专题05 求立体几何中三种角的方法（解析版）-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导

求立体几何中的三种角的方法 立体几何中的计算题，大多为关于角的计算，角主要有三种：异面直线所成的角、直线和平面所成的 角、二面角。对它们的计算都可分为三步:一做、二证、三求。一做是做图，做出等于所求角的平面中的角； 二证是证明所做出的角等于所求角；三求是将所做出的角放在三角形中，解三角形求出角的大小。现分述 如下： 一、异面直线所成的角 1. 一做。由异面直线所成的角的定义做出等于所求角的平面中的角，做平行线时常用到平行四边形、三角 形中位线等平面几何的知识。 2.二证。证明直线互相平行，所做出的角的大小即为所求角的大小。 3.三求。将所做出的角放在三角形中，直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理等求出角的大小。 例 1. 四面体 S ABC 中，各个侧面都是边长为 a 的正三角形， ,E F 分别是 SC 和 AB 的中点，求异面直 线 EF 与 SA 所成的角。 分析：题目中中点比较多，故可考虑通过三角形的中位线作异面直线的平行线。 解：取 SB 的中点G ，连接 GE、GF、EF，又因为 F 为 AB 的中点，所以GE SA ,故 EFG 为异面直线 EF 与 SA 所 成 的 角 。 在 △ SFC 中 ， 2 ,2SF FC a  SC a ， ∴ 2 2EF a 。 在 ⊿ EFG 中 ， 2 aGE GF  , 2 2 2 ,GE GF EF   090EGF  , ∴ 045EFG  ,即异面直线 EF 与 SA 所成的角为 045 。 点评：注意异面直线所成角的范围为 0 00 ,90  。 变式. 正方体 AC1 中，E、F 分别是面 A1B1C1D1 和 AA1DD1 的中心，则 EF 和 CD 所成的角是( ) A．60° B．45° C．30° D．90° 解析：B 连接 1 1B D ,则 E 为 1 1B D 的中点，连接 1AB ,EF∥ 1AB ，又 CD∥AB, 1B AB 为异面直线 EF 和 CD 所成的角，即 0 1 =45B AB 。故选 B. 二、直线与平面所成的角 1.一做。过斜线上一点做平面的垂线，再连接垂足和斜足，垂足和斜足的连线为斜线在该平面内的射影， 射影与斜线的夹角为斜线与平面所成的角。 2.二证。证明直线与平面垂直。 3.三求。将斜线与其在该平面内的射影所成的角放在三角形中求出。 例 2.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 是 BC1 的中点．求直线 DE 与平面 ABCD 所成角 的正切． 分析：需要过斜线 DE 上一点 E 做平面 ABCD 的垂线。由于平面 1 1BCC B ⊥平面 ABCD,故只需过 E 作 EF ⊥BC，则 EF⊥平面 ABCD。 解::过 E 作 EF⊥BC，交 BC 于 F，连接 DF. ∵ EF⊥平面 ABCD，∴ ∠EDF 是直线 DE 与平面 ABCD 所成 的角.由题意，得 EF= 1 1 1.2 CC  在 Rt DCF 中， ∵ 1 1, 5.2CF CB DF    ∵ EF⊥DF， ∴ 5tan .5 EFEDF DF    点评：做一个平面的垂线时，经常在与该平面垂直的平面内做两平面的交线的垂线。注意直线与平面所成 角的范围是 0 00 ,90   。 变式. 在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与 平面 BB1C1C 所成角的大小是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：C 如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，则 AE⊥平面 BCC1B1. 故∠ADE 为直线 AD 与平面 BB1C1C 所成的角．设各棱长为 a， 则 AE＝ 3 2 a，DE＝1 2 a.，∴tan∠ADE＝ 3.∴∠ADE＝60°. 三、二面角 D1 C1 A1 B1 A B C D E E D1 C1 A1 B1 A B C D F 1.一做。过二面角棱上一点在两个半平面内分别做棱的垂线，该两条射线所成的角为二面角的平面角，它 的大小即为二面角的大小。 2.二证。证明两条射线与棱垂直。 3.三求。将平面角放在三角形中求出。 例 3. 在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 2 ，其余各棱长都为1，求二面角 A CD B  的余弦值。 分析：利用底面⊿BCD 为正三角形，且 AD⊥CD，做出二面角的平面角。 