北师大版七年级数学上册第5章一元一次方程

第五章 一元一次方程 1 认识一元一次方程 问题 一辆客车和一辆卡车同时从 A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是 70km/h ，卡车的行驶速度是 60km/h ，客车比卡车早 1h 经过 B 地， A,B 两地间的路程是多少？ 设A、B两地相距x km,则根据题意得： 1. 算术方法解决应怎样列算式： 2. 如果设 A,B 两地相距 x km ，那么客车从 A 地到 B 地的行驶时间为 ，货车从 A 地到 B 地的行驶时间为 。 议一议 3. 客车与货车行驶时间的关系是 : 4. 根据上述相等关系，可列 方程为 。 5 、对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？ 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程 . 判断方程的条件 1、含有未知数 2、是等式 讨论交流 算术方法 : 列 出的算式表示解题的计算过程 , 其中只能 用已知数 . 对于较复杂的问题 , 列算式比较困难 . 列方程 ( 代数方法 ): 方 程是根据题中的等量关系列出的等式 . 其中既含已知数 , 又含未未知数 . 使问题的已知量与未知量之间的关系很容易表示 , 解决问题就比较方便 . 什么叫方程 ? 含有未知数的等式叫 方程。 什么是方程的解呢？ 使 得方程左右两边相等的未知数的值叫做 方程的解 . 1、x=2是2x=4的解吗？ 2、x=3是2x-1=7的解吗？ 用一根长为 24cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？（只列方程） 等量关系：正方形的周长=边长 ×4 4x=24 例 一台电脑已经使用 1 700 h ，预计每个月再使用 150 h ，经过多少个月这台电脑的使用时间达到规定的检修时间 2 450 h ？（只列方程） 已知量 未知量 等量关系 原来使用时间+还可以使用的时间=规定的检修时间 1 700+150 x =2 450 1、已经使用了 1 700 h; 2、预计每月再使用150 h；3、这台电脑规定检修时间是 2 450 h 这台电脑还能用几个月达到规定的检修时间 例 我校女生人数占全体学生数的 52% ，比男生多 80 人，我们学校有多少学生？（只列方程） 等量关系： 女生数--男生数=80 或 女生数=男生数+80 或 女生数-80=男生数 52％ x -(1-52％) x= 80或 52％ x= (1-52％) x+ 80或 52％ x -80=(1-52％) x 例 构建方程解决实际问题的关键是什么？ 一般步骤又是什么呢？ 找等量关系 分析题意 找等量关系 设未知数 根据等量关系列方程 以下五个方程具有什么样的共同特征呢？  2 x +5=27  1 700+150 x = 2 450  52％ x -(1-52％) x =80 ④ 4 x =24 1、都只含有一个未知数 ; 2、未知数的次数都是1 一元一次方程的概念： 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1 ，这样的方程叫做一元一次方程。 等式的性质 b a a = b 右 左 你能发现什么规律 ? b a a = b c 右 左 学科网 c b a 右 左 a = b a c b 右 左 a = b c b c a 右 左 a = b c b c a a+c b+c = 右 左 有什么规律？ a = b c c a b 右 左 a = b c 右 左 学科网 b a a = b c 右 左 b a a = b 右 左 b a a = b a-c b-c = 右 左 你能发现什么规律 ? b a a = b 等式的性质１：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． b a 右 左 a b 2a = 2b a = b b a a = b 右 左 b b b b b b a a a a a a C 个 C 个 ac = bc b a 右 左 a = b 回答： (1) 从 x=y 能否得到 x+5=y+5 ？为什么 ( 2) 从 x=y 能否得到 = ? 为什么？ x 9 y 9 等式的性质２ ：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍相等． 可以，由等式性质1可得 可以，由等式性质2可得 (3)从a+2=b+2能否得到a=b？为什么？ 中学学科网 (4)从-3a=-3b能否得到a=b？为什么？ 可以，由等式性质1可得 可以，由等式性质2可得 用等式的性质解方程 解:（1）两边减7得 （ 2 ） 两边同时除以 -5 得 解：两边加5，得 化简得： 两边同乘-3，得 第五章 一元一次方程 2 求解一元一次方程 2 求解一元一次方程 合并同类项 约公元 825 年，中亚细亚数学家阿尔 — 花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。这本书的拉丁译本为 《 对消与还原 》 。“ 对消 ”与“ 还原 ”是什么意思呢？ 实际问题 一元一次方程 设未知数　　　列方程 分 析实际问题中的数量关系，利用其中的 相等关系 列出方程，是解决实际问题的一种数学方法 . 某 校三年共购买计算机 140 台，去年购买数量是前年的 2 倍，今年购买数量又是去年的 2 倍．前年这个学校购买了多少台计算机？ 分析 : 设前年这个学校购买了计算机 x 台，则去年购买计算机 2x 台，今年购买计算机 4x 台， 根据问题中的相等关系： 前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝ 140 台 列得方程 x + 2 x +4 x = 140 思考：怎样解这个方程呢？ 分析：解方程，就是把方程变形，变为 x = a （ a 为常数）的形式。 合并同类项 系数化为 1 想一想：上面解方程中“ 合并同类项 ”起了什么作用？ 根据等式的性质２ 　 合 并同类项起到了“化简”的作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为 ax=b ，使其更接近 x=a 的形式 ( 其中 a,b 是常数 ) 。 合并同类项的作用： 实际问题 一元一次方程 设 未知数 列 方程 思考：如何列方程？分哪些步骤？ 一 . 设未知数 二 . 分析题意找出等量关系 三 . 根据等量关系列方程 解下列方程 解： 例2 有一列数，按一定规律排成1，-3, 9 ，-27, 81 ，-243 ，...其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少 ？ 解：后面一个数都是前一个数的 -3 倍，设某三个相邻的数第一个是 x ，则第二、第三个分别是 -3x , 9x，所以 x - 3x+9 x= -1701 解 得 x = -243 解下列方程 请欣赏一首诗： 太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼； 一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中； 剩下十五围着我，共有多少请算清。 你能列出方程来解决这个问题吗？ 一 个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33 。求这个数。 解：设这个数是 x ，则： 移项 把 一些图书分给某班同学阅读，如果每人 3 本，则剩余 20 本；若每人 4 本，则还缺少 25 本，这个班的学生有多少人？ 问题 分析：设这个班有 x 名学生，这批书共有（ 3x+20 ）本这批书共有（4x － 25）本。 表示同一个量的两个不同的式子相等（即：这批书的总数是一个定值） 3x+20=4x － 25 1、使方程右边不含 x 的项 2 、使方程左边不含常数项 等式两边减4x，得： 3x+20 － 4x =4x － 25 － 4x 3x+20 － 4x = － 25 3x+20 － 4x － 20 = － 25 － 20 等式两边减 20 ，得： 3x － 4x = － 25 － 20 3x － 4x = － 25 － 20 3x+20 = 4x － 25 上面方程的变形，相当于把原方程 左边 的 20 变为－ 20 移到 右边 ，把 右边 的 4x 变为－ 4x 移到 左边 . 把某项从等式一边移到另一边时有什么变化？ 解方程中“移项”起了什么作用？ 通过移项，含 未知数的项 与 常数项 分别列于方程的 左右两边 ，使方程更接近于 x = a 的形式 . 像上面那样，等式一边的某项 变号 后移到另一边，叫做 移项 。 