专题02 帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题（解析版）-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导

帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题 立体几何中的外接球与内切球问题，有一定难度，需要掌握常见的几种类型，现结合实例介绍如下： 一、 长方体的外接球直径为长方体体对角线长 例 1.长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积 为( ) A. 7 2 π B.56π C.14π D.64π 分析：长方体的外接球直径为常长方体体对角线长。 解析： C. 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c，则 ab 2 bc 3 ac 6      ，得 a 2 b 1 , c 3      令球的半径为 R，则  20 2 2 3 2 1 7=45 2 2 1 3 14, = 2B AB R R      。 2 2=4 =4 14S R R   球 。 变式. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是 12π，那么这个正方体的体积是 ( ) A. 3 B．4 3 C．8 D．24 解析： C 设球的半径为 R，则 4πR2＝12π，从而 R＝ 3，所以正方体的体对角线为 2 3，故正方体的 棱长为 2，体积为 23＝8，故选 C. 二、有些三棱锥可以补体为长方体 1.三条侧棱（面）两两垂直的三棱锥的外接球 例 2．已知三棱锥 PABC 中，PB⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，PA＝ 5，AB＝BC＝1，则三棱锥 PABC 的 外接球的表面积为( ) A．12π B．6π C．24π D.4 6π 3 解析：答案为 B 如图，∵PB⊥平面 ABC，∴PB⊥AB，∵AB＝1，PA＝ 5，∴PB＝2， 又 AB⊥BC，把三棱锥 PABC 补形为长方体，则长方体对角线长为 22＋12＋12＝ 6， 则三棱锥 PABC 外接球的半径为 6 2 ， ∴三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 4π× 6 2 2 ＝6π.故选 B. 变式．球面上有 , , ,A B C D 四个点，若 , ,AB AC AD 两两垂直，且 4AB AC AD   ，则该球的表面积 为（ ） A． 80 3  B． 32 C． 42 D． 48 解析：D 由题意可知，该球是一个棱长为 4 的正方体的外接球， 设球的半径为 R ，由题意可得： 2 2 2 22 4 4 4R    , 据此可得： 2 12R  ，外接球的表面积为： 24 4 12 48S R      . 2.三对对棱对应相等的三棱锥的外接球 例 3．在三棱锥 S ABC 中， 41SA BC  ， 5SB AC  ， 34SC AB  ，则三棱锥 S ABC 外接球的 表面积为（ ） A． 25π B．100 C． 50π D．50 2π 解析：答案为 C。对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线）， 设长方体的长、宽、高分别是 a ， b ， c ，则有 2 2 2 2 2 2 41 25 34 a b b c a c          ， 三个式子相加整理可得 2 2 2 50a b c   ，所以长方体的对角线长为 5 2 ， 所以其外接球的半径 5 2 2R  ，所以其外接球的表面积 24π 50πS R  ，故选 C． 变式.在三棱锥 A BCD 中， 2, 3, 4AB CD AD BC AC BD      ,则三棱锥 A BCD 外接球的表 面积为____________. 解 析 ： 补 形 为 长 方 体 ， 三 个 长 度 为 相 邻 三 个 面 的 对 角 线 长 ， 设 长 方 体 的 长 宽 高 分 辨 为 a,b,c, 则 2 2 2 2 2 29, 4, 16a b b c c a      。  2 2 22 9 4 16 29a b c       ， 2 2 2 29 2a b c   ， 2 294 2R  , 29 2S  . 三、正棱锥的外接球 例 4．在正四棱锥 P ABCD 中，已知 60PBC   ，若 P 、 A 、 B 、 C 、 D 都在球 O 的表面上,则球 O 的 表面积是四边形 ABCD 面积的（ ） A．