北师大版九年级数学上册第三章概率的进一步认识

第三章 概率的进一步认识 3.1 用树状图或表格求概率 在 一次试验中，如果可能出现的结果只有____个，且各种结果出现的可能性大小____，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。 用树状图或表格求概率 有限 相等 当 一次试验 要涉及 两个因素 (如:同时掷两个骰子） 或一个因素做两次试验 （如:一个骰子掷两次）并且可能出现的结果数目较多时,为 不重不漏 地列出所有可能的结果，通常可以采用 列表法 ，也可以用 树状图 。 这个游戏对小亮和小明公平吗？ 小 明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议 :我从红桃中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时，你得1分，为偶数我得1分,先得到10分的获胜”。 如果你是小亮,你愿意接受这个游戏的规则吗? 为什么？ 解：我不 愿意接受这个游戏的规则，理由如下： 列表： 由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等。 解：根据题意，画出如下树形图： 由树形图可以看出,在两堆牌中分别取一张,有36种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等。 因为P(A) < P(B),所以如果我是小亮,我不愿意接受这个游戏的规则。 当一次试验要涉及两个因素 , 并且可能出现的结果数目较多时 , 为了不重不漏的列出所有可能的结果 , 通常采用列表法 . 一个因素所包含的可能情况 另一个因素所包含的可能情况 两个因素所组合的所有可能情况 , 即 n 在 所有可能情况 n 中 , 再找到满足条件的事件的个数 m, 最后代入公式计算 . 列表法中表格构造特点 : 当一次试验中涉及 3 个因素或更多的因素时 , 怎么办 ? 想一想，什么时候用“列表法”方便，什么时候用 “树形图”方便？ 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 当一次试验涉及 两个因素 时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用 列表法 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I 当一次试验涉及 3 个因素或 3 个以上的因素 时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用 树形图 例 2. 同时抛掷三枚硬币 , 求下列事件的概率 : (1) 三枚硬币全部正面朝上 ; (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上 ; (3) 至少有两枚硬币正面朝上 . 解 : 由树形图可以看出,抛掷3枚硬币有8种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等. (1)满足三枚硬币全部正面朝上(记为事件A)的结果有1种 (2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上(记为事件B)的结果有3种 (3)满足至少有两枚硬币正面朝上(记为事件C)的结果有4种 第三章 概率的进一步认识 3.2 用频率估计概率 用列举法求 概率的条件是什么 ? (1) 实验的所有结果是有限个 (n) (2) 各种结果的可能性相等 . 当 实验的所有结果不是有限个 ; 或各种可能结果发生的可能性不相等时 . 又该如何求事件发生的概率呢 ? 3.2 用频率估计概率 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果 . 投篮次数（ n ） 50 100 150 200 250 300 350 投中次数（ m ） 28 60 78 104 123 152 251 投中频率（ ） 把全班同学分成 10 组，每组同学掷一枚硬币 100 次，整理同学们获得的试验数据，并记录在表中 . 第一组的数据填在第一列，第一、二组的数据之和在第二列， … ， 10 个组的数据之和填在第 10 列 . 根据上表中的数据，在图中标注出对应的点. 投掷次数 n O 0.5 1 100 200 300 400 600 800 900 500 700 1000 “正面向上”的频率 请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？ 在抛掷一枚硬币时，结果不是“正面向上”就是“反面向上”，因此，从上面提到的试验中也能得到相应“反面向上”的频率 . 当“正面向上”的频率逐渐稳定到 0.5 时，“反面向上”的频率呈现什么规律吗？容易看出，“反面向上”的频率也相应地稳定到 0.5 ，于是我们也用 0.5 这个常数表示“反面向上”发生的可能性的大小，至此，试验验证了我们的猜想：抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半） . 因为在 n 次试验中，事件 A 发生的频数 m 满足 0≤ m ≤ n ，所以 ，进而可知频率 所稳定到的常数 p 满足 0≤ p ≤1 ，因此 0≤P( A ) ≤1 。 上面我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件发生的可能性的大小 . 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频 率会 稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的 概率 ，记为 P （ A ）＝ p . 事件一般用大写英文字 母 A ， B ， C … 表示 历史上，有人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，他们的试验结果见表 试验者 抛掷次数（ n ） “正面向上”次数（ m ） “正面向上”频率（ ） 莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势有何规律？ 观 察 在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在 0.5 的左右摆动 . 从一定的高度落下的图钉，落地后可能图钉尖着地，也可能图钉尖不找地，估计一下哪种事件的概率更大，与同学合作，通过做实验来验证一下你事先估计是否正确？ 你能估计图钉尖朝上的概率吗？ 【 拓展 】 你能设计一个利用频率估计概率的实验方法估算该不规则图形的面积的方案吗 ? 了解了一种方法 ---- 用多次试验频率去估计概率 体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率 弄清了一种关系 ------ 频率与概率的关系 　　当 试验次数很多或试验时样本容量足够大 时 , 一件事件发生的 频率 与相应的 概率 会非常接近 . 此时 , 我们可以用一件事件发生的 频率 来估计这一事件发生的 概率 .