移项 合并同类项 系数化为 1 例 2 解方程 解： 例 4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t ；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t . 新、旧工艺的废水排量之比为 2 ︰ 5 ，两种工艺的废水排量各是多少？ 分析：因为新，旧工艺的废水排量之比为2:5，所以可设它们分别为2x t和5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程。 解：设新、旧工艺的废水排量分别为 2 x t 和 5 x t 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 5 x -200=2 x +100 移项，得 5 x -2 x =100+200 合并同类项，得 3 x =300 系数化为1，得 x =100 所 以2 x =200 5 x =500 答：新、旧工艺生产的废水排量分别为200 t和500 t。 练习 解下列方程 ； . 去 括号 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少 2 000 度，全年用电 15 万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？ 分析：若设上半年每月平均用电 x 度， 则下半年每月平均用电 度 上半年共用电 度， 下半年共用电 度。 等量关系： 所以 , 可列方程 。 （ x-2 000 ） 6 （ x-2 000 ） 6x 6x+ 6 （ x-2 000 ） = 150 000 上半年用电 + 下半年用电 = 全年用电 15 万度 解：设上半年每月平均用电 x 度，则下半年每月平均用电（ x-2000 ）度 , 上半年共用电 6x 度，下半年共用电 6 （ x-2000 ）度。 根 据题意列方程得 ： 6x + 6 （ x-2 000 ） = 150 000 去括号得： 6x+6x-12 000=150 000 移项得 ： 6x+6x=150 000+12 000 合并同类项得： 12x=162 000 系数化为 1 得： x=13 500 答 : 这个工厂去年上半年每月平均用电 13 500 度。 解一元一次方程的步骤： 移项 合并同类项 系数化为 1 去括号 例 1 解方程 2 x-(x +10 )= 5x+ 2(x -1 ) 解 : 去括号得： 移项得 ： 合并同类项得： 系数化为 1 得： 2 x-x -10 = 5x+ 2x- 2 2 x-x -5 x -2x = -2+10 －6 x = 8 X= -4/3 例 2 解方程 3x-7(x-1)= 3-2(x+3)a 解 : 去括号得： 移项得 ： 合并同类项得： 系数化为 1 得： 3x-7x+7=3-2x-6 3x-7x+2x=3-6-7 － 2x = － 10 x=5 解方程 ② ③ ① ④ 1 、关于 x 的方程 的 解为 -1 ，则 a 的值 为 . 2 、甲、乙两人登一座山，甲每分钟登高 10 米，并且先出发 30 分钟，乙每分钟登高 15 米，两人同时登上山顶。甲用多少时间登山？这座山有多高？ 练习 例 2 一艘船从甲码头到乙码头顺流航行 , 用了 2 小时 ; 从乙码头到甲码头逆流航行 , 用了 2.5 小时 ; 已知水流的速度是 3 千米 / 小时 , 求船在静水中的平均速度是多少千米 / 小时 ? 分析 : 等量关系 甲码头到乙码头的路程 = 乙码头到甲码头的路程 也就是 : 顺航速度 ___ 顺航时间 = 逆航速度 ___ 逆航时间 × × 解： 设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺流速度为（x+3）km/h，逆流速度为（x-3）km/h。 根据往返路程相等，列得 2（x+3）=2.5（x-3） 去括号， 得2x+6=2.5x-7.5 移项、合 并同类项， 得0.5x=13.5 系 数化为1， 得x=27 答：船在静水中的平均速度为27 km/h。 3. 大箱子装洗衣粉 36 千克，把大箱子里的洗衣粉分装在 4 个大小相同的小箱子里，装满后还剩余 2 千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉的千克数为（ ） A ． 