上海市虹口区2021届高三数学4月第二模试题（Word版附答案）

虹口区 2020 学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试 高三数学 试 卷 （时间 120 分钟，满分 150 分） 2021.4 一．填空题（1～6 题每小题 4 分，7～12 题每小题 5 分，本大题满分 54 分） 1．已知集合  RxyyA x  ,10 ，  212  xxyyB ， ，则  BA ． 2．    13 13lim n n n _____________. 3．在 6)1( xx  的二项展开式中，常数项是 ． 4．某班级要从 4 名男生和 3 名女生中选取 3 名同学参加志愿者活动，则选出的 3 人中既 有男生又要有女生的概率等于 ． 5．给出下列命题： ①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； ②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行； ③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 其中所有正确命题的序号为 ． 6．已知 P 为抛物线 )0(2: 2  ppxyC 上一点，点 P 到抛物线C 的焦点的距离为 7，到 y 轴的距离为 5，则 p ． 7．若  cossin k ，则  cossin  的值等于 （用 k 表示）． 8 ． 设 函 数 )(xf 的 定 义 域 为 D . 若 对 于 D 内 的 任 意 1x , 2x )( 21 xx  ， 都 有 0)]()()[( 1212  xfxfxx ，则称函数 )(xf 为“Z 函数”.有下列函数：① 1)( xf ；② 12)(  xxf ； ③ 3)( xxf  ；④ xxf lg)(  .其中“Z 函数”的序号是 （写出所有的正确序号） 9．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于18( 3cm )．若该三棱柱的所有顶点都在球O 的 表面上，则球O 的体积等于________( 3cm ). 10 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 定 义 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 两 点 的 折 线 距 离 2121),( yyxxBAd  .设点 ),( 22 nmP ， ),( nmQ ， )0,0(O ， )0,2(C ，若 1),( OPd ， 则 ),( CQd 的取值范围 ． 11 ． 已 知 MN 为 圆 122  yx 的 一 条 直 径 ， 点 ),( yxP 的 坐 标 满 足 不 等 式 组       2 0103 02 y yx yx ，则 PNPM  的取值范围是 ． 12．在数列 na 中，对任意  Nn ， kan  ，当且仅当 Nkn kk   ,22 1 ，若满足 5216842  mmmmm aaaaa ，则m 的最小值为_______. 二．选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 13．双曲线 13 2 2  yx 的两条渐近线的夹角的大小等于……………………（ ） .A 6  .B 3  .C 3 2 .D 6 5 14．已知函数 )2sin(2)(  xxf ，则“ 2   ”是“ )(xf 为偶函数”的（ ）条件 .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条 件 15．复数 z 满足 1z ，且使得关于 x 的方程 02  zxzx 有实根，则这样的复数 z 的个数 为…………（ ） .A 1 个 .B 2 个 .C 3 个 .D 4 个 16．在平面上，已知定点 )0,2(A ，动点 )cos,(sin P ．当 在区间     4,4  上变化时， 动线段 AP 所形成图形的面积为……………………（ ）． .A 42  .B 33  .C 6  .D 4  三．解答题（本大题满分 76 分） 17．（本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.） 在三棱锥 ABCP  中， 22 ACPCPBPA ， 2 BCBA ，O 是线段 AC 的 中点， M 是线段 BC 的中点． （1）求证： PO 平面 ABC ； （2）求直线 PM 与平面 PBO 所成的角的大小． 18．（本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.） 设 0a 且 1a ， Rt  ， 已 知 函 数 )2(log2)(),1(log)( txxgxxf aa  ． （1）当 1t 时，求不等式 )()( xgxf  的解； （2）若函数 12)( 2)(  ttxaxF xf 在区间  2,1 上有零点，求t 的取值范围． 19．（本题满分 14 分.第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.） 如图某公园有一块直角三角形 ABC 的空地，其中 2 ACB ， 6 ABC ， AC 长 a 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域 DEF 建文化景观区，其中 D 、E 、F 分别在 BC 、 AC 、 AB 上．