北师大版九年级数学上册第四章同步测试题及答案

北师大版九年级数学上册第四章同步测试题及答案 4.1 成比例线段 1. 已知三条线的比如下，可以组成三角形的是（ ） A. 5：20：30 B. 10：20：30 C. 15：15：30 D. 20：30：30 2. 下列四条线段中，不能成比例的是（ ） A. a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B. a＝1，b＝ 2，c＝ 6，d＝ 3 C. a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D. a＝2，b＝ 5，c＝ 15，d＝2 3 3. 在比例尺为 1：n 的某市地图上，A，B 两地相距 5cm，则 A，B 之间的实际距离为（ ） A. 1 5 n cm B. 1 25 n2cm C. 5ｎcm Ｄ．25n2cm 4. 若x 5=y 7,则x y的值为( ) A. 5 7 B. 7 5 C. 3：5 D. 2 5. 如果a b＝c d成立，那么下列各式一定成立的是（ ） A. a c＝d b B. ac bd＝c b C. a+1 b ＝c+1 d D. a+2b b ＝c+2d d 6. 若 a:b:c=3:5:7,且 3a+2b-4c=9,则 a+b+c 的值等于（ ） A. -3 B. -5 C. -7 D. -15 7. 已知 M 是线段 AB 延长线上一点，且 AM：BM＝5：2 则 AB：BM 为（ ） A. 3：2 B. 2：3 C. 3：5 D. 5：2 8. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是 1.5 米，影长是 1 米，且 旗杆的影长为 8 米，则旗杆的高度是（ ） A. 12 米 B. 11 米 C. 10 米 D. 9 米 9. 若a−b b ＝4 7 ，则a b＝____． 10. 若a b＝c d＝2 5 （b＋d≠0），则a+c b+d ＝____． 11. 已知a+2b 2a−b = 9 5 ，则a b＝____． 12. 如果两地相距 250km，那么在 1：10000000 的地图上它们相距____cm。 13. 在 Rt △ABC 中，斜边 AB＝205，AC BC = 9 40 ，试求 AC，BC 的值。 14. 在△ABC 中，AB＝12，点 E 在 AC 上，点 D 在 AB 上，若 AE＝6，EC＝4，AD DB = AE EC 。 （1）求 AD 的长； （2）试问DB AB = EC AC 能成立吗？请说明理由。 答案 1. 【答案】D 【解析】设一份为 1，根据三角形的三边关系可得：选项 A，5+20＜30，不能组成三角形；选项 B，10+20=30， 不能组成三角形；选项 C，15+15=30，不能组成三角形；选项 D，20+30＞30，能组成三角形.故选 D. 2. 【答案】C 【解析】∵3 6 = 2 4 ，故选项 A 中的线段成比例；∵ 1 2 = 2 2 ， 6 2 3 = 2 2 ，故选项 B 中的线段成比例；∵4 5 = 6 10 ，故 选项 C 中的线段不成比例；∵ 2 5 = 2 5 5 ，2 3 15 = 2 5 5 ，故选项 D 中的线段成比例；故选 C． 3. 【答案】C 【解析】设 A、B 之间的实际距离为 xcm，则 1：n=5：x，解得 x=5ncm，故选 C． 点睛：本题考查了比例尺的性质，解题的关键是根据比例尺的性质列方程，解方程即可，注意统一单位． 4. 【答案】A 【解析】已知x 5=y 7,根据比例的性质可得x y = 5 7，故选 A. 5. 【答案】D 【解析】已知a b = c d成立，根据比例的性质可得选项 A、B、C 都不成立；选项 D ，由a+2b b ＝c+2d d 可得a b + 2 = c d + 2， 即可得a b = c d，选项 D 正确，故选 D. 点睛：本题主要考查了比例的性质，熟练运用比例的性质是解决问题的关键. 6. 【答案】D 【解析】已知 a:b:c=3:5:7，设 a=3k，b=5k，c=7k，由 3a+2b-4c=9 可得 9k+10k-28k=9，解得 k=-1，所以 a=-3，b=-5，c=-7，即可得 a+b+c=-15，故选 D. 7. 【答案】A 【解析】设 AM＝5k，BM=2k，则 AB=AM-BM=3k，所以 AB∶BM=3k∶2k=3∶2，故选 A. 8.【答案】A 【解析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的 比值等于旗杆的高与其影子长的比值．设旗杆的高度为 x，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影 子长比值是相同的，得：1.5 1 =x 8，∴x=1.5×8 1 =12m，∴旗杆的高度是 12m．故选 A． 点评：解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的． 9. 【答案】11 7 【解析】已知a−b b ＝4 7 ，根据比例的性质可得a−b b = a b − 1 = 4 7 ，即可得a b = 11 7 . 10. 【答案】2 5 【解析】已知 2 5 a c b d   （b+d≠0），根据等比性质可得 2 5 a c b d   . 11. 【答案】19 13 【解析】∵ 2 3 12 2 5 a b a b   ，∴5(2a+3b)=12(a+2b),整理得 2a=-9b，所以， 9 2 a b  =4.5. 12.【答案】2.5 【解析】根据图上距离=实际距离×比例尺，可得图上距离=250× 1 10000000 =0.000025 千米=2.5cm． 13. 【答案】AC=45 BC=200. 【解析】根据AC BC = 9 40 可设 AC=9x，BC=40x，根据勾股定理列出方程求得 x 的值，即可得 AC、BC 的值.设 AC=9x， BC=40x，根据勾股定理可得 AC2 + BC2 = AB2，即(9x)2 + (40x)2 = 412，解得 x=5.∴AC=45，BC=200. 14. 【答案】(1)AD=36 5 ;(2)能,理由见解析. 【解析】（1）设 AD=x，则 BD=AB-AD=（12-x）cm，根据比例式列出方程求得 x 的值，即可得 AD 的长；(2) 根据所求得的数据计算即可得结论. 解：(1)设 AD=x,则 BD=AB-AD=（12-x）cm， x：12-x=6：4，解得 x=7.2， ∴AD=7.2； (2)能, 由 AB＝12，AD＝36 5 ，故 DB＝24 5 . 于是DB AB = 2 5 ， 又EC AC = 4 10 = 2 5 ，故DB AB = EC AC . 4.2 平行线分线段成比例 一. 填空题： 1. 如图，梯形 ABCD，AD//BC，延长两腰交于点 E，若 AD = 2，BC = 6，AB = 4，则ED EC = ， DE DC = . 2. 如图，ΔABC 中，EF//BC，AD 交 EF 于 G，已知 EG = 2，GF = 3，BD = 5，则 DC = . 3. 如图，梯形 ABCD 中，DC//AB，DC = 2，AB = 3.5，且 MN//PQ//AB，DM = MP = PA，则 MN＝________， PQ＝________ 4. 如图，菱形 ADEF，AB = 7，AC = 5，BC = 6，则 BE＝________. 5. 如图，EA//FC，EB//FD，则 AB 与 CD 的位置关系是________. 6. 如图，D 是 BC 的中点，M 是 AD 的中点，BM 的延长线交 AC 于 N，则 AN:NC＝________。 二. 选择题 7. 如图，H 为平行四边形 ABCD 中 AD 边上一点，且 AH = 1 2 DH，AC 和 BH 交于点 K，则 AK:KC 等于（ ） A. 1:2 B. 1:1 C. 1:3 D. 2:3 8. 如图，ΔABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，下列条件中，能判定 DE//BC 的是（ ） A. AD ⋅ AC = AE ⋅ AB B. AD ⋅ AE = EC ⋅ DB C. AD ⋅ AB = AE ⋅ AC D. BD ⋅ AC = AE ⋅ AB 9. 如图， 中，DE//BC，BE 与 CD 交于点 O，AO 与 DE、BC 交于 N、M，则下列式子中错误的是（ ） A. DN BM = AD AB B. AD AB = DE BC C. DO OC = DE BC D. AE EC = AO OM 10. 如图，l1//l2//l3，l4与 交于点 P，PA = a，AB = b，BC = c，PD = d，DE = e，EF = f，则 bf =（ ） A. ab B. bd C. ae D. ce 11. 如图， 中，AD DB = AE EC = 1 2 ，则 （ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 三. 解答题： 12. 如图，已知菱形 BEDF 内接于 ，点 E、D、F 分别在 AB、AC 和 BC 上，若 AB = 15，BC = 12，求 菱形边长。 13. 如图，已知 中，DE//BC，AD = 8，AC = 6，BD = AE，求 BD 的长。 14. 如图， 中，AD 是角平分线，DE//AC 交 AB 于 E，已知 AB = 12，AC = 8，求 DE。 15. 在 中，BD 是 AC 边上的中线， ，且 AE 与 BD 相交于点 F，试说明：AB BC = EF AF 。 16. 如图 F 为平行四边形 ABCD 的 AD 延长线上一点，BF 分别交 CD、AC 于 G、E，若 EF = 32，GE = 8，求 BE。 答案 一. 填空题： 1. 【答案】1 3 1 2 【解析】∵AD∥BC，∴ED EC = AD BC = 2 6 = 1 3 ，∴ DE EC−DE = 1 3−1 = 1 2 ，即DE DC = 1 2 . 2. 【答案】15 2 【解析】∵EF∥BC，∴EG BD = AG AD ，GF DC = AG AD ，∴EG BD = GF DC ，又∵EG=2，GF=3，BD=5，∴DC=BD⋅ AG EG = 3×5 2 = 15 2 . 3. 【答案】2.5 3 【解析】如图，过点 D 作 DE∥BC，分别交 MN、PQ、AB 于点 H、F、E 三点，∵ MN//PQ//AB∥DC，∴DC ∥HN∥FQ∥EB，∴BE=FQ=HN=DC=2，（夹在平行线间的平行线段相等），∴AE=AB-BE=3.5-2=1.5.∵MN// PQ//AB，∴MH AE = DM AD ， PF AE = DP AD ，又∵DM=MP=PA，∴MH AE = DM AD = 1 3 ， PF AE = DP AD = 2 3 ，∴MH=1 3 AE=0.5，PF=2 3 AE =1，∴MN=MH+HN=0.5+2=2.5，PQ=PF+FQ=1+2=3. 点睛：本题的解题关键是通过作 DE∥BC（也可作 CE∥AD）交 MN 于点 H，从而把 MN 分成 MH 和 HN 两段来求. （1）利用“夹在平行间的平行线段相等”可求得 HN=DC=BE=2；（2）在左侧的△DAE 中利用“平行线分线 段成比例定理”可解得 MH 的长；两者结合即可求得 MN 的长. 4. 【答案】3.5 【解析】∵四边形 ADEF 是菱形，∴AD=DE，DE∥AC.∴BD AB = DE AC ，设 DE=x，则 AD=x，BD=AB-AD=7 − x，∴7−x 7 = x 5 ， 解得：x = 35 12 .∵DE∥AC，∴BE BC = DE AC ，∴BE 6 = 35 12 5 ，解得 BE=3.5. 5. 【答案】平行 【解析】∵EA//FC，EB//FD ，∴ OA OE AC EF  , OB OE BD EF  ，∴OA AC = OB BD ，∴AB ∥ CD. 6. 【答案】1:2 【解析】如图，过点 D 作 DE∥BN，交 AC 于点 E，∵D 是 BC 的中点，M 是 AD 的中点，∴NE EC = BD DC = 1，AN NE = AM MD = 1， ∴NE = EC = AN，∴AN：NC=1：2. 点睛：本题解题的关键是过 BC 的中点 D 作 DE∥BN 交 AC 于点 E，从而可在△BCN 和△ADC 中分别利用“平 行线分线段成比例定理”结合点 D、M 分别是 BC、AD 的中点证得：AN=NE=EC，从而求得 AN：NC 的值. 二. 选择题 7. 【答案】C 【解析】∵AH=1 2 DH，∴AH AD = 1 3 ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△AHK∽△CBK， ∴AK：KC=1：3，故选 B． 8. 【答案】A 【解析】A 选项中，由 AD ⋅ AC = AE ⋅ AB 可得：AD AB = AE AC ，由此可得 DE//BC，因此可以选 A.B 选项中， 由 AD ⋅ AE = EC ⋅ DB 可得：AD DB = EC AE ，由此不能得到 DE//BC，因此不能选 B.C 选项中，由 AD ⋅ AB = AE ⋅ AC 可得：AD AE = AC AB ，由此不能得到 DE//BC，因此不能选 C.D 选项中，由 BD ⋅ AC = AE ⋅ AB 可得： AE BC = AC AB ，由此不能得到 DE//BC，因此不能选 D.故选 A. 9.【答案】D 【解析】∵DE//BC，∴ DN AD BM AB  , AD DE AB BC  , DO DE OC BC  , AE AN AO EC NM OM   .∴上述结论中，A、B、 C 成立，错误的是 D.故选 D. 10. 【答案】D 【解析】∵l1//l2//l3 ，∴AB:BC=DE:EF，又∵AB=b，BC=c，DE=e，EF=f，∴b:c=e:f，∴bf=ce.