2 倍 B． π 倍 C． 2π 倍 D． 2π 倍 解析：答案为 D。设正四棱锥的底面 ABCD 的边长为 a ，则四边形 ABCD 的面积为 2a ， 从 P 向 ABCD 作 PO  平面 ABCD ，则垂足 O 为底面 ABCD 的中心，因为 60PBC   ， 所以侧面都是边长为 a 的等边三角形， PB a ， 2 2OB a ，则 2 2 2 2PO PB OB a   ， 所以 2 2OA OB OC OD OP R a      ，所以球的表面积 2 24π 2πS R a  ， 所以 2 2 2π 2π ABCD S a S a   ，所以选 D． 变式．正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( ) A．81 4 π B．16π C．9π D．27 4 π 解析：A 设正四棱锥 P－ABCD，外接球心 O 在 PE 上，半径为 R，AE＝1 2AC＝ 2，OE＝PE－PO＝4－R，OA2＝AE2＋OE2，∴R2＝2＋(4－R)2， ∴ R ＝ 9 4 ， S ＝ 4πR2＝81 4 π，故选 A. 四、侧棱与底面垂直的棱锥的外接球 例 5.体积为 3的三棱锥 P－ABC 的顶点都在球 O 的球面上，PA⊥平面 ABC，PA＝2，∠ABC＝120°，则球 O 的体积的最小值为( ) A.7 7 3 π B.28 7 3 π C.19 19 3 π D.76 19 3 π 解析：答案为 B 设 AB＝c，BC＝a，AC＝b，由题可得 3＝1 3×S △ ABC×2，解得 S △ ABC＝3 3 2 .因为∠ABC＝120°，S △ ABC＝3 3 2 ＝1 2acsin 120°，所以 ac＝6，由余弦定理可得 b2＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝3ac＝18，当且仅当 a ＝c 时取等号，此时 bmin＝3 2.设 △ ABC 外接圆的半径为 r，则 b sin 120° ＝2r(b 最小，则外接圆半径最小)，故 3 2 3 2 ＝2rmin，所以 rmin＝ 6. 如图，设 O1 为 △ ABC 外接圆的圆心，D 为 PA 的中点，R 为球的半径，连接 O1A，O1O，OA，OD，PO，易 得 OO1＝1，R2＝r2＋OO21＝r2＋1，当 rmin＝ 6时，R2min＝6＋1＝7，Rmin＝ 7，故球 O 体积的最小值为4 3πR3min ＝4 3π×( 7)3＝28 7π 3 . 变式。已知 90ABC  ，PA  平面 ABC，若 1PA AB BC   ，则四面体 PABC 的外接球（顶点都在 球面上）的体积为（） A． B． 3 C． 2 D． 3 2  解析：D 取 PC 的中点 O，连接 OA，OB，由题意得 PA BC ， 又因为 ,AC BC PC AC A   ，所以 BC ⊥ 平面 PAC ，所以 BC PB ，在 1, 2Rt PBC OB PC  ，同 理 1 2OA PC ，所以 1 2OA OB OC PC   ，因此 P，A，B，C 四点在以 O 为球心的球面上，在 Rt ABC 中， 2 2 2.AC AB BC   在 Rt PAC 中， 2 2 3PC PA AC   ，球 O 的半径 1 3 2 2R PC  ， 所以球的体积为 3 4 3 3 3 2 2        ，故选：D. 五、侧面与底面垂直的三棱锥的外接球 例 6.三棱锥 A BCD 的一条长为 a ，其余棱长均为 1，当三棱锥 A BCD 的体积最大时，它的外接球 的表面积为( ) A. 5 3  B. 5 4  C. 5 6  D. 5 8  解析：A 不妨设 aBC  。底面积不变，高最大时体积最大，所以，面 ACD 与面 ABD 垂直时体积最大， 由于四面体的一条棱长为 a，其余棱长均为 1，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径 2 2 2 3 1 3 2 51 12 3 2 3 12R                    。经过这个四面体所有顶点的球的表面积： 2 5 54 4 12 3S R      .故选 A。 变式. 4.(2019·广州模拟)三棱锥 P－ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4， 则三棱锥 P－ABC 的外接球的表面积为( ) A.23π B.23 4 π C.64π D.64 3 π 解析：答案为 D 如图，设 O′为正 △ PAC 的中心，D 为 Rt △ ABC 斜边的中点，H 为 AC 中点.