证明垂直的方法
证明垂直在每年的高考大题中几乎都有，一般为大题，并且为中档题，所以我们一定要将这个分数得
到，为此有必要对这一部分好好归纳总结一下。垂直分为三种：线线垂直、线面垂直、面面垂直。下面对
证明它们的方法归纳如下：
一、线线垂直
证明线线垂直的方法主要有以下几种：
1.初中证明线线垂直常用方法有：⑴等腰三角形底边的中线即为高线；⑵菱形的对角线互相垂直；⑶勾
股定理逆定理；⑷直径所对的圆周角为直角；⑸垂径定理。
2.利用直线与平面垂直的定义 ,a b a b 。
例 1. 如图所示，四边形 ABCD 为正方形，SA 垂直于四边形 ABCD 所在的平面，过
点 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB，SC，SD 于点 E，F，G.
求证：AE⊥SB，AG⊥SD.
分析：要证 AE⊥SB，只需证 AE⊥平面 SBC。
证明:因为 SA⊥平面 ABCD，所以 SA⊥BC.又 BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以 BC⊥平面 SAB，
又 AE⊂平面 SAB，所以 BC⊥AE.因为 SC⊥平面 AEFG，所以 SC⊥AE.又 BC∩SC＝C，所以 AE⊥平面 SBC，
所以 AE⊥SB.同理可证 AG⊥SD.
点评：要证垂直时，经常是线线垂直、线面垂直多次相互转化，由线线垂直到线面垂直时，往往依据直线
与平面垂直的判定定理，由线面垂直到线线垂直时，往往依据线面垂直的定义。
变式. 如右图，已知四边形 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，M、N 分别是 AB、PC 的中点．
(1)求证：MN⊥AB；
(2)若 PA＝AD，求证：MN⊥平面 PCD.
证明：(1)取 CD 的中点 E，连接 EM、EN，则 CD⊥EM，且 EN∥PD.
∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥CD，又 AD⊥DC，
PA∩AD＝A，∴CD⊥平面 PAD，∴CD⊥PD，
从而 CD⊥EN.又 EM∩EN＝E，∴CD⊥平面 MNE.
因此，MN⊥CD，而 CD∥AB，故 MN⊥AB.
(2)在 Rt△PAD 中有 PA＝AD，取 PD 的中点 K，连接 AK，KN，则 KN∥DC, KN 1
2 DC,
KN ∥AM , KN AM，.∴四边形 AMNK 为平行四边形，从而 MN∥AK,又 AK⊥PD.
因此 MN⊥PD.由(1)知 MN⊥DC，又 PD∩DC＝D，∴MN⊥平面 PCD.
二、线面垂直
证明线面垂直的方法主要有两种：
1.利用线面垂直的判定定理 , , , ,l a l b a b P a b l 。
2.利用面面垂直的性质定理 , , ,a b a b a 。
3．利用结论：a∥b，a⊥α⇒b⊥α。
例 2. 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面 ABE．
分析：(1)要证 CD⊥AE，只需证 CD⊥平面 PAC．证明 CD⊥平面 PAC 时，利用线面垂直的判定定理；(2)
要证 PD⊥平面 ABE，只需证明 AB⊥PD、AB⊥PD。
证明：(1)∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥CD．又 AC⊥CD，∴CD⊥平面 PAC．
而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE．
(2)∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB..网]又 AB⊥AD，∴AB⊥平面 PAD．而 PD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD①。又
由∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，得 PA＝AC．∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知 AE⊥CD，∴AE⊥平面 PCD．∴AB⊥PD②。由①②，得 PD⊥平面 ABE．
点评：本题证明线面垂直时，都是依据直线与平面垂直的判定定理。已知面面垂直时，往往要根据面面垂
直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直；利用结论：a∥b，a⊥α⇒b⊥α进行证明过程中一步的转化。
例 3．把一副三角板如图拼接，设 BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板
所在的平面互相垂直．求证：平面 ABD⊥平面 ACD．
分析：已知面面垂直时，要根据面面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直；要证面面垂直一般通过
线面垂直（用面面垂直的判定定理）。
证明：
平面 ABC⊥平面 BCD
CD⊥BC
⇒CD⊥平面 ABC
AB⊂平面 ABC
⇒
CD⊥AB
AB⊥AC
⇒AB⊥平面 ACD
AB⊂平面 ABD
⇒平面 ABD⊥平面 ACD．
点评：本题在证明 CD ABC 平面 时，用了面面垂直的性质定理。
三、面面垂直
证明面面垂直的方法主要是利用面面垂直的判定定理 ,a a 。
例 4．如图，三棱锥 P-ABC 中，已知△ABC 是等腰直角三角形，
∠ABC=90°，△PAC 是直角三角形，∠PAC=90°，∠ACP=30°，平面 PAC⊥平面 ABC.
求证：平面 PAB⊥平面 PBC.
