北师大版八年级数学上册第三章位置与坐标

第三章 位置与坐标 1 确定位置 新知导入 生活中我们常常需要确定物体的位置。如， 确定学校、家庭的位置，确定地图上城市的位置， 在棋盘上确定棋子的位置，在海战中确定战舰的 位置 …… 怎样确定位置呢？ 生活中常常需要 确定物体的位置 温故启新 ★ 在数轴上 , 如何确定一个点的位置呢 ? A 点记作 -2,B 点记作 3. 也就是说 , ★ 在平面内 , 又如何确定一个点的位置呢 ? 例如 : 在直线上一般用一个数据就可以表示一个点的位置． 探究 1 （ 1 ）在电影院内如何找到电影票上指定的位置？ 在电影院里如何找到电影票上所指的位置？ 问题情境 (1) 电影票上，“ 6 排 3 号”与“ 3 排 6 号”中的“ 6” 的含义有什么不同？ 双号 单号 6 排 3 号 3 排 6 号 问题情境 双号 单号 3 六排 六排 （ 2 ） 如果将“ 6 排 3 号”简记作（ 6 ， 3 ），那么“ 3 排 6 号”如何表示？（ 5 ， 6 ）表示什么含义？ （ 6 ， 5 ）呢 ? 1 、电影院内，确定一个位置一般需要几个数据？ 为什么？ 答 : 两个数据，排数和号数。 新知概括 你能用两个数据表示你现在所坐的位置吗 ? 3 、学有所用 2 、这两个数据前后顺序可以变换吗？ (8 ， 3) (3 ， 8) 有序数对 (4) 在只有一层的电影院内，确定一个座位一般需要几个数据？ 答 : 两个数据 : 排数和号数 . (1) 开家长会时 , 你是如何向你的家长介绍你所坐 的位置呢 ? 学有所用 探究 2 . 据新华社报道， 2008 年 5 月 12 日 14 ： 28 ，我国四川省发生里氏 8.0 级强烈地震，震中位于阿坝州汶川县境内，震中位于 北纬 31.4° ，东经 103.6° ．在这次地震中有 69 142 人遇难， 17 551 人失踪．这是新中国成立以来破坏性最强、波及范围最大的一次地震．地震重创约 50 万 km 2 的中国大地！你能在图 中找到震中的大致位置吗？ 汶川 31.4° 103.6° （ 1 ）北偏东 40° 的方向上有哪些目标？要想确定敌舰 B 的位置 , 还需要什么数据 ? 答：对我方潜艇来说，北偏东 40° 的方向上有两个 目标：敌舰 B 和小岛；要想确定敌舰 B 的位置 , 还需要知道敌舰 B 距我方舰艇的距离 . 探究 3 . 下 图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图 ( 图中 1 cm 表 示 20 n mile). 对我方舰艇来说 : 1 厘米 1 厘米 1.4 厘米 （ 2 ）距我方潜艇 20 n mile 处的敌舰有哪几艘？ 答 : 距我方潜艇 20 n mile 处的敌舰有两艘：敌舰 A 和敌舰 C . 1cm 1cm 1.4cm （ 3 ）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？ 答 : 要确定每艘敌舰的位置，各需要两个数据：方位角和距离 . 1 厘米 1 厘米 1.4 厘米 如何表示敌舰 A ， B ， C 的位置 ? 答 : 对我方潜艇来说，敌舰 A 在正南方，距离为 20 n mile 处；敌舰 B 在北偏东 40° ，距离为 28 n mile 处；敌舰 C 在正东方向，距离为 20 n mile 处 . 1 cm 1cm 1.4 cm 学以致用 40° 我方舰艇 敌方战舰 B 敌方战舰 A 敌方战舰 C 某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图 小岛 20 海里 （ 1 ）对我方舰艇来说，北偏东 40 度的方向上有哪些目标？要确定敌舰 B 的位置，还要知道什么？ （ 2 ）距离我方舰艇 2 ０海里处的敌舰有哪几艘？ （ 3 ）要确定每艘舰艇的位置，各需要什么数据？ 敌方战舰 B 和 我方潜艇的距离。 敌方战舰 A ， 敌方战舰 C 方位角和距离 A B C 20 海里 北 南 西 东 O 船只定位 人们有时用两个角度确定海上航行船只的位置，如图，对于在大海中航行的船只 A ，海岸线上的 B ， C 两个观测点上只要同时观测到船只相对于每个观测点的方位角，即可准确确定这艘船只的位置． 