北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明

第七章 平行线的证明 1 为什么要证明 01 学习目标 05 随堂练习 06 课堂小结 03 问题探究 02 情境引入 04 新知探究 1. 运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否． 2. 经历观察、验证、归纳等过程 , 认识证明的必要性，培养推理意识． 3. 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等． a b 考考你的眼力 （ 1 ）线段 a 与线段 b 哪个比较长？ a b c d 考考你的眼力 谁与线段 d 在一 条直线上？ （ 2 ）下图中的四边形是正方形吗？ （ 3 ）如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长 1 m 的铁丝将地球迟到围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？ （ 1 ）代数式 n 2 - n +11 的值是质数吗？取 n =0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 试一试，你能否由此得到结论：对所有自然数 n ， n 2 - n +11 的值都是质数？ 思考探究，获取新知 （ 2 ）如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别是 AB ， AC 的中点，连接 DE 。 DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？ 实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确 . 因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明 . 归纳 1. 最近有很长一段时间没有下雨了 . 并且今天是艳阳高照，那么晚上不会下雨，这个判断是 的 . （填“正确”或“不正确”） 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 若∠ 1=∠2 ，则∠ 1 与∠ 2 是对顶角 . B. 若∠ 1 与∠ 2 是对顶角，则∠ 1=∠2. C. 若直线 a ∥ b , a ⊥ c , 则 b ⊥ c . D. 若∠ 1+∠3=90° ，∠ 2+∠3=90° ，则∠ 1=∠2. 运用新知，深化理解 A 不准确 3. 如图，甲沿着 ACB 由 A 到 B ，乙沿着 ADEFB 由 A 到 B ，同时出发，速度相等，则（ ） A. 甲先到 B. 乙先到 C. 甲乙同时到 D. 不确定 C 4. 在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，点 E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点，连接 EF ， EF 与 AD 和 BC 有怎样的位置关系和数量关系？你的结论对所有的梯形都成立吗？ 5. 当 a =1, b =2 时， 1 2 +2 2 >2×1×2; 当 a =-1, b =3 时 ， （ -1 ） 2 +3 2 >2× （ -1 ） ×3 ；当 a =-0.5, b =-3 时 ， （ -0.5 ） 2 + （ -3 ） 2 >2×(-0.5)×(-3). 于是猜想：对于任意实数总有 a 2 + b 2 >2 ab 成立 . 这个结论正确吗？说明理由。 通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流 . 颜回是孔子最得意的门生，有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃，颜回好不容易找到一点粮食，便赶紧埋锅造饭，米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中；等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：“我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他．”颜回赶快接着说：“不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了．”孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子说：“所信者目也，而且犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃．弟子记之，知人固不易矣！” 第七章 平行线的证明 2 定义与命题 1 、定义 : 对 名称和术语的含义 加以描述 , 作出 明确的规定 , 也就是给出它们的 定义 . 2 、命题的 定义 : 判断一件事情的句子 , 叫做 命题 . 3 、命题的 结构 :每个命题都由 条件 和 结论 两部分组成. 条件 是已知事项, 结论 是由已事项推断出的事项. 4 、命题的 特征 :一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 5 、命题的 分类 : 真命题和假命题 ( 举反例判断假命题 ). 