热点 9 立体几何
命题趋势
立体几何一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考
的一个热点，理科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表
面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题
主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题.
本专题针对高考高频知识点以及题型进行总结，希望通过本专题的学习，能够掌握高考数学
中的立体几何的题型，将高考有关的立体几何所有分数拿到.
满分技巧
基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的
直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角
有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利
用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.
内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.
求点到平面的距离问题：采用等体积法.
求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.
对于二面角问题应采用建立立体坐标系去求.但是坐标系要注意采用左手系务必要标记
准确对应点以及法向量对应的坐标.
限时检测
1．（2020·湖北高三月考）已知 ,a b 是两条不同的直线， , , 是三个不同的平面，则下列
命题中正确的是（ ）
A．若 a ， b ， / /a b ，则 / /
B．若 / /a b ， a ， ，则 b / /
C．若 ， a ， a b
r r ，则 b
D．若 , ,a b ，则 a b
r r
2．（2021·全国高三专题练习（理））祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既
同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh柱体 ，其中 S 是
柱体的底面积， h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）
A．158 B．162
C．182 D．32
3．（2020·全国高三其他模拟）如图所示，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AC BC ，且
3BC ， 4AC ， 1 3CC ，点 P 在棱 1AA 上，且三棱锥 A PBC 的体积为 4 ，则直线 1BC
与平面 PBC 所成角的正弦值等于（ ）
A． 10
4
B． 6
4
C． 10
5
D． 15
5
4．（2020·全国高三专题练习（理））已知四面体O ABC ，G 是 ABC 的重心，且
3OP PG ，若OP xOA yOB zOC
uuur uur uuur uuur ，则 ( )x y z， ， 为（ ）
A． 1 1 1( )4 4 4
， ， B． 1 1 1( )3 3 3
，， C． 2 2 2( )3 3 3
，， D． 3 3 3( )4 4 4
， ，
5．（2021·全国高三专题练习）如图四面体 A BCD 中， 2,AD BC AD BC ，截面
四边形 EFGH 满足 / /EF BC； / /FG AD ，则下列结论正确的个数为（ ）
①四边形 EFGH 的周长为定值
②四边形 EFGH 的面积为定值
③四边形 EFGH 为矩形
④四边形 EFGH 的面积有最大值 1
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2021·全国高三专题练习（理））已知直三棱柱 1 1 1C C 中， C 120 ，
2 ， 1C CC 1 ，则异面直线 1 与 1C 所成角的余弦值为（ ）
A． 3
2
B． 15
5
C． 10
5
D． 3
3
7．（2020·黑龙江高三期中（理））如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D
中， P 在线段 1BC （含端点）上运动，则下列判断不正确的是（ ）
A． 1 1A P B D B．三棱锥 1D APC 的体积不变，为 8
3
C． 1 //A P 平面 1ACD D． 1AP 与 1D C 所成角的范围是 0, 3
8．（2020·全国高三专题练习（理））已知空间向量 , ,a b c
两两的夹角均为60 ，且| | | | 1a b ，
| | 2c
.若向量 ,x y
r ur 满足 ( )x x a x b ， ( )y y a y c ，则 x y
的最大值是（ ）
A．1 3 B． 31 2
C． 1 32
D． 1 3
2 2
9．（2020·福建高三学业考试）如图，已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB ， 3BC ，
1 5AA ，则该长方体截去三棱锥 1 1 1A AB D 后，剩余部分几何体的体积为_______.