分析：由平面 PAC⊥平面 ABC，∠PAC=90°，得到 PA⊥平面 ABC；要 证平面 PAB⊥
平面 PBC，只需证 BC⊥平面 PAB。
证明：因为平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC AC，
PA⊥AC，所以 PA⊥平面 ABC.又 BC 平面 ABC，所以 PA⊥BC.又因 为 AB⊥BC，
AB∩PA=A，AB 平面 PAB，PA 平面 PAB，所以 BC⊥平面 PAB.又 BC 平面 PBC，所以平面 PAB⊥平
面 PBC.
点评：将已知进行转化，不行再将所求进行转化，当它们能够接上头时，说明该题会做了。
变式. 在△BCD 中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面 BCD，∠ADB＝60°，E，F 分别是 AC，AD 上
的动点，且AE
AC
＝AF
AD
＝λ(0＜λ＜1)．
(1)求证：不论λ为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC；
(2)当λ为何值时，平面 BEF⊥平面 ACD?
证明：（利用面面垂直的判定定理）(1)∵AB⊥平面 BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC 且 AB∩BC＝B，∴CD⊥
平面 ABC.又∵AE
AC
＝AF
AD
＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有 EF∥CD，∴EF⊥平面 ABC.又 EF⊂平面 BEF，
∴不论λ为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC.
(2)解：由(1)知，EF⊥BE，又平面 BEF⊥平面 ACD，∴BE⊥平面 ACD，∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，AB⊥平面 BCD，∴BD＝ 2，AB＝ 2tan 60°＝ 6.AC＝ AB2＋BC2
＝ 7，由 AB2＝AE·AC 得 AE＝ 6
7
，∴λ＝AE
AC
＝6
7
，故当λ＝6
7
时，
平面 BEF⊥平面 ACD.
线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想，其中线线垂直是最基
本的，在转化过程中起穿针引线的作用，线面垂直是纽带，可以把线线垂直与面面垂直联系起来。线线垂
直与面面垂直不可以直接转化，必须通过线面垂直过渡。
小试牛刀
1．如图，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，△ACD 为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F 为 CD 的中点．
求证：平面 BCE⊥平面 CDE.
1．证明：取 CE 的中点 G，连接 FG，BG，AF.
∵F 为 CD 的中点，∴GF∥DE，且 GF＝1
2DE.
∵AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，
∴AB∥DE.则 GF∥AB.又∵AB＝1
2DE，∴GF＝AB.
则四边形 GFAB 为平行四边形．于是 AF∥BG.∵△ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点，
∴AF⊥CD.∵DE⊥平面 ACD，AF⊂平面 ACD，∴DE⊥AF.又∵CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面 CDE，∴AF
⊥平面 CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面 CDE.∵BG⊂平面 BCE，
∴平面 BCE⊥平面 CDE.
2．如图，四棱锥 S－ABCD 的底面是矩形，SA⊥底面 ABCD，E，F 分别是 SD，SC 的中点．求证：(1)BC
⊥平面 SAB；(2)EF⊥SD.
2.证明：(1)∵四棱锥 S－ABCD 的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD，∴SA⊥
BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面 SAB.
(2)∵SA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，∴CD⊥SA.又∵CD⊥AD，SA∩AD＝A，
∴CD⊥平面 SAD.∵E，F 分别是 SD，SC 的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面 SAD.
又∵SD⊂平面 SAD，∴EF⊥SD.
3．如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，侧面 PAD⊥底面 ABCD，侧棱 PA⊥PD，底面 ABCD 是直角梯形，
其中 BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O 是 AD 上一点．
(1)若 CD∥平面 PBO，试指出点 O 的位置；(2)求证：平面 PAB⊥平面 PCD.
3.解:(1)∵CD∥平面 PBO，CD⊂平面 ABCD，且平面 ABCD∩平面 PBO＝BO，
∴BO∥CD.又 BC∥AD，∴四边形 BCDO 为平行四边形．则 BC＝DO，而 AD＝3BC，
∴AD＝3OD，即点 O 是靠近点 D 的线段 AD 的一个三等分点．
(2)证明：∵侧面 PAD⊥底面 ABCD，侧面 PAD∩底面 ABCD＝AD，AB⊂底面 ABCD，且 AB⊥AD，∴AB
⊥平面 PAD.又 PD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD.又 PA⊥PD，且 PA⊂平面 PAB，AB⊂平面 PAB，AB∩PA＝A，
∴PD⊥平面 PAB.又 PD⊂平面 PCD，∴平面 PAB⊥平面 PCD.
4. 如图，平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC，AE⊥平面 PBC，E 为垂足．
(1)求证：PA⊥平面 ABC；(2)当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．
4.证明：(1)（利用面面垂直的性质定理）在平面 ABC 内取一点 D，作 DF⊥AC 于 F，∵平面 PAC⊥平面 ABC，
且交线为 AC，∴DF⊥平面 PAC.又∵PA⊂平面 PAC，∴DF⊥PA.作 DG⊥AB 于 G，同理可证 DG⊥PA.∵
DG∩DF＝D，∴PA⊥平面 ABC.
(2)连接 BE 并延长交 PC 于 H.∵E 是△PBC 的垂心，
∴PC⊥BH，又 AE⊥平面 PBC，故 AE⊥PC，
且 AE∩BE＝E，∴PC⊥平面 ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB，
且 PA∩PC＝P，∴AB⊥平面 PAC，∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形．
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