北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 5x-15=0 认识一元二次方程 相同点： 方程两边都是整式;都含有一个未知数 不同点： 一元二次 方程要素 ①方程两边都是整式 ②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2次 1、判断下列方程中,哪些是一元二次方程? (⑴)x2 + -3=0 (2)x3-x+4=0 (3) x2 -2y-3=0 (4) –5y2 ＋3y +1=0 (5) 2x2=0 (6)4x2＋3x-2=(2x-1)2 x2 1 (不是) (不是) (不是) ( 是 ) ( 是 ) (不是 ) 为什么第6 小题不是呢? 4x2＋3x －2=(2x-1)2 你是怎么解这题的? 4x2＋3x －2=4x2-4x+1(完全平方公式) 4x2—4x2＋3x +4x=1+2 (移项) (合并同类项)7x =3 说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须 先将方程化为一般形式。 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并 写出它的二次项系数，一次项系数及常数项。 解: 去括号，得3x2-3x=2x-4-4 移项，合并同类项，得方程的一般形式： 3x2-5x+8=0 它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是8 已知关于x的方程 (m+1)x2+3x+1=0,它是一元二 次方程吗？ 解：根据一元二次方程的定义, 只需m +1≠0 在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么 感想？ 1. 一元二次方程的定义 第二章 一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程 开心练一练： (1) 19 2 x (2) 2)2( 2 x 2、下列方程能用直接开平方法来解吗? 1、用直接开平方法解下列方程: 静心想一想： (1) (2) 2442  xx 936122  xx (3) 01562  xx 能否把(3)转化成 (x+b)2=a(a≥0) 的形式呢? (1) (2) (3)  xx 62 =( + )2x  xx 42 =( )2x  xx 82 =( )2x 左边:所填常数等于一次项系数一半的平方. 右边:所填常数等于一次项系数的一半. 23 3 22 2 24 4 2 p 填上适当的数或式,使下列各等式成立. 大胆试一试： 共同点： ( )2 2 p =( )2x(4)  pxx2 观察(1)(2)看所填的 常数与一次项系数之 间有什么关系? (1)(2)的结论适合 于(3)吗? 适用于(4)吗? 现在你会解方程 吗?01562  xx 把常数项移到方程右边得： 1562  xx 两边同加上 得： 23 222 31536  xx 即 24)3( 2 x 两边直接开平方得： 623 x 6232 x 解: ∴原方程的解为 ,6231 x 如何配方? 例1: 用配方法解方程 0762  xx 解: 配方得： 开平方得： 762  xx 3736 222  xx 43 x 16)3( 2 x即 7 , 1 21  xx 移项得： ∴原方程的解为： 一次项系数 变为负又如 何配方呢? 例2: 你能用配方法解方程 吗？ 062 2  xx 解: 配方得： 开平方得： 32 12  xx )4 1(3)4 1(2 1 222  xx 4 7 4 1 x 16 49)4 1( 2 x即 2 3 , 2 21  xx 032 12  xx 移项得： ∴原方程的解为： 化二次项系数为1得： 1、用配方法解下列方程: 2、用配方法将下列式子化a(x+h)2+k的形式。 (1)x2+8x-15=0 (2)x2-5x-6=0 (3)2x2-5x-6=0 (4) x2+px+q=0(p2-4q＞ 0) (3) -3x2-2x+1 (2) x2-x+1 (1) y2+y-2 （2）移项 （3）配方 （4）开平方 （5）写出方程的解 2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤： 1、配方法： 通过配方,将方程的左边化成一个含未 知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平 方求出方程的解的方法。 (1)化二次项系数为1 小结 第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程 公式法是这样产生的 你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗? w1.化1:把二次项系数化为1; w3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; w4.变形:方程左分解因式,右边 合并同类; w5.开方:根据平方根意义,方程 两边开平方; w6.求解:解一元一次方程; w7.定解:写出原方程的解. w2.移项:把常数项移到方程的右边; w 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 w老师提示用公式法解一元二次方程的前提是: w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). w2.b2-4ac≥0. 当 时，方程有实 数根吗？ w 例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 w1.变形:化已知方 程为一般形式; w3.计算: b2-4ac 的值; w4.代入:把有关数 值代入公式计算; w5.定根:写出原方 程的根. w2.确定系数:用a, b,c写出各项系数; 例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3 ∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 即 x1= - 3 x2= 求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 解：a= ，b= ，c = . b2- 4ac= = . x= = = . 即 x1= , x2= . （口答）填空：用公式法解方程 2x2+x-6=0 2 1 -6 12-4×2×(-6) 49 -2 求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 22 491   4 71 2 3 a= ，b= ，c = . b2-4ac= = . x= = = . 即 x1= , x2= . 例3：用公式法解方程 x2+4x=2 1 4 -2 42-4×1×(-2) 24 12 244   2 624 解：移项，得 x2+4x-2=0 这里的a、b、 c的值是什么？ 62  62  3、代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 4、写出方程的解： x1=?, x2=? xx 3232  解： 03322  xx原方程化为：   031432 2 acb 42  3,32,1  cba   32 32 12 032  x 021  xx 042  acb 思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互 为相反数？ 2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两 个相等的实数解 02  cbxax  0a解：一元二次方程 02  cbxax 的解为： a acbbxa acbbx 2 4,2 4 2 2 2 1  21 xx  a acbb a acbb 2 4 2 4 22  a b a b 22  0b  0a ccba  ,7,2 02474 22  cacb又 8 49,498  cc 即 4 7 22 7 221  a bxx 已知方程 ,04,072 22  acbcxx 求c和x的值. 小结 042  acb 042  acb acb 42  第二章 一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 教 学 目 标 1、熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。 