故选 D. 11. 【答案】B 【解析】∵AD DB = AE EC = 1 2 ，∴DE∥BC，AD AB = 1 1+2 = 1 3 ，∴OE OB = DE BC = 1 3 .故选 B. 三. 解答题： 12.【答案】菱形边长为20 3 . 【解析】设菱形的边长为 x，由四边形 BEDF 是菱形可得：DF∥AB，由此可得DF AB = CF BC ，即 x 15 = 12−x 12 ，解此方 程即可得菱形的边长. 解：∵四边形 BEDF 是菱形，∴BE=ED=DF=BF， 设菱形边长为 x，∵DF∥AB， ∴DF AB = CF BC ，即： x 15 = 12−x 12 ， 解得：x = 20 3 ，即：菱形的边长为：20 3 . 13. 【答案】4. 【解析】由 DE∥BC 可得 AD:AB=AE:AC，结合 BD=AE，AD=8，AC=6，可得 8：（8+BD）=BD:6，解此方程可得 BD 的长. 解：∵DE∥BC，∴AD:AB=AE:AC， 又∵BD=AE，AD=8，AC=6， ∴AB=8+BD， ∴8：(8+BD)=BD：6 即 BD2+8BD-48=0. 解得：BD=4 或 BD=-12（不合题意，舍去）. 14. 【答案】4.8. 【解析】如图，由 AD 平分∠BAC 可得∠1=∠2；由 DE∥AC 可得∠1=∠3；两者结合可得∠1=∠2，从而可得 DE=AE，则 BE=AB-DE=12-DE；由 DE∥AC 可得DE AC = BE AB ，结合已知可得：DE 8 = 12−DE 12 ，由此即可解得 DE 的长. 解：∵AD 平分∠BAC，∴∠1=∠2， ∵DE∥AC，∴∠1=∠3，DE AC = BE AB ， ∴∠1=∠2， ∴DE=AE，则 BE=AB-DE=12-DE， ∴DE 8 = 12−DE 12 ，解得：DE=4.8. 点睛：本题解题的关键是“能由 AD 平分∠BAC，DE∥AC 证得：AE=DE”，从而可用含 DE 的式子把 BE 表达 出来，再由平行线分线段成比例就可列式解出 DE. 15. 【答案】详见解析. 【解析】过点 E 作 EM∥BD 交 AC 于点 M，则由此可得：BE BC = DM DC ，EF AF = DM AD ，结合 AD=DC 可得：BE BC = EF AF ，结合 BE=AB 即可得结论：AB BC = EF AF . 解：过点 E 作 EM∥BD 交 AC 于点 M， ∴BE BC = DM DC ，EF AF = DM AD ， 又∵AD=DC，∴BE BC = EF AF ， 又∵BE=AB，∴AB BC = EF AF . 16. 【答案】16. 【解析】利用平行四边形的性质得出△AFE∽△CBE，△DFG∽△CBG，再利用相似三角形的性质即可解答． 解：设 BE=x， ∵EF=32，GE=8，∴FG = 32 − 8 = 24， ∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE， ∴EF EB = AF BC ，∴则32 x = DF+AD BC = DF BC+1 ① ∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG， ∴DF BC = 24 8+x 代入①32 x = 24 8+x + 1， 解得：x=±16（负数舍去）， 故 BE=16． 4.3 相似多边形 一、选择题 1. 用一个 2 倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（ ） A. △ABC 放大后，是原来的 2 倍 B. △ABC 放大后，各边长是原来的 2 倍 C. △ABC 放大后，周长是原来的 2 倍 D. △ABC 放大后，面积是原来的 4 倍 2. 我国国土面积约为 960 万平方千米，画在比例尺为 1：1000 万的地图上的面积约是（ ） A. 960 平方千米 B. 960 平方米 C. 960 平方分米 D. 960 平方厘米 3. 如图，一张矩形纸片 ABCD 的长 AB=a，宽 BC=b．将纸片对折，折痕为 EF，所得矩形 AFED 与矩形 ABCD 相似，则 a：b=（ ） A. 2：1 B. 2：1 C. 3：3 D. 3：2 4. 两个相似多边形的一组对分别是 3cm 和 4.5cm，如果它们的面积之和是 78cm2，那么较大的多边形的面 积是（ ） A. 44.8 B. 42 C. 52 D. 54 5. 若两个相似多边形的面积之比为 1：4，则它们的周长之比为（ ） A. 1：4 B. 1：2 C. 2：1 D. 4：1 6. 如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一 个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ） A. B. C. D. 7. 某块面积为 4000m2的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为 250cm2，这块草坪某条边 的长度是 40m，则它在设计图纸上的长度是（ ） A. 4cm B. 5cm C. 10cm D. 40cm 8. 一个多边形的边长分别为 2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为 6，则最长 边长为（ ） A. 18 B. 12 C. 24 D. 30 9. 若两个相似多边形的面积之比为 1：4，则它们的周长之比为（ ） A. 1：4 B. 1：2 C. 2：1 D. 4：1 10. 如果两个相似多边形面积的比为 1：5，则它们的相似比为（ ） A. 1：25 B. 1：5 C. 1：2.5 D. 1： 5 11. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ） A. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B. 图形中线段的长度与角的大小都会改变 C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 12. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（ ） （1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都 相似． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 如果两个相似多边形的面积比为 16：9，那么这两个相似多边形的相似比为（ ） A. 16：9 B. 4：3 C. 2：3 D. 256：81 14. 下列判断正确的是（ ） A. 所有的直角三角形都相似 B. 所有的等腰直角三角形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的矩形都相似 15. 如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（ ） A. 相似 B. 平移 C. 轴对称 D. 旋转 二、填空题 16. 若两个相似多边形的对应边之比为 5：2，则它们的周长比是_____． 17. 图中的两个四边形相似，则 x + y=______，a=______． 18. 若两个相似多边形的面积比是 16：25，则它们的周长比等于______． 19. 如图，在长 8cm，宽 4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与原矩形相似，那么留下 的矩形的面积为______cm2． 20. 如图，E、F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，若四边形 AEFB 与四边形 ABCD 相似，AB=4， 则 AD 的长度为______． 三、解答题 21. 如图，四边形 ABCD 和四边形 EFGH 相似，求∠α、∠β的大小和 EH 的长度． 22. 两个相似五边形，一组对应边的长分别为 3cm 和 4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，则这两个五边 形面积各是多少cm2？ 23. 把一个长方形（如图）划分成两个全等的长方形．若要使每一个小长方形与原长方形相似，问原长方 形应满足什么条件？ 24. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，已知 AD＝ 2，求 AB 的长． 25. 我们通常用到的一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，再一分为二成为A3纸，…， 它们都是相似的矩形．求这种纸的长与宽的比值（精确到千分位）． 答案 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】用一个 4 倍放大镜照△ABC，放大后与原三角形相似且相似比为 1：4，相似三角形对应角相等， 对应边的比等于相似比、对应周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，故 A 选项错误．故选 A． 考点：相似三角形的性质． 2. 【答案】D 【解析】相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此求解，注意统一单位．960 万平方千米=9.6×1016 平方厘米，设画在地图上的面积约为 x 平方厘米，则 x:9.6×1016=(1:1000 万)2，解得 x=960.则画在地图 上的面积约为 960 平方厘米.故选 D. 3. 【答案】B 【解析】根据折叠性质得到 AF= AB= a，再根据相似多边形的性质得到 = ，即 = ，然后利用比例 的性质计算即可．∵矩形纸片对折，折痕为 EF，∴AF= AB= a，∵矩形 AFED 与矩形 ABCD 相似，∴ = ， 即 = ，∴（ ）2=2，∴ = ．故选 B． 考点：相似多边形的性质． 4. 【答案】D 【解析】设较大多边形的面积为 Scm2，则较小多边形的面积为：（78-S）cm2.∵两个相似多边形的一组对应 边长分别为 3cm 和 4.5cm，∴(4.5:3)2=S:(78−S)，解得 S=54（cm2）.故选 D. 点睛：本题是一道关于相似图形的题目，解题的关键是熟练掌握相似图形的性质. 5. 【答案】B 【解析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．∵两个相似多 边形面积比为 1:4，∴周长之比为 1 4 =1:2.故选：B. 6. 【答案】B 【解析】由题意得，A 中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；C，D 中正方形，菱形四条边 均相等，所以对应边成比例，有因为角也相等，所以正方形，菱形相似.而 B 中矩形四个角相等，但对应 边不一定成比例，所以 B 中矩形不是相似多边形.故选 B. 7. 【答案】C 【解析】设这块草坪在设计图纸上的长度是 xcm ，4000m2=40000000m2，40m=4000cm，根据题意得：40000000： 250=(4000：x)2，解得：x=10，即这块草坪在设计图纸上的长度是 10cm.故选 C. 8.【答案】A 【解析】根据题意找出最短边与最长边，然后根据相似多边形对应边成比例列式计算即可．设这个多边形 的最长边是 x，则 2：6=6：x，解得 x=18.故选 A. 9.【答案】B 【解析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．∵两个相似多 边形面积比为 1:4，∴周长之比为 1 4 =1:2.故选：B. 10. 【答案】D 【解析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可：∵两个相似多边形面积的比为 1：5，∴ 它们的相似比为 1： 5．故选 D． 考点：相似多边形的性质． 11. 【答案】D 【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时， 图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选 D． 点睛：本题主要考查相似图形的性质.理解相似图形的性质是解题的关键. 12. 【答案】C 【解析】（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确； （3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；故符合题意的有 2 个．故选：B． 考点：1．相似图形；2．命题与定理． 13. 【答案】B 【解析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可得相似比为 4:3，故本题选 B． 考点：相似多边形的性质 14. 【答案】B 【解析】A. 所有的直角三角形只有直角相等，所以不一定都相似，故本选项错误；B. 所有的等腰直角三 角形都相似正确，故本选项正确；C. 所有的菱形只有对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定相 似，故本选项错误；D. 所有的矩形对应角相等，对应边不一定成比例，则不一定相似，故本选项错误。 故选 B. 15. 【答案】A 【解析】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的特点，结合图形即可得出答案．根据相似图 形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换.