考点14 不等式选讲 -2021届高三《新题速递·数学（理）》4月刊（适用于高考复习）解析版

考点 14 不等式选讲 一、解答题 1．（2021·河南高三月考（理））已知    | | | 2|f x x a x x x a     ． （1）当   1a  时，求不等式   0f x  的解集 M ； （2）对实数 ,m n M ，证明 2 2 81 1 m n n m    . 【答案】（1）  | 1M x x  ；（2）证明见解析. 【分析】（1）当   1a  时，    | 1| | 2| 1f x x x x x     ， 当 1x  时，    22 1 0f x x    ，不满足； 当1 2x  时，         1 2 1 2 1 0f x x x x x x        ， 当 2x  时，          1 2 1 2 1 1 0f x x x x x x x         ， 满足    0f x  ， 所以不等式   0f x  的解集  | 1M x x  . （2）证明： ,m n M ，  1 0m   ， 1 0n   ，   2 4 1 41 m n mn     ①，   2 4 1 41 n m nm    ②， 当且仅当  22 4 1m n  ，  22 4 1n m  ， 即 2m n  时取等号， ①②两不等式相加得 2 2 81 1 m n n m    ， 2 2 81 1 m n n m     . 2．（2021·全国高三专题练习（文））已知关于 x 的不等式 2 1x m x   ． （1）当 4m  时，求此不等式的解集； （2）若对任意的 1[ ]2x   ， ，不等式 2 1x m x   恒成立，求实数 m 的取值范围． 【答案】（1） 3x x  或 5 3x   ；（2） 2m m  或 5m  ． 【分析】（1） 4m  时原式化为 2 4 1 0x x    ， ①当 2x  时， 2 4 1 0x x    ， 3x  ， ②当 2x  时， 2 4 1 0x x     ，则 3 5 0x   ，∴ 5 3x  ， 综上原不等式的解集 3x x  或 5 3x   ； （2）依题意 2 1x m x   在[ 1 2] ， 上恒成立， 即 | 2 |y x m  的图像恒在直线 1y x  的上方， 如图 又 1y x  过点 2,1 ， 所以只需 12 m  或 2y m x  在 2x  时的函数值大于等于 1， 即 2m  或 5m  ， 实数 m 的取值范围为 2m m  或 5m  ． 3．（2021·全国高三月考（文））已知函数   3 2f x ax a x    的图像关于原点对称． （1）求不等式   2f x x  的解集； （2）若关于 x 的不等式   2 9 4f x mx  恒成立，求实数 m 的取值范围． 【答案】（1）{ 8x x   或1 4}x  ；（2） 1, . 【分析】（1）依题意，函数  f x 为奇函数，故  0 3 2 0f a   ，解得 3 2a   ， 当 3 2a   时，   3 33 32 2f x x x    ，    f x f x   ，经验证，满足条件，故 3 2a   成立， 故   2f x x  等价于  3 33 3 22 2x x x      ； 当 2x   时，  式化为 3 33 3 22 2x x x      ．解得 8x   ，故 8x   ； 当 2 2x   时，  式化为 3 33 3 22 2x x x     ，解得 1x  ，故1 2x  ； 当 2x  时，  式化为 3 33 3 22 2x x x     ，解得 4x  ，故 2 4x  ； 故不等式的解集为{ 8x x   或1 4}x  ； （2）作出函数  f x 的图像如图所示；因为 2 9 4y mx  的图像过定点 90, 4      ，故 0m  不合题意，舍去； 当 0m  时，临界状态为 2 9 4y mx  与直线 3y x 相切（如图）； 联立 2 9 ,4 3 , y mx y x      故 2 93 04mx x   ，解得 99 4 04 m     ，故 1m  ， 故实数 m 的取值范围为 1, ． 4．（2021·全国高三月考（理））已知函数 ( ) | 1| | 2 | ( )f x ax x a a     R ． （1）当 2a  时，求不等式 ( ) 4f x  的解集； （2）当 1a  时，若关于 x 的不等式    5 24f x mn m n   对 xR 恒成立，且 m ， n 均为正实数，求 2m n 的取值范围． 