下列句子哪些是命题？是命题的，指出 是真命题还是假命题？ 1 、 猫有四只脚； 2 、 画一条曲线； 3 、 三角形两边之和大于第三边； 4 、 四边形都是正方形； 5 、 潮湿的空气； 6 、 对顶角相等； 7 、 全等三角形的对应边成相等； 8 、 过点 P 做线段 MN 的垂线。 复 习 练 习 复 习 练 习 把下列命题改写成“如果 ┄┄ 那么 ┄┄” 的形 式，并指出命题的条件和结论 1 、对顶角相等； 2 、钝角大于它的补角； 3 、等角的补角相等； 4 、两直线平行，同位角相等； 1. 如果两个角是对顶角，那么它们是相等的； 2. 如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角 3. 如果两个角相等，那么它们的补角也相等； 4. 如果两条直线互相平行，那么同位角相等； 如何证实一个命题是真命题呢 用我们以前学过的观察 , 实验 , 验证特例等方法 . 这些方法往往并不可靠 . 哪已经知道的真命题又是如何证实的 ?. 想一想 能不能根据已经知道的真命题证实呢 ? 哦 …… 那可 怎么办 古希腊数学家欧几里得 (Eyclid, 公元前 300 前后 ). 公理 : 公认的真命题称为公理 . 原名 : 某些数学名词称为原名 . 证明 : 除了公理外 , 其它真命题的正确性都通过推理的方法证实 . 推理的过程称为证明 . 定理 : 经过证明的真命题称为定理 . 读一读 有关概念、公理 条件 1 定理 1 有关概念、公理 条件 2 定理 2 定理 3 …… …… 1. 两点确定一条直线； 2. 两点之间线段最短； 3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4. 两直线被第三条直线所截 , 如果同位角相等 , 那么这两条直线平行 ; 5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6. 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 ; 7. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 ; 8. 三边对应相等的两个三角形全等 . 本套教材选用如下命题作为公理 : 原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系 小结 推 理 推理的过程叫 证明 经过证明的真命题叫 定理 证实其它命 题的 正确 性 原名、公理 一些条件 + 谁 得 优？ A 、 B 、 C 、 D 、 E 五名学生猜自己的数学成绩： A 说：“如果我得优，那么 B 也得优。” B 说：“如果我得优，那么 C 也得优。” C 说：“如果我得优，那么 D 也得优。” D 说：“如果我得优，那么 E 也得优。” 大 家都没有说错，但只有三个人得优。请问：得 优的是哪三个人？ 第七章 平行线的证明 3 平行线的判定 前面 我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？ 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 两条直线都和第三条直线平行，则这 两 条直线互相平行 在同一平面内，不相交的两条直线叫 做 平行线． 证明 ：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 分析 ：这是一个文字证明题，需要先把命题的 文字 语言转化成几何图形和符号语言。 1 2 3 a b c 证明：∵∠ 1 与∠ 2 互补（已知） ∴∠ 1+∠2=180° （互补定义） ∴∠ 1=180° －∠ 2 （等式的性质） ∵∠ 3+∠2=180° （平角定义） ∴∠ 3=180° －∠ 2 （等式的性质） ∴∠ 1=∠3 （等量代换） ∴ a ∥ b （同位角相等，两直线平行） 已知：∠ 1 和∠ 2 是直线 a 、 b 被直线 c 截出的同旁内角，且∠ 1 与∠ 2 互补。 求证： a ∥ b ． 议一议 小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？ 证明：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 1 2 3 a b c 已知： ∠ 1 和∠ 2 是直线 a 、 b 被直线 c 截出的内错角，且∠ 1=∠2 ． 求证： a ∥ b 证明： ∵∠ 1=∠2 （已知）， ∠ 1+∠3=180° （平角定义） ∴∠ 2+∠3=180° （等量代换） ∴∠ 2 与∠ 3 互补（互补的定义） ∴ a ∥ b （同旁内角互补，两直线平行） 想一想 借助“同位角相等，两直线平行”这一公理， 你还能证明哪些熟悉的结论呢？ 答：如果两条直线都和第三条直线垂直，那 么这两条直线平行 已知：如图，直线 a ⊥ c , b ⊥ c ．求证： a ∥ b ． a b c ┐ ┐ 1 2 练一练 蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个 四边形的形状如图所示，其中∠ α=109°28′, ∠ β=70 °32′, 试确定这三个四边形的形状。 第七章 平行线的证明 4 平行线的性质 一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠ B 是 130° ，第二次拐的角∠ C 是多少度？ B C 议一议 画 出直线 AB 的平行线 CD ，结合画图过程思考画出的平行线，已有一对同位角的关系是怎样的？是不是每一对同位角都具有这样的关系呢？ 公理：两直线平行，同位角相等。 两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的 ， 那么 内错角、同旁内角有什么关系呢？ 证明 ：两条直线被第三条直线所截 ，内错角 相等。 1 2 b c 3 a 已知： 直线 a ∥ b ，∠ 1 和∠ 2 是 直线 a ， b 被直线 c 截出的内错角 . 求证： ∠ 1=∠2. 证明： ∵ a ∥ b ( 已知 ) ， ∴∠ 2 ＝∠ 3( 两条直线平行，同位角相等 ) ∵∠1 ＝∠ 3( 对顶角相等 ) ， ∴∠ 1=∠2( 等量代换 ) 证明 ：两条直线被第三条直线所截 ，同 旁内角互补。 1 2 b c 3 a 已知： 直线 a ∥ b ，∠ 1 和∠ 2 是直 线 a ， b 被直线 c 截出的同旁内角 . 求证： ∠ 1+∠2=180°. 证明： ∵ a ∥ b ( 已知 ) ∴∠2 ＝∠ 3 ( 两条直线平行，同位角相等 ) ∵∠1+∠3 (1 平角 =180°) ∴∠1+∠ 2=180° ( 等量代换 ) 练一练 1 、已知平行线 AB 、 CD 被直线 AE 所截 A E D C B 1 2 3 4 从∠ 1 ＝ 110° ，可以知道 ∠ 2 是多少度，为什么？ 从∠ 1=110° ，可以知道 ∠ 3 是多少度，为什么？ 从∠ 1=110° ，可以知道 ∠ 4 是多少度，为什么？ 练一练 2 、如图是梯形有上底的一部分，量得 ∠ A=115° ，∠ D ＝ 100° ，梯形另外两 个角各是多少度？ B A C D 练一练 3 、如图， A 、 B 、 C 、 D 在同一直线上， AD ∥ EF ． ∠ E =78° 时，∠ 1 、∠ 2 各等于多少度？为什么？ ∠ F =58° 时，∠ 3 、∠ 4 各等于多少度？为什么？ A E B F D C 平行的的判定与性质： 证明的一般步骤 两直线平行 → ← 性质 判定 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 第七章 平行线的证明 5 三角形内角和定理 内角三兄弟之争 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结 . 可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了 ……”“ 为什么？” 老二很纳闷 . 同学们，你们知道其中的道理吗？ 1 . 知识目标 （ 1 ）三角形的内角和定理的证明 . （ 2 ）掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题 . （ 3 ） 理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用 . 2. 教学重点 （ 1 ）三角形内角和定理的证明 . （ 2 ） 三角形内角和定理的推论 . 3. 教学难点 （ 1 ）三角形内角和定理的证明方法 . （ 2 ） 三角形的外角、三角形内角和定理的推论 . 我们知道三角形三个内角的和等于 180°. 你还记得这个结论的探索过程吗 ? 1 1 2 A B D 2 3 C (1) 如图 , 当时我们是把∠ A 移到了∠ 1 的位置 ,∠B 移到了∠ 2 的位置 . 如果不实际移动∠ A 和∠ B, 那么你还有其它方法可以达到同样的效果吗 ? (2) 根据前面的公理和定理 , 你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗 ? 你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗 ? 与同伴交流 . 三角形内角和定理 : 三角形三个内角的和等于 180°. 已知 : 如图 ,△ ABC . 求证 :∠ A +∠ B +∠ C =180°. 证明 : 作 BC 的延长线 CD , 过点 C 作 CE ∥ AB , 则 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗 ? ∠1=∠ A ( 两直线平行 , 内错角相等 ), ∠2= ∠ B ( 两直线平行 , 同位角相等 ). 又∵∠ 1+∠2+∠3=180° ( 平角的定义 ), ∴ ∠ A +∠ B +∠ ACB =180° ( 等量代换 ). 分析 : 延长 BC 到 D , 过点 C 作射线 CE ∥ AB , 这样 , 就相当于把∠ A 移到了∠ 1 的位置 , 把∠ B 移到了∠ 2 的位置 . 这里的 CD , CE 称为辅助线 , 辅助线通常画成虚线 . A B C E 2 1 3 D 在证明三角形内角和定理时 , 小明的想法是把三个角“凑”到 A 处 , 他过点 A 作直线 PQ ∥ BC ( 如图 ), 他的想法可以吗 ? 请你帮小明把想法化为实际行动 . 小明的想法已经变为现实 , 由此你受到什么启发 ? 你有新的证法吗 ? 证明 : 过点 A 作 PQ ∥ BC , 则 A B C ∠1=∠ B ( 两直线平行 , 内错角相等 ), ∠2=∠ C ( 两直线平行 , 内错角相等 ), 又∵∠ 1+∠2+∠3=180 0 ( 平角的定义 ), ∴ ∠ BAC +∠ B +∠ C =180 0 ( 等量代换 ). P Q 2 3 1 根据下面的图形 , 写出相应的证明 . 