6.5 B ． 7.5 　 　 C. ８ .5 　 D. ９ .5 4 、某物品标价为 130 元 , 若以 9 折出售 , 仍可获利 10%, 则该物品进价约是 ( ) A . 105 元 B. 106 元 C . 108 元 D . 118 元 C B 去分母 1 ．会用去分母的方法解含分母的一元一 次方 程． 2 ．会检验方程的解及总结解方程的一般步骤 . 学习目标 解有分数系数的一元一次方程的步骤： 1 ．去分母； 2 ．去括号； 3 ．移项； 4 ．合并同类项； 5 ．系数化为 1 ． 主要依据：等式的性质和运算律等． 以上步骤是不是一定要顺序进行，缺一不可？ 这 件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有 3700 多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题． 问 题： 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33 ．试问这个数是多少？ 你能解决这个问题吗？ 解：设这个数为 x ，可得方程： 为 使方程变为整系数方程，方程两边应该同 乘什 么数？ 各分母的最小公倍数 42 ． 解：去分母，得 　　 28x ＋ 21x ＋ 6x ＋ 42x ＝ 1 386 ． 　　合并同类项，得 　　 97x ＝ 1 386 ． 　　系数化为 1 ，得 例3 解下列方程： （ 1 ） （ 2 ） 解 ： 1 、解方程 观察：这个方程有什么特点？应该怎么解？ 2 、解方程 观察：这个方程有什么特点？又应该怎么解？ 解方程 解：去分母，得 2y-(y-2)=6 去括号，得 2y-y+2=6 移项，得 2y-y=6-2 合并同类项 y=4 归纳 去分母时须注意： 　 1. 确定分母的最小公倍数； 　　 2. 不要漏乘没有分母的项； 　　 3. 去掉分母后，若分子是多项式，应该多项式（分子）添上括号，视多项式为一整体． 第五章 一元一次方程 应用一元一次方程 —— 水箱变高了 某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4m 的圆柱形储水箱 . 现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由 4m 减少为 3.2 m . 那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的 4 m 增高为多少米？ 1 ．使同学们知道形积问题的意义，能分析题中已知数与末知数之间的相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题 . 2 ．使同学们了解列出一元一次方程解应用题的方法 . 3 ．通过对实际问题的解决，体会方程模型的作用，发展分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力 . 学 习 目 标 【 小组讨论 1】 谈谈你对形积变化问题的认识 . 【 反思小结 】 对于这类问题，虽然形状和体积都可能发生变化，但应用题中任然含有一个相等关系，要通过分析题意和题目中的数量关系，把这个能够表示应用题全部含义的相等关系找出来，然后根据这个相等关系列出方程 . 此类问题常见的有以下几种情况： 探究点一：形积变化问题 1. 形状发生了变化，而体积没变.此时，相等关系为变化前后体积相等. 2. 形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，相等关系为变化前后周长相等. 3. 形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系. 活动二： 用一根长为 10m 的铁丝围成一个长方形 . （ 1 ）使得该长方形的长比宽多 1.4m ，此时长方形的长、宽各为多少米？ （ 2 ）使得该长方形的长比宽多 0.8m ，此时长方形的长、宽各为多少米？它所转成的长方形与（ 1 ）中所围长方形相比，面积有什么变化？ （ 3 ）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所转成的面积与（ 2 ）中相比又有什么变化？ 