北师大版八年级数学上册第一章勾股定理

第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 情境引入 勾股定理，我们把它称为世界第一定理． 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表； 其次，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在 《 实数 》 一章里讲到； 第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到 1995 年，数学家怀尔斯才将它证明． 1 ．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 __________ . 2 ．勾股定理各种表达式： 在 Rt △ ABC 中，∠ C =90° ，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边也分别为 a ， b ， c ，则 c =_________ ， b =_________ ， a =_________. 知识要点 知识要点 3 ．勾股定理的逆定理： 在△ ABC 中，若 a 、 b 、 c 三边满足 ___________ ，则△ ABC 为 ___________. 4 ．勾股数： 满足 ________ 的三个 ________ ，称为勾股数 . 5 ．几何体上的最短路程是将立体图形的 ________ 展开，转化为 _________ 上的路程问题，再利用 ___________ 两点之间， ___________, 解决最短线路问题 . 6 ．直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？ （教师引导，小组讨论、总结） 7 ．举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形． （教师引导，小组讨论、总结） 合作交流 8 ．通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的知识结构图． （小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图；每个小组选取一名代表，展示本组的知识框图．） 合作交流 探究一：利用勾股定理求边长 已知直角三角形的两边长分别为 3 、 4 ，求第三边长的平方． 解：（ 1 ）当两直角边为 3 和 4 时，第三边长的平方为 25 ； （ 2 ）当斜边为 4 ，一直角边为 3 时，第三边长的平方为 7 ． 合作探究 探究二：利用勾股定理求图形面积 1 ．求出下列各图中阴影部分的面积． 合作探究 谈谈你的收获 交流小结 1. 课本 《 复习题 》 ． 2. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 m ，坡角∠ A ＝ 30° ，∠ B ＝ 90° ， BC ＝ 6 m ．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE ＝ m 时，有 DC 2 ＝ AE 2 ＋ BC 2 ． 课后作业 第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 一、学习目标 ： 1 . 描述直角三角形全等的判定定理。 2. 应用 HL 定理解决与直角三角形全等有关的问题。 3. 在证明过程中，认识归纳 . 类比 . 转化等数学思想。 二、学习重点： 1 . 描述直角三角形全等的判定定理。 2 . 应用 HL 定理解决与直角三角形全等有关的问 题。 三、学习难点： 应用 HL 定理解决与直角三角形全等有关的问题。 情境提问 问题1 在一个直角三角形中三条边满足什么样 的关系呢？ 问题2 如果一个三角形中有两边的平方和 等于第三边的平方，那么这个三角形是否就 是 直角三角形呢？ 答：在一个直角三角形中两直角边的平方和 等 于斜边的平方 合作探究 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a , b , c : ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答这样两个问题: 1.这三组数都满足 a 2 + b 2 = c 2 吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 合作探究 实验结果： ① 5,12,13满足 a 2 + b 2 = c 2 ,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足 a 2 + b 2 = c 2 ,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足 a 2 + b 2 = c 2 ,可以构成直角三角形. 合作探究 从刚才的分组实验，有什么样的结论发现吗？ 如果三角形的三边长 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ,那么这个三角形是 直角 三角形. 猜想 有同学认为测量结果可能有误差,不同意 这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给 出一个更有说服力的理由吗? 议一议 议一议： 理由一：锐角三角形和钝角三角形三 边 不 满足 a 2 + b 2 = c 2 . 理由二： 例如以3和4为边构造三角形,随着夹角的 变大 ,第三边的长度也 变大 ,而根据勾股定理知道： 夹角是直角的时候,第三边长度是5 , 因此,边长为3,4,5的三角形一定是直角三角形. 提问1 同学们还能找出哪些勾股数呢？ 合作探究 提问3 到今天为止，你能用哪些方法判断一个 三角形是直角三角形呢？ 提问2 今天的结论与前面学习的勾股定理 有哪些异同呢？ 如果三角形的三边长 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ,那么这个三角形是 直角 三角形. 满足 a 2 + b 2 = c 2 的 三个正整数 , 称为 勾股数 . 例．一个零件的形状如图（ a ）所示，按规定这个零件中∠ A 和∠ DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（ b ）所示，这个零件合格吗？ A B C D A B C D 3 4 5 12 13 ( a ) ( b ) 解：在△ ABD 中， AB 2 + AD 2 =9+16=25= BD 2 ， 所以 △ ABD 是直角三角形，∠ A 是直角。 