10．（2020·高三月考（理））已知三棱锥 P ABC 中， ABC 是以
角 A为直角的直角三角形， 2AB AC ，PB PC ， 14PA ， 1O 为 ABC 的外接
圆的圆心， 1
2 7cos 7PAO ，那么三棱锥 P ABC 的外接球的体积为______；
11．（2020·全国高三月考（理））已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 5，其中有一半径
为 2 的球 1O 与该正方体的底面 ABCD 和两个侧面 1 1ADD A ， 1 1ABB A 都相切，另有一球 2O ，
既与正方体的另外两侧面 1 1BCC B ， 1 1DCC D 以及底面 ABCD 相切，又与球 1O 相切，则球
2O 的半径为______．
12．（2020·四川泸州市·高三一模（理））如图，棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P
为线段 1A B 上的动点（不含端点），给出下列结论：
①平面 1 1A D P 平面 1A AP ；
②多面体 1CDPD 的体积为定值；
③直线 1D P 与 BC 所成的角可能为
3
；
④ 1APD△ 可能是钝角三角形．
其中正确结论的序号是______（填上所有正确结论的序号）．
13．（2020·全国高三专题练习（理））在三棱锥 P ABC 中，PA 底面 ABC ，AB BC ，
3PA ， 3AB ， 2BC ，若 E，F 是 PC 的三等分点，则异面直线 AE 与 BF 所成角
的余弦值_________.
14．（2021·福建省高三期中）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABC ，
/ / , 90AD BC ABC ， 2AD ， 2 3AB ， 6BC ．
（1）求证：平面 PBD 平面 PAC ；
（2） PA 长为何值时，直线 PC 与平面 PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值．
15．（2021·全国高三专题练习（理））如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA
⊥平面 ABCD ， E 为 PD 的中点.
（1）证明： PB ∥平面 AEC ；
（2）设二面角 D AE C 为 60°， AP =1， AD = 3 ，求三棱锥 E ACD 的体积.
16．（2020·河南高三月考（理））如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， ABC 是边长为 2 的正
三角形， 1AB BB ， 1 2BB ，O ， D 分别为棱 1AB ， 1 1AC 的中点.
（1）求证： / /OD 平面 1 1BCC B ﹔
（2）若平面 ABC 平面 1 1ABB A ，求直线OD 与平面 1AB C 所成角的正弦值.
17．（2020·山西省榆社中学高三月考（理））如图 1，在 Rt ABC△ 中， 30ACB ，
90ABC ，D 为 AC 中点， AE BD 于 E，延长 AE 交 BC 于 F，将 ABD△ 沿 BD 折
起，使平面 ABD 平面 BCD，如图 2 所示．
（I）求证： AE ⊥ 平面 BCD；
（Ⅱ）求二面角 A DC B 的余弦值；
18．（2021·山东高三专题练习）如图所示，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PDC 是边长为 2 的
正三角形且与底面垂直，底面 ABCD 是 ADC 60 的菱形， M 为 PB 的中点.
（1）求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小；
（2）求证： PA 平面 CDM ；
（3）求二面角 D MC B 的余弦值.
答案与解析
1．（2020·湖北高三月考）已知 ,a b 是两条不同的直线， , , 是三个不同的平面，则下列
命题中正确的是（ ）
A．若 a ， b ， / /a b ，则 / /
B．若 / /a b ， a ， ，则 b / /
C．若 ， a ， a b
r r ，则 b
D．若 , ,a b ，则 a b
r r
【答案】D
【解析】对于 A：若 a ， b ， / /a b ，则 / / 或 与 相交，故 A 错误；
对于 B：若 / /a b ， a ， ，则b 与 平行或b ，故 B 错误；
对于 C：若 ， a ， a b
r r ，则 b 或b 与 相交或平行，故 C 错误；
对于 D：若 , ,a b ，如图
设b B ，过 B 作 BC l l ，因为 ， BC ，所以 BC ，所
以 //BC a ，因为 b BC ，所以b a ，故 D 正确；故选：D
2．（2021·全国高三专题练习（理））祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既
同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh柱体 ，其中 S 是
柱体的底面积， h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）
A．158 B．162
C．182 D．32
【答案】B
【解析】由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一
个上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为
2 6 4 63 3 6 1622 2
.