【 展示点评 】 分析：由题意可知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为： 20×½ ＝ 10m. 在解决这个问题的过程中，要抓住这个等量关系 . 解：（ 1 ）设此时长方形的宽为 x m ，则长为 x+1.4 根据题意，得 x+x+1.4=10 × 解这个方程，得 x=1.8 此时长方形的长为 3.2 ，宽为 1.8 ，面积为 5.76 . （ 2 ）设此时长方形的宽为 x ，则长为 x+0.8 根据题意，得 x+x+1.4=10 × 解这个方程，得 x=2.1 此时长方形的长为 2.9 ，宽为 2.1 ，面积为 6.09 此时长方形的面积比（ 1 ）中面积 6.09-5.76=0.33 m². （ 3 ）设正方形的边长为 x, 根据题意，得 x +x=10 × 解这个方程，得 x=2.5 此时正方形的长为 2.5 ，面积为 6.25 的面积比 （ 2 ）中面积 增大 6.25-6.09=0.16 m². 【 小组讨论 2】 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤有哪些？ 【 反思小结 】 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 审：审题，明确各数量之间的关系； 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； 设：设未知数（一般求什么，就设什么为 x ）； 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程； 解：解所列的方程，求出未知数的值； 检：检查所求解是否符合题意； 1. 形积变化问题的情况： （ 1 ）形状发生了变化，而体积没变 . 此时，相等关系为变化前后体积相等 . （ 2 ）形状、面积发生了变化，而周长没变 . 此时，相等关系为变化前后周长相等 . （ 3 ）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系 . 1. 小明在一次登山活动中捡到一块矿石，回家后，他使 用一 把刻度尺，一只圆柱形的玻璃杯和足量的水，就测 量出 了这块矿石的体积 . 如果他量出玻璃杯的内直径是 d, 把 矿石完全浸没在水中，测出杯中水面上升的高度为 h ， 则小明的这块矿石体积是 ( 　 　 ) A ． B ． C ． D ． A 2. 小明用长 250 cm 的铁丝围成一个长方形，并且长方形的长比宽多 25 cm ，设这个长方形的长为 x cm ，则 x 等于 ( 　 　 ) A ． 75 cm B ． 50 cm C ． 137.5 cm D ． 112.5 cm A 3. 请根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ( 　 　 ) A.π·( ) 2 x ＝ π·( ) 2 ·(x ＋ 5) B.π·( ) 2 x ＝ π·( ) 2 ·(x － 5) C.π·8 2 x ＝ π·6 2 (x ＋ 5) D.π·8 2 x ＝ π·6 2 ×5 A 4. 用直径为 4cm 的圆钢，铸造三个直径为 2 cm ， 高 16 cm 的圆柱形零件，则需要截取的圆钢 长 _______cm. 5. 用 5 个一样大小的小长方形恰好可以拼成如 图的 大长方形，若大长方形的周长是 14 ， 则小 长方形的长是 ______ ，宽是 _____. 12 2 1 第五章 一元一次方程 4 应用一元一次方程 —— 打折销售 与销售有关的几个概念： 进价 ：购进商品时的价格。（有时也叫成本价） 售价 ：在销售商品时的售出价。 标价 ：在销售商品时标出的价格。（有时也称原价） 利润 ：在销售商品过程中的纯收入。 利润 = 售价 — 成本价 利润率 ：利润占成本的百分比。 利润率 = 利润 ÷ 成本 ×100 ％ 打折是怎么回事？ 所谓打折，就是商品以标价为基础，按一定的比例降价出售，它是商家们的一种促销行为。 例如：一个滑板标价200元，若以九折出售，则实际售价为 200 ×0.9 = 180（元），若打七折，则实际售价为200 × 0.7 = 140（元）。 某 超市将一件成本是 100 元的夹克 , 按成本价提高 50% 后 , 标价 150 元 , 后按标价的 8 折出售给某顾客 , 结果仍获利 20 元。 在打折销售问题中经常会遇到一些特有的名词 : 成本价 标 价 售价 利 润 利 润率 你能说出上题中的各个量分别是多少吗 ? 