故选 A. 点睛：本题主要考查相似的概念.熟记各种图形变换的概念是解题的关键. 二、填空题 16.【答案】5：2 【解析】∵两个相似多边形的对应边的比是 5:2，∴这两个多边形的周长比是 5:2.故答案为：5:2. 17. 【答案】 (1). 63 (2). 85° 【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以 18:4=x:8=y:6，解得 x=36，y=27， 则 x+y=36+27=63.a=360°−(77°+83°+115°)=85°.故答案为 63，85°. 18. 【答案】4：5 【解析】∵两个相似多边形面积的比为 16:25，∴两个相似多边形的相似比等于 4:5，∴这两个相似多边 形周长的比是 4:5.故答案为：4:5. 19. 【答案】8． 【解析】本题需先设留下的矩形的宽为 x，再根据留下的矩形与矩形相似，列出方程即可求出留下的矩形 的面积．设留下的矩形的宽为 x，∵留下的矩形与矩形相似，∴x：4=4：8，解得，x=2，∴留下的矩形的 面积为：2×4=8(cm2).故答案为：8. 20. 【答案】4 2 【解析】设 AE=x，则 AD=2x，∵四边形 ABCD 与矩四边形 ABFE 是相似的，∴AE：AB=AB：AD，∴AB2=2x2， ∴AB= 2x=4，∴x=2 2，∴AD=4 2，故答案为：4 2. 点睛：本题主要考查相似的性质.利用相似的性质建立方程是解题的关键. 三、解答题 21. 【答案】∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm． 【解析】利用相似多边形的性质：对应边的成相等，对应角相等，即可求解. 解：∵四边形 ABCD 和四边形 EFGH 相似， ∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β = 360° − （83° + 78° + 118°） = 81°，EH：AD = HG：DC， ∴EH 21 = 24 18 ， ∴EH=28（cm）． 答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm. 22. 【答案】较小五边形与较大五边形的面积分别是24cm2，54cm2． 【解析】根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决． 解：设较小五边形与较大五边形的面积分别是 xcm2，ycm2． 则x y = （ 3 4.5 ）2 = 4 9 ，因而 x = 4 9 y． 根据面积之和是78cm2，得到4 9 y + y = 78， 解得：y = 54， 则 x = 4 9 × 54 = 24． 即较小五边形与较大五边形的面积分别是24cm2，54cm2． 23. 【答案】原长方形的长与宽之比为 2：1． 【解析】根据相似多边形的对应边的比相等，建立方程解之即可得出结论. 解：设 AE=ED=a，AB=b， ∵每一个小长方形与原长方形相似， ∴a b = b 2a ，∴b2 = 2a2， ∵a，b 均为正数，∴b = 2a， ∴AD AB = 2a b = 2a 2a = 2， ∴原长方形的长与宽之比为 2：1． 24. 【答案】AB=1． 【解析】先根据 AD 的值可求出 MD 的长，再根据矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似得出矩形对应边的比例式，求 出 AB 的长即可． 解：∵AD= 2，∴MD=NC= 2 2 ， ∵矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似， ∴NC AB = MN AD ,即 2 2 AB = AB 2 ， ∴AB=1. 25.【答案】1.414 【解析】分别设 A1 纸的长为 a，宽为 b，A2 纸的长为 b，宽为a 2，再由相似多边形的对应边成比例列出比例 式，求出a b的值即可． 解：设 A1 纸的长为 a,宽为 b,A2 纸的长为 b,宽为a 2， ∵A1 纸与 A2 纸是相似的矩形， ∴A1、A2 纸的长与宽对应边的比相等,即 a：b=b：a 2， ∴a b= 2 1 ≈1.414. 答：这种纸的长与宽的比值是 1.414. 点睛：本题主要考查相似的性质.解题的关键在于要利用相似的性质：对应边的比相等，来建立比例式. 4.4 探索三角形相似的条件 一、选择题 1. 如图，小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，如果 DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误 的是（ ） A. △ADE∽△ABC B. △ADE∽△ACD C. △ADE∽△DCB D. △DEC∽△CDB 3. 在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转， 两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（ ） A. 一定相似 B. 当 E 是 AC 中点时相似 C. 不一定相似 D. 无法判断 4. 下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A. ∠A=∠E 且∠D=∠F B. ∠A=∠B 且∠D=∠F C. ∠A=∠E 且AB AC = EF ED D. ∠A=∠E 且AB BC = DF ED 5. 如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠D，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的（ ） A. AC AD = AB AE B. AC AD = BC DE C. AC AD = AB DE D. AC AD = BC AE 6. 如图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△ACD 和△ABC 相似需具备的条件是（ ） A. AC CD = AB BC B. CD AD = BC AC C. AC2=AD•AB D. CD2=AD•BD 8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，BE=CE，MN=1，线段 MN 的两端点在 CD、AD 上滑动，当 DM 为（ ） 时，△ABE 与以 D、M、N 为顶点的三角形相似． A. 5 5 B. 2 5 5 C. 5 5 或2 5 5 D. 2 5 5 或3 5 5 9. 如图所示，在▱ABCD 中，BE 交 AC，CD 于 G，F，交 AD 的延长线于 E，则图中的相似三角形有（ ） A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对 10. 如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边 AB 上取点 P，使得△PAD 与△PBC 相似，则这样的 P 点共有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 11. 如图，在△ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原 三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延长线于点 E，在不添加辅助线的情况下， 与△AEF 相似的三角形有（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 二、填空题 13. 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE 平分∠BAD，则△ABC∽__，△BAD∽△ACD（写 出一个三角形即可）． 14. 如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个 条件，不添加辅助线和字母） 15. 如图，已知点 E 在 AC 上，若点 D 在 AB 上，则满足条件______（只填一个条件），使△ADE 与原△ABC 相似． 16. 如图，在△ABC 中，AB=9，AC=6，BC=12，点 M 在 AB 边上，且 AM=3，过点 M 作直线 MN 与 AC 边交于点 N，使截得的三角形与原三角形相似，则 MN=__． 17. 如图，在矩形 ABCD 中，AD=2，AB=5，P 为 CD 边上的动点，当△ADP 与△BCP 相似时，DP=______． 18. 过△ABC（AB＞AC）的边 AC 边上一定点 M 作直线与 AB 相交，使得到的新三角形与△ABC 相似，这样的 直线共有_ _条． 三、解答题 19. 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是 BC 的中点，过点 A 作 AM 的垂线，交 CB 的延长线于点 D．求证： △DBA∽△DAC． 20. 如图，点 C 是线段 AB 上一点，△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE，BD，设 AE 交 CD 于点 F． （1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD． 21. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点 D 是 AB 的中点，点 E 在 DC 的延长线上，且 CE=1 3 CD， 过点 B 作 BF∥DE 交 AE 的延长线于点 F，交 AC 的延长线于点 G． （1）求证：AB=BG； （2）若点 P 是直线 BG 上的一点，试确定点 P 的位置，使△BCP 与△BCD 相似． 22. 如图，在△ABC 中，AB=AC=1，BC= 5−1 2 ，在 AC 边上截取 AD=BC，连接 BD． （1）通过计算，判断 AD2 与 AC•CD 的大小关系； （2）求∠ABD 的度数． 23. 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点，AE=ED，DF=1 4 DC，连接 EF 并延长交 BC 的延 长线于点 G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长． 答案 一、选择题 1. 【答案】B 【解析】小正方形的边长是 1，所以小正方形对角线得到等腰直角三角形.由图知，题目中三角形钝角是 135°，而观察图像，选项 A，C，D 的钝角显而易见不等于 135°，而选项 B 中的钝角是 135°，故选 B. 2.【答案】C 【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B， ∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE， 但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE 与△DCB 不相似；正确的判断是 A、B、C，错误的判断是 D； 故选 D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相 似是解决问题的关键． 3. 【答案】A 【解析】连接 OC，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∵点 O 为 AB 的中点，∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°， ∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，∴∠EOC=∠BOF， 在△COE 和△BOF 中， ∠OCE = ∠B OC = OB ∠EOC = ∠FOB ，∴△COE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF 是等腰直角三角形， ∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，∴△OEF∽△△CAB．故选 A． 考点：1.相似三角形的判定;2.全等三角形的判定与性质;3.等腰直角三角形性质． 4. 【答案】C 【解析】A、∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；B、∠A= ∠B，∠D=∠F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；C、由AB AC ＝ EF ED 可以根 据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC 与△DEF 相似，故此选项正确； D、∠A=∠E 且AB BC ＝ DF ED 不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误.故选 C． 点睛：三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三 角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组 对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 5. 【答案】C 【解析】∵∠BAC=∠D，AC AD ＝ AB DE ，∴△ABC∽△ADE．故选 C． 6. 