考点11 推理与证明 -2021届高三《新题速递·数学（理）》4月刊（适用于高考复习）解析版

考点 11 推理与证明 一、单选题 1．（2021·河北高三月考）甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每人帽子的 颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，则甲、乙、 丙所戴帽子的颜色分别为（ ） A．红、黄、蓝 B．黄、红、蓝 C．蓝、红、黄 D．蓝、黄、红 【答案】B 【分析】丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的个头小； 乙比戴蓝帽的人个头高，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的个头高或乙比丙的个头大，但由 上述分析可知，只能是乙比丙的个头大，即戴蓝帽的是丙； 综上，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝 故选：B 2．（2021·甘肃高三二模（文））中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子·地员篇》的三分损益法， 三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其 1 3 ，即三分损一，可得出该弦音的 上方五度音；将该弦增长 1 3 ，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫､徵(zhǐ)， 商､羽､角(jué)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.若五音中的“宫”的律数为 81，请 根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为（ ） A．72 B．48 C．54 D．64 【答案】B 【分析】依题意，将“宫”的律数 81三分损一可得“徵”的律数为 181 (1 ) 54 3    ， 将“徵”的律数54三分益一可得“商”的律数为 154 (1 ) 72 3    ， 将“商”的律数 72三分损一可得“羽”的律数为 172 (1 ) 48 3    . 故选：B 3．（2021·全国高三专题练习（文））高三上学期期末考试结束后，甲､乙､丙､丁四位同学不清楚自己的总分， 仅打听到他们的总分在年级的位次(按总分由高到低的顺序排列且四人总分均不相同)是2 ､5 ､ 7 ､9中的某 一个，他们向数学老师打听自己总分的具体位次，由于成绩暂时不能公布，老师只能给出如下答复：“命题 p：甲､丙总分的位次之和大于乙､丁总分的位次之和，命题q：丁的总分最高，命题 r：四位同学中，甲 的总分不是最低的，且 ( )p q ， ( )q r 均为真命题.”据此，下列判断错误的是（ ） A．甲､乙总分的位次之和一定小于丙､丁总分的位次之和 B．若丁总分的位次是 7，则丙总分的位次一定是5 C．乙的成绩一定比其他三个都好 D．丙总分的位次可能是 2 【答案】D 【分析】由题意可知， p是真命题，q､ r是假命题， 于是甲､乙､丙､丁四位同学的总分对应的位次只能是 (9 2 5 7)，，， 或 (9 2 7 5)，，， ， ∴D选项错误， 故选:D. 4．（2021·湖南高三月考（文））关于 x的方程 2 0x ax b   ，有下列四个命题： 甲： 1x  是方程的一个根；乙： 4x  是方程的一个根； 丙：该方程两根之和为 3；丁：该方程两根异号． 如果只有一个假命题，则假命题是（ ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于 x的方程 2 0x ax b   的一根为 4， 由于两根之和为3，则该方程的另一根为 1 ，两根异号，合乎题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则 1x  是方程 2 0x ax b   的一根， 由于两根之和为3，则另一根为 2，两根同号，不合乎题意； 若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于 x的方程 2 0x ax b   的两根为1和4，两根同号，不合乎题 意； 若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于 x的方程 2 0x ax b   的两根为1和 4， 两根之和为5，不合乎题意. 综上所述，甲命题为假命题. 故选：A. 5．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､ 乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天 干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､ 乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到 60个组合， 周而复始，循环记录.已知 1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么 2021年是“干支纪年法”中的（ ） A．庚子年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【答案】B 【分析】 【详解】 天干的周期为 10，地支的周期为 12，因为 1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以 2014年为甲午年，从 2014年到 2021年，经过了 7年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即 2021年是辛丑年， 故选：B. 6．（2021·山东高三专题练习）十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分 集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去 掉中间的区间段 1 2, 3 3       ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 1 20, , ,1 3 3            分别均分为三段，并各自去 掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别 均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托 三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于 8 9 ，则需要操作的次数 n的最小值为（ ）参考数据： （ lg 2 0.3010, lg3 0.4771  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】记 na 为第 n次去掉的长度， 1 1 3 a  ，剩下两条长度为 1 3 的线段，第二次去掉的线段长为 2 2 2 1 22 3 3 a        ， 第 1n  次操作后有 12n 条线段，每条线段长度为 1 1 3n ，因此第 n次去掉的线段长度为 1 1 1 1 1 22 3 3 3 n n n n na       ， 所以 2 2 81 3 9 1 1 3 3 21 3 n n nS                   ， 2 1 3 9 n       ， (lg 2 lg3) 2 lg3n    ， 2lg3 5.42 lg3 lg 2 n    ．n的最小值为 6． 故选：C． 7．（2021·全国高三专题练习（文））新冠肺炎肆虐全，疫情波及 200多个国家和地区；一些国家宣布进入“紧 急状态”，全球股市剧烈震荡……新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响 社会生活运转.