北师大版七年级数学上册第3章整式及其加减

第三章 整式及其加减 1 字 母表示数 一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿 二只青蛙二张嘴，四只眼睛八条腿 三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿 …… 唱一唱 n 只青蛙 2n 张嘴， 2n 只眼睛 4n 条腿 如图所示 , 搭一个正方形需要 4 根火柴棒 . (1) 按上面的方式 , 搭 2 个正方形需要 ____ 根火柴 , 搭 3 个正方形需要 ____ 根火柴 . (2) 搭 7 个这样的正方形需要 _____ 根火柴 . (3) 搭 100 个这样的正方形需要多少根火柴 , 怎样得到的 ? … 第 1 个 4 根 第 2 个 第 100 个 3 根 3 根 … 先 摆 1 根 第 1 个 3 根 第 100 个 3 根 … 第 1 个 2 根 第 2 个 2 根 第 100 个 2 根 … 第 1 个 4 根 第 100 个 4 根 … (4) 如果用 x 表示所搭正方形的个数 , 那么搭 x 个这样的正方形需要多少根火柴 ? … 第 1 个 4 根 第 2 个 第 100 个 3 根 3 根 … 先摆 1 根 第 1 个 3 根 第 100 个 3 根 … 第 1 个 2 根 第 2 个 2 根 第 100 个 2 根 … 第 1 个 4 根 第 100 个 4 根 根 据你的计算方法，搭 200 个这样的正方形需要 ______ 根火柴棒 ; 搭 1 000 个这样的正方形需要 _______ 根火柴棒 ; 搭 1 500 个这样的正方形需要 _______ 根火柴棒 . 601 3 001 4 501 你们还能说出用字母表示数的一些例子吗？ 练一练 小明步行上学 , 速度为 v 米 / 秒 , 亮亮骑自行车上学 , 速度是小明的 3 倍 , 则亮亮的速度可以表示为 _______ 米 / 秒 . 如图 , 用字母表示图 中阴影 部分的面积是 _______ m n p q 3. 一个三位数 , 个位数字是 a , 十位数字是 b , 百位数字是 c , 这个三位数是 ____________ 本课小结 : 1 、字母可以表示任何数； 2 、用字母表示数的运算律和公式法则； 3 、用字母可以把数和数量关系简明地表示出来 , 使复杂的问题简单化。 4 、解决问题的方法： “从特殊到一般的寻求规律的方法” “从不同角度观察思考探究问题” 第三章 整式及其加减 2 代数式 学习目标 进一步理解字母表示数的意义，能结合具体情景给字母赋于实际意义；理解代数式和代数式的值的意义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，在具体情景中能求出代数式的值 . （知识与技能） 为了测试一种乒乓求的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验，得到下列一组数据 ： （单位：厘米） 下落高度 40 50 80 100 150 弹跳高度 20 25 40 50 75 1. 你能从表中发现每一对 ( 上下两个 ) 数之间的数量关系吗 ? 2. 在这个问题中 , 如果我们用 b 厘米表示下落高度 , 那么相对应的弹跳高度为 _________ 厘米。 1. 用字母表示数 1. 如果用 a 、 b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为 ________ ，乘法交换律可以用字母表示为 ________. a+b=b+a ab=ba 2.图中由长方形和正方形拼成的大正方形的面积等于＿＿＿＿＿．我们还可以这样想，图中大正方形的边长是＿＿＿＿，因此它的面积是＿＿＿＿＿＿． a²+2ab+b² a+b (a+b)² 注意： （ 1 ）在用字母表示数时，字母与字母之间的 乘号，一般省略不写，或者乘号用“ •” 表示。 （ 2 ）数字与字母相乘，数字一般放在字母的前面。 做一做： 填空： （ 1 ）某种瓜子的单价为 16 元 / 千克，则 b 千克需要 _____ 元 。 （ 2 ）小刚上学步行速度为 5 千米 / 小时 若小刚到学校的路程为 s 千米，则他上学需走 ______ 小时。 （ 3 ）钢笔每枝 m 元，铅笔每枝 n 元，买 2 支钢笔和 3 支铅笔共需 __________ 元。 16 b s/5 （ 2 m+3n ） 上面的这些问题中出现的如 16n ， s/5 ， 2a+3b ，以及上节课出现的 a ， b ， a+b ， a•b ， a² ，（ a+b ） ² ， 15 ， 5 050 ， 5x ， s/t 等式子，我们称它为 代数式。 