北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形

第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 与 下 图相比较，这 些 平行四边形特殊在哪里？ 这些平行四边形的邻边相等。 像这样的平行四边形叫做菱形。 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 图片中有你熟悉的图形吗？ 你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。 （ 1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？ 菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形。 （2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。 想一想 （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ 做一做 用菱形纸片折一折，回答下列问题： 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直。 菱形的四条边相等。 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。 通过上面的折纸活动，我们可以发现菱形的四条边相等，对角线互相垂直。下面我们证明这些结论。 （2）菱形中有哪些相等的线段？ 已知：如图，在菱形 ABCD 中， AB=AD, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证：（ 1 ） AB=BC=CD=AD ； （ 2 ） AC⊥BD. 证明： （ 1 ）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = CD ， AD= BC （菱形的对边相等） 又∵ AB=AD ∴AB=BC=CD=AD （2）∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形 又∵四边形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD 定理 菱形的四条边都相等。 定理 菱形的两条对角线互相垂直。 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质： 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。 随堂练习 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD的长. 已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求 :(1). 对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 菱形性质的应用 解 :(1) ∵四边形ABCD是菱形, =2×△ABD的面积 ∴∠AED=900, (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 ∴AC=2AE=2×12=24(cm). 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 已知，如图，在菱形 ABCD 中，∠ BAD=2∠B. 求证：△ ABC 是等边三角形。 如图，在菱形ABCD中，BD = 6，AC=8，求菱形的周长。 已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。求证：AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ABC和∠ADC. 通过本题你又能得到菱形有什么性质？ 菱形的每条对角线平分一组对角。 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 图中有多少个等腰三角形和直角三角形？ 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E,连接BE. 求证：∠AFD=∠CBE. 菱形的判别方法 : 一组邻边相等的平行四边形是菱形 . 四条边都相等的四边形是菱形 . 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 . 想一想 怎样判别一个四边形 ( 平行四边形 ) 是菱形 ? 定理 : 四条边都相等的四边形是菱形 . 菱形的判定 已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. C B D A 分析 : 利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形 , 可使问题得证 . 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形。 定理 :对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在 □ ABCD中,对角线AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是菱形 . D B C A O 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴ DA=DC.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等) ∴四边形ABCD是菱形. 分析 : 要证明 □ ABCD 是菱形 , 就要证明有一组邻边相等即可 . 课堂小结 1、 定理 : 菱形的四条边都相等 . ∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴AB=BC=CD=AD. C B D A 2 、 定理 :菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. ∴AC⊥BD, AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC. D B C A O 定理 :四条边都相等的四边形是菱形. 定理 :对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在四边形ABCD中, ∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形 . ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形. C B D A D B C A O 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 学 习 目 标 1 、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及相关结论； 2 、能用矩形的性质进行简单的证明与计算． 请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？ 边：对边平行且相等； 角：对角相等； 对角线：对角线互相平分． 新 课 导 入 分析：（ 1 ）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程． （ 2 ）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形． 定义： 有一个角是直角的平行四边形是 矩形 ． 知 识 讲 解 矩形与平行四边形之间的关系 平行四边形 矩形 （ 3 ）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）． （ 4 ）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质． ①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直； ②角：四个角是直角（性质 1 ）； ③对角线：相等且互相平分． A B C D O 定理 : 矩形的四个角都是直角 . 已知 : 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 . 分析 : 由矩形的定义 , 利用对角相等 , 邻角互补可使问题得证 . 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是矩形 . ∴∠A=90  , 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴∠C=∠A=90  , ∠B=180  -∠A=90  , ∠D=180  -∠A=90  . 求证 :∠A=∠B=∠C=∠D=90  . ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . D B C A 定理 : 矩形的两条对角线相等 . 已知 : 如图 ,AC,BD 是矩形 ABCD 的两条对角线 . 求证 : AC=BD. 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是矩形 . ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°. 分析 : 根据矩形的性质 , 可转化 为全等三角形 (SAS) 来证明 . D B C A ∵BC=CB. ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB. 推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 练一练：如图，在矩形 ABCD 中： 问：在 Rt△ABC 中，斜边 AC 上的中线是 OB ，它与斜边的关系是 OB= AC ． 问：是不是所有的三角形都有这样的性质 ? 关键是是不是任何一个三角形都可以放进一个矩形里 ? 【 例 1】 已知 : 如图 ,AC,BD 是矩形 ABCD 的两条对角线 ,AC,BD 相交于点 O,∠AOD=120°,AB=2.5cm. 求矩形对角线的长 . 解析 : ∵ 四边形 ABCD 是矩形 . D B C A O 你认为例 1 还可以怎么去解？ 定理 : 有三个角是直角的四边形是矩形 . 已知 : 如图 , 在四边形 ABCD 中 ,∠ A=∠B=∠C=90°. 分析 : 利用同旁内角互补 , 两直线平行来证明四边形是平行四边形 , 可使问题得证 . 证明 : ∵ ∠A=∠B=∠C=90°. ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC,AB∥CD. 求证 : 四边形 ABCD 是矩形 . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . D B C A ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 结论 定理 : 对角线相等的平行四边形是矩形 . 已知 : 如图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC=BD. 求证 : 平行四边形 ABCD 是矩形 . D B C A 分析 : 要证明 □ ABCD 是矩形 , 只要证明有一个角是直角即可 . 证明 : ∴AB=CD,AB∥CD. ∵AC=DB,BC=CB. ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=90°. ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 下列各句判定矩形的说 法是 否正确？为什么？ （ 1 ）对角线相等的四边形是矩形；（ ） （ 2 ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ） （ 3 ）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ） （ 4 ）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） √ √ 跟踪训练 ╳ ╳ 定理 : 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 , 那么这个三角形是直角三角形 . 求证 :△ABC 是直角三角形 . 已知 :CD 是△ ABC 边 AB 上的中线 , 且 E A B C D 分析 : 要证明△ ABC 是直角三角形 , 可以将点 A,B,C 构造平行四边形 , 然后证明其对角线相等 , 即可证明是矩形 . 证明 : 延长 CD 到 E, 使 DE=DC, 连接 AE,BE. ∴ 四边形 ACBE 是平行四边形 . ∵AB=2CD,CE=2CD. ∴ AC=DB. ∴ 四边形 ACBE 是矩形 . ∵ AD=BD,CD=ED. ∴∠ACB=90°. ∴△ABC 是直角三角形 . 1 ．如图所示，已知 □ ABCD ，下列条件：① AC=BD ，② AB=AD ，③∠ 1=∠2 ，④ AB⊥BC 中，能说明 □ ABCD 是矩形的有 （填写序号） . 解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义 . 答案：① ④ 随 堂 练 习 2 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 8 ， AD 是底边上的高， E 为 AC 的中点，则 DE ＝ 　　　 ． 解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得， DE 等于 AC 的一半，所以 DE=4. 