这场全球公共卫生危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个 国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人， 还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国 人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ） A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊 C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁 【答案】D 【分析】戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流， 则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲， 故选：D. 8．（2021·全国高三专题练习）古人云：“外物之味，久则可厌；读书之味，愈久愈深.”书读得越多，便越能 体会到读书的乐趣 2020年 4月 25日，第 25个世界读书日来临之际，某中学开展“我读书、我快乐”庆祝世 界读书日活动，从各个年级经过遴选，四名同学被推荐参加背诵《唐诗宋词》中著名句段篇活动，被推荐 的学生依次为甲、乙、丙、丁，为了解他们背诵的情况，问询了这四名学生，有如下答复：①甲说：“乙比 丁背的少”；②乙说：“甲比丙背的多”；③丙说：“我比丁背的多”；④丁说：“丙比乙背的多”经过评审组调 研发现，四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的一个，则 四名同学按能够背诵数量由多到少依次为（ ） A．丁、乙、丙、甲 B．丁、丙、乙、甲 C．丙、乙、丁、甲 D．乙、丁、丙、甲 【答案】A 【分析】假设甲说法正确，其他都错误，所以甲最少，则乙比丁背的少，甲比丙背的少，丙比丁少，丙比 乙少，顺序为：丁、乙、丙、甲； 假设乙正确，其他错误，所以乙最少，根据①知：乙比丁多，矛盾，排除； 假设丙正确，其他错误，则丙最少，根据②知：甲比丙少，矛盾，排除； 假设丁正确，其他错误，则丁最少，根据③知：丙比丁少，矛盾，排除. 故选：A. 9．（2021·全国高三专题练习（文））多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数 量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数＋表面数－棱长数＝2.在数学上，富勒烯的结 构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯 60C （结构图如图）是单纯用碳原子组成的 稳定分子，具有 60个顶点和 32个面，其中 12个为正五边形，20个为正六边形.除 60C 外具有封闭笼状结 构的富勒烯还可能有 28C ， 32C ， 50C ， 70C ， 84C ， 240C ， 540C ，等，则 84C 结构含有正六边形的个数为（ ） A．12 B．24 C．30 D．32 【答案】D 【分析】设 84C 分子中形状为正五边形和正六边形的面各有 x和 y个， 84V = , F x y= + ， 3 84 2E = 锤 由欧拉公式 2V F E   可得84 3 84 2 2x y+ + - 锤 = 即 44x y+ = 又由多边形的边数可表示 84C 的棱数， 即 (5 6 ) 2 3 84 2x y+ � 锤 ，即5 6 252x y+ = 44 5 6 252 x y x y      解得 12 32 x y    84C 结构含有正六边形的个数为32 故选：D 10．（2021·全国高三专题练习（文））大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”.某高校学生小刘、小李、 小孟、分别去西部某地一中、二中、三中 3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支 教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生.现知道： （1）教语文的没有分配到一中， （2）教语文的不是小孟， （3）教英语的没有分配到三中， （4）小刘分配到一中. （5）小盂没有分配到二中， 据此判断.数学学科支教的是谁？分到哪所学校？（ ） A．小刘三中 B．小李一中 C．小盂三中 D．小刘二中 【答案】C 【分析】由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中， 则可知小盂分配到三中，且教数学， 故选：C. 11．（2021·山东高三专题练习）数独起源于 18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运 用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据6 6 盘面上的已知数字，推理出 所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3 2 ）内的数字均含1 6 ，每一行，每一 列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的 a b c d   （ ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】D 【分析】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有 1—6，所以第 4行第 2列为 2，第 4行第 6列 为 5，所以 4 6 10b d    ，第 2行第 3列为 6，第 5行第 3列为 4，第 5行第 5列为 6，第 3行第 5列 为 4，第 3行第 1列为 5，所以 1 6 7a c    ， 所以 a b c d    17 . 故选：D 12．（2021·云南曲靖市·高三一模（理））杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数 学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在 1654年发现 这一规律，比杨辉要迟了 393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从 1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列： 1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第 37项是 A．153 B．171 C．190 D．210 【答案】C 【分析】由题意可得从第 3行起的每行第三个数：3 1 2,6 1 2 3,10 1 2 3 4         ，所以第 k ( 3)k  行的第三个数为  1 2 2 ,k    在该数列中，第 37项为第 21行第三个数，所以该数列的第 37项为  19 19 1 1 2 19 190 2        故选：C 13．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列 na 的通项公式为 2 2na n  ，将这个数列中的项摆放成 如图所示的数阵.记 nb 为数阵从左至右的 n列，从上到下的n行共 2n 个数的和，则数列 n n b       的前 2020项 和为（ ） A． 1011 2020 B． 2019 2020 C． 2020 2021 D． 1010 2021 【答案】D 【分析】由题意，设每一行的和为 ic 故 1 1 1 ( )... ( 2 1) 2 i n i i i i n i a a nc a a a n n i              因此： 2 1 2 ... [( 3) ( 5) ... ( 2 1)] 2 ( 1)n nb c c c n n n n n n n              1 1 1 1( ) 2 ( 1) 2 1n n b n n n n      故 2020 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ... ) (1 ) 2 2 2 3 2020 2021 2 2021 S           1010 2021 故选：D