专题01 巧求体积（解析版）-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导

巧求体积 对于空间几何体的体积的计算，只记住公式是远远不够的，还应把握图形的内在因素，灵活选择合理 的方法加以求解。现结合实例说明如下： 1.公式法 公式法的思想是：根据题意直接套用体积计算公式，求出体积。 例 1.圆锥的母线长为 1,侧面展开图的圆心角为 240 ,该圆锥的体积是多少? 解:设圆锥的底面半径为 r,圆锥母线长为 1，又圆锥侧面展开图的圆心角为 240 ， 3 2,2180 1240  rr 。 所以圆锥的高 3 5 3 21 2     h , 81 54 3 5 3 2 3 1 3 1 2 2       hrV圆锥 . 变式.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且 侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积． 解：如右图所示，在三棱台 ABCA′B′C′中，O′，O 分别为上、下底面的中心，D，D′分别是 BC，B′C′ 的中心，则 DD′是等腰梯形 BCC′B′的高， 所以 S 侧＝3×1 2 ×(20＋30)×DD′＝75DD′.又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上 ＋S 下＝ 3 4 ×(202＋302)＝325 3(cm2)．由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝13 3 3(cm)．又∵O′D′＝ 3 6 ×20＝10 3 3 (cm)，OD＝ 3 6 ×30＝5 3(cm)， ∴棱台的高 h＝O′O＝ D′D2－OD－O′D′2＝ 13 3 3 2－ 5 3－10 3 3 2 ＝4 3(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝h 3(S 上＋S 下＋ S 上 S 下) ＝4 3 3 ×(325 3＋ 3 4 ×20×30)＝1 900(cm3)． 2.作差法 作差法的思想是：将原几何体的体积转化为两个几何体体积的差，通过求体积差来计算原几何体的体积。 例 2.如图，正方形 ABCD 的边长为 a，BD 是它的对角线，弧 BD 的圆心是 A，半径为 AB，将正方形 ABCD 以 AB 边为轴旋转一周，求图中 I、II、III 三部分旋转所得几何体的体积。 分析：图中 I 旋转而成的几何体是圆锥，II 部分旋转而成的几何体是一个不规则几何体，它的体积无法直接 求得，但 I 和 II 旋转而成的几何体是一个半球，所以可用半球体积减圆锥体积求 II 部分旋转而成的几何体 的体积；III 部分旋转而成的几何体也不规则，也可通过上述方法求得。 解：图中 I 和 II 以 AB 边为轴旋转而成的几何体是一个半球，正方形 ABCD（即 I、II、III）以 AB 为轴旋转 而成的几何体是一个圆柱。设图中 I、II、III 三部分旋转所得几何体的体积分别为 1V 、 2V 、 3V ，则 3 3 3 2 3 1 2 1 1 4, ,3 3 2 3 3 3 a a aV a a V a          2 3V a a  3 31 4 .2 3 3 aa    故图中 I、II、III 三部分旋转所得几何体的体积均为 3 3 a 。 变式. 如图(单位：cm)，求下图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积． 解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．S 半球＝8π，S 圆台侧＝35π， S 圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为 68π cm2. 由 V 圆台＝1 3 ×[π×22＋ π×22×π×52＋π×52]×4＝52π，V 半球＝4 3π×23×1 2 ＝16 3 π， 所以，所求几何体的体积为 V 圆台－V 半球＝52π－16 3 π＝140 3 π(cm3)． 3.割补法 割补法的思想是：通过分割或补形，将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的 体积。 例 3.已知三棱锥 ABCD 的表面积为 S,其内有半径为 r 的内切球 O（球 O 与三棱锥 ABCD 的每个面都相切， 即球心 O 到三棱锥 ABCD 每个面的距离都为 r），求三棱锥 ABCD 的体积。 解：连接 AO、BO、CO、DO，则三棱锥 ABCD 被分割成为四个小三棱锥:OABC:、OABD、 :OACD、:OBCD，并且这四个小三棱锥的顶点都为 O,高为 r,底面分别为⊿ABC、⊿ABD、⊿ACD、⊿BCD. 故有 A BCD O ABC O ABD O ACD O BCDV V V V V        1 1 3 3ABC ABDS r S r      1 1 3 3ACD BCDS r S r       1 1 3 3ABC ABD ACD BCDS S S S r Sr            。 点评：在此例中，若将三棱锥 ABCD 改为其他棱锥或棱柱、棱台，只要存在内切球，那么就有与本例类 似的结论。 变式.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，⊿ADE、⊿BCF 均为正三角形，EF ∥AB, 2EF  ,则该多面体的体积为（ ） A. 2 3 B. 3 3 C. 4 3 D. 3 2 分析：该几何体不是规则的几何体，不易直接求体积，应将其分割转化为规则几何体。 解：如图，过 A、B 分别作 AG、BH 垂直于 EF，垂足分别为 G、H，连接 DG、CH,可证得 DG⊥EF,CH⊥EF, 多面体 ABCDEF 分为三部分，多面体 ABCDEF 的体积 ABCDEF ADG BCHV V  E ADG F BCHV V   . 1 3, 1,2 2HF BF BH    . 