设 DEC . （1）若 3   ，求 DEF 的边长； （2）当 多大时， DEF 的边长最小？并求出最小值. 20．（本题满分 16 分.第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 6 分） 已知椭圆C 的方程为 12 2 2  yx . （1）设 ),( MM yxM 是椭圆C 上的点，证明：直线 12  yyxx M M 与椭圆C 有且只有一个 公共点； （2）过点 )21( ，N 作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为 A 、B ，点 N 在直线 AB 上的射影为点Q ，求点Q 的坐标； （3）互相垂直的两条直线 1l 与 2l 相交于点 P ，且 1l 、 2l 都与椭圆C 只有一个公共点，求 点 P 的轨迹方程． 21．（本题满分 18 分.第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分）. 若数列 na 满足“对任意正整数i ， j ， ji  ，都存在正整数 k ，使得 jik aaa  ”，则 称数列 na 具有“性质 P ”． （1）判断各项均等于 a 的常数列是否具有“性质 P ”，并说明理由； （2）若公比为 2 的无穷等比数列 na 具有“性质 P ”，求首项 1a 的值； （3）若首项 21 a 的无穷等差数列 na 具有“性质 P ”，求公差 d 的值. 虹口区 2020 学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试 高三数学试题答案 一. 填空题（1～6 题每小题 4 分，7～12 题每小题 5 分，本大题满分 54 分） 1.  4,1 ； 2. 1； 3. 20； 4. 7 6 ； 5. ②③； 6. 4； 7. 21 k k  ； 8. ③④； 9. 3 728  ； 10. ]22,1[  ； 11.  19,1 ； 12. 512； 二. 选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 13. B ； 14. A ； 15.C ； 16. D ； 三. 解答题（本大题满分 76 分） 17.（14 分）解:（1）由 2 BCBA ， 22AC ，有 2 2 2BA BC AC  ，从而有 2ABC   ， BO AC 且 2BO  .…………………………3 分 又 PAC 是边长等于 2 2 的等边三角形， ACPO  ， 6PO  .又 2 2PB  ， 从而有 2 2 2PB PO BO  ， 2POB   ， BOPO  .又 OBOAC  ， PO 平 面 ABC .………7 分 （2）过点 M 作 BOMN  交 BO 于点 N ，连 PN . 由（1）知 PO 平面 ABC ，得 POMN  ，又 BOMN  ， MN 平面 ABC ， MPN 是直线 PM 与平面 PBO 所成的角.………………10 分 由 （ 1 ） 证 BO AC ， 从 而 N 为 线 段 BO 的 中 点 ，  2 2 4 1 2 1  ACOCMN ， 71)22( 222  MCPCPM ，  14 14 7 2 2 sin  PM MNMPN ， 14 14arcsinMPN . 所以直线 PM 与平面 PBO 所成的角的大小等于 14 14arcsin .……………………14 分 注：用空间向量解答的相应给分 18.（14 分）解：(1) 1t ，不等式 )()( xgxf  可化为 )12(log2)1(log  xx aa 若 10  a ，则      012 )12(1 2 x xx ，解得 4 5 2 1  x ，不等式 )()( xgxf  的解集为     4 5 2 1， . 若 1a ，则      012 )12(10 2 x xx ，解得 4 5x ，不等式 )()( xgxf  的解集为      ,4 5 . 综上所述： 10  a ， )()( xgxf  的解集为     4 5 2 1， ； 1a ， )()( xgxf  的解集为      ,4 5 .…7 分 （2） 2212112)( 222)(  txtxttxxttxaxF xf .…………8 分 令 0222  txtx ，即 )2()2( 2  xxt ，∵  2,1x ，∴  4,12x ， ∴ 02,0 2  xt ；∴ 4]2 2)2[(2 21 2   xxx x t .……………………11 分 设  4,12 xm ， 4)2(2 21 2   mmx x t ， 得： 2241001 2 1  tt 或 ， 解得 4 222  tt 或 .……………………………………14 分 19.（14 分）解：（1）设 DEF 的边长为 x 千米. 由 3   ，得 xCE 2 1 ， xaAE 2 1 . 在 AEF 中， 33  FEA ， 3 A ， AEF 为等边三角， 得 xaxAE 2 1 ,解得 ax 3 2 . 所以 DEF 的边长等于 a3 2 千米. ………………6 分 （2）设 DEF 的边长为 x 千米.  cosxCE  ， cosxaAE  ……8 分 在 AEF 中，   3 2FEA ， 3 A ， EFA ，    sin cos 3sin xax  ，解得 )2 3arctansin(7 3 )cos 7 3sin 7 2(7 3 cos3sin2 3        aaax ， 当 22 3arctan   ， 2 3arctan2   时， 7 21 7 3 min aax  .