100 元 150 元 120 元 20 元 20% 1 、 500 元的 9 折价是 ______ 元 ， x 折是 _______ 元 . 2 、某商品的每件销售利润是 72 元，进价是 120 ，则 售价是 _____ 元 . 3 、某商品利润率 13﹪ ，进价为 50 元，则利润 是 __ _ __ 元 . 利润 = 售价－进价 打 x 折后的售价 = 利润率 = 进价 利润 原价 × 王 洁做服装生意。她进了一批运动衫，每件进价 90 元，卖出时每件 100 元。请问一件运动衫利润是多少元？利润率又是多少？ 进价： 90 元。 售价： 100 元。 利润：（ 100 – 90 ）元 = 10 元。 进价、售价、利润和利润率之间的关系是： 商品利润 = 商品售价 – 商品进价 商品的利润率 = 商品售价 – 商品进价 商品进价 例 . 一家商店将服装按成本价提高 40% 后标价，又以 8 折（即按标价的 80% ）优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的成本是多少元？ 仔细审题 ！ [ 分析 ] ：若设每件衣服的成本价为 x 元 , 则每 件衣服标价为 __________ 元； 每件衣服的实际售价 为 ______________ 元； 每件衣服的利润 为 __________________ 。 由此，列出 的方程 . 解方程，得 x=______ 因此每件服装的成本 ____ 元。 (1+40%)x (1+40%) · x·80% (1+40%) ·x·80% － x (1+40%) · x·80% － x=15 125 125 例： 商店对某种商品作调价，按原价的 8 折出售，此时商品的利润率是 10% ，此商品的进价为 1600 元。商品的原价是多少？ 解：设此商品的原价为 元 ，根据题意，得 去分母，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为 1 ，得： 答：此商品的原价为 2 200 元。 1、某商品的进价为250元，按标价的9折销售时，利润率为15.2%，求商品的标价是多少？ 2、某商品的进价为200元，标价为300元，折价销售时的利润率为5%，求此商品按几折销售的？ 某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服 , 其中一件盈利 25% ，另一件亏损 25 % ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏 ? 销售中的盈亏 可 以设另一件衣服的进价 y 元，它的商品利润是 _______ ，列出方程 ______________ ，解 得 ______. 两 件衣服的进价是 x + y =_____ 元，而两件衣服的售价是 60+60=120 元，进价 _____ 于售价，由此可知卖这两件衣服总的盈亏情况是 _______. 1 、某服装商店以 135 元的价格售出两件衣服，按成本计算，第一件盈利 25 % ，第二件亏损 25 % ，则该商店卖这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？ 议一议 这两件 衣服的成本价会一样吗？ 解： 设第一件衣服的成本价 是 x 元 ， 则由题意得 ： x · （ 1+25% ） =135 解这个方程，得 ： x=108 。 则第一件衣服赢利： 135 － 108=27 。 设第二件衣服的成本价是 y 元， 由题意得： y · （ 1 － 25% ） =135 解这个方程，得： y=180 。 则第二件衣服亏损： 180 － 135=45 总体上约亏损了： 45 － 27=18 （元） 因此，总体上约亏损 了 18 元。 例 3 某商店中的一批钢笔按售价的八折出售仍能获得 20% 的利润，求商店在定价时的期望利润百分率？