【答案】B 【解析】设小正方形的边长为 1，根据已知可求出△ABC 三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而 根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．∵小正方形的边长均为 1，∴△ABC 三边分别为 2， ， 同理：A 中各边的长分别为： ，3， ；B 中各边长分别为： ，1， ；C 中各边长分别为：1、2 ， ；D 中各边长分别为：2， ， ；∵只有 B 项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比 为 .故选 B． 考点：相似三角形的判定． 7. 【答案】C 【解析】本题主要考查的就是三角形相似的判定，本题根据有一个角相等，且对应角的两边对应成比例， 则两个三角形相似可以得出答案.根据题意可得∠A 为公共角，则要使三角形相似则必须满足 AC AD AB AC  . 点晴：本题主要考查的就是三角形相似的判定定理，在有一个角相等的情况下，必须是角的两边对应成比 例，如果不是角的两边对应成比例，则这两个三角形不相似；相似还可以利用有两个角对应相等的两个三 角形全等. 8. 【答案】C 【解析】∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=BC.∵BE=CE，∴AB=2BE.又∵△ABE 与以 D. M、N 为顶点的三角 形相似，∴①DM 与 AB 是对应边时，DM=2DN，∴DM2+DN2=MN2=1，∴DM2+1 4 DM2=1，解得 DM= 2 5 5 ；②DM 与 BE 是 对应边时,DM=1 2 DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即 DM2+4DM2=1，解得 DM= 5 5 .∴DM 为2 5 5 或 5 5 时，△ABE 与以 D. M、N 为顶点的三角形相似。故选 C. 点睛：本题考查了相似三角形的性质、正方形的性质以及勾股定理的应用，掌握相似三角形的对应边的比 相等时解题的关键，注意分情况讨论思想与属性结合思想在本题中的应用. 9. 【答案】D 【解析】由 AD ∥ BC，可知△AGE ∽ △CGB，△DFE ∽ △CFB，△ABC ∽ △CDA，由 AB ∥ CD，可知△ABG ∽ △CFG，△ABF ∽ △CFB，△EDF ∽ △EAB．共有 6 对，故选 D 10. 【答案】C 【解析】设 AP=x，则 BP=7-x，然后根据对应关系，分情况为：①当△ADP∽△BCP 时，可得AD BC = AP BP ，即2 3 = x 7−x ， 解得 x=14 5 ，这时有一个 P 点；②当△ADP∽△BPC 时，可得AD BP = AP BC ，即 2 7−x = x 3 ，解得 x=1 或 x=6，因此这样 的点有两个；因此符合条件的 P 点共有 3 个.故选：C 点睛：此题主要考查了相似三角形的性质，解题时，先根据相似三角形的性质，和相似三角形的对应关系， 列出相应的比例式，求解即可. 11. 【答案】C 【解析】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分 的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例， 故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项 错误． 故选 C． 12. 【答案】C 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF 相似的三角形有 2 个．故选 C． 考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质． 二、填空题 13. 【答案】△DBA． 【解析】△ABC∽DBA，理由是：∵AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△ABC∽ △DBA. 14. 【答案】AB∥DE（答案不唯一）． 【解析】在△ABC 和△DEF 中，已经有一个条件：∠A=∠D，根据三角形相似的判定方法中的：（1）有两个 角对应相等的两个三角形相似；（2）有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；可知：只需再添 加“一对对应角相等”或“夹∠A、∠D 的两边成比例”即可得到：△ABC∽△DEF，因此本题的答案不是唯 一的，如添加的一个条件可以是：①∠B=∠DEF 或②∠ACB=∠F 或③AB∥DE 或④AC∥DF 或⑤AB：DE=AC： DF. 15. 【答案】∠B=∠AED． 【解析】已知点 E 在 AC 上，若点 D 在 AB 上，则满足条件∠B=∠AED（只填一个条件），使△ADE 与原△ABC 相似. 16. 【答案】4 或 6． 【解析】作出图形，然后分①点 N 在 AC 上，分 AM 和 AB 与 AC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边 成比例列式求解即可；②点 N 在 BC 上，求出 BM，再分 BM 和 AB 与 BC 是对应边，利用相似三角形对应边成 比例列式求解即可．如图所示，①点 N 在 AC 上，若 AM 和 AB 是对应边，∵△AMN∽△ABC，∴AM AB = MN AB ，即3 9 = MN 12 ， 解得 MN=4，若 AM 和 AC 是对应边，∵△AMN∽△ACB，∴AM AC = MN BC ，即3 6 = MN 12 ，解得 MN=6；②点 N 在 BC 上， BM=AB-AM=9-3=6，若 BM 和 AB 是对应边，∵△MBN∽△ABC，∴BM AB = MN AC ，即6 9 = MN 6 ，解得 MN=4，若 BM 和 BC 是对应边，∵△NBM∽△ABC，∴BM BC = MN AC ，即 6 12 = MN 6 ，解得 MN=3，综上所述，MN 的长为 3 或 4 或 6． “点睛”本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形的对应边成比例，难点在于分情况讨论， 作出图形更形象直观． 17. 【答案】1 或 4 或 2.5． 【解析】本题主要考查的就是动点产生的三角形相似的问题.设 DP=x，则 CP=5-x，本题需要分两种情况情 况进行讨论，①、AD BC =DP CP ，解得：x=2.5；②、AD CP =DP BC ，即 2 5−x =x 2，解得：x=1 或 x=4，综上所述 DP=1 或 4 或 2.5 点晴：本题主要考查的就是三角形相似的问题和动点问题，首先将各线段用含 x 的代数式进行表示，然后 看是否有相同的角，根据对应角的两边对应成比例将线段写成比例式的形式，然后分别进行计算得出答案。 在解答这种问题的时候千万不能出现漏解的现象，每种情况都要考虑到位. 18.【答案】2 【解析】如图所示，过 M 作 MN∥BC 交 AB 于 N，△ANM∽△ABC；过 M 作∠AMD=∠B，交 AB 于 D，△AMD∽△ABC； 因此符合条件的直线共有 2 条. 三、解答题 19. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：∵∠BAC=90°，点 M 是 BC 的中点， ∴AM=CM，∴∠C=∠CAM， ∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°， ∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C， ∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC． 20. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且 其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．（1）根 据全等三角形的判定定理 SAS 证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性 质以及两角法证得结论． 解：（1）∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形， ∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60° ∴∠ACE=∠DCB=120°． ∴△ACE≌△DCB（SAS）； （2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB． ∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE， ∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE， ∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD． 考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质． 21.【答案】（1）证明见解析；（2）当 PB=2.5 或32 5 时，△BCP 与△BCD 相似． 【解析】（1）利用平行分线段成比例定理得出AD BD = AC CG = AE EF ，进而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案； （2）分别利用第一种情况：若∠CDB=∠CPB，第二种情况：若∠PCB=∠CDB，进而求出相似三角形即可得 出答案． （1）证明：∵BF∥DE，∴AD BD = AC CG = AE EF ， ∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF， 在△ABC 和△GBC 中： AC = CG ∠ACB = ∠GCB BC = BC ， ∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG； （2）当 BP 长为5 2 或32 5 时，△BCP 与△BCD 相似； ∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5， ∴∠DCB=∠DBC， ∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP， ∴∠DBC=∠CBP， 第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图 1： 在△BCP 与△BCD 中 ∠CDB = ∠CPB ∠DBC = ∠PBC BC = BC ， ∴△BCP≌△BCD（AAS）， ∴BP=CD=2.5； 第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过 C 点作 CH⊥BG 于 H 点．如图 2： ∵∠CBD=∠CBP， ∴△BPC∽△BCD， ∵CH⊥BG， ∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH， ∴△ABC∽△CBH， ∴AB CB = BC BH ， ∴BH=16 5 ，BP=32 5 ． 综上所述：当 PB=2.5 或32 5 时，△BCP 与△BCD 相似． 22. 【答案】（1）AD2=AC•CD．（2）36°． 【解析】（1）通过计算得到 AD2=3− 5 2 ，再计算 AC·CD，比较即可得到结论；（2）由 AD2 = AC ⋅ CD，得 到 BC2 = AC ⋅ CD，即BC AC = CD BC ，从而得到△ABC∽△BDC，故有AB BD = AC BC ，从而得到 BD=BC=AD，故∠A=∠ABD， ∠ABC=∠C=∠BDC．设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠ABC=∠C=∠BDC=2x，由三角形内角和等于 180°，解 得：x=36°，从而得到结论． 解：（1）∵AD=BC= ，∴AD2=( 5−1 2 )2=3− 5 2 ． ∵AC=1，∴CD=1 − 5−1 2 =3− 5 2 ，∴AD2 = AC ⋅ CD； （2）∵AD2 = AC ⋅ CD，∴BC2 = AC ⋅ CD，即BC AC = CD BC ，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴AB BD = AC BC ，又 ∵AB=AC，∴BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC． 设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解 得：x=36°，∴∠ABD=36°． 考点：相似三角形的判定与性质． 23. 【答案】（1）证明见解析；（2）10. 【解析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得 ，根据有两边对应成比例且夹角相 等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得 CG 的长，即可求得 BG 的长． （1）证明：∵ABCD 为正方形， ∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°， ∵AE=ED，∴ ， ∵DF= DC，∴ ， ∴ ，∴△ABE∽△DEF； （2）解：∵ABCD 为正方形，∴ED∥BG， ∴ ， 又∵DF= DC，正方形的边长为 4， ∴ED=2，CG=6， ∴BG=BC+CG=10． 考点：相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例． *4.5 相似三角形判定定理的证明 1. 