2、通过因式分解法解一元二次方程的学习，树 立转化的思想。 重 点 难 点 重点：用因式分解法解一元二次方程 难点：正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（ A、B表示 两个因式） 自 学 检 测 题 1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？ 2、用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么？ 3、用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么? 4、用因式分解法解一元二方程，必须要先化成一般 形式吗？ 因式分解主要方法: (1)提取公因式法 (2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b) a2±2ab+b2=(a±b)2 因式分解法 解方程:4x2=9 解：移项，得 04 92 x 利用平方差公式分解因式，得 0)2 3)(2 3(  xx 可得 .02 302 3  xx 或 .2 3,2 3 21  xx所以，原方程的根是 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法 叫做因式分解法。它的基本步骤是： (1)若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； (2)将方程的左边分解因式； (3)根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解 两个一元一次方程。 填空： （1）方程x2+x=0的根是 ； （2）x2－25=0的根是 。 x1=0,x2=-1 x1=5,x2=-5 例1 解下列一元二次方程： (3x－4)2=(4x－3)2. 解:移项，得 （3x-4)2-(4x-3)2=0. 将方程的左边分解因式，得 [(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0, 即 (7x-7) (-x-1)=0. ∴7x-7=0,或 -x-1=0. ∴x1=1, x2=-1 (1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6; (3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2 094 x 2 (5) 用因式分解法解下列方程： 练 一 练 1.解方程 x2－2√3x=-3 2.若一个数的平方等于这个数本身,你能求出 这个数吗(要求列出一元二次方程求解)? 注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解 成两个一次因式的积时，则用因式分解法解 方程比较方便. 练 一 练 因式分解法解一元二次方程的基本步骤： （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二 次方程转化为解两个一元一次方程。 能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例1这样的，移 项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化 成一般式再因式分解. 课堂小结 第二章 一元二次方程 *2.5 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： x= a acbb 2 42  (b2-4ac≥ 0) 一元二次方程根与系数的关系 1. 填表，观察、猜想 方程 x1, x2 x1+ x2 x1. x2 x2- 2x+1=0 1,1 2 1 x2+3x- 10=0 2,-5 -3 -10 x2+5x+4=0 -1,-4 -5 4问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； ② x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律。 2 0px qx   如果关于x的方程 的两根是 , ,则:x 1 x2 根与系数的关系 如果方程二次项系数不为1呢? 方 程 x1, x2 x1+ x2 x1. x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律； ①用语言叙述发现的规律； ② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律 。 一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理） 如果方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根是x1 , x2 , 那么x1+x2= - , x1x2= 注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0 韦达（1540－1603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。 第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改 进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过 律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对 西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达 还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使 用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了 代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根 的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关 系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系 的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 一元二次方程根与系数关系的证明： a acbbx 2 42 1  a acbbx 2 42 2  X1+x2= a acbb 2 42  a acbb 2 42  + = a b 2 2 = - X1x2= a acbb 2 42  a acbb 2 42 ● = 24 2)42(2)( a acbb  = 24 4 a ac = 例 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的 另一个根及k的值。 解：设方程的另一个根为 x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数关系，得2x1＝3k 即 2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。 练习 已知关于x的方程 012)1(2  mxmx 当m= 时,此方程的两根互为相反数. 当m= 时,此方程的两根互为倒数. －1 1 练习　 已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是 。 2和-1 解法(一):设两数分别为x , y则: 1 yx 2 yx{ 解得: x=2 y=－1{ 或 ｘ＝－1 y=2{ 解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两 根则: 022  aa 求得 1,2 21  aa ∴两数为2,－１ 　已知两个数的和与积，求两数　 拓展：方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 解:由已知, 0)1(44 2  mmm△= 01 21  m mxx 即 m>0 m-1