3．（2020·全国高三其他模拟）如图所示，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AC BC ，且
3BC ， 4AC ， 1 3CC ，点 P 在棱 1AA 上，且三棱锥 A PBC 的体积为 4 ，则直线 1BC
与平面 PBC 所成角的正弦值等于（ ）
A． 10
4
B． 6
4
C． 10
5
D． 15
5
【答案】C
【解析】由已知得 1AA 底面 ABC ，且 AC BC ，
所以 1 1 1 3 4 43 3 2A PBC P ABC ABCV V S PA PA △ ，解得 2PA .
如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、 1CC 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直
角坐标系，
则 0,0,0C 、 0,4,2P 、 3,0,0B 、 1 0,0,3C ，
则 3,0,0CB ， 0,4,2CP ， 1 3,0,3BC
.
设平面 BCP 的法向量为 , ,n x y z
，
则由 0
0
n CB
n CP
可得 3 0
4 2 0
x
y z
，即 0
2 0
x
y z
，得 0x ，令 1y ，得 2z ，
所以 0,1, 2n 为平面 BCP 的一个法向量.
设直线 1BC 与平面 PBC 所成的角为 ，
则
1
1 2 22 2
1
6 10sin cos , 53 3 1 2
n BC
n BC
n BC
.
故选：C.
4．（2020·全国高三专题练习（理））已知四面体O ABC ，G 是 ABC 的重心，且
3OP PG ，若OP xOA yOB zOC
uuur uur uuur uuur ，则 ( )x y z， ， 为（ ）
A． 1 1 1( )4 4 4
， ， B． 1 1 1( )3 3 3
，， C． 2 2 2( )3 3 3
，， D． 3 3 3( )4 4 4
， ，
【答案】A
【解析】连接 AG 交 BC 于点 E ，则 E 为 BC 中点，
1 1( ) ( 2 )2 2AE AB AC OB OA OC ，
则 2 1 ( 2 )3 3AG AE OB OA OC ，∵ 3 3( )OP PG OG OP ，∴ 3
4OP OG ，
∴ 3 3 3 1 2 1 1 1 1( ) ( )4 4 4 3 3 3 4 4 4OP OG OA AG OA OB OA OC OA OB OC ，
故 1
4x y z
故选：A.
5．（2021·全国高三专题练习）如图四面体 A BCD 中， 2,AD BC AD BC ，截面
四边形 EFGH 满足 / /EF BC； / /FG AD ，则下列结论正确的个数为（ ）
①四边形 EFGH 的周长为定值
②四边形 EFGH 的面积为定值
③四边形 EFGH 为矩形
④四边形 EFGH 的面积有最大值 1
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】因为 //EF BC EF ， 平面 BCD，所以 //EF 平面 BCD，又平面 EFGH 平面
BDC GH ，所以 //EF GH .
同理 //FG EH ，所以四边形 EFGH 为平行四边形，
又 AD BC ，所以四边形 EFGH 为矩形.所以③是正确的；
由相似三角形的性质得 EF AF FC FG
BC AC AC AD
， ，
所以 EF FG AF FC
BC AD AC AC
， 2BC AD ，所以 2EF FG ，
所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，所以①是正确的；
2
12EFGH
EF FGS EF FG
，所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1，所以④是正
确的.
因为①③④正确.