即 代数式 是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。 问题： 单独的一个数或一个字母也是代数式吗？ 我们的答案是肯定的。 即 : 单独的一个数或一个字母也是代数式。 例 1 ：填空： （ 1 ）圆的半径为 r cm ，它的面积为 ______cm². （ 2 ）长方形的长与宽分别为 a cm 、 b cm ，则该长方形的周长 __________cm. （ 3 ）小强在小学六年中共攒了 a 元零花钱，上中学后买文具用去 b 元，剩下的钱全部存入银行，则小强可以存款 ________ 元 。 （ 4 ）某机关原有工作人员 m 人，现精简机构，减少 20% 的工作人员，则有 ________ 人被精简。 r² 2 （ a+b ） （ a–b ） 20%·m 例 2. 结合你的生活经验对下列代数式作出具体解释： （ 1 ） a–b; (2) ab 解 ： （ 1 ）今年小明 b 岁、小明爸爸 a 岁，小明比他爸爸小（ a–b ）岁； （ 2 ）长方形的长为 a 厘米，宽为 b 厘米，长方形的面积是 ab 平方厘米。 做一做： 下列代数式哪些书写不规范，请改正过 来 3x+1 2.m n–3 3.2 y 4.a (b+c) 5.a–1 b 书写代数式要注意什么？ （ 1 ）代数式中出现乘号，通常写作“ •” 或省略不写； （ 2 ）数字与字母相乘，数字写在字母前面； （ 3 ）除法运算写成分数形式。 例 2. 用代数式表示 （ 1 ） a 、 b 两数的 平方和 减去他们乘积的 2 倍； （ 2 ） a 、 b 两数的 和的平方 减去他们的差的平方； （ 3 ） a 、 b 两数的和与他们的差的乘积； （ 4 ） 偶数、奇数 . （ 4 ） 2n ， 2n+1(n 为整数 ) （ 3 ） (a+b)(a–b) （ 2 ） ( a+b)² –(a–b)² （ 1 ） a² +b²–2ab 解： 第三章 整式及其加减 3 整式 （ 1 ）如图，一个十字形花坛铺上了草皮，此花坛共有草地 平 方米； （ 2 ）当水结冰时，其体积大约会比原来增加 ， x 立方米的水结成冰后体积约为 立方米。 c (ab-4c 2 ) （ 3 ）如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是 a ， b ， c 。这个箱子露在外面的表面积是 ； （ 4 ）某件商品的成本价为 a 元，按成本价提高 15% 后标价，又以八折销售，此件商品的售价 为 元 。 ab+ac+bc 0.8(1+15 ) a 小 明房间的窗户如图所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（他们的半径相同）。 （ 1 ）装饰物所占的面积是多少？ （ 2 ）窗户中能射进阳光部分的面积是多少？ b a 下面两组式子各有什么特点？ （ 1 ） ， ab ， ， （ 2 ） ， 2 a +2 b ， 都 是数与字母的乘积，这样的代数式叫做 单项 式 ． 几个单项式的和叫做 多项式。 单项式 多项式 整式 单 项式的次数 : 一个单项式中，所有字母的指数之和 . 多项式的次数 : 一个多项式中，次数最高的项的次数． 1 次 2+1=3 次 2 次 2+1=3 次 在多项式中，每个单项式叫做 多项式的项 。 单项式中的数字因数叫做这个 单项式的系数 。 3 . 当单项式的系数为 1 或 -1 时，这个“ 1” 应省略不写。 注意 : 1. 单独的一个数或一个字母也是单项式 ; 2. 单独一个非零数的次数是 0 。 例 1. 下列式子中哪些是单项式 , 哪些是多项式 ? 单项式： 多项式： x—y ， 例 2. 下列说法中 , 正确的是 ( ) D 小 红和小兰房间窗户的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）． （ 1 ）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计） a b a b （ 2 ）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？ 小 红和小兰房间窗户的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）． a b a b 第三章 整式及其加减 4 整式的加减 4 整式的加减 合并同类项 学习目标 : (1) 理解同类项的概念； (2) 掌握合并同类项的方法； (3) 通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从　 中 体会数式通性和类比的数学思想． 