下列命题中是真命题的是( ) A. 有一个角相等的直角三角形都相似 B. 有一个角相等的等腰三角形都相似 C. 有一个角是 120°的等腰三角形都相似 D. 两边成比例且有一角相等的三角形都相似 2. 如图，在△ABC 中，如果 DE 与 BC 不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB 的是( ) A. ∠ADE＝∠C B. ∠AED＝∠B C. AD AB = DE BC D. AD AC = AE AB 3. 如图，若点 A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点 R 应是甲， 乙，丙，丁 4 点中的( ) A. 甲点 B. 乙点 C. 丙点 D. 丁点 4. 如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则下列表达式正确的是( ) A. AB AD = DE BC B. AC AE = AD AB C. AB AC = AD AE D. BC DE = AE AC 5. 如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是 AD，CD 边上的点，连接 BE，AF，它们相交于点 O，延长 BE 交 CD 的延 长线于点 H，则图中相似三角形共有( ) A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对 6. 如图，P 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，且 BP＝3PC，Q 是 DC 的中点，则 AQ∶QP 等于________． 7. 如图，在▱ABCD 中，AB＝10，AD＝6，点 E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F，使△CBF 与△CDE 相似，则 BF 的长是________． 8. 如图，正方形 ABCD 边长是 2，BE＝CE，MN＝1，线段 MN 的端点 M，N 分别在 CD，AD 上滑动，当 DM＝ ______________时，△ABE 与以 D，M，N 为顶点的三角形相似． 9. 如图，在直角三角形 ABC 中(∠C＝90°)，放置边长分别为 3，4，x 的三个正方形，则 x 的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．12 10. 在△ABC 中，∠B＝25°，AD 是 BC 边上的高，并且 AD2＝BD·DC，则∠BCA 的度数为______________． 11. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都 在格点上，ED 的延长线交 AB 于点 F. (1)求证：△ACB∽△DCE； (2)求证：EF⊥AB. 12. 如图，在△ABC 和△ADE 中， AB AD = BC DE = AC AE ，点 B，D，E 在一条直线上．求证：△ABD∽△ACE. 13. 如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点 E 为 AB 的中点． (1)求证：AC2＝AB·AD； (2)求证：CE∥AD； (3)若 AD＝4，AB＝6，求AC AF 的值． 14. 在△ABC 中，点 P 是 AB 上的动点(P 异于点 A，B)，过点 P 的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的△ABC 的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点 P 在 AC 的垂直 平分线上时，过点 P 的△ABC 的相似线最多有________条． 15. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB 边上有一动点 P，连接 PD，线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°后，得 到线段 PE，且 PE 交 BC 于点 F，连接 DF，过点 E 作 EQ⊥AB 的延长线于点 Q. (1)求线段 PQ 的长； (2)点 P 在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由． 答案 1. 【答案】C 【解析】A. 有一个角（直角除外）相等的直角三角形都相似，故原命题错误；B. 顶角相等的等腰三角形 都相似，故原命题错误；C. 有一个角是 120°的等腰三角形都相似，正确；D. 两边成比例且夹角相等的 三角形都相似，故原命题错误.故选 C． 2. 【答案】C 【解析】∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B 或∠ADE=∠C 时，△ABC∽△AED；当AD AC = AE AB 时，△ABC∽△AED．故 选 D． 考点：相似三角形的判定． 3. 【答案】C 【解析】∵△RPQ∽△ABC，∴ΔRPQ 的高 ΔABC 的高 = PQ BC ，即ΔRPQ 的高 3 = 6 3 ，∴△RPQ 的高为 6．故点 R 应是甲、乙、丙、 丁四点中的乙处．故选 B． 考点：相似三角形的性质． 4. 【答案】C 【解析】∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△AED∽△ACB，∴AD AB = AE AC ，故选 B． 5. 【答案】C 【解析】已知在 ABCD 中，E、F 分别是 AD、CD 边上的点，连接 BE、AF，他们相交于 G，延长 BE 交 CD 的延长线于点 H，根据相似三角形的判定可得△AGB∽△HGF，△HED∽△HBC，△HED∽△EBA，△AEB∽ △HBC，共 4 对．故答案选 C． 考点：相似三角形的判定． 6. 【答案】2∶1 【解析】在正方形 ABCD 中，AD=CD=BC=AB．∵BP=3PC，Q 是 CD 的中点，∴CP DQ = CQ AD = 1 2．又∵∠ADQ= ∠QCP=90°，∴△ADQ∽△QCP，∴AQ QP = AD QC = AD 1 2AD =2，即 AQ：QP=2：1． 7. 【答案】1.8 【解析】∵在平行四边形 ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是 AD 的中点，∴CD=10，BC=6，DE=3．∵△CBF∽ △CDE，∴BF：DE=BC：DC，∴BF=6÷10×3=1.8． 8. 【答案】 5 5 或2 5 5 【解析】∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB = BC， ∵ BE = CE， ∴ AB = 2BE， 又∵△ ABE 与以 D,M,N 为顶点的三角形相似，∴①DM 与 AB 是对应边时，DM = 2DN. ∴ DM2 + DN2 = MN2 = 1. ∴ DM2 + 1 4 DM2 = 1, 解得 DM = 2 5 5 . ②DM 与 BE 是对应边时,DM = 1 2 DN， ∴ DM2 + DN2 = MN2 = 1. ∴ DM2 + 4DM2 = 1， 解得 DM = 5 5 . ∴DM 为2 5 5 或 5 5 时，△ ABE 与以 D,M,N 为顶点的三角形相似，故答案为：2 5 5 或 5 5 . 9. 【答案】C 【解析】∵在 Rt△ABC 中（∠C=90°），放置边长分别 3，4，x 的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN， ∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，∴（x﹣3）：4=3：（x﹣4），∴（x﹣3）（x ﹣4）=12，即 x2﹣4x﹣3x+12=12，∴x=0（不符合题意，舍去），x=7．故选 C． 考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 10. 【答案】65°或 115° 【解析】根据已知可得到△BDA∽△ADC，注意∠C 可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而 确定∠BCA 度数．（1）当∠C 为锐角时，∵AD2=BD•DC，AD 是 BC 边上的高得，∴ = ，∵∠ADC=∠ADB， ∴△BDA∽△ADC，∴∠CAD=∠B=25°，∴∠BCA=65°；（2）当∠C 为钝角时，同理可得，△BDA∽△ADC ∴∠BCA=25°+90°=115°．故答案为：65°或 115°． 考点：相似三角形的判定与性质． 11. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）从图中得到 AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，∠ACB=∠DCE=90°，利用两边对应成比例且夹角相等， 可证△ACB∽△DCE；（2）由相似三角形的性质可知，∠B=∠E，可得∠B+∠A=∠E+A=90°，即∠EFA=90°， 故 EF⊥AB． （1）证明：∵AC CD = 3 2 , BC CE = 6 4 = 3 2 ,∴AC CD =BC CE ， 又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ACB∽△DCE； （2）∵△ACB∽△DCE，∴∠B=∠E， ∵∠B+∠A=90°，∴∠E+A=90°， 即∠EFA=90°，∴EF⊥AB． 12. 【答案】证明见解析. 【解析】由在△ABC 和△ADE 中，AB AD = BC DE = AC AE ，可证得△ABC∽△ADE，即可证得∠BAD=∠CAE，又由AB AD = BC DE ， 即可证得：△ABD∽△ACE． 证明：∵在△ABC 和△ADE 中，AB AD = BC DE = AC AE ， ∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB AD = AC AE ，∴AB AC = AD AE ， ∴△ABD∽△ACE． 13. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 7 4 . 【解析】（1）∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB． 又∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB．∴AD AC = AC AB ． ∴AC2＝AB·AD． （2）∵E 为 AB 的中点， ∴CE = 1 2 AB = AE，∴∠EAC＝∠ECA． ∵AC 平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB． ∴∠DAC＝∠ECA．∴CE∥AD． （3）∵CE∥AD， ∴∠DAF＝∠ECF，∠ADF＝∠CEF． ∴△AFD∽△CFE．∴AD CE = AF CF ． ∵CE = 1 2 AB，,∴ ． 又∵AD=4，∴由 ,AD AF CE CF  得 4 3 AF CF  , ∴AF AC = 4 7 ．∴AC AF = 7 4 ． 14. 【答案】3 【解析】 15. 【答案】（1）1；（2）点 P 为 AB 边的中点时，△PFD∽△BFP. 【解析】（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形 ABCD 的边长为 1，易证得△ADP≌△QPE，然后 由全等三角形的性质，求得线段 PQ 的长；（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角 形的对应边成比例，可得证得 PA=PB，则可求得答案． 解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°， ∴∠APD+∠QPE=90°， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠A=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°，∴∠ADP=∠QPE， ∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°， 在△ADP 和△QPE 中， ∠A = ∠Q ∠ADP = ∠QPE PD = PE ， ∴△ADP≌△QPE（AAS）， ∴PQ=AD=1. （2）∵△PFD∽△BFP，∴PB BF = PD PF ， ∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A， ∴△DAP∽△PBF， ∴PD PF = AP BF ，∴AP BF = PB BF ， ∴PA=PB，∴PA=1 2 AB=1 2 ∴当 PA=1 2 ，即点 P 是 AB 的中点时，△PFD∽△BFP． 考点：1、相似三角形的判定与性质，2、正方形的性质，3、全等三角形的判定与性质 4.6 利用相似三角形测高 一、选择题 1. 小刚身高 1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D. 2.2m 2. 如图，A、B 两点被池塘隔开，在 AB 外任选一点 C，连结 AC、 BC 分别取其三等分点 M、N.量得 MN＝38m．则 AB 的长是 （ ） A. 152m B. 114m C. 76m D. 104m 3. 