答案： 4 3 ．如图，在等边△ ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，以 AD 为边作等边△ ADE ．（ 1 ）求∠ CAE 的度数； （ 2 ）取 AB 边的中点 F ，连结 CF 、 CE ，试证明四边形 AFCE 是矩形． 解析：（ 1 ）在等边△ ABC 中，∵点 D 是 BC 边的中点，∴∠ DAC ＝ 30º ，又∵等边△ ADE ，∴∠ DAE ＝ 60º ，∴∠ CAE ＝ 30º. （ 2 ）在等边△ ABC 中，∵ F 是 AB 边的中点， D 是 BC 边的中点，∴ CF ＝ AD ，∠ CFA ＝ 90º ，又∵ AD ＝ AE ，∴ AE ＝ CF ，由（ 1 ）知∠ CAE ＝ 30º ，∴∠ EAF ＝ 60º+30º ＝ 90º ，∴∠ CFA ＝∠ EAF ，∴ CF∥AE ，∵ AE ＝ CF ，∴四边形 AFCE 是平行四边形，又∵∠ CFA ＝ 90º ，∴四边形 AFCE 是矩形． 4 ．已知：如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形 ABD 和 BCD 组成的， M 、 N 分别为 BC 、 AD 的中点． 求证：四边形 BMDN 是矩形． 证明：在正三角形 ABD 和 BCD 中， M 、 N 分别为 BC 、 AD 的中点 . ∴ BN⊥AD ， DM⊥BC ，∠ DBC=60° ， ∠BND=∠DMB=90° ，∠ NBD=30°. ∴∠NBM=90°. ∴ 四边形 BMDN 是矩形 . 通过本课时的学习，需要我们掌握： 1 、矩形的性质： （ 1 ）矩形的四个角都是直角； （ 2 ）矩形的对角线相等； （ 3 ）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 2 、矩形的判定定理： （ 1 ）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； （ 2 ）对角线相等的平行四边形是矩形； （ 3 ）有三个角是直角的四边形是矩形 . 3 、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 . 本 课 小 结 第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形 ． 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方 形 . 定 义 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形． 正方形的性质 = 菱形的性质 + 矩形的性质 . 定理 : 正方形的两条对角线相等 , 并且互相垂直平分 , 每条对角线平分一组对角 . 求证 :(1)AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO; (2)AC 平分∠ BAD 和∠ BCD, BD 平分∠ ADC 和∠ ABC. 已知 : 四边形 ABCD 是正方形 ,AC,BD 是它的两条对角线 . A B C D O 分析 : 因为正方形具有矩形和菱形的所有性质 , 所以结论易证 . 证明 : ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 , 也是矩形 , 也是菱形 . ∴AO=CO,BO=DO; AC=BD,; ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , AC⊥BD; AC 平分∠ BAD 和∠ BCD,BD 平分∠ ADC 和∠ ABC. 定理 : 正方形的四个角都是直角 , 四条边都相等 . 求证 : (1) ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. (2)AB=BC=CD=DA. 分析 : 因为正方形具有矩形和菱形的所有性质 , 所以结论易证 . A B C D 已知 : 四边形 ABCD 是正方形 . 证明 : ∴ 四边形 ABCD 是矩形 , 也是菱形 . ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90 ° , AB=BC=CD=DA. ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , 对角线相等的菱形是正方形 . 有一个角是直角的菱形是正方形 . 对角线互相垂直的矩形是正方形 . 正方形的判定方法： 2. 在正方形 ABCD 的外侧作等边△ ADE ，则∠ AEB 的度数为（ ） 1. 在 □ ABCD 中， AC 平分 ∠ DAB ， AB=3 ， 则 □ ABCD 的周长为（ ） 随 堂 练 习 A ． 6 B ． 9 C ． 12 D ． 15 A B C D 【 解析 】 选 C. 可证明 □ ABCD 是菱形． A ． 10° B ． 12.5° C ． 15° D ． 20° C 3. 如图所示，在菱形 ABCD 中，两条对角线 AC ＝ 6 ， BD ＝ 8 ，则此菱形的边长为（ ） A ． 5 B ． 6 C ． 8 D ． 10 A B C D 【 解析 】 选 A. 根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理得菱形的边长为 5. 4 ．若一个菱形的边长为 2 ，则这个菱形两条对角线长的平方和为（ ） A ． 16 B ． 8 C ． 4 D ． 1 A 5. 如图，已知正方形 ABCD ，以 AB 为边向正方形外作等边三角形 ABE ，连结 DE ， CE ，则 ∠ DEC =_______. 【 解析 】△ABE 为等边三角形∠ BAE=60° ， ∠ DAE=150° ， △ ABE 为等腰三角形， ∠ AED=15° 同理∠ BEC=15° 所以∠ DEC=30° 答案： 30° 6. 如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点， E 、 F 分别在 AD 及其延长线上， CE∥BF ，连接 BE 、 CF ． (1) 求证：△ BDF≌△CDE ； (2) 若 AB=AC ，求证：四边形 BFCE 是菱形． 【 证明 】 （ 1 ）∵ D 是 BC 的中点，∴ BD=CD. ∵CE∥BF ，∴∠ DBF=∠DCE. 又∵∠ BDF=∠CDE ，∴△ BDF≌△CDE. （ 2 ）∵△ CDE≌△BDF ，∴ DE=DF. ∵BD=CD ，∴四边形 BFCE 是平行四边形 . 在△ ABC 中，∵ AB=AC ， BD=CD ， ∴ AD⊥BC ，即 EF⊥BC. ∴ 四边形 BFCE 是菱形 . 本 课 小 结 2 、正方形常用的判定方法： (1) 对角线相等的菱形是正方形 . (2) 有一个角是直角的菱形是正方形 . (3) 对角线互相垂直的矩形是正方形 . 1 、正方形的性质： (4) 有一组邻边相等的矩形是正方形 . 菱形的性质 + 矩形的性质