在△ BCD 中， BD 2 + BC 2 =25+144=169= CD 2 ，所以△ BCD 是直角三角形 ，∠ DBC 是直角。 因此这个零件符合要求。 巩固提高 1.如图，在正方形 ABCD 中， AB =4， AE =2， DF =1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流。 4 1 2 2 4 3 易知:△ ABE ，△ DEF ，△ FCB 均为直角三角形 由勾股定理知 BE 2 =2 2 +4 2 =20， EF 2 =2 2 +1 2 =5， BF 2 =3 2 +4 2 =25 ∴ BE 2 + EF 2 = BF 2 ∴ △ BEF 是直角三角形 2．一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？ 解:由题意画出相应的图形 AB =240海里, BC =70海里, AC=250海里;在△ABC中 AC 2 - AB 2 =250 2 -240 2 =(250+240)(250-240) =4900=70 2 =BC 2 即 AB 2 + BC 2 = AC 2 ∴△ ABC 是Rt△ 答:船转弯后,是沿正西方向航行的 。 A B C 北 巩固提高 2.如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 答案： ④⑤是直角三角形 ①②③⑥不是直角三角形 谈谈你的收获 小结： 1、如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ， 那么这个三角形是直角三角形。 2. 勾股数： 满足 a 2 + b 2 = c 2 的三个 正整数 ， 称为 勾股数 . 第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 两点之间 , 线段最短 ． 从 二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由 ． B A 在 一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 问题情境 B A 以 小组为单位 , 研究蚂蚁爬行的最短路线． 合作探究 蚂蚁 A→B 的路线 B A A’ d A B A’ A B B A O A B A ’ B A A ’ r O h 怎样计算 AB ？ 在 Rt △ A B 中，利用勾股定理可得 : 侧面展开图 其中 A 是 圆柱体的高 , B 是底面圆周长的一半 ( ) ． 若 已知圆柱体高为 12 cm ，底面半径为 3 cm ， π 取 3 ，则 : B A A ’ 3 O 12 侧面展开图 12 3 π A A ’ B 用所学数学知识去解决实际问题 的 关键 ： 根据 实际问题建立数学模型 ； 具体步骤 ： 1. 审题 —— 分析实际问题； 2 . 建模 —— 建立相应的数学模型； 3 . 求解 —— 运用勾股定理计算； 4 . 检验 —— 是否符合实际问题的真实性． 方法提炼 李 叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别垂直于底边 AB ，但他随身只带了卷尺， （ 1 ）你能替他想办法完成任务吗？ 做一做 所以 AD 和 AB 垂直． 做一做 （ 2 ）李叔叔量得 AD 长是 30 cm ， AB 长是 40 cm ， BD 长是 50 cm ， AD 边垂直于 AB 边吗？为什么？ 解： AD²+AB²=900+1600=2500 BD²=2500 所以 AD²+AB²=BD² 所以三角形 ABD 是直角三角形 （ 3 ）小明随身只有一个长度为 20 cm 的刻度尺，他能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗？ BC 边与 AB 边呢？ 做一做 小试牛刀 1 ．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险， 某日早晨 8 ： 00 甲先出发，他以 6 km/h 的速度向正东行走 ， 1 小时后乙出发，他以 5 km/h 的速度向 正北走 ． 上午 10 ： 00 ，甲、乙两人相距多远？ 小试牛刀 解 : 如图 : 已知 A 是甲、乙的出发点， 10:00 甲到达 B 点 , 乙到达 C 点 ． 则： AB=2×6=12(km) AC=1×5=5(km) 在 Rt△ABC 中 AB²+AC²=144+25=169 ∴BC=13(km) ． 即甲乙两人相距 13 km. 2 ．如图，台阶 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离 ． 小试牛刀 解 : 答：沿 AB 走最近，最近距离为 25 ． 3 ．有一个高为 1.5 m ，半径是 1 m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m ，问这根铁棒有多长？ 小试牛刀 你能画出示意图吗 ? 解 : 设伸入油桶中的长度为 x m , 则最长时 : 最短时 : ∴ 最长是 2.5+0.5=3(m) ． 答 : 这根铁棒的长应在 2 ～ 3m 之间． ∴ 最短是 1.5+0.5=2(m) ． 小试牛刀 1 ．如图，在棱长为 10 cm 的正方体的一个顶点 A 处有一只蚂蚁，现要向顶点 B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1cm/s ，且速度保持不变，问蚂蚁能否在 20 s 内从 A 爬到 B ？ B 食物 A 举一反三 B A B 两条线路 , 看明白了吗 ? 举一反三 1 ．如图，在棱长为 10 cm 的正方体的一个顶点 A 处有一只蚂蚁，现要向顶点 B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1cm/s ，且速度保持不变，问蚂蚁能否在 20 s 内从 A 爬到 B ？ 中国古代人民的聪明才智真是令人赞叹 ! 2 ．在我国古代数学著作 《 九章算术 》 中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 举一反三 设水池的水深 AC 为 x 尺，则这根芦苇长为 AD=AB= （ x +1 ）尺， 在直角三角形 ABC 中， BC=5 尺 由勾股定理得 :BC 2 +AC 2 =AB 2 即 5 2 + x 2 =( x +1) 2 25+ x 2 = x 2 +2 x +1 ， 2 x =24 ， ∴ x = 12 ， x +1=13 ． 答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长 13 尺． 举一反三 解：