某一时刻，身髙 1.6m 的小明在阳光下的影长是 0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是 5m，则 该旗杆的高度是（ ） A. 1.25m B. 10m C. 20m D. 8m 4. 如图，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子 恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距 8m，与旗杆相距 22m，则旗杆的高为（ ） A. 12m B. 10m C. 8m D. 7m 5. 一个油桶高 0.8m ， 桶内有油，一根长 lm 的木棒从桶盖小口插入桶内，一端到达桶底，另一端恰好 在小口处，抽出木棒量得浸油部分长 0.8m，则油桶内的油的高度是（ ） A. 0.8m B. 0.64m C. 1m D. 0.7m 6. 如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC ， AB 的长为 12cm，AC 被分为 60 等份．如果小玻璃管口 DE 正 好对着量具上 20 等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径 DE 是（ ） A. 8cm B. 10cm C. 20cm D. 60cm 7. 如图，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆 30m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看 到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为 12cm，已知臂长 60cm，则电线杆的高度为（ ） A. 2.4m B. 24m C. 0.6m D. 6m 8. 如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像 的长是物 AB 长的（ ） A. 3 倍 B. 不知 AB 的长度，无法计算 C. D. 9. 如图，某校宣传栏后面 2 米处种了一排树，每隔 2 米一棵，共种了 6 棵，小勇站在距宣传栏中间位置 的垂直距离 3 米处，正好看到两端的树干，其余的 4 棵均被挡住，那么宣传栏的长为（ ）米．（不 计宣传栏的厚度） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为 1m 的竹竿的 影长是 0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上 （如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为 1.2m，又测得地面的影长为 2.6m，请你帮他算一下，下列哪个 数字最接近树高（ ）m． A. 3.04 B. 4.45 C. 4.75 D. 3.8 二、填空题 11. 高 4 m 的旗杆在水平地面上的影子长 6 m，此时测得附近一个建筑物的影长 24 m，则该建筑物的高是 _________m. 12. 旗杆的影子长 6 米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是 10 米，如果此时附近的小树影子长 3 米，那么小树高是___________米. 13. 为测量池塘边两点 A ， B 之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点 O ， 使 AC、BD 交 于点 O ， 且 CD∥AB ． 若测得 OB：OD=3：2，CD=40 米，则 A ， B 两点之间的距离为________米． 14. 如图，三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成影子，现测得 OA=20cm， =50cm，则这个三角尺的面 积与它在墙上所形成影子图形的面积之比是________。 15. 如图，路灯点 O 到地面的垂直距离为线段 OP 的长．小明站在路灯下点 A 处，AP=4 米，他的身高 AB 为 1.6 米，同学们测得他在该路灯下的影长 AC 为 2 米，路灯到地面的距离________米． 三、解答题 16. 如图，零件的外径为 16cm ， 要求它的壁厚 x ， 需要先求出内径 AB ， 现用一个交叉钳（AD 与 BC 相等）去量，若测得 OA：OD=OB：OC=3：1，CD=5cm，你能求零件的壁厚 x 吗？ 17. 小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD 和 EF 是两等高的路灯，相距 27m，身 高 1.5m 的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F 共线），被两路灯同时照射留在地面的影长 BQ=4m，BP=5m． (1)小明距离路灯多远？ (2)求路灯高度． 18. 一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高 1 米，影长是 0.9 米，但他去测树影时， 发现树影的上半部分落在墙 CD 上，（如图所示）他测得 BC=2．7 米，CD=1.2 米。你能帮他求出树高为多少 米吗？ 19. 我侦察员在距敌方 200 米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵 的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛 到食指的距离约为 40cm，食指的长约为 8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的 思路。 答案 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】根据题意可得： ，解得：x=2.2，则 2.2-1.7=0.5m，即小刚举起的手臂超出头顶 0.5m. 考点：比的性质 2. 【答案】B 【解析】依题意知在△ABC 中，M、N 分别为 AC、BC 三等分点，则可证明△CMN∽△CAB。所以可得 MN：AB=1:3. 所以 AB=3MN=114m 考点：相似三角形判定与性质 点评：本题难度较低，主要考查学生对相似三角形判定与性质知识点的掌握。 3. 【答案】C 【解析】设该旗杆的高度为 xm，根据题意得，1.6：0.4=x：5，解得 x=20（m）．即该旗杆的高度是 20m． 故选 C． 考点：相似三角形的应用． 4.【答案】A 【解析】因为 BE∥CD，所以△AEB∽△ADC，于是AE AD = BE CD ，即 8 22+8 = 3.2 CD ，解得：CD=12．旗杆的高为 12m．故 选 A． 考点：相似三角形的性质. 5. 【答案】B 【解析】如图在矩形中，∠C=90°，BE=0.8，AB=1，AC=0.8，由题意知，DE∥BC，∴∠AED=∠ABC， ∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴AE AB = AD AC ，∴AB−BE AB = AC−CD AC ，即1−0.8 1 = 0.8−CD 0.8 ，解得，CD=0.64m．故选 B． 6. 【答案】A 【解析】易知△ABC∽△DEC，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．∵DE∥AB，∴CD：AC=DE： AB，∴40：60=DE：12，∴DE=8cm.故选 A． 考点：相似三角形的应用． 7. 【答案】D 【解析】作 AN⊥EF 于 N，交 BC 于 M， ∵BC∥EF，∴AM⊥BC 于 M，∴△ABC∽△AEF，∴BC EF ＝ AM AN ， ∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，∴EF=BC•AN AM = 0.12×30 0.6 =6m．故选 D． 8. 【答案】C 【解析】如图，作 OM⊥AB，ON⊥A′B′，∵AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴ AB A′B′ = OM ON ，即 AB A′B′ = 18 6 =3， ∴A′B′=1 3 AB．故选 C. 9. 【答案】C 【解析】如图，由图可知，∵BC∥ED，∴△ABC∽△ADE，∴AF AG ＝ BC DE ，又 DE=10 米，AF=3，FG=2 米，∴AG=AF+FG=5 米，即3 5 ＝ BC 10 ，解得 BC=6 米，故选 C． 10. 【答案】B 【解析】∵留在墙壁上的树影高为 1.2m，∴这段影子在地面上的长为：1.2×0.8=0.96m，∴这棵树全落在 地面上时的影子的长为：2.6+0.96=3.56m，∴这棵树的高度为：3.56÷0.8=4.45m.故选 B． 二、填空题 11. 【答案】16 【解析】试题解析：∵ 建筑物的高 建筑物的影子长 ＝ 旗杆高 旗杆影长，即建筑物的高 20 ＝ 4 5 ，∴设建筑物的高是 x 米．则 x 20 ＝ 4 5 ，解得： x=16．故该建筑物的高为 16 米． 12. 【答案】4 【解析】如图，由题意得，AC=10 米，BC=6 米，在 Rt△ABC 中，AB= 102 − 62=8 米；∵△ABC∽△A'B'C'， ∴A′B′ AB = B′C′ BC ，即A′B′ 8 = 3 6 ，解得 A'B'=4，即小树高为 4m． 13. 【答案】60 【解析】∵AB∥CD，∴△ABO∽△CD0，∴BO DO = AB CD = 3 2 ，∵CD=40 米，∴AB=60 米． 14.【答案】4：25 【解析】∵ ，∴三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比= ． 15. 【答案】4.8 【解析】由题意得 PO∥AB，∴∠POC=∠ABC，∠OPC=∠BAC，∴△ABC∽△POC，∴PO AB ＝ PC AC ，即：OP 1.6 ＝ 2+4 2 解得 PO=4.8 米． 三、解答题 16. 【答案】0.5. 【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质.利用相似三角形的判定与性质，列出方程，通过解方程求 解即可． 解：∵OA：OD=OB：OC=3：1，∠COD=∠AOB， ∴△COD∽△BOA．∴AB：CD=OA：OD=3：1． ∵CD=5cm，∴AB=15cm． ∴2x+15=16．∴x=0.5cm． 17.【答案】（1）小明距离路灯 12m；（2）路灯高 6m． 【解析】（1）易得△QAB∽△QCD，那么可得AB CD ＝ BQ QD，同理可得AB EF ＝ BP PF ，根据 CD=EF，可得一个比例式，把 相关数值代入可得所求数值；（2）根据（1）得到的比例式及数值，计算可得路灯高度． 解：（1）设 DB=xm， ∵AB∥CD ， ∴∠QBA=∠QDC ， ∠QAB=∠QCD ， ∴△QAB∽△QCD ∴ AB CD ＝ BQ QD 同理可得AB EF = BP PF ∵CD=EF，∴ BQ QD = BP PF， ∴ 4 x+4 = 5 5+(27−x)， ∴x=12，即小明距离路灯 12m ． （2）由 AB CD ＝ BQ QD得 1.5 CD = 4 4+12 ∴CD=6，即路灯高 6m． 18. 【答案】树高为 4.2 米. 【解析】根据同一时刻物高与影长成比例即可列式求解． 由题意，得 解得 AB=4.2. 答：树高为 4.2 米. 考点：相似三角形的应用 点评：本题是相似三角形的基础应用题，体现了“数学来源于生活，服务于生活”，难度一般. 19. 【答案】40m. 解：40cm=0.4m，8cm=0.08m ∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE． ∴△ABC∽△ADE， ∴BC：DE=AG：AF， ∴0.08：DE=0.4：200， ∴DE=40m． 答：敌方建筑物高 40m． 考点：相似三角形的应用 点评：本题是相似三角形的基础应用题，体现了“数学来源于生活，服务于生活”，难度一般. 4.7 相似三角形的性质 一、选择题 1. 如图，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图 形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC ， 那么点 R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为 1：2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（ ） A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1 4. 若两个相似多边形的面积之比为 1：4，则它们的周长之比为（ ） A. 1：4 B. 2：1 C. 1：2 D. 4：1 5. 给形状相同且对应边的比是 1：2 的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量 是（ ） A. 1 听 B. 2 听 C. 3 听 D. 4 听 6. 已知△ABC∽△DEF ， 且△ABC 的三边长分别为 4，5，6，△DEF 的一边长为 2，则△DEF 的周长为 （ ） A. 7.5 B. 6 C. 5 或 6 D. 5 或 6 或 7.5 7. 如果两个相似三角形对应角平分线的比为 16：25，那么它们的面积比为（ ） A. 4：5 B. 16：25 C. 196：225 D. 256：625 8. 两个相似三角形的对应边分别是 15cm 和 23cm，它们的周长相差 40cm，则这两个三角形的周长分别是 （ ） A. 45cm，85cm B. 60cm，100cm C. 75cm，115cm D. 85cm，125cm 9. 