【答案】（1） 79 3x x       ；（2）[12, ) ． 【分析】（1）当 2a  时，函数 ( ) | 2 1| | 4 |f x x x    ， 即不等式为| 2 1| | 4 | 4x x    ．当 1 2x   时，不等式化为 5 4x   ， 解得 19 2x    ；当 1 42 x   时，不等式化为3 3 4x   ，解得 1 7 2 3x   ； 当 4x  时，不等式化为 5 4x   ，解得 x ．综上所述，得原不等式的解集为 79 3x x       ． （2）当 1a  时， ( ) | 1| | 2 |f x x x    | ( 1) ( 2) | 3x x     （当且仅当 2x  时取等号）． 要使不等式 5( ) ( 2 )4f x mn m n   对 xR 恒成立，等价于 max 5( ) ( 2 )4f x mn m n   ； 而 max( ) 3f x  ，只需 5 ( 2 ) 34mn m n   成立． 又 , 0m n  ， 21 1 222 2 2 m nmn m n        2( 2 ) 8 m n （当且仅当 2m n 时取等号）； 由 2( 2 ) 5 ( 2 )8 4 m n m n   5 ( 2 ) 34mn m n    ，得 2( 2 ) 5 ( 2 ) 38 4 m n m n    ， 即 2( 2 ) 10( 2 ) 24 0m n m n     ，解得 2 12m n  ，或 2 2m n   （舍去）． 故 2m n 的取值范围为[12, ) ． 5．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数 ( ) | 1| | 2 4 |f x x x    . （1）求不等式   6f x  的解集； （2）若存在 xR ，使不等式 2( ) 3| 2 | 2f x x t t    成立，求 t 的取值范围. 【答案】（1） 1,3 ；（2） 1,3 . 【分析】（1） | 1| | 2 4| 6x x    ， 1 ( 1) (2 4) 6 x x x       或 1 2 ( 1) (2 4) 6 x x x         或 2 ( 1) (2 4) 6 x x x       解得 1 1 x x      或 1 2 1 x x       或 2 3 x x    1x   或 1 2x   或 2 3x  1 3x   原不等式的解集为 1,3 （2）令 ( ) ( ) 3 2 1 | 2|h x f x x x x       则 3, 1 ( ) 2 1, 1 2 3, 2 x h x x x x           max( ) 3h x  ，  存在 xR ，使得 2( ) 3| 2 | 2f x x t t    成立， 23 2t t   ， 1 3t   故满足条件的 t 的取值范围为 1,3 6．（2021·吉林白山市·高三月考（理））已知函数 ( ) | 2| | 1|f x x a x    . （1）当 1a  时，求不等式  f x x 的解集； （2）当 2a  时，若关于 x 的不等式 ( ) 1f x m  恰有 2 个整数解，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） 1 ,3      ；（2） 0,1 . 【分析】（1）由已知不等式| 2| | 1|x x x    ，得| 2| | 1|x x x    当 2x  时，不等式为 2 1x x x    ，解得 3x   ，所以 2x  ； 当 1 2x   时，不等式为 2 1x x x    ，解得 1 3x  ，所以 1 23 x  ； 当 1x   时，不等式为 2 1x x x    ，解得 3x  ，此时无解. 综上，原不等式的解集为 1 ,3      . （2）由题意，函数 ( ) | 2| 2| 1|f x x x    ，可得 4, 1 ( ) 3 , 1 2 4, 2 x x f x x x x x            ， ( )f x 的图象如图： ( 3) 1f   ， ( 2) 2f   ， ( 1) 3f   ， (0) 0f  ， 因为关于 x 的不等式 ( ) 1f x m  恰有 2 个整数解， 由图可知，1 1 2m   ，所以 0 1m  ， 故 m 的取值范围为 0,1 .