你还能想出其它证法吗 ? (1) A B C P Q R T S N (2) A B C P Q R M 试一试 T S N (3) A B C P Q R M 三角形内角和定理 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180°. △ ABC 中 ,∠ A +∠ B +∠ C =180°. ∠ A +∠ B +∠ C =180° 的几种变形 : ∠ A =180 °–( ∠ B +∠ C ). ∠ B =180°–(∠ A +∠ C ). ∠ C =180 °–( ∠ A +∠ B ). ∠ A +∠ B =180 °– ∠ C . ∠ B +∠ C =180 °– ∠ A . ∠ A +∠ C =180 °– ∠ B . 这里的结论 , 以后可以直接运用 . A B C 观察下面一组图形中∠ 1 在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？ B C A 1 D A C B 1 D A C B 1 D 外角定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的 角叫做 三角形的外角 . 三个特征 : 1. ∠ 1 的顶点在三角形的一个顶点上 ; 2 . ∠ 1 的一条边是三角形的一条边 ; 3. ∠ 1 的另一条边是三角形的某条边的延长线 . 大家一起画一画 想一想 : 1 、每一个三角形有几个外角？ 2 、每一个顶点处相对应的外角 有几个？ 3 、这些外角中有几个外角相等？ 4 、三角形的每一个外角与三角 形的三个内角有什么位置关系 ? 画一个三角形，再画出它所有的外角 . A B D E F C 外 角 A B D E F C 外 角 归纳： 　　 1 、每一个三角形都有 ６个 外角 ; 2 、每一个顶点相对应的外角都有 ２个 ; 4 、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角 . 3 、这 6 个外角中有 3 个外角相等 . 探究 : 你能用推理的方法来论证 ∠ ACD = ∠ B + ∠ A 吗？ 你能用几种方法呢？相信你一定能行！ D A B C D A B C 方法一 : ∵ ∠ ACD + ∠ ACB =180° 又 ∵ ∠ A + ∠ B + ∠ ACB =180° ∴ ∠ A + ∠ B = ∠ ACD 解： ∴ ∠ ACD = 180 ° － ∠ ACB ∴ ∠ A + ∠ B = 180 ° － ∠ ACB （邻补角的定义） （三角形内角和 180 ° ） 方法二： 擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同学证明一下 . 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 1 （作 CE // BA ） 由平行线的性质 把两个内角转换 可 得 A E C B D 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 . D A C B ∵ ∠ ACD = ∠ A + ∠ B ∴∠ ACD ﹥ ∠ A ∠ ACD ﹥ ∠ B 结论： 3. 三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的 大小关系 ? 三角形外角的性质： 性质 1 、三角形的 一个外角 等于 与它 不相邻的两个内角 的 和 . ∠ B+∠ C =∠ CAD 性质 2 、三角形的 一个外角 大于 任何 一个与它 不相邻的内角 . ∠ CAD > ∠ B ， ∠ CAD > ∠ C A B C D 证明： ∵∠ EAC = ∠ B + ∠ C ( 三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和 ) ∠ B = ∠ C ( 已知 ) ∴∠ B = ∠ EAC ( 等式性质 ) A C D B E · · 例 1 已知 : 如图在△ ABC 中 , AD 平分外角∠ EAC ,∠ B =∠ C . 求证： AD ∥ BC . ∵ AD 平分∠ EAC ( 已知 ) ∴∠ DAE = ∠ EAC ( 角平分线的定义 ) ∴∠ DAE = ∠ B ( 等量代换 ) ∴ AD ∥ BC ( 同位角相等 , 两直线平行 ) 这里是运用了公理“ 同位角相等，两直线平行 ”得到了证实 . 例 2 已知：如图 , 在△ ABC 中 , ∠1 是它的一个外角 , E 为边 AC 上一点 , 延长 BC 到 D , 连接 DE . 求证 : ∠1 >∠2. 证明：∵ ∠ 1 是△ ABC 的一个外角 ( 已知 ) ∴ ∠1 >∠3 ( 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ) ∵ ∠3 是△ CDE 的一个外角 ( 外角定义 ) ∴ ∠3 >∠2 ( 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ) ∴ ∠1 >∠2 ( 不等式的性质 ) C A B F 1 3 4 5 E D 2 跟踪练习 1. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角 , 则这个三角形是 ( ) A. 