一个三角形三边的长分别为 3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是 21，则其它两边的和是 （ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 24 10. 若△ABC∽△DEF ， ∠A=50°，∠B=60°，则∠F 的度数是（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 11. 如图，△ABC∽△ADE ， 则下列比例式正确的是（ ） A. AE BE = AD DC B. AE AB = AD AC C. AD AC = DE BC D. AE AC = DE BC 12. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 13. △ABC∽△A1B1C1，且相似比为2 3 ，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为5 4 ，则△ABC 与△A2B2C2 的相似比为（ ） A. 5 6 B. 6 5 C. 5 6 或6 5 D. 8 15 14. 如图，在△ABC 中，AB=12，AC=15，D 为 AB 上一点，且 AD=2 3 AB ， 在 AC 上取一点 E， 使以 A、D、E 为顶点的三角形与 ABC 相似，则 AE 等于（ ） A. 32 5 B. 10 C. 32 5 或 10 D. 以上答案都不对 15. 如图，△ADE∽△ABC， 若 AD=1，BD=2，则△ADE 与△ABC 的相似比是（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 3：2 二、填空题 16. 已知△ABC∽△DEF ， 且它们的面积之比为 4：9，则它们的相似比为________ ． 17. 已知△ABC 与△A1B1C1 的相似比为 2：3，△A1B1C1 与△A2B2C2 的相似比为 3：5，那么△ABC 与△ A2B2C2 的 相似比为________。 18. 已知两个相似多边形的周长比为 1：2，它们的面积和为 25，则这两个多边形的面积分别是________。 19. 已知△ABC∽△DEF， 且相似比为 4：3，若△ABC 中 BC 边上的中线 AM=8，则△DEF 中 EF 边上的中线 DN=________。 三、解答题 20. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN， 矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，已知 AB=4． (1)求 AD 的长； (2)求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比． 21. 已知：如图，△ABC∽△ADE， AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°． (1)求∠ADE 的大小； (2)求 DE 的长． 答案 一、选择题 1. 【答案】D 【解析】根据题意得，选项 A 中两个三角形相似，三角形对应角相等，对应边成比例；选项 B、C 中，正 方形、菱形分别相似，四条边均相等，故对应边成比例；选项 D 中矩形四个角相等，但对应边不一定成比 例，故选 D． 2. 【答案】B 【解析】∵△RPQ∽△ABC，∴ΔRPQ 的高 ΔABC 的高 = PQ BC ，即ΔRPQ 的高 3 = 6 3 ，∴△RPQ 的高为 6．故点 R 应是甲、乙、丙、 丁四点中的乙处．故选 B． 考点：相似三角形的性质． 3. 【答案】C 【解析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为 1： 2，∴△ABC 与△A′B′C′的面积的比为 1：4．故选：C． 考点：相似三角形的性质． 4. 【答案】C 【解析】∵两个相似多边形面积比为 1：4，等于相似比的平方，周长的比等于相似比，∴周长之比为=1： 2， 故选 C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 5. 【答案】B 【解析】设小标牌的面积为 S1，大标牌的面积为 S2 ，则S1 S2 = 1 2 2 = 1 4 ，故 S2=4S1，∵小标牌用漆半听，∴大 标牌应用漆量为：4×0.5=2（听），故选 B． 6. 【答案】D 【解析】∵△ABC∽△DEF，如果 2 与 4 是对应边，则△DEF 的周长：△ABC 的周长=2：4，即△DEF 的周长： （4+5+6）=2：4，∴△DEF 的周长为 7.5；如果 2 与 5 是对应边，则△DEF 的周长：△ABC 的周长=2：5， 即 △DEF 的周长：（4+5+6）=2：5，∴△DEF 的周长为 6；如果 2 与 6 是对应边，则△DEF 的周长：△ABC 的周 长=2：6，即△DEF 的周长：（4+5+6）=2：6，∴△DEF 的周长 5，故选 D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．解此题时要注意对应边不确 定，即相似比不确定，要分情况进行讨论，否则容易漏解． 7. 【答案】D 【解析】根据两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，∴162：252=256： 625，即它们的面积比为 256:625，故选 D． 8.【答案】C 【解析】根据题意两个三角形的相似比是 15：23，周长比就是 15：23，大小周长相差 8 份，所以每份的 周长是 40÷8=5cm，所以两个三角形的周长分别为 5×15=75cm，5×23=115cm，故选 C． 9. 【答案】D 【解析】设另一个三角形的最短边为 x ，第二短边为 y，根据相似三角形的三边对应成比例，得x 5 = y 5 = 21 7 ， ∴x=9，y=15，∴x+y=24，故选 D． 10. 【答案】C 【解析】在△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，∴∠C=70°，又∵△ABC∽△DEF ，∴∠F=∠C=70°，故选 C． 11. 【答案】D 【解析】∵△ABC∽△ADE ， ∴AE AC = DE BC ，故选 D． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键． 12. 【答案】C 【解析】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的 对应角相等可知得到的三角形是直角三角形，故选 C． 13. 【答案】A 【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为2 3 = 10 15 ，△A1B1C1∽△A2B2C2 ，相似比为5 4 = 15 12 ，∴△ABC 与△A2B2C2 的 相似比为10 12 = 5 6 ，故选 A． 14.【答案】C 【解析】如图，①当∠AED=∠C 时，即 DE∥BC 时，AE AC = AD AB ，∵AD=2 3 AB，AC=15，∴AE 15 = 2 3 ，∴AE =2 3 AC=10； ②当∠AED=∠B 时，△AED∽△ABC，∴AE AB = AD AC ，∵AB=12，AC=15，AD=2 3 AB=8，∴AE 12 = 8 15 ，∴ AE= 32 5 ； 综合①，②，AE=10 或32 5 ，故选 C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是分△AED∽△ACB 与△AED∽△ABC 两种情况 进行讨论． 15. 【答案】B 【解析】因为△ADE∽△ABC，所以AD AB = AD AD+BD = 1 3 .故选 B 二、填空题 16. 【答案】2：3 【解析】因为 S△ABC：S△DEF=4：9= 2 3 2 ，所以△ABC 与△DEF 的相似比为 2：3，故答案为：2：3． 17.【答案】2：5 【解析】∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为 3：5，∴AB:A1B1=2:3，A1B1:A2B2=3:5， ∴AB：A2B2=2:5,即△ABC 与△ A2B2C2 的相似比为 2：5，故答案为：2：5. 18. 【答案】5 和 20 【解析】根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依 据面积和为 25，就可求得两个多边形的面积．多边形的面积的比是：（1：2）2=1：4，设两个多边形中较 小的多边形的面积是 x，则较大的面积是 4x．根据题意得：x+4x=25，解得 x=5．因而这两个多边形的面积 分别是 5 和 20． 点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似 比的平方． 19.【答案】6 【解析】因为△ABC∽△DEF，且相似比为 4：3，所以 AM:DN=4：3，因为 AM＝8，所以 DN＝6. 考点：相似三角形的性质. 三、解答题 20. 【答案】（1）4 2（2） 2 2 【解析】（1）矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，对应边的比相等，就可以得到 AD 的长；（2）相似比即为是对 应边的比； 解：(1)若设 AD＝x(x＞0)，则 DM＝ . ∵矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似， ∴ ＝ . ∴ ＝ ，即 x＝4 (舍负)． ∴AD 的长为 4 . (2)矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比为： ＝ . 21. 【答案】（1）∠ADE =95°；（2）DE=15 4 cm 【考点】相似三角形的性质 【解析】（1）先由三角形的内角和是 180°求得∠ABC=95°；再由相似三角形的对应角相等得出 ∠ADE=∠ABC ，最后由等量代换求得∠ADE 的大小；（2）由 AE：EC=5：3 求得 AE：AC=5：8，再根据相似 三角形的对应边成比例即可求得 DE 的长度． 解：（1）在△ABC 中，∠A=40°，∠C=45°， ∴∠ABC=180°-40°-45°=95°； 又∵△ABC∽△ADE ， ∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等）， ∴∠ADE =95°； （2）∵AE：EC=5：3， ∴AE：AC=5：8； 又∵△ABC∽△ADE ， BC=6cm， ∴AE AC = DE BC ，即5 8 = DE 6 ， ∴DE=15 4 cm． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．熟记相关性质是 解题的关键. 4.8 图形的位似 一、选择题 1. 如图，△ABC 经过位似变换得到△DEF，点 O 是位似中心且 OA=AD，则△ABC 与△DEF 的面积比是（ ） A. 1：8 B. 1：6 C. 1：4 D. 1：2 2. 如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1： 2，点 A 的坐标为（1，0）， 则 E 点的坐标为（ ） A. （- 2，0） B. （-1.5，-1.5） C. （- 2，- 2） D. （-2，-2） 3. 已知点 A 的坐标是（2，1），以坐标原点 O 为位似中心，图像与原图形的位似比为 2，则点A'的坐标为 （ ） A. （1，1 2 ） B. （4，2） C. （1，1 2 ）或（-1，-1 2 ） D. （4，2）或（-4，-2） 4. 如图，在 3×3 正方形网格中，顶点是网格线的交点的三角形叫做格点三角形，给出下列命题：①一定 存在全等的两个格点三角形；②一定存在相似且不全等的两个格点三角形；③一定存在两个格点三角形是 位似图形；④一定存在周长和面积均为无理数的格点三角形，其中真命题的个数是（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 5. 下列语句正确的是（ ） A. 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形 B. 位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比 C. 利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形 D. 利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形 6. 如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段 CD 放大得到 线段 AB，若点 B 坐标为（5，0），则点 A 的坐标为（ ） A. （2，5） B. （2.5，5） C. （3，5） D. （3，6） 7. 如图，△OAB 与△OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若 B（1， 0），则点 C 的坐标为（ ） A. （1，2） B. （1，1） C. （- 2，- 2） D. （2，1） 8. 已知△ABC 与△DEF 是关于点 P 的位似图形，它们的对应点到 P 点的距离分别为 3cm 和 4cm，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A. 3：4 B. 3：7 C. 9：16 D. 9：49 9. 