（原定价时的利润率） 答：商店在定价时的期望的利润百分率为 50% 解：设商店在定价时的期望利润率为 x ，依题意得 等量关系：售价的八折 = 成本 × （ 1+20% ） （ 1+x ） × 80%=1+20% 解得： x = 50% 2 ）商品出售的利润是增长百分率的一类 ，等 量关系为 : 售 价 = 成本价 + 利润 售价 = 成本价 × （ 1+ 利润率） 3 ）要注意“利润”和“利润率”的区别， 利 润 = 成本 × 利润率 = 销售价－成本价 注： 1 ）一般在成本不知道具体多少的情况下，设为“ 1” ； 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 实际问题 数学问题 已知量、未知量、 等量关系 方程 方程 的解 解的 合理性 解释 抽象 分析 列出 求出 验证 合理 不合理 第五章 一元一次方程 5 应用一元一次方程 —— “希望工程”义演 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1 000 张票，筹得票款 6 950 元 . 成人票与学生票各售出多少张？ 1. 通过分析有关和、差、倍、分问题中已知数与未知数之间的相等关系，列出方程 . 2 . 巩固用一元一次方程解决实际问题中的步骤，并注意检验解的合理性 . 学 习 目 标 活动一： 探讨解决课前引例 . 正确找出等量关系：成人票数 + 学生票数＝ 1 000 张，成人票款 + 学生票款＝ 6 950 元 . 解：设售出的学生票为 x 张，填写下表： 探究点一：含两个等量关系问题 学 生 成 人 票数 / 张 票款 / 元 【 展示点评 】 学会寻找相等关系是关键 . 在本节所涉及的和、差、倍、分问题中，要善于利用“总量等于各个分量之和”来确定相等关系，列出方程 . 【 小组讨论 1】 列方程解应用题，并考虑引例还有没有另外的解题方法？ 解法 2 ：设所得学生票款为 y 元，填写下表： 【 反思小结 】 列方程解应用题所求出的解不同于一般的一元一次方程的解，它必须要符合题目的实际情况，否则，就不是应用题的解 . 像引例这类问题的解是否存在，其判别标准是最后的解必须是自然数 . 若票价不变，售票数量也不变，问能否售出 6 930 元的票款？若能，请求出学生数和成人数；若不能，请说明理由． 学 生 成 人 票款 / 元 票数 / 张 活动二： 刘成用 150 元买了甲、乙两种书，共 20 本，甲种书单价 10 元，乙种书单价 5 元，则刘成买了这两种书各多少本？ 解： ( 方法 1) 设刘成买了甲种书 x 本，则买了乙种书 (20 － x) 本， 根据题意，得 10x ＋ 5(20 － x) ＝ 150 ， 10x ＋ 100 － 5x ＝ 150 ， 5x ＝ 50 ， x ＝ 10 ， 20 － 10 ＝ 10( 本 ). 答：刘成买了甲、乙两种书各 10 本 . 探究点二：列方程解决实际问题 (方法2) 设买了乙种书x本，则甲种书有(20－x)本. 根据题意，得10(20－x)＋5x＝150， 200－10x＋5x＝150， －5x＝－50， x＝10， 20－10＝10(本). 答：刘成买了甲、乙两种书各10本. 【 展示点评 】 本题的两个等量关系是：甲种书款＋乙种书款＝ 150 元，甲种书量＋乙种书量＝ 20 本 . 本题有两个未知数：甲种书的数量和乙种书的数量 . 因此既可以设甲书的数量为未知数，又可以设乙书的数量为未知数 . 探究点二：列方程解决实际问题 【 小组讨论 2】 再次温习：用一元一次方程解应用题一般有哪些步骤？ 【 反思小结 】 (1) 从实际问题中抽象出数学问题 . (2) 分析数学问题中的等量关系 ( 关键 ). (3) 列出方程 . (4) 解出方程的解 . (5) 检验解的合理性 . 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 实际问题 数学问题 已知量、未知量、 等量关系 方程 方程 的解 解的 合理性 解释 抽象 分析 列出 求出 验证 合理 不合理 1. 根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是 ( 　　 ) A.51 元 B.35 元 C.8 元 D.7.5 元 C 2. 某牧场放养的鸵鸟和奶牛一共 70 头，已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为 196 条，则鸵鸟比奶牛多 ( 　　 ) A.20 头 B.14 头 C.15 头 D.13 头 3 . 学校买篮球和排球共 30 个，共用 936 元，篮球 每个 36 元，排球每个 24 元，则篮球买了 ( 　　 ) A.12 个 B.15 个 C.16 个 D.18 个 B C 4. 