引入 问 题 1 在西宁到拉萨路段，列车在冻土地段的行驶速度是 100 km/h ，在非冻土地段的行驶速度是 120 km/h ，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的 2.1 倍 ，如果通过冻土地段需要 t h ，你能用含 t 的式子表示这段铁路的全长吗？ 100 t ＋ 120×2.1 t ＝ 100 t ＋ 252 t 100 t ＋ 120×2.1 t ＝ 100 t ＋ 252 t 这 个式子的结果是多少？你是怎样得到的 ? 类比探究，学习新知 （1）运用有理数的运算律计算 . 100 × 2+252 × 2= 　　 ； 100 × (-2)+252 × (-2)= 　　 . （1）运用有理数的运算律计算 100 × 2+252 × 2= ( 100+252) × 2=352 × 2=704 ； 100 × (-2)+252 × (-2 )= ( 100+252) × (-2)=352 × (-2)=-704 . 100 t +252 t =(100+252) t= 352 t （ 2 ）类比式子的运算，化简下列式子 ： ① ② ③ 问题 3 观察多项式 ， ， ， （ 1 ）上述各多项式的项有什么共同特点 ？ （ 2 ）上述多项式的运算有什么共同特点 ? 你能从中得出什么规律 ? （ 1 ）上述各多项式的项有什么共同特点？ ① 每个式子的项含有相同的字母； ② 并且相同字母的指数也相同 . （ 2 ）上述多项式的运算有什么共同特点 ? ① 根据分配律把多项式各项的系数相加； ② 字母部分保持不变 . 定义 和法则： （ 1 ）所含字母相同，并且相同字母的指数也 相同的项叫做 同类项 . 几个常数项也是同类项 . （ 2 ）把多项式中的同类项合并成一项，叫做 合并同类项 （ 3 ）合并同类项后，所得项的系数是合并前 各同类项的系数的和，且字母部分不变 . 问题 5 化 简多项式的一般步骤是什么呢？ 例题 : 找出多项式 中的同类项并进行合并，思考下面问题： 每一步运算的依据是什么？注意什么？ 例题 解： ( 交换律 ) ( 结合律 ) (分配律 ) ( 按字母的指数从大到小顺序排列 ) 归纳步骤： （ 1 ）找出同类项并做标记； （ 2 ）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合； （ 3 ）合并同类项； （ 4 ）按同一个字母的降幂（或升幂排列）． 　 合并下列各式的同类项: （ 1） （ 2） （3） 例1 例2 （1）求多项式 的值，其 中 . （2）求多项式 的值，其 中 . 例3 （1）水库水位第一天连续下降了a h，每小时平均下降2 cm；第二天连续上升了a h，每小时平均上升0.5 cm，这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？ 解：由题意得2a-0.5a=1.5a，所以这两天水位总的下降了1.5a 解：由题意得：5x-3x+4x=6x，所以进货后这个商店有大米6x千克。 归纳小结 （ 1 ）本节课学了哪些主要内容？ （ 2 ）你能举例说明同类项的概念吗？ （ 3 ）举例说明合并同类项的方法 . （ 4 ）本节课主要运用了什么思想方法研究问题？ 去括号 用分配律计算 引入 在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段需要u h，那么通过非冻土地段的时间是（u-0.5）h.于是，冻土地段的路程是100u km，非冻土地段的路程是120（u-0.5）km. 因此，这段铁路的全长（单位：km）是100u+120(u-0.5) 冻土地段与非冻土地段相差： 100u-120(u-0.5) 上面的两个式子都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？ 利用分配律，可以去括号，再合并同类项，得 100u+120(u-0.5)=100u+120u-60=220u-60 100u-120(u-0.5)=100u-120u+60=-20u+60 即： +120(u-0.5)=+120u-60 -120(u-0.5)= -120u+60 比较上面两式，你能发现去括号时符号变化的规律嘛？ 如 果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 . 如 果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反 . 