由平面 PAC⊥平面 ABC.则 O′H⊥ 平面 ABC.作 O′O∥HD，OD∥O′H，则交点 O 为三棱锥外接球的球心，连接 OP，又 O′P＝2 3PH＝2 3× 3 2 ×2＝ 2 3 3 ，OO′＝DH＝1 2AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝4 3 ＋4＝16 3 . 故几何体外接球的表面积 S＝4πR2＝64 3 π. 六、有两个侧面为有公共斜边的直角三角形的三棱锥 例 7.在矩形 ABCD 中， 4, 3AB BC  ,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D  ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为（ ） A. 125 12  B. 125 9  C. 125 6  D. 125 3  解析： 52 5, 2R AC R   , 34 4 125 125 3 3 8 6V R      . 变式. 在矩形 ABCD 中， 2, 3AB BC  ,沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，连接 AC，所得三棱锥 A BCD 的 外接球的表面积为_______. 解析：BD 的中点是球心 O, 22 13, 4 13R BD S R     . 七、三棱锥的内切球问题 例 8．在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD⊥面 ABCD，且 PD＝1，若在这个四棱 锥内有一个球，则此球的最大表面积为________． 解析：答案为(14－6 5)π 四棱锥 PABCD 的体积为 V＝1 3PD·S 正方形 ABCD＝1 3×1×22＝4 3 ，如图所示， 易证 PD⊥AD，PD⊥CD，PA⊥AB，PC⊥BC，所以，四棱锥 PABCD 的表面积为 S＝2×1 2×2×1＋2×1 2×2× 5＋22＝6＋2 5，所以，四棱锥 PABCD 的内切球的半径为 R＝3V S ＝ 4 6＋2 5 ＝3－ 5 2 ，因此，此球的最大表面积为 4πR2＝4π× 3－ 5 2 2＝(14－6 5)π. 变式．已知球在底面半径为 1､高为 2 2 的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________. 解析： 2 3  易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，点 M 为 BC 边上 的中点，由题设 2BC  ， 2 2AM  ，求得 3AB AC  ，设内切圆的圆心为 O ，内切圆半径为 r 故 1 2 2 2 2 22S    △ABC ， 则 1 1 1 2 2 2ABC AOB BOC AOCS S S S AB r BC r AC r           △ △ △ △ 1 (3 3 2) 2 22 r      ，解得： 2 2r = ，其体积： 34 2 3 3V r   .故答案为： 2 3  . 小试牛刀 1.已知正方体外接球的体积是32 3 π，那么正方体的棱长等于( ) A．2 2 B.2 2 3 C.4 2 3 D.4 3 3 1.D. 由 V 球＝4 3 πR3＝32 3 π，∴R＝2.设正方体的棱长为 a，则 3a2＝(2R)2＝16. ∴a2＝16 3 ，∴a＝4 3 3 . 2．若长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3，4，5．则长方体外接球的表面积为（ ） A． 40π B． 35π C． 50π D． 60π 2．C 设球的半径为 R ，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长， 则 2 2 2 22 3 4 5 50R    （ ） ，∴ 5 2 2R  ．∴ 24π 50πS R  球 ，故选 C． 3．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ） A． 4π 3 B． 2π 3 C． 3π 2 D． π 6 3．A 体积最大的球即正方体的内切球，因此 2 2r  ， 1r  ，体积为 4π 3 ，故选 A． 4. 若一个正四面体的表面积为 ，其内切球的表面积为 ，则 ＝（ ） A. B. C. D. 4.D 设正四面体棱长为 ，则正四面体表面积为 ，其内切球半径为正四面体 高的 ，即 ，因此内切球表面积为 ，则 故选 D 5.