解：取 AC 的中点 E ，取CD 的中点 F ,连接 BE、BF、EF,则 EF∥AD,又∵AD⊥CD,∴EF⊥CD;又∵底面⊿BCD 为正三角形，则 BF⊥CD，故∠BFE 为二面角 A CD B  的平面角。在⊿BFE 中 1 2 3, ,2 2 2EF BE BF   ， 2 2 2 ,EF BE BF  ∴⊿BFE 为直角三角形。 1 32cos 33 2 EFBFE BF     . 点评：做出二面角的方法比较多，如可利用等腰三角形三线合一、利用其中一面的垂线（垂面）等。注意 二面角的范围是 0 00 ,180   。 变式. 正方体 A1B1C1D1－ABCD 中，截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角 A1－BD－A 的正切值等于( ) A． 3 3 B． 2 2 C． 2 D． 3 解析：C 设 AC、BD 交于 O，连 A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面 AA1O，∴BD⊥A1O，∴∠A1OA 为二 面角的平面角．tan∠A1OA＝A1A AO ＝ 2，∴选 C. 小试牛刀 1．在正方体 1111 DCBAABCD 中， BA1 与 CB1 所在直线所成角的大小是（） A． 30 B． 45 C． 60 D． 90 1.C 连接 1D C ，则 1A B ∥ 1D C ，连接 1 1B D ，易证 1 1B CD 就是 BA1 与 CB1 所在直线所成角，由于⊿ 1 1B CD 是等边三角形，因此 1 1 60B CD  ，故选 C. 2．已知四面体 ABCD 中， FE, 分别是 BDAC, 的中点，若 2AB  ， 4CD  ， ABEF  ，则 EF 与CD 所成角的度数为（） A． 90 B． 45 C． 60 D．30 2.D 设 G 为 AD 的中点，连接 GF GE， ，则 GF GE， 分别为 ABD ACD ， 的中位线．由此可得 GF AB ，且 1 12GF AB  ，GE CD， 且GE  1 22 CD FEG ， 或其补角即为 EF 与CD 所成角．又 ,EF A FB G AB EF GF ， ， 在 Rt EFG 中 ， 1 2GF GE ， ，由 正 弦 的 定 义 ， 得 1sin 2 GFGEF GE    ，可得 30GEF   ．∴ EF 与CD 所成的角的度数为 30 ，故选 D. 3．直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3.C 延长 CA 到 D，使得 AD=AC，连接 1A D ，则 ADA1C1 为平行四边形， ∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角，又 A1D=A1B=DB= 2 AB， 则三角形 A1DB 为等边三角形，∴∠DA1B=60°，故选 C． 4．在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA⊥底面 ABCD，M 是棱 PC 上一点．若 PA＝AC＝a， 则当△MBD 的面积为最小值时，直线 AC 与平面 MBD 所成的角为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 4. B 因为 PA⊥底面 ABCD，则 PA⊥AC，又 PA＝AC，∴∠PCA＝45°，因△PAB≌△PAD⇒PB＝PD， 又△PBM≌△PDM⇒BM＝DM，设 AC 与 BD 交于 0，则 OM⊥BD，S△MCD＝1 2BD·OM 最小，只需 OM 最 短，过 O 作 OM′⊥PC，垂足为 M′，连接 M′B、M′A，此时直线 AC 与平面 M′BD 所成的角为∠CM′O ＝π 4. 5．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值 为( ) A. 6 3 B.2 5 5 C. 15 5 D. 10 5 . 5.D 取 B1D1 中点 O，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，∵A1B1＝B1C1＝2， ∴C1O⊥B1D1， 又 C1O⊥BB1，C1O⊥平面 BB1D1D，∴∠C1BO 为直线 C1B 与平面 BB1D1D 所成的角， 在 Rt△BOC1 中，C1O＝ 2，BC1＝ BC2＋CC21＝ 5，∴sin∠OBC1＝ 10 5 。 6．等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面α内，若 AC 与α所成的角为 30°，则斜边上的中线 CM 与α所成 的角为________. 6.45° 如图，设 C 在平面α内的射影为 O 点，连结 AO，MO，则∠CAO＝30°， ∠CMO 就是 CM 与α所成的角．