事实上，如图所示，根据 B ， C 两个观测点所测得的方位角即可确定船只的方位。这是因为，对于固定的点 B ， C ，船只 A 即在射线 BA 上，又在射线 CA 上，两条射线的交点就是这艘船的位置。 延伸阅读 如图是广州市地图简图的一部分，如何向同伴介绍“广州起义烈士陵园”所在的区域？“广州火车站”呢？ 合作交流 议一议 它是如何确定位置的 ? 这种确定位置的方法是哪种定位方法 ? 区域定位 在生活中，还有哪些用类似方法确定物体的位置的实例 ? 学有所用 (1) 在平面内，确定一个物体的位置一般需要几个数据 ? 答 : 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两 个数据． (2) 在空间内 , 确定一个物体的位置一般需要几个数据 ? 请举例说明 . 答 : 在空间内，确定一个物体的位置一般需要 3 个数据 . 如 , 在多层的电影院中确定位置就需要知道几层几排几号共 3 个数据 . 若设着两个数据分别为 a 和 b ，则： a 表示：排数、行数、经度、角度、角度 …… b 表示：号数、列数、纬度、距离、角度 ……. 学有所思 ★ 知识能力： 在平面内，确定一个点的位置一般需要两个数据；　　　 ★ 思想方法： 1. 数形结合． 3. 感受生活 — 认知规律 — 运用规律． 感悟与收获 1 ．在现实情境中感受了确定物体位置的多种方式 , 并 能灵活 运用不同方式确定物体的位置． 2 ．在直线上，确定一个点的位置一般需要一个数据； 在空间内，确定一个点的位置一般需要三个数据 . 2. 分类讨论 第三章 位置与坐标 2 平面直角坐标系 ８ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ ● ● ● ● ● ● ● ● 大门 食堂 宿舍楼 宣传橱窗 实验楼 教学楼 运动场 办公楼 (9,6) (8,5) (3,7) (6, 8 ) (7,4) (2,2) (3,3) (5,2) 请同学们说出以下各个地点所表示的有序数对 . 一、情景导入 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A B C D E F G A 点 是 （０，０） B 点 是 （２，１） 　图中五角星五个顶点的位置如何表示？ Ｃ 点是 （　，　 ） Ｄ 点是 （　，　） Ｅ 点是 （　 ， ） Ｆ 点是 （　　 ，） Ｇ 点是 （　 ， ） ７ 10 ３ ７ ４ 10 ２ 11 ７ ２ 1 3 4 5 6 2 7 14 11 12 13 8 9 10 学习目标 1. 知识目标 （ 1 ） 通过复习使学生掌握平面直角坐标系的相关概念； （ 2 ） 掌握坐标系中特殊位置点的坐标规律 . 2. 教学重点 相关知识的回顾，各种不同情境中点的坐标求法 . 3. 教学难点 较复杂背景中点的坐标求法 . 特点：①两条数轴互相 垂直 ② 公共 原点 1. 平面直角坐标系 : 在平面内，两条互相垂直 且有 公共原点 的数轴组成平面直角坐标系 . 1 2 3 4 x 4 3 2 1 -4 -3 -2 - 1 -1 -2 -3 -4 0 y 教材解析 5 -5 -2 -3 -4 -1 3 2 4 1 -6 6 y -5 5 -3 -4 4 -2 3 -1 2 1 -6 6 o X x 轴或横轴 y 轴或纵轴 原点 ① 两条数轴　②互相垂直　 ③公共原点 ，叫平面直角坐标系 平面直角坐标系 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 注意 : 坐标轴上的点不属于任何象限 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y A M N （ 7 ， 8 ） ---------------------- ﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉ O -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 A 点的坐标记作 A (7 ， 8). (1). 