希望中学团委组织 65 名新团员为学校建花坛 搬砖 ，女同学每人每次搬 6 块，男同学每人每次 搬 8 块，每人搬了 4 次，共搬了 1 800 块，问这些 新团 员中有 _____ 名男同学 . 5. 一个三位数，其各位上数字之和为 15 ，百位 上的 数字比十位上的数字少 1 ，个位上的数字是 十位 上的数字的 2 倍，则这个三位数是 _______. 30 348 第五章 一元一次方程 6 应 用一元一次方程 —— 追赶小明 例１：小明早晨要在 7 ： 20 以前赶到距家 1 000 米的学校上学，一天，小明以 80 米 / 分的速度出发， 5 分钟后， 小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以 180 米 / 分的速度 去追小明，并且在途中追上了他 ． （ 1 ）爸爸追上小明用了多长时间？ （ 2 ）追上小明时，距离学校还有多远？ 分析：等量关系： 小明所用时间 =5+ 爸爸所用时间； 小明走过的路程 = 爸爸走过的路程 . 线段 图： 解：（ 1 ）设爸爸追上小明用了 x 分钟， 据题意得 80×5 ＋ 80 x =180 x . 解，得 x =4. 答：爸爸追上小明用了 4 分钟． （ 2 ） 180×4=720 （米）， 1 000-720=280 （米） . 答 ：追上小明时，距离学校还有 280 米． 小结：同向而行 ① 甲先走，乙后走； 等量关系：甲的路程 = 乙的路程； 甲 的时间 = 乙的时间＋时间差 . 例２：甲、乙两站间的路程为 450 千米，一列慢车从甲站 开 出，每小时行驶 65 千米，一列快车从乙站开出 ，每 小时行驶 85 千米．设两车同时开出，同向而行 ，则 快车几小时后追上慢车？ 分析：等量关系： 快车所用时间 = 慢车所用时间； 快 车行驶路程 = 慢车行驶路程＋相距路程 . 线 段图： 解：设快车 x 小时追上慢车， 据题意得： 85 x =450+65 x . 解，得 x =22.5. 答：快车 22.5 小时追上慢车． 小结：同向而行 ② 甲、乙同时走； 等量关系：甲的时间 = 乙的时间； 乙 的路程 = 甲的路程＋起点距离 . 例 3 ：甲、乙两人相距 280 米，相向而行，甲从 A 地每秒走 8 米，乙从 B 地每秒走 6 米，那么甲出发几秒与乙相遇？ 分析：等量关系： 甲所用时间 = 乙所用时间； 甲路程＋乙路程 = 甲乙相距路程 . 线 段图： 解：设 t 秒后甲、乙相遇， 据题意得 8 t +6 t =280. 解，得 t =20. 答：甲出发 20 秒与乙相遇． 小结：相向而行 等量关系：甲所用时间 = 乙所用时间； 甲 的路程＋乙的路程 = 总路程 . 例 4 ：七年级一班列队以每小时 6 千米的速度去甲地 . 王明 从队 尾以每小时 10 千米的速度赶到队伍的排头后又以 同样 的速度返回排尾，一共用了 7.5 分钟，求队伍的长 . 分析： 追及问题：队尾追排头； 相遇问题：排头回队尾 . 解： 7.5 分钟＝ 0.125 小时 设王明追上排头用了 x 小时，则返回用了 (0.125 － x ) 小时 ，据 题意得 10 x － 6 x =10(0.125 － x ) ＋ 6(0.125 － x ). 解得 x =0.1. 此时， 10×0.1 － 6×0.1 =0.4( 千米 )=400( 米 ). 答：队伍长为 400 米． 练习 1 ：小兵每秒跑 6 米，小明每秒跑 7 米，小兵先跑 4 秒， 小 明几秒钟追上小兵？ 分 析：先画线段图： 写解题过程： 解：设小明 t 秒钟追上小兵， 据题意得 6(4 ＋ t ) =7 t . 解得 t =24. 答：小明 24 秒钟追上小兵． 练习 2 ：甲骑摩托车，乙骑自行车同时从相距 150 千米的 两地 相向而行，经过 5 小时相遇，已知甲每小时行 驶的 路程是乙每小时行驶的路程的 3 倍少 6 千米， 求乙 骑自行车的速度 . 解：设乙骑自行车的速度为 x 千米 / 时， 　　据题意得 5(3 x － 6)+5 x =150. 解得 x =9 . 答：乙骑自行车的速度为 9 千米 / 时． 1. 会借线段图分析行程问题 . 2. 各种行程问题中的规律及等量关系 . 同向追及问题： ① 同时不同地 —— 甲路程＋路程差＝乙路程； 甲 时间＝乙时间 . ② 同地不同时 —— 甲时间＋时间差＝乙时间； 甲 路程＝乙路程 . 相向的相遇问题： 甲路程＋乙路程＝总路程； 甲时间＝乙时间 . 归纳小结