……………… 13 分 所以当 2 3arctan2  时， DEF 的边长取得最小值为 7 21a 千米.……14 分 20.（16 分）解：解：（1）当 0My 时， 2Mx ，直线 12  yyxx M M 即直线 2x ， 与椭圆C 只有一个公共点. 当 0My 时 ， 由         12 12 2 2 yx yyxx M M 得 011)42 1 22 2 2 2  MM M M M yxy xxy x（ ， 2 22 22 2 4 2 22)11)(42 1(4 M MM MM M M M y xy yy x y x  ，又 12 2 2  M M yx ，有 0 ，从而方 程组只有一组解，直线 12  yyxx M M 与椭圆C 的有且只有一个公共点.…………4 分 （2）设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB .则两条直线为 12 1 1  yyxx ， 12 2 2  yyxx ，又 )21( ，N 是它们的交点， 122 1 1  yx ， 122 2 2  yx ，从而有 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 的坐标满足 直线方程 122  yx ，所以直线 AB ： 122  yx .………………8 分 直线 NQ 的方程为 )1(222  xy ，由      )1(222 122 xy yx 解得         3 2 3 2 y x ，即 )3 2,3 2(Q ，………………10 分 由      12 )1(2 2 2 yx xky 得 02)2(2)2(4)12( 222  kxkkxk ，由 0 ，得 01222  kk ，得 32 k ，……，相应的给分） （3）设 ),( 00 yxP . 当直线 1l 与 2l 有一条斜率不存在时， )1,2( P ， 32 0 2 0  yx .…………11 分 当 直 线 1l 与 2l 的 斜 率 都 存 在 时 ， 设 为 1k 和 2k ， 由      12 )( 2 2 00 yx yy 得 0)12(2)(4)21( 00 2 0 2 0 2 00 22  ykxyxkxkxykxk ， 由 0)12(2)21(4)](4[ 00 2 0 2 0 222 00  ykxyxkkkxyk ， 整 理 得 012)2( 2 000 22 0  ykyxkx ， 22 0 x ， 1k 和 2k 是 这 个 方 程 的 两 个 根 ，  有 12 1 2 0 2 0 21   x ykk ，得 32 0 2 0  yx ， 所以点 P 的轨迹方程是 322  yx .…………………………16 分 21.（18 分）解：（1）若数列 na 具有“性质 P ”，由已知对于任意正整数i ， j ， ji  ，， 都存在正整数 k ，使得 jik aaa  ，所以 2aa  ,解得 0a 或 1a .…………3 分 所以当 0a 或 1a 时，常数数列满足“性质 P ”的所有条件，数列具有“性质 P ”；当 0a 且 1a 时，数列 na 不具有“性质 P ”.……………………4 分 （2）对于任意正整数i ， j ， ji  ，存在正整数 k ，使得 jik aaa  ，即 1 1 1 1 1 1 222   jik aaa ， jika  1 1 2 ，令 Zmjik 1 ，则 ma 21  .……6 分 当 1m 且 Zm 时，则 11 1 22   nmn n aa ，对任意正整数i ， j ， ji  ，由 jik aaa  得 111 222   jmimkm ,得 1 mjik ，而 1 mji 是正整数，所以存在 正整数 1 mjik 使得 jik aaa  成立,数列具有“性质 P ”.……8 分 当 2m 且 Zm 时，取 2,1  ji ，则 021  mmji ，正整数 k 不存在， 数列不具有“性质 P ”. 综上所述 ma 21  ， 1m 且 Zm .………………10 分 （3） dnan )1(2  .对于任意的正整数 n ,存在整数 k ，使得 nk aaa  1 得 12 2  nkd .…………12 分 对于任意的正整数 n ,存在整数 1k 和 2k ，使得 nk aaa  11 ， nk aaa  22 ，两式相减得 dkkdan )( 12  . 当 0d 时，显然不合题意. 当 0d 时，得 12 kkan  ，是整数，从而得到公差 d 也是整数.…………14 分 若 0d 时，此数列是递减的等差数列，取满足      2)( 0 1 2 aa a m m 正整数 m ，解得         122 12 dm dm ，由 1 2 1 aaaa mmm   ，所以不存在正整数 k 使得 kmm aaa  1 成立.从 而 0d 时，不具有“性质 P ”.…………16 分 当 1d 时，数列 2，3，4，……， 1n ，……，对任意正整数i ， j ， ji  ，由 jik aaa  得 )1()1(1  jik ,得 jijik  ，而 jiji  是正整数，从而数列具有“性质 P ”. 当 2d 时，数列 2，4，6，……， n2 ，……，对任意正整数i ， j ， ji  ，由 jik aaa  得 jik 222  ,得 jik  2 ，而 ji2 是正整数，从而数列具有“性质 P ”. 综上所述 1d 或 2d .……………………18 分