过 A 点向 x 轴作垂线，垂足 M 在 x 轴上的坐标是 7, A 点的横坐标为 7 ； (2). 过 A 点向 y 轴作垂线 , 垂足 N 在 y 轴上的坐标是 8, A 点的纵坐标为 8. 2. 如何确定平面直角坐标系中点的坐标？ 我们规定：横坐标在前 , 纵坐标在后 例 1 在坐标系中标出下列各点的坐标，并依次连接各点 . 解： A （ -2 ， 0 ） B （ 0 ， -3 ） C （ 3 ， -3 ） D （ 4 ， 0 ） E （ 3 ， 3 ） F （ 0 ， 3 ） 典例透析 1. 点 B 与 C 的纵坐标相同，线段 BC 的位置有什么特点？ 纵坐标 相同的点的连线 平行 于 x 轴 2 . 线段 CE 的位置有什么特点？ 横坐标 相同的点的连线 平行 于 y 轴 3 . 坐标轴上的点的坐标有什么特点？ x 轴上 的点的纵坐标为 0 ，表示为 （ x ， 0 ） y 轴上 的点的横坐标为 0 ，表示为 （ 0 ， y ） 思考 例 2 如图, 矩形 ABCD 的长宽分别是6 , 4 , 建立适当的坐标系,并写出各个顶点的坐标. B C D A 解: 如图,以点 C 为坐标 原点, 分别以 CD , CB 所 在的直线为 x 轴, y 轴建 立直角坐标系. 此时 C 点坐标 为( 0 , 0 ). x y (0 , 0 ) 0 ( 0 , 4 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 0) 由 CD 长为6, CB 长为4, 可得 D , B , A 的坐标分 别为 D ( 6 , 0 ), B ( 0 , 4 ), A ( 6 , 4 ) . 　 例 3 　一个直四棱柱的俯视图如图所示 . 请建立适当的坐标系，在直角坐标系中作出俯视图，并标出各顶点的坐标 . 0 y (cm ) x (cm ) 解　建立直角坐标系如图，选择比例为 1 ： 10 . 取点 E 为直角坐标系的原点，使俯视图中的线段 AB 在 x 轴上， 则可得 A ， B ， C ， D 各点的坐标分别为（ -1 ， 0 ），（ 2 ， 0 ），（ 2.5 ， 1.5 ），（ 0 ， 3.5 ） . 根据上述坐标在直角坐标系中作点 A 、 B 、 C 、 D ，并用线段依次连结各点 . 如图就是所求作的俯视图 . A B C D （ - 1 , 0 ) ( 2 , 0 ） （ 2.5 , 1.5 ） （ 0 , 3.5 ） -1 1 2 1 2 3 A B C D 100 200 200 150 50 E 单位： mm 当 堂检测 1. 点（ -1 ， 2 ）在（ ） A. 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 2. 若点 （ x ， y ） 在第四象限内，则（ ） A . x ， y 同 是正数 B. x ， y 同 是负数 C . x 是 正数 ， y 是 负数 D. x 是 负数 ， y 是 正数 3. 横坐标是正数，纵坐标的绝对值是正数的点在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三象限 D. 第一、四象限 4. 若点 P （ a ， b ）在第二象限，则点 Q （ - a ， b +1 ）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B C D A 5. 点 M （ - 8 ， 12 ）到 x 轴的距离是 ， 到 y 轴的距离是 . 6. 若 点 P 在第三象限且到 x 轴的距离为 4 ，到 y 轴的 距离为 1.5 ，则点 P 的坐标是 . 4. x 轴 上的点 P 到 y 轴 的距离为 2.5, 则点 Ｐ 的坐标为（ 　） Ａ . （ 2.5,0) 　 B . (- 2.5,0) 　 C .( 0,2.5) D . ( 2.5,0) 或 (-2.5,0) D 12 8 ( － 1.5 , － 4) ( 3 , 0 )   7 . 如图正三角形 ABC 的边长为 6 , 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 . 解: 如图,以边 AB 所在的直线为 x 轴,以边 AB 的中垂线 y 轴建立直角坐标系.   