如图，△DEF 与△ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，则△DEF 与 △ABC 的面积比是（ ） A. 1：6 B. 1：5 C. 1：4 D. 1：2 10. 下列说法正确的是（ ） A. 位似图形可以通过平移而相互得到 B. 位似图形的对应边平行且相等 C. 位似图形的位似中心不只有一个 D. 位似中心到对应点的距离之比都相等 11. 如图，正五边形 FGHMN 是由正五边形 ABCDE 经过位似变换得到的，若 AB：FG=2：3，则下列结论正确 的是（ ） A. 2DE=3MN B. 3DE=2MN C. 3∠A=2∠F D. 2∠A=3∠F 12. 已知，直角坐标系中，点 E（-4，2），F（-1，-1），以 O 为位似中心，按比例尺 2：1 把△EFO 缩小， 则点 E 的对应点 E′的坐标为（ ） A. （2，-1）或（-2，1） B. （8，-4）或（-8，4） C. （2，-1） D. （8，-4） 13. 如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩 大到原来的 2 倍，得到点A'，B'，C'．下列说法正确的是（ ） A. △A'B'C'与△ABC 是位似图形，位似中心是点（1，0） B. △A'B'C'与△ABC 是位似图形，位似中心是点（0，0） C. △A'B'C'与△ABC 是相似图形，但不是位似图形 D. △A'B'C'与△ABC 不是相似图形 14. 下列 3 个图形是位似图形的有（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 15. 如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，点 O 为位似中心，相似比为 1： 2，点 A 的坐标为（0， 1），则点 E 的坐标是（ ） A. （-1.4，-1.4） B. （1.4，1.4） C. （- 2，- 2） D. （ 2， 2） 二、填空题 16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，且点 B（3，1）， B'（6，2）．若△ABC 的面积为 m，则△A'B'C'的面积（用含 m 的代数式表示）是________. 17. 如图，已知 E（-4，2），F（-1，-1），以原点 O 为位似中心，按比例尺 2：1 把△EFO 缩小，则 E 点对 应点 E′的坐标为________. 18. △ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A'B'C'的位似比是 1：2，已知△ABC 的面积是 3，则 △A'B'C'的面积是________. 19. 如图，在平面直角坐标系中，以 P（4，6）为位似中心，把△ABC 缩小得到△DEF，若变换后，点 A、B 的对应点分别为点 D、E，则点 C 的对应点 F 的坐标应为________. 20. 如图，已知两点 A（6，3），B（6，0），以原点 O 为位似中心，相似比为 1：3 把线段 AB 缩小，则点 A 的对应点坐标是_________. 三、解答题 21. 如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为 1.求△ABC 与 △A′B′C′的面积比． 22. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为 3.5cm×3.5cm，放映的银幕规格为 2m×2m，若影 机的光源距胶片 20cm 时，问银幕应在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个银幕？ 23. 如图，四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′位似，位似比k1=2，四边形 A′B′C′D′和四边形 A″B″C″D″位 似，位似比k2=1．四边形 A″B″C″D″和四边形 ABCD 是位似图形吗？位似比是多少？ 24. 如图，在△ABC 中，A、B 两点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（-1，0）．以点 C 为位似中心，在 x 轴的 下方作△ABC 的位似图形ΔA'B'C，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍．设点 B 的对应点B'的横坐标是 2， 求点 B 的横坐标． 答案 一、选择题 1. 【答案】C 【解析】∵△ABC 经过位似变换得到△DEF，点 O 是位似中心且 OA=AD，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴AC： DF=OA：OD=1：2，∴△ABC 与△DEF 的面积比是 1：4．故选 C． 考点：位似变换． 2. 【答案】C 【解析】∵正方形 OABC，点 A 的坐标为（1，0），∴B 点坐标为：（1，1）.∵正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1： 2.∴E 点的坐标为：（- 2，- 2），故选 C． 3. 【答案】D 【解析】如图，则点 A′的坐标为（4，2）或（-4，-2），故选 D． 4. 【答案】B 【解析】根据题意，得如图所示：△FBG≌△AFH，①正确；△ABC∽△FBC，但两者不全等，②正确；△ABC 与△DBE 位似，③正确；因为可以得到格点三角形两直角边长为整数，所以面积无法得到是无理数的格点 三角形，④错误，故选 B． 5. 【答案】B 【解析】相似图形对应点的连线不一定都经过同一点，所以不一定是位似图形，故选项 A 错误；位似图形 一定是相似图形，而且位似比等于相似比，故选项 B 正确；利用位似变换能放大图形，也能缩小图形，故 C 和 D 选项错误，故选 B． 6. 【答案】B 【解析】∵以原点 O 为位似中心，在第一象限内，将线段 CD 放大得到线段 AB，∴B 点与 D 点是对应点， 则位似比为 5：2，∵C（1，2），∴点 A 的坐标为：（2.5，5）故选 B． 考点：位似变换；坐标与图形性质． 7. 【答案】B 【解析】∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰 Rt△OAB 与等腰 Rt△OCD 是位似图形，点 B 的坐标为 (1，0)，∴BO=1，则 AO=AB=2 2，∴A(1 2 ，1 2 )，∵等腰 Rt△OAB 与等腰 Rt△OCD 是位似图形，O 为位似中心， 相似比为 1:2，∴点 C 的坐标为：(1，1).故选：B. 点睛：此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应 点坐标之间的关系是解题的关键. 8. 【答案】C 【解析】∵△ABC 与△DEF 是关于点 P 的位似图形，它们的对应点到 P 点的距离分别为 3cm 和 4cm，∴根据 位似图形的性质，得△ABC 与△DEF 的位似比为：3：4，△ABC∽△DEF，∴△ABC 与△DEF 的相似比为：3： 4，∴△ABC 与△DEF 的面积比为 9：16，故选 C． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质，解题的关键是要记住位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比， 其对应的面积比等于相似比的平方． 9. 【答案】C 【解析】∵△DEF 与△ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点， ∴两图形的位似之比为 1：2，则△DEF 与△ABC 的面积比是 1：4，故选：C． 10. 【答案】D 【解析】位似图形不可以通过平移得到；位似图形的对应边相等，但不一定平行；位似图形的位似中心只 有一个；位似中心到对应点的距离之比相等． 考点：位似图形的性质． 11.【答案】B 【解析】∵正五边形 FGHMN 和正五边形 ABCDE 位似，∴DE：MN=AB：FG=2：3，∴3DE=2MN．故选 B． 考点：位似变换． 12. 【答案】A 【解析】∵E（-4，2），位似比为 1：2，∴点 E 的对应点 E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），故选 A． 13. 【答案】B 【解析】∵△ABC 三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到 原来的 2 倍，∴点A'，B'，C'的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0），∴直线 AA′，BB′，CC′得解析 式分别为 y=2x，y=-3 2 x，y=0，∴对应点的连线交于原点，∴△A'B'C'与△ABC 是位似图形，位似中心是点（0， 0），故选 B． 14. 【答案】C 【解析】根据位似图形的定义可知：两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点， 对应边互相平行（或共线），所以位似图形的是第 1 个和第 3 个，故选 C． 15. 【答案】D 【解析】∵正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1： 2，∴OA：OD=1： 2.∵ 点 A 的坐标为（0，1），即 OA=1，∴OD= 2，∵四边形 ODEF 是正方形，∴DE=OD= 2，∴E 点的坐标为：（ 2， 2），故选 D． 【点睛】本题考查了位似变换的性质与正方形的性质，熟记相关的性质是解题的关键. 二、填空题 16.【答案】4m 【解析】∵△ABC 与△A′B′C′的相似比为 1:2，∴ ' ' ' 1 4 ABC A B C S S    ，∴ ' ' ' 1 4A B C m S  ∴SΔA'B'C' = 4m ，故答案为： 4m． 17.【答案】（2，-1） 【解析】根据题意可知，点 E 的对应点E'的坐标是 E（-4，2）的坐标同时乘以− 1 2 ，所以点 E′的坐标为（2， -1），故答案为：（2，-1）． 18.【答案】12 【解析】∵△ABC 与△A'B'C'是位似图形，且△ABC 与△A'B'C'的位似比是 1：2，△ABC 的面积是 3， ∴△ABC 与△A'B'C'的面积比为：1：4，则△A'B'C'的面积是：12，故答案为：12． 19. 【答案】（4，4） 【解析】∵△DEF∽△ABC，且 F 点在 CP 的连线上，∴可得 F 点位置如图所示：故 F 点坐标为（4，4），故 答案为：（4，4） 【点睛】本题考查位似图形的相关知识，解题的关键是要掌握两位似图形的对应点的连线都经过同一点， 这一点就是位似中心． 20. 【答案】（2，1）或（-2，-1） 【解析】如图所示，∵A（6，3），B（6，0）两点，以坐标原点 O 为位似中心，相似比为1 3 ，∴A′、A″的 坐标分别是 A′（2，1），A″（（﹣2，﹣1）．故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）． 三、解答题 21. 【答案】1 4 【解析】已知△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为 1，根据位 似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 解：∵由已知条件可知SΔABC∽SΔA'B'C'， ∴ SΔABC SΔA'B'C' = 2 4 2 = 1 2 2 = 1 4 ． 22.【答案】银幕应在离镜头80 7 m，放映的图象刚好布满整个银幕 【解析】设银屏距光源 xcm，利用位似图形的性质，可得 x 20 = 100×2 3.5 ，所以 x = 8000 7 ，8000 7 cm = 80 7 m． 答：银屏拉在距离光源80 7 m 处时，放映的图象刚好布满整个银屏． 23. 【答案】是位似图形｜位似比为1 2 【解析】四边形 A″B″C″D″和四边形 ABCD 位似，所以四边形 A″B″C″D″∽四边形 ABCD；相似具有传递性， 可得四边形 A″B″C″D″∽四边形 ABCD；因为位似比等于相似比，据此即可求得四边形 A″B″C″D″和四边形 ABCD 的位似比． 解：∵四边形 ABCD 和四边形 A'B'C'D'位似， ∴四边形 ABCD∽四边形 A'B'C'D'． ∵四边形 A'B'C'D'和四边形 A″B″C″D″位似， ∴四边形 A'B'C'D'∽四边形 A″B″C″D″． ∴四边形 A″B″C″D″∽四边形 ABCD． ∵对应顶点的连线过同一点， ∴四边形 A″B″C″D″和四边形 ABCD 是位似图形． ∵四边形 ABCD 和四边形 A'B'C'D'位似，位似比k1=2， 四边形 A'B'C'D'和四边形 A″B″C″D″位似，位似比k2=1， ∴四边形 A″B″C″D″和四边形 ABCD 的位似比为1 2 ． 【点睛】本题考查位似图形的判定方法与性质，解题的关键是要明确位似图形是特殊的相似图形，相似具 有传递性． 24. 【答案】-2.5 【解析】过点 B、B′分别作 BD⊥x 轴于 D,B′E⊥x 轴于 E， ∴ ∠BDC = ∠B′EC = 90°. ∵ΔABC 的位似图形是ΔA′B′C， ∴点 B、C、B′在一条直线上， ∴ ∠BCD = ∠B′CE．∴△ BCD ∽△ B′CE． ∴ CD CE = BC B′C ． 又∵BC B′C = 1 2 ，∴ CD CE = 1 2 . 又∵点B′的横坐标是 2，点 C 的坐标是(-1，0) ， ∴ CE = 3， ∴ CD = 3 2 ． ∴ OD = 5 2 ． ∴点 B 的横坐标为− 5 2 ．