设 AC＝BC＝1，则 AB＝ 2，∴CM＝ 2 2 ， CO＝1 2.∴sinCMO＝CO CM ＝ 2 2 ，∴∠CMO＝45°. 7．在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2 3，则二面角 P－AB－C 的大小为________. 7.60° 取 AB 中点 M，连接 PM，MC，则 PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC 就是二面角 P－AB－C 的平面 角．在△PAB 中，PM＝ 22－ 32＝1，同理 MC＝1，则△PMC 是等边三角形，∴∠PMC＝60°. 8．如图，四边形 ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，且 PA＝AB＝a. 求(1)二面角 A－PD－C 的度数．(2)二面角 B－PA－D 的度数．(3)二面角 B－PA－C 的度数．(4)二面角 B －PC－D 的度数． 8.解：(1)PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥CD.又四边形 ABCD 为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面 PAD，又 CD ⊂平面 PCD，∴平面 PAD⊥平面 PCD，∴二面角 A－PD－C 为 90°. (2)∵PA⊥平面 ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA，∴∠BAD 为二面角 B－AP－D 的平面角．又∠BAD＝90°， ∴二面角 B－AP－D 为 90°. (3)PA⊥平面 ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA，∴∠BAC 为二面角 B－PA－C 的平面角， 又四边形 ABCD 为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角 B－PA－C 为 45°. (4)作 BE⊥PC 于 E，连 DE，则由△PBC≌△PDC 知∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE，∴∠DEP＝∠ BEP＝90°，且 BE＝DE，∴∠BED 为二面角 B－PC－D 的平面角． ∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BC，又 AB⊥BC，∴BC⊥平面 PAB，∴BC⊥PB， ∴BE＝PB·BC PC ＝ 6 3 a，BD＝ 2a，∴取 BD 中点 O，则 sin∠BEO＝BO BE ＝ 3 2 ， ∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°∴二面角 B－PC－D 的度数为 120°. 又∵在正方形 A1B1C1D1 中，A1C1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1， 9．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝ AC＝1，O 为 AC 的中点，PO⊥平面 ABCD，PO＝2，M 为 PD 的中点． (1)证明：PB∥平面 ACM；(2)证明：AD⊥平面 PAC； (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值． 9.解： (1)证明：如图连接 BD，MO.在平行四边形 ABCD 中，∵O 为 AC 的中点，∴O 为 BD 的中点，又 M 为 PD 的中点，∴PB∥MO.∵PB⊄平面 ACM，MO⊂平面 ACM，∴PB∥平面 ACM. (2)证明：∵∠ADC＝45°，且 AD＝AC＝1，∴∠DAC＝90°，即 AD⊥AC.又 PO⊥平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD，∴PO⊥AD，而 AC∩PO＝O，∴AD⊥平面 PAC. (3)解：取 DO 的中点 N，连接 MN，AN.∵M 为 PD 的中点，∴MN∥PO，且 MN＝1 2PO＝1.由 PO⊥平面 ABCD， 得 MN⊥平面 ABCD，∴∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角．在 Rt△DAO 中，AD＝1，AO＝1 2 ， ∴DO＝ 5 2 ，从而 AN＝1 2DO＝ 5 4 .在 Rt△ANM 中，tan∠MAN＝MN AN ＝ 1 5 4 ＝4 5 5 ，即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为4 5 5 .