A B C y x o ( -3 , 0 ) ６ ３ 1. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 . 2. 给出坐标平面内的一点，可以用它所在象限或 坐 标 轴来描述这个点所在平面内的位置 . 3. 要记住各象内点的坐标的符号，会根据对称的知识找出已知点关于坐标轴或原点的对称点 . 小 结 第三章 位置与坐标 3 轴对称与坐标变化 知识回顾 1 、什么是平面直角坐标系？ o 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x x 轴或横轴 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 y y 轴或纵轴 原点 横轴、纵轴 统称 为坐标轴 2 、在坐标平面内如何表示一 个点的位置？ O 1 2 -2 x y 讨论 1 ： 写出点 P （ 2 ， -3 ）分别关于 x 轴、 y 轴和坐标原点对称点的坐标 P P 2 P 3 ① 点 P （ 2 ， -3 ）关于 x 轴对称点的坐标 （ 2 ， 3 ） ② 点 P （ 2 ， -3 ）关于 y 轴对称点的坐标 （ -2 ， -3 ） ③ 点 P （ 2 ， -3 ）关于坐标原点对称点的坐标 （ -2 ， 3 ） P 1 3 1 4 2 -2 -1 -3 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y · P o · P x 点 P （ a ， b ） 关于 x 轴对称的点的坐标是： 关于 y 轴对称的点的坐标是： 关于 原点对称的点的坐标是： P · P y · （ a ， - b ） （ - a ， b ） （ - a ， - b ） 3 1 4 2 -2 -1 -3 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y · P o · P x 点 P （ 4 ， -3 ）关于 x 轴对称的点的坐标是： 关于 y 轴对称的点的坐标是： 关于 原点对称的点的坐标是： P · P y · （ 4 ， 3 ） （ -4 ， -3 ） （ -4 ， 3 ） ① 点 M （ m ， n ）关于 x 轴对称的点的坐标是 M 1 （ m ， - n ） ② 点 M （ m ， n ）关于 y 轴对称的点的坐标是 M 2 （ - m ， n ） ③ 点 M （ m ， n ）关于坐标原点对称的点的坐标是 M 2 （ - m ， - n ） 横坐标不变 纵坐标只改变符号 纵坐标不变 横坐标只改变符号 纵坐标、横坐标都只改变符号 结 论 一 讨论 2 ： 点 P （ 2 ， -3 ）到 x 轴、 y 轴和坐标原点的距离分别多少？ O 1 1 -2 x y P （ 2 ， -3 ） A B 点 M （ -3 ， 4 ）到 x 轴、 y 轴和坐标原点的距离分别多少？ M （ -3 ， 4 ） N H 结 论 二 ① 点 P （ a ， b ）到 x 轴的距离是 ② 点 P （ a ， b ）到 y 轴的距离是 ③ 点 P （ a ， b ）与坐标原点的距离是 x y o P （ a ， b ） M N 纵坐标的绝对值 横 坐标 的绝对值 8. 点 M （ 4 ， -3 ）到 x 轴的距离是 ____ ；到 y 轴的距离是 ____ ；到原点的距离是 ____. 7. 点 M （ -5 ， 12 ）到 x 轴的距离是 ____ ；到 y 轴的距离是 ____ ；到原点的距离是 ____. 9. 已知点 M （ m ， -5 ） .① 点 M 到 x 轴的距离是 ____ ；②若点 M 到 y 轴的距离是 4 ；那么 M 点的坐标是 ____. 10. 点 P 到 x 轴的距离是 2.5 ；到 y 轴的距离是 4.5. 求点 P 的坐标 (4.5 ， 2.5) 或 (-4.5 ， 2.5) 或 (-4.5 ， -2.5) 或 (4.5 ， -2.5) 练一练 （ 1 ）两面小旗有什么位置关系？ 关于 y 轴对称 . （ 2 ， 6 ） （ 5 ， 4 ） （ -2 ， 6 ） （ -5 ， 4 ） 横坐标互为相反数，纵坐标相同 .