已知菱形 ABCD 边长为 2， 060A  ，将 ABD 沿对角线 BD 翻折形成四面体 ABCD ，当四面体 ABCD 的体积最大时，它的外接球的表面积为__________． 5. 20 3  当平面 ABD  平面CBD 时，四面体体积是最大，当体积最 大时，设 ABD 外心为 2O ， CBD 外心为 1O ，过 1 2,O O ，分别作平面面CBD 与平面 ABD 的垂线交于 O ，则O 即是外接球的球心， 2 2 2 2 3 2 3 5 3 3 3R OC                 ，外接球表面积 2 204 3R   ，故答案为 20 3  . 6．已知三棱锥 P ABC 中， 1PA  ， 3PB  ， 2 2AB  ， 5CA CB  ，面 PAB  面 ABC ，则此 三棱锥的外接球的表面积为（） A．14 3  B． 28 3  C．11 D．12 6.B 如图， 1PA  ， 3PB  ， 2 2AB  ， 2 2 2PA AB PB  ， 2PAB   ， 所以 ABP△ 的外接圆的圆心为斜边 PB 的中点 N , 5CA CB  ， ABC 为等腰三角形.取 AB 的中 点 D ，连接 CD ， DN ， CD AB ， 2AD BD  ,  2 2 3CD BC BD   ,又面 PAB  面 ABC ，面 PAB  面 ABC AB ， CD 面 ABC ， CD  面 PAB ，过点 N 作CD 的平行线，则球心O 一定在该直线上. 设 ABC 的外接圆的圆心为 1O ，,则 1O 点在 CD 上，连接 1OO , 由球的性质则， 1OO  平面 ABC ，则 1O OND 为矩形. 在 ABC 中， 5 8 5 10cos 52 5 2 2 CAB       ,则 15sin 5CAB  所以 ABC 的外接圆的半径 1 5 5 32 sin 315 5 BCO A CAB    所以 1 5 3 6O A  ，则 2 2 1 1 25 1212 2 3 O D O A AD     则 1 1 2 3 ON O D  所以球的半径为 2 2 1 9 21 12 4 3OP ON NP     所以三棱锥的外接球的表面积为 2 21 21 284 43 9 3          故选：B 7.设正三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球O 的球面上， E ， F 分别是 AB ， BC 的中点， EF DE ， 且 1EF  ，则球O 的表面积为__________． 7. 12 ∵E,F 分别是 AB,BC 的中点，∴EF∥AC,又 EF⊥DE,∴AC⊥DE,取 BD 的中点 O,连接 AO,CO.∵三棱 锥 A BCD 为正三棱锥，∴ , ,AO BD CO BD BD AOC    平面 ,又 AC AOC 平面 , AC BD  , 又 DE BD D , , , .AC BD AC AB AC AD    平面A 同理可知：正三棱锥的三条侧棱两两互相垂 直。∵ 1EF  ，则 = = =2.AC AB AD 侧棱长均为 2，将正三棱锥恢复为棱长为 2 的正方体，其外接球为同 一球，正方体的体对角线长为外接球的直径，因此 2 3 33R   ,球 O 的表面积为 34 =12R  。 8．在三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形，且 PA  平面 ABC ，若 3PA  ， 4AC  ，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为______. 8. 25 把三棱锥放在以 , ,PA AB BC 的长度为棱长的长方体中，三棱锥的外接球即长方体的外接球，长 方体的体对角线就是外接球的直径， ∴ 2 2 2 2 22 9 16 5R PA AB BC PA AC        则三棱锥 P−ABC 外接球的表面积 S= 24 25R  故答案为：25π. 9．三棱锥 PABC 的四个顶点均在同一个球面上，其中 PA⊥平面 ABC， △ ABC 是正三角形，PA＝2BC＝4， 则该球的表面积为________． 9.64π 3 球心应位于过正三角形 ABC 的中心且垂直于平面 ABC 的直线上，又 PA⊥平面 ABC，PA＝4，所以 球心 O 到平面 ABC 的距离为 2，所以球的半径 r＝ 22＋ 2 3 3 2 ＝4 3 3 ，所以球的表面积为 S＝4πr2＝64π 3 .