顺口溜： 去括号，看符号： 是“ +” 号，不变号； 是“ -” 号，全变号 ; 原来的符号和括号都扔掉 . 例：为下面的式子去括号 = +（3a-3b+3c） = 3a-3b+3c = -3a+3b-3c = -（3a-3b+3c） = +[3（a-b+c）] = -[3（a-b+c）] (1) +3 （ a - b+c ） (2)- 3 （ a - b+c ） 结论： 括号外面的因数不是 1 或 -1 时，把符号留在外面，把因数的绝对值按分配率乘进去，最后再去括号 . 去括号时应注意的事项： （ 1 ）去括号时应先判断括号前面是“ +” 号还是“ - ”号。 （ 2 ）去括号后，括号内各项符号要么全变号，要么全不变。 （ 3 ）括号前面是“－”号时，去掉括号后，括号内的各项符号都要变成相反，不能只改变第一项或前几项的符号。 （ 4 ）括号内原有几项，去掉括号后仍有几项，不能丢项。 （ 5 ）去括号法则的依据是分配律，计算时不能出现有些项漏乘的情况。 化简下列各式 例4 两 船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是 50 km/h ，水流速度是 a km/h. （ 1 ） 2h 后两船相距多远？ （ 2 ） 2h 后甲船比乙船多航行多少千米？ 例5 解（1）由题意得：甲船2h行驶了2(50+a) km，乙船2 h行驶了2(50-a) km，所以两船相距 ： 2(50+a )+2(50-a)=200 km。 （2）由（1）可知，2h后甲船比乙船多航行了 2(50+a )-2(50-a)=4a km。 整式的加减 合并同类项的步骤 归纳步骤： （ 1 ）找出同类项并做标记； （ 2 ）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合； （ 3 ）合并同类项； （ 4 ）按同一个字母的降幂（或升幂排列）． 去括号的法则 如 果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 . 如 果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反 . 合并同类项、去括号都是进行整式加减运算的基础。 计 算 例 6 分析：第（1）题是计算多项式与多项式的和，第（2）题是计算多项式与多项式的差。 解： 例7 笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，小红买3本笔记本，2支圆珠笔，小明买4本笔记本，3支圆珠笔，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花了多少钱？ 解法1：小红买笔记本和圆珠笔共花费（3x+2y）元，小明买笔记本和圆柱笔共花费（4x+3y）元，小红和小明一共花费（单位：元） （3x+2y）+（4x+3y） =3x+2y+4x+3y =7x+5y 解法2：小红和小明买笔记本共花费（3x+4x）元，买圆珠笔共花费（2y+3y）元，小红和小明一共花费：（单位：元） （3x+4x）+（2y+3y ）= 7x+5y 例8 做大小两个长方体纸盒，尺 寸（单位：cm）如 下： 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c （1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？ （2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？ 解： 通过上面的学习，我们可以得到证实加减的运算法则： 一 般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 解： 例9 解： 注意： 进行此类题的解答时，需先将式子化简，再代入数值进行计算，这样会使计算比较简便。 练习 第三章 整式及其加减 5 探索与表达规律 凭你的经验，完成下图2004年10月份的日历表： 26 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 28 29 30 31 2004年10月份日历 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示 （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？ （2）这个关系对其他这样的方框也成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？ （1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ 因为 7+8+9+14+15+16+21+22+23=135 15×9=135 所以这9个数的和等于正中间一数的9倍 7 8 9 14 15 16 21 22 23 a-8 a-7 a-6 a-1 a a+1 a+6 a+7 a+8 也成立。因为对于任何这种9个数的方框，其中的9个数都可以如上图表示，它们的和为： ( a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) =a-8+a-7+a-6+a-1+a+a+1+a+6+a+7+a+8 = 9a 对于任何一个月的日历都成立，因为对于任何一个月的日历都有如上题中的关系成立。如2003年10月日历。 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 7 8 9 14 15 16 21 22 23 还可以找到许多不同的规律，如： 1、 上图中的如红线所示的三数之和相等 ( a-8) +a +(a+8)=(a-7) +a +(a+7)=(a-6) +a +(a+6) =(a-1) +a +(a+1) 7 8 9 14 15 16 21 22 23 2 、紫色线所示的三组数之和相差21 [ (a+6)+(a+7)+(a+8)]-[(a-1)+a+(a+1)]=21 [(a-1)+a+(a+1)] - [ ( a-8)+(a-7)+(a-6)]=21 3、 黑色 线所示的三组数之和相差 3 [ (a-6) +(a+1)+(a+8)]-[(a-7)+ a + (a+7)]=3  [(a-7)+ a + (a+7)]-[ ( a-8)+ (a-1)+(a+6)]=3 7 8 9 14 15 16 21 22 23 1. 在如图所示的两个方框或其它多种方框中 , 一条对角线上两数的和等于另一条对角线上两数的和 . 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 2 、 在十字形的区域中，五个数字的和等于正中 心数的 5 倍。若设中心数为 a, 则这五个数之和为： （ a-7)+(a+7)+(a-1)+(a+1)+a=5a 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3. 在 H 形区域中 ,7 个数的和等于正中心数的 7 倍 . 若设中心数为 a, 则这七个数之和为： ( a-8)+(a-1)+(a+6)+a+(a- 6)+(a+1)+(a+8)=7a 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 4. 在 w 形区域中 , 七个数的和等于中心数的 7 倍 . 若设中心数为 a, 则这七个数之和为 : (a-10)+(a-2)+(a+6)+(a+8)+(a+2)+(a-4)+a=7a 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 用火柴棒按下图的方式搭三角形 （2）照这样的规律搭下去，搭 n 个这样的三角形 需要多少根火柴棒？ （ 1）填写下表： 三角形个数 1 2 3 4 5 火柴棒根数 搭 n 个这样的三角形 需要 2 n+1 根火柴棒 3 11 9 5 7 1 个细胞 经过 n 次分裂，由1个能分裂成多少个？ 为便于寻找规律，需把 细胞个数 表示为 分裂次数 的同一种关系。 我们曾经接触过“细胞分裂”问题： 细胞每次都是由一个分裂成两个。 可从具体的、简单的对折次数入手，寻找所得 折痕数 与 对折次数 的变化关系. 折痕条数 对折次数 1 2 3 4 … n 所得层数 1 3 7 15 … 2 4 8 16 … 2 1 2 2 2 3 2 4 2 n 2 n －1 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折 n 次后，可以得到多少条折痕？ 谁能算出： 1+2+2 2 +2 3 +2 4 +……2 n =？ 观察上表可得： 1=2 1 - 1 3=1+ 2 1 =2 2 - 1 7=1+2 1 +2 2 =2 3 - 1 15= 1+2 1 +2 2 +2 3 =2 4 - 1 …… 所以 1+2+2 2 +2 3 +2 4 +……2 n = 2 n+1 -1 探索规律的一般步骤： 猜 想 规 律 表 示 规 律 验 证 规 律 具 体 问 题 观 察 特 例 成立 得出结论 不成立 回 头 重 新 探 索