故选：D
6．（2021·全国高三专题练习（理））已知直三棱柱 1 1 1C C 中， C 120 ，
2 ， 1C CC 1 ，则异面直线 1 与 1C 所成角的余弦值为（ ）
A． 3
2
B． 15
5
C． 10
5
D． 3
3
【答案】C
【解析】
如图所示，补成直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D ，
则所求角为
2
1 1 1 1, 2, 2 1 2 2 1 cos60 3, 5BC D BC BD C D AB ，
易得 2 2 2
1 1C D BD BC ，因此 1
1
1
2 10cos 55
BCBC D C D
，故选 C．
7．（2020·黑龙江高三期中（理））如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D
中， P 在线段 1BC （含端点）上运动，则下列判断不正确的是（ ）
A． 1 1A P B D B．三棱锥 1D APC 的体积不变，为 8
3
C． 1 //A P 平面 1ACD D． 1AP 与 1D C 所成角的范围是 0, 3
【答案】B
【解析】对于 A 选项，连接 1A B 、 1 1AC 、 1AP 、 1 1B D ，
因为四边形 1111 DCBA 为正方形，则 1 1 1 1AC B D ，
1DD Q 平面 1111 DCBA ， 1 1AC 平面 1111 DCBA ， 1 1 1AC DD ，
1 1 1 1B D DD D ， 1 1AC 平面 1 1BB D D ，
1B D 平面 1 1BB D D ， 1 1 1B D AC ，同理可证 1 1B D A B ，
1 1 1 1AC A B A ， 1B D 平面 1 1A BC ，
1A P 平面 1 1A BC ，因此， 1 1A P B D ，A 选项正确；
对于 B 选项，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1//AB C D 且 1 1AB C D ，
所以，四边形 1 1ABC D 为平行四边形， 1 1//BC AD ，
1BC 平面 1ACD ， 1AD 平面 1ACD ， 1 //BC 平面 1ACD ，
1P BC ，所以，点 P 、 B 到平面 1ACD 的距离相等，
所以，
1 1 1 1
21 1 42 23 2 3D APC P ACD B ACD D ABCV V V V ，B 选项错误；
对于 C 选项，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1//AA CC 且 1 1AA CC ，
所以，四边形 1 1AAC C 为平行四边形， 1 1//AC AC ，
1 1AC 平面 1ACD ， AC 平面 1ACD ， 1 1 //A C 平面 1ACD ，
同理可证 1 //BC 平面 1ACD ，
1 1 1 1AC BC C ，平面 1 1 //A BC 平面 1ACD ，
1A P 平面 1 1A BC ， 1 //A P 平面 1ACD ，C 选项正确；
对于 D 选项，易知 1 1 1 1 2 2A B AC BC ，所以， 1 1A BCV 是等边三角形， 1 1 3BAC ，
在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1//BC A D 且 1 1BC A D ，
所以，四边形 1 1A BCD 为平行四边形， 1 1//DC A B ，
所以， 1AP 与 1D C 所成角等于 1BA P ，
当 P 在线段 1BC （含端点）上运动时， 1 1 10 3BA P BAC ，D 选项正确.
故选：B.
8．（2020·全国高三专题练习（理））已知空间向量 , ,a b c
两两的夹角均为60 ，且| | | | 1a b ，
| | 2c
.若向量 ,x y
r ur 满足 ( )x x a x b ， ( )y y a y c ，则 x y
的最大值是（ ）
A．1 3 B． 31 2
C． 1 32
D． 1 3
2 2
【答案】C
【解析】取一三棱锥O ABC ， , ,OA a OB b OC c ，
且 60AOB AOC BOC ， 1, 2OA OB OC ，所以 1AB ，
2 2 2 cos 1 4 2 33AC BC OB OC OB OC ，
令 ,AD x AE y ，
因为 ( )x x a x b ， ( )y y a y c ，
根据数量积的运算率可知： ( ) 0x b a x ， ( )y y a y c ，
又b a OB OA AB ， c a OC OA AC ，
所以 ( ) 0, ( ) 0AD AB AD AE AC AE ，
所以 0AD DB AE EC ，
得 ,AD DB AE EC ，
分别取 ,AB AC 中点 ,M N ，
所以 1 1
2 2DM AB ， 1 3
2 2EN AC ， 1 3
2 2MN BC ，
所以 x y AD AE DE DM MN NE
，
所以当 , , ,D M N E 四点共线且按此顺序排列时，DE
的最大值为：1 3 3 1 32 2 2 2
，
故选：C.
9．（2020·福建高三学业考试）如图，已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB ， 3BC ，
1 5AA ，则该长方体截去三棱锥 1 1 1A AB D 后，剩余部分几何体的体积为_______.