直角三角形 B . 锐角三角形 C. 钝角三角形 D . 无法确定 C 2. 如图所示 , 若∠ A =32°,∠ B =45°,∠ C =38°, 则∠ DFE 等于 ( ) A.120° B.115° C.110° D.105° F E D C B A B 3. 如图，把△ ACB 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 内部时 ，∠ DAE 与∠ 1, ∠2 之间有一种数量关系保持不变，这一规律 是（ ） A.∠A=∠1+∠2 B. 2∠A=∠1+∠2 C. 3∠A=2∠1+∠2 D. 3∠A=2 （∠ 1+∠2 ） B D A A C E 1 2 B 4. 如图所示 ,∠1=_______. 140 ° 80 ° 1 120° 5. 已知等腰三角形的一个外角为 150°, 则它的底角 为 . 30 或 75° 6. 如图所示 ,∠ A =50°,∠ B =40°,∠ C =30°, 则∠ BDC =________. D C B A 120° 7. 已知：如图，在△ ABC 中，外角∠ DCA =100 °, ∠ A =45°. 求：∠ B 和∠ ACB 的大小 . A B C D 解 :∵ ∠ DCA 是△ ABC 的一个外角 ( 已知 ), ∴ ∠ B = ∠ DCA -∠ A =100°-45° = 55° 又 ∵ ∠ DCA +∠ BCA =180° ( 平角 =180°). ∴ ∠ ACB = 80° ( 等式的性质 ). 100° 45° ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ). 已知 : 国旗上的正五角星形如图所示 . 求 :∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E 的度数 . 解 :∵∠1 是△ BDF 的 一个外角 ( 外角的意义 ), 分析 : 设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中 , 运用三角形内角和定理来求解 . ∴ ∠1= ∠ B + ∠ D ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ). ∴ ∠2=∠ C + ∠ E ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和 ). 又∵∠ A +∠1+∠2=180°( 三角形内角和定理 ). 又∵ ∠ 2 是△ EHC 的 一个外角 ( 外角的意义 ), A B C D E F 1 H 2 ∴ ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E =180°( 等式性质 ). 拔尖自助餐 1.(1) 如图 ( 甲 ) ，在五角星图形中，求∠ A+∠B +∠C +∠D + ∠E 的度数 . (2) 把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和 与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？ A E A B C D A E ( 甲 ) E B C D D C B ( 乙 ) ( 丙 ) 相等，也可凑到一个三角形中 . 当堂检测 1. △ ABC 中 , 若∠ A ＋∠ B ＝∠ C , 则△ ABC 是（ ） A . 锐角三角形 　　 B. 直角 三角形　 C . 钝角三角形 　 D . 等腰三角形 2. 一个三角形至少有（ ） A. 一个锐角　 B. 两个锐角　 C. 一个钝角　 D. 一个直角 B B 证明：∵ ∠ 1 +∠4=180° ∠2 +∠5=180° ∠3 +∠6=180° ∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠4 +∠5 +∠6=3× 180°=540° 又∵ ∠ 4+ ∠5 + ∠6= 180° ( 三角形内角和定理 ) ∴ ∠1 +∠2 +∠3=540 °- 180°= 360° 3. 已知：∠ 1 ，∠ 2 ，∠ 3 是△ ABC 的三个外角． 求证：∠ 1+∠2+∠3=360°. C A B 3 1 2 6 4 5 4. 在△ ABC 中 ,∠ A =80°,∠ B =∠ C , 求∠ C 的度数 . 解：在△ ABC 中 , ∠ A +∠ B +∠ C =180° ，∠ A =80° ∴∠ B +∠ C =100° ∵∠ B =∠ C ∴∠ B =∠ C =50° A B C 5. 已知三角形三个内角的度数之比为 1:3:5 ，求这三个内角的度数 . 解：设三个内角度数分别为： x , 3 x , 5 x . 列出方程 x +3 x +5 x =180° x =20° 答：三个内角度数分别为 20°,60°,100°. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180°. △ ABC 中 , ∠ A +∠ B +∠ C =180°. 推论 1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 . 推论 2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . 小 结