作 HM 垂 直 BC 于 M ， 则 M 为 BC 的 中 点 ， 则 2 2HM  , 1 2 .2 4BCHS BC HM     1 2 3 24F BCH BCHV S HF     . 2 24E ADG F BCHV V   , 2 ,4ADG BCH BCHV S GH    2 3ABCDEFV  .答案为 A。 4．等积变换法 等积变换法的思想是：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原 几何体的体积。 例 4.如图正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 a，过顶点 B、D、 1A 截下一个三棱锥。 ⑴求此三棱锥的体积； ⑵以 1BDA 为底面时，求此三棱锥的高。 D1 C1 B1A1 D C BA 分析：计算三棱锥 1A A BD 的体积，若以 A 为顶点，⊿ 1A BD 为底面，则高不好求。若以 1A 为顶点，⊿ ABD 为底面，则好求。 解:⑴以⊿ABD 为底面, 1AA 就是高,所以 32 6 1 2 1 3 1 aaaV  . ⑵若以⊿BD 1A 为底面,设高为 h,则   hahahSV BDA 22 6 324 3 3 1 3 1 1   ， 32 6 1 6 3 aha  ，解得 ah 3 3 . 点评：经常有等体积法求点到面的距离，它类似于等面积法求点到线的距离。 变式.如右图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为________． 解析：1 6 1 1 21 1 11 13 2 6D EDF EDDV V      三棱锥 三棱锥F . 求体积的方法灵活多样，在学习过程中，我们应该注意多归纳整理！ 小试牛刀 1.圆台上、下底面面积分别是 、 4 ，侧面积是 6 ，这个圆台的体积是（ ） A. 2 3 3  B. 2 3 C. 7 3 6  D. 7 3 3  1. D. ∵圆台上、下底面面积分别是 、 4 ，∴上、下底面半径分别是 1/和 2.  1 2 6 , 2l l    。  222 2 1 3h     ，  2 21 7 3 3 3V R Rr r h     。 2．如图所示，已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1 ⊥ 底 面 ABC，则三棱锥 B1－ABC1 的体积为( )． A. 3 12 B. 3 4 C. 6 12 D. 6 4 2. A 三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积， 三 棱 锥 A － B1BC1 的高为 3 2 ，底面积为1 2 ，故其体积为1 3 ×1 2 × 3 2 ＝ 3 12 3.直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，各侧棱和底面的边长均为 a ，点 D 是 1CC 上任 意一点， 连接 1 1, , ,A B BD A D AD ，则三棱锥 1A A BD 的体积为（ ） A 3 6 1 a B 3 12 3 a C 3 6 3 a D 3 12 1 a 3.B 1 1 2 21 1 3 3 3 3 2 2 12A A BD D A BA a a aV V Sh       4.若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为______. 4. 2 3 可知凸多面体可分为两个同底(底面为边长为 1 的正方形)等高(高为 2 2 )的正四棱锥，其体积为 V＝2×1 3 ×1×1× 2 2 ＝ 2 3 . 5.如图，在四边形 ABCD 中， 90DAB   ， 135ADC   ， 5AB  ， 2 2CD  ， 2AD  ， 5BC ， 求四边形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积. 5..解：由已知易得 ,2 ECDE 台下底台侧锥侧表面积 SSSS  2π 2 2 2 π (2 5) 5 π 5         (4 2 60)π  . 1 1 148π4 (4π 10π 25π) 4π 23 3 3V V V          体 锥台 . 6．如图所示，有一块扇形铁皮 OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环 ABCD，作圆台形容 器的侧面，并且余下的扇形 OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)． 试求：(1)AD 应取多长？(2)容器的容积． 6.解： (1) 设圆台上、下底面半径分别为 r、R，AD＝x，则 OD＝72－x，由题意得 60 72 122 = ,180 3672 3 RR xx R         ，即 AD 应取 36. ⑵ 2 = = 36, 63 3r OD r cm     . 圆台的高    2 22 236 12 6 6 35h x R r       。      2 2 2 2 21 1 6 35 12 12 6 6 504 353 3V h R Rr r cm           。 7.一直三棱柱高为 6 cm，底面三角形的边长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，将该棱柱削成圆柱，求削去部分体 积的最小值． 7．解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分 体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为 R，圆柱的高即为直三棱柱的高．∵在△ABC 中，AB＝3，BC＝4， AC＝5，∴△ABC 为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得 7－2R＝5，∴R＝1.∴V 圆柱＝πR2·h ＝6π.而三棱柱的体积为 V 三棱柱＝1 2 ×3×4×6＝36，∴削去部分的体积为 36－6π＝6(6－π)(cm3)，即削去 部分的体积的最小值为 6(6－π) cm3.