【答案】25
【解析】在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB ， 3BC ， 1 5AA ，
所以长方体的体积为 1 1 1 1 1 2 3 5 30ABCD A B C DV AB BC AA ,
三棱锥 1 1 1A AB D 的体积为
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 3 5 53 3 2A A B D A B DV S AA ，
所以剩余部分几何体的体积为 30 5 25V ，
故答案为：25
10．（2020·高三月考（理））已知三棱锥 P ABC 中， ABC 是以
角 A为直角的直角三角形， 2AB AC ，PB PC ， 14PA ， 1O 为 ABC 的外接
圆的圆心， 1
2 7cos 7PAO ，那么三棱锥 P ABC 的外接球的体积为______；
【答案】 7 14 π3
【解析】如图，设三棱锥 P ABC 外接球的球心为 O ，半径为 R ，
连接 1PO ， 1OO ， PO ， AO ，
由已知得 BC 为圆 1O 的直径， 2 2BC ，则 1 2AO .
因为 1
2 7cos 7PAO ，所以在 1PAO△ 中，由余弦定理得，
2 2 2
1 1 12 cos 8PO PA AO PA AO PAO ，所以 1 2 2PO .
又 2 2 2
1 1 10 14AO PO PA ，所以 1PO A 为钝角，
由正弦定理得， 1
1 1sin sin
PA PO
PO A PAO
，即
1
14 2 2
sin 21
7
PO A
，
得 1
3sin 2PO A ，所以 1 120PO A .
根据圆的性质可得 1 1OO AO ，则 1 30PO O
在 1Rt AOOV 中， 2 2
1 2OO R ，在 1POO△ 中，
2 2 2
1 1 1 1 12 cosPO OO PO OO PO PO O ，
即 2 2 22 8 2 2 2 2cos30R R R ，得 2 7
2R ，
故 34 4 7 7 7 14ππ π3 3 2 32
V R .
故答案为： 7 14 π3
11．（2020·全国高三月考（理））已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 5，其中有一半径
为 2 的球 1O 与该正方体的底面 ABCD 和两个侧面 1 1ADD A ， 1 1ABB A 都相切，另有一球 2O ，
既与正方体的另外两侧面 1 1BCC B ， 1 1DCC D 以及底面 ABCD 相切，又与球 1O 相切，则球
2O 的半径为______．
【答案】1
【解析】以点 A 为坐标原点，分别以 1, ,AB AD AA 为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系
设球 2O 半径为 r ，则 1 2,2,2O ， 2 5 ,5 ,O r r r
1 2 2O O r
2 2 2 23 3 2 2r r r r ，即 2 10 9 0r r ，解得 9r （舍）或 1r
故答案为：1
12．（2020·四川泸州市·高三一模（理））如图，棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P
为线段 1A B 上的动点（不含端点），给出下列结论：
①平面 1 1A D P 平面 1A AP ；
②多面体 1CDPD 的体积为定值；
③直线 1D P 与 BC 所成的角可能为
3
；
④ 1APD△ 可能是钝角三角形．
其中正确结论的序号是______（填上所有正确结论的序号）．
【答案】①②④
【解析】对于①：因为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，所以 1 1A D 平面 1 1ABB A ，
又 P 为线段 1A B 上的动点，所以 1 1A D 平面 1A AP ，
又 1 1A D 平面 11A D P ，所以平面 1 1A D P 平面 1A AP ，故①正确；
对于②：因为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，所以
1
1 11 12 2CDDS ，
又 P 为线段 1A B 上，所以 P 到平面 1CDD 的距离恒等于 1，
所以多面体 1CDPD 的体积
1
1 1 1= 1=3 2 6P CDDV ，为定值，故②正确；
对于③：因为 1 1BC A D ，所以 1D P 与 BC 所成的角，即为 1D P 与 1 1A D 所成的角，即 1 1A D P
即为所求，
由图可得，当 P 运动到 B 的位置时， 1 1A D P 最大即为 1 1A D B ，
此时 1 1 1 1=1 2, 3A D A B D P ， ，
在 1 1Rt D A B 中， 1
1 1
1
2 6 3sin sin3 2 33
A BA D B D P
，
所以 1 1 3A D B ，所以当 P 运动时， 1 1A D P 不可能为
3
，故③错误；
对于④：分别以 DA、DC、 1DD 为 x，y，z 轴正方向建系，如图所示：
所以 1 1(1,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,0,1)A B A D ，所以 1 =(0,1-1)A B
， ，
因为 P 为线段 1A B 上运动，设 1 1A P A B ， [0,1] ， (1, , )P y z ，所以 1 (0, , 1)A P y z ，
所以
1
y
z
，所以 (1, ,1 )P ，
所以 1(0, ,1 ), (1, , )AP D P ，
所以
2 2
1
1 2 2 2 2 2 2 2
1
(2 1)cos ,
(1 ) 1 (1 ) 1 2
AP D PAP D P
AP D P
因为 [0,1] ，所以当 1(0, )2
时， 1 2 2 2
(2 1)cos , 0
(1 ) 1 2
AP D P
，
即此时 1APD 为钝角，所以 1APD△ 可能是钝角三角形，故④正确.
