 上且以 2 为周期的奇函数， 所以对于任意实数 x ，均有 )()2( xgxg  ， )()( xgxg  .……11 分 故 )8 5(log)410(log)10(log 222 ggg  ……12 分 又因为 18 50  ，所以 08 5log2  ，故 5 82)5 8(log)8 5(log 5 8log 22 2  gg 即 5 8)10(log2 g ……14 分 19. （本题满分 14 分，第（1）问 7 分，第（2）问 7 分） 解：（1）根据题设条件，可得在△ 421 AAA 中， 2142 2 AAAA  .……1 分 由 正 弦 定 理 ， 得 241 21 412 42 sinsin AAA AA AAA AA  ， 即 4 3 3 2sin2 1sin 241  AAA .……3 分 故 4 3arcsin3   ……4 分，所以 aL 2 ……5 分 1A 2A 3A 4A D 当 30a 时， L        4 3arcsin360   36 米.答：甬路 L 的长约为 36 米.……7 分 （2）由（1）得 60L ，在△ DAA 21 中，由余弦定理，得 cos180018002 1 DA ， 故 31 AA  cos2260  ，所以  31 AA L   cos22  ……10 分（按思维框架给 分） 9001 S ， )sin2(9002  S ，故    sin22 1 S S ……13 分（按思维框架给 分） 当 4 3arcsin3   时， 12.01181.0sin2cos22       . 所以此人的设计是“用心”的.……14 分 20. （本题满分 16 分，第（1）问 4 分，第（2）问 6 分，第（3）问 6 分） （ 1 ） 根 据 题 设 条 件 ， 可 得 134 22  yx ， 故 2a ， 根 据 椭 圆 定 义 ， 可 知 42|||| 21  aAFAF ，……1 分 1c ， 22|| 21  cFF …2 分 由 6|||||| 2121  FFAFAF ，得△ 21AFF 的周长为 6 .…………4 分 （ 2 ） 设 圆 2F 的 方 程 为 222)1( ryx  （ 0r ） 令 0x ， 得 2 1y r   ， 故 22 1 2 2r   ，得 3r  .……6 分 由 l 与圆 2F 相切，得 )0,1(2F 到直线 l ： )1(  xky 的距离 3 1 ||2 2    k kd .解得 3k ，…8 分 故直线l 的方程为 )1(3  xy .……10 分 （3）假设在 x 轴上存在一点 )0,( 0xM ，设直线l 的方程为 )1(  xky （ 0k ）， 将直线l 的方程和椭圆的方程联立，得      1243 )1( 22 yx xky ， 消去 y 并整理，得 0)3(48)43( 2222  kxkxk ，必有 0 令 ),( 11 yxA ， ),( 11 yxB ，则          2 2 21 2 2 21 43 124 43 8 k kxx k kxx ……12 分  )1()(|| 22 21 kxxAB )1](4)[( 2 21 2 21 kxxxx   2 2 43 )1(12 k k   ……13 分 故线段 AB 的中点C 的坐标为        22 2 43 3,43 4 k k k k ， 则线段 AB 中垂线 1l 的方程为        2 2 2 43 41 43 3 k kxkk ky ……14 分 令 0y ，得 0x 2 2 43 k k  ，点 M        0,43 2 2 k k 到直线 l 的距离 2 2 43 1||3 k kkd   …… 15 分 又因为 |||| MBMA  ，所以 5 5 ||2 1tan  AB dMAB ，即 2 2 43 1||3 k kk    2 2 43 )1(12 10 5 k k   化简得 ||15 52 2 kk  ，解得 42 k ，故 )0,19 4(M .……16 分 21. （本题满分 18 分，第（1）问 4 分，第（2）问 6 分，第（3）问 8 分） 解：（1）①中 02 1 12 12        k ka ， 02 1 2 2      k ka 得 k kc    4 1 （ k 为正整数）且 04 1 4 3 1    k kk cc ，故①数列满足“趋势递减数列”的定义，故为“趋 势递减数列”. ② 1 12 )1(    k ka ， 02 ka ， 0, 2 1, 2 1k k lc k l     （l 为正整数），其中 23 cc  ， 故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”.……4 分 （2）由数列 }{ nS 为“趋势递减数列”，得 },{},max{ 432211 SScSSc  .……5 分 ①若 21 SS  ，则 0122  SSa ,即 01  da ，也即 01  d ，故 1d . 此时   naaa 320 ，所以   nSSSSS 4321 故 11212   kkkk cSSc （ *Nk ），满足条件.……7 分 ②若 21 SS  ，则 32 SS  ，得 1d ； 0233  SSa ， 021  da ， 即 021  d ，解得 2 1d ，所以 2 11  d .同理可以验证满足条件……9 分 由①②可得， 2 1d .………………10 分 （3）先证明必要性：用反证法. 假设存在正整数 m )3( m ,使得 0md ，则令 add mm   21 则数列 }{ nd 从 1md 项开始以后的各项为 ,0,,,0,, aaaa ，故 acc kk  1 ，与 }{ nd 是“趋势递减数列”矛盾.……14 分 再证明充分性： 由 || 12   nnn ddd ，得 },max{ 12   nnn ddd ……15 分 因为 }{ nd 中的项没有0 ，所以对于任意正整数 n ， 0nd .于是 032 kd （ k 为正 整数） 所以 2212   kk dd ……16 分 1 当 2212   kk dd 时 ， kkkkkkk cddaddc   },max{},max{ 2121222121 ……17 分 2 当 2212   kk dd 时， kkkkkkk cdddddc   },max{},max{ 2122222121 所以均有 kk cc 1 故 }{ nd 为“趋势递减数列”的充要条件是数列 }{ nd 的项中没有0 .……18 分