故答案为：①②④
13．（2020·全国高三专题练习（理））在三棱锥 P ABC 中，PA 底面 ABC ，AB BC ，
3PA ， 3AB ， 2BC ，若 E，F 是 PC 的三等分点，则异面直线 AE 与 BF 所成角
的余弦值_________.
【答案】 23 301
602
【解析】如图所示：以 AB 为 x 轴， AP 为 z 轴，平面 ABC 内垂直于 AB 的直线为 y 轴建
立空间直角坐标系，则 0,0,0A ， 3,0,0B ， 3,2,0C ， 0,0,3P ，
1
3PE PC
= ， 2
3PF PC ，则 3 2, ,23 3E
， 2 3 4, ,13 3F
，
则 3 2, ,23 3AE
， 3 4, ,13 3BF F
，
则
23
23 3019cos , 60243 28
9 9
AE BFAE BF
AE BF
.
故异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 23 301
602
.
故答案为： 23 301
602
.
14．（2021·福建省高三期中）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABC ，
/ / , 90AD BC ABC ， 2AD ， 2 3AB ， 6BC ．
（1）求证：平面 PBD 平面 PAC ；
（2） PA 长为何值时，直线 PC 与平面 PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 2 3PA ，直线 PC 与平面 PBD 所成角最大，此时该角
的正弦值为 3
5 .
【解析】（1）∵ PA 平面 ,ABCD BD 平面 ABCD ，∴ BD PA ，
又 3tan ,tan 33
AD BCABD BACAB AB
，
∴ 0 030 , BAC 60ABD ，∴ 090AEB ，即 BD AC （ E 为 AC 与 BD 交点）．
又 PA AC ，∴ BD 平面 PAC ，又因为 BD 平面 PBD ，所以，
平面 PAC 平面 PBD
（2）如图，以 AB 为 x 轴，以 AD 为 y 轴，以 AP 为 z 轴，建立空间坐标系，如图，
设 AP t ，则 2 3,0,0 , 2 3,6,0 , 0,2,0 , 0,0,B C D P t ，
则 2 3,2,0BD
， 0, 2,tDP ， 2 3,6,PC t ，设平面 PBD 法向量为
, ,n x y z
，
则 0
0
n BD
n DP
，即 2 3 2 0
2 0
x y
y tz
，取 1x ，得平面 PBD 的一个法向量为
2 31, 3,n t
，
所以 2 2
2 2
6 3 3 3cos ,
12 14448 4 51
PC nPC n
PC n t tt t
，
因为 2 2
2 2
144 14451 51 2 75t tt t
≥ ，当且仅当 2 3t 时等号成立，
所以
5c 3 3 3
5 3
os ,PC n ，记直线 PC 与平面 PBD 所成角为 ，则sin cos ,PC n
，
故 3sin 5
，
即 2 3t 时，直线 PC 与平面 PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为 3
5
．
15．（2021·全国高三专题练习（理））如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA
⊥平面 ABCD ， E 为 PD 的中点.
（1）证明： PB ∥平面 AEC ；
（2）设二面角 D AE C 为 60°， AP =1， AD = 3 ，求三棱锥 E ACD 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） 3
8
.
【解析】（1）连接 BD 交 AC 于点O ，连结 EO ，
因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点.
又 E 为 PD 的中点，
所以 EO ∥ PB ，又 EO 平面 AEC , PB 平面 AEC ，
所以 PB ∥平面 AEC .
（2）因为 PA 平面 ABCD ， ABCD 为矩形，
所以 AB ， AD ， AP 两两垂直.
如图，以 A为坐标原点， AB
的方向为 x 轴的正方向，
AP
为单位长，建立空间直角坐标系 A xyz ，
则 (0, 3,0),D 3 1(0, , ),2 2E 3 1(0, , )2 2AE .
设 ( ,0,0)( 0)B m m ，则 ( , 3,0),C m ( , 3,0)AC m
.
设 1 ( , , )n x y z 为平面 AEC 的一个法向量，
则 1
1
0,
0,
n AC
n AE
即
3 0,
3 1 0,2 2
mx y
y z
，可取 1
3( , 1, 3)n m
.
又 2 (1,0,0)n 为平面 DAE 的一个法向量，
由题意知： 1 2
1cos , 2n n ，
即 2
3 1
3 4 2m
，解得 3
2m .
因为 E 为 PD 的中点，
所以三棱锥 E ACD 的高为 1
2 .
三棱锥 E ACD 的体积 1 1 3 1 333 2 2 2 8V .
16．（2020·河南高三月考（理））如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， ABC 是边长为 2 的正
三角形， 1AB BB ， 1 2BB ，O ， D 分别为棱 1AB ， 1 1AC 的中点.
（1）求证： / /OD 平面 1 1BCC B ﹔
（2）若平面 ABC 平面 1 1ABB A ，求直线OD 与平面 1AB C 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 42
7
.
【解析】（1）连接 1A B ，则 1A B 与 1AB 交于点 O .如图所示，连接 1BC .
显然四边形 1 1ABB A 为矩形，O ， D 分别为棱 1A B ， 1 1AC 的中点，
所以 OD 为 1 1A BCV 的中位线.
所以 1/ /OD BC .
而OD 平面 1 1BCC B ， 1BC 平面 1 1BCC B ，
所以 / /OD 平面 1 1BCC B .
（2）若平面 ABC 平面 1 1ABB A ，如图，取 AB 的中点 P ，
因为 ABC 是正三角形，
所以 CP AB .
因为平面 ABC 平面 1 1ABB A AB ，CP 平面 ABC ，
所以 CP 平面 1 1ABB A ，
所以 CP PB ，CP PO .
显然 PB PO ，故以 PB ， PO ， PC 所在的直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标
系，
因为 ABC 是边长为 2 的正三角形， 1AB BB ， 1 2BB ，
所以点 1,0,0A ， 1 1,2,0B ， 0,0, 3C ，
0,1,0O ， 1 1,2,0A ， 1 0,2, 3C ， 1 3,2,2 2D
.
则 1 2,2,0AB ， 1,0, 3AC
， 1 3,1,2 2OD
.
设平面 1AB C 的一个法向量为 , ,n x y z ，则
由 1 ( , , ) (2,2,0) 2 2 0
( , , ) (1,0, 3) 3 0
n AB x y z x y
n AC x y z x z
，
得 3
3
y x
z x
，
令 3x ，得平面 1AB C 的一个法向量为 3, 3, 3n
；
设直线OD 与平面 1AB C 所成角的大小为 ，则
sin n OD
n OD
1 3(3, 3, 3) ,1,2 2 42
721 2
.
故直线OD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 42
7
.
17．（2020·山西省榆社中学高三月考（理））如图 1，在 Rt ABC△ 中， 30ACB ，
90ABC ，D 为 AC 中点， AE BD 于 E，延长 AE 交 BC 于 F，将 ABD△ 沿 BD 折
起，使平面 ABD 平面 BCD，如图 2 所示．
（I）求证： AE ⊥ 平面 BCD；
（Ⅱ）求二面角 A DC B 的余弦值；
【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ） 5
5
.
【解析】（I）证明：∵平面 ABD 平面 BCD，交线为 BD，
又在 ABD△ 中， AE BD 于 E， AE 平面 ABD，
∴ AE ⊥ 平面 BCD．
（II）由（I）知 AE ⊥ 平面 BCD，∴ AE EF ，
由题意知 EF BD ，又 AE BD ，
如图，以 E 为坐标原点，分别以 EF、ED、EA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角
坐标系 E xyz ，
设 2AB BD DC AD ，则 1BE ED ，
∴ 3AE ， 2 3BC ， 3
3EF ，
则 0,0,0E ， 0,1,0D ， 0, 1,0B ， 0 0 3A , , ， 3 ,0,03F
， 3,2,0C ，
( 3,1,0)DC ， (0,1, 3)AD ，
由 AE ⊥ 平面 BCD 知平面 BCD 的一个法向量为 (0,0, 3)EA ，
设平面 ADC 的一个法向量 ( , , )n x y z ，
则 3 0,
3 0,
n DC x y
n AD y z
，取 1x ，得 (1, 3, 1)n ，
∴
5cos , 5
n EAn EA
n EA
，
∴二面角 A DC B 的平面角为锐角，故余弦值为 5
5
．
18．（2021·山东高三专题练习）如图所示，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PDC 是边长为 2 的
正三角形且与底面垂直，底面 ABCD 是 ADC 60 的菱形， M 为 PB 的中点.
（1）求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小；
（2）求证： PA 平面 CDM ；
（3）求二面角 D MC B 的余弦值.
【答案】（1） 45 ；（2）证明见解析；（3） 10- 5
.
【解析】（1）取 DC 的中点 O ，由 PDC△ 是正三角形，有 PO DC ，
又∵平面 PDC 底面 ABCD ，∴ PO 平面 ABCD ，
连结OA，则OA是 PA 在底面上的射影，∴ PAO 就是 PA 与底面所成角，
∵ ADC 60 ，由已知 PCD 和 ACD△ 是全等的正三角形，
从而求得 3OA OP ，∴ 45PAO ，
∴ PA 与底面 ABCD 可成角的大小为 45 ；
（2）证明：由底面 ABCD 为菱形且 ADC 60 ， 2DC ， 1DO ，
有OA DC ，建立空间直角坐标系如图，
则 ( 3 0 0)A ，， 、 (0 0 3)P ，， 、 (0 1 0)D ， ， 、 ( 3 2 0)B ，， 、 ( )01 0C ，， ，
由 M 为 PB 中点，∴ 3 3( 1 )2 2M ，， ，
∴ 3 3( 2 )2 2DM
，， ， ( 3 0 3)PA
，， ， (0 2 0)DC
，， ，
∴ 3 33 2 0 ( 3) 02 2PA DM
，
0 3 2 0 0 ( 3) 0PA DC
，
∴ PA DM ， PA DC ，且 DM DC D ，
而 ,DM DC 平面 DMC ，
∴ PA 平面 DMC ；
（3） 3 3( 0 )2 2CM
，， ， ( 31 0)CB
，， ，
令平面 BMC 的法向量 ( )n x y z
， ， ，
则 0n CM
，从而 0x z ①； 0n CB
，从而 3 0x y ②；
由①②，取 1x ，则 3y ， 1z ，∴可取 ( 1 31)n
， ， ，
由（2）知平面 CDM 的法向量可取 ( 3 0 3)PA
，， ，
∴
2 3 10cos 55 6
n PAn PA
n PA
， ，
设二面角 D MC B 的平面角为 ，经观察 为钝角，
则 10cos cos 5n PA
， .
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