北师大版九年级数学上册第二章同步测试题及答案

北师大版九年级数学上册第二章同步测试题及答案 2.1 认识一元二次方程 一、选择题 1. 如果方程（k-2）x2-3kx-1=0 是一元二次方程，那么 k 的值不可能是（ ） A. 0 B. 2 C. -2 D. 1 2. 若方程（m+2）x m =0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） A. m=2 B. m=-2 C. m=±2 D. m≠2 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 2x+1=9 B. x2+2x+3=0 C. x+2x=7 D. 1 x + 5 = 6 4. 若关于 x 的方程 m − 1 xm2 +1 + mx − 3 = 0 是一元二次方程，则 m=（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 无法确定 5. 方程x2 − 3 = x 2是（ ） A. 一元二次方程 B. 分式方程 C. 无理方程 D. 一元一次方程 6. 若 a − 2 xa2 −2 = 3 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值是（ ） A. 0 B. 2 C. -2 D. ±2 7. 已知一元二次方程（m-2）x m +3x-4=0，那么 m 的值是（ ） A. 2 B. ±2 C. -2 D. 1 8. 关于 x 的方程 kx2-6x+9=0 是一元二次方程，则（ ） A. k＜0 B. k≠0 C. k≥0 D. k＞0 9. 方程（m-1）x|m|+1-2x=3 是关于 x 的一元二次方程，则有（ ） A. m=1 B. m=-1 C. m=±1 D. m≠±1 10. 若关于 x 的方程（a-1）x2+3x-2=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ） A. a≥1 B. a≠0 C. a≠1 D. a＞1 11. 下列式子中是一元二次方程的是（ ） A. xy+2=1 B. （x2+5）x=0 C. x2-4x-5 D. x2=0 12. 如果（m-1）x2+2x-3=0 是一元二次方程，则（ ） A. m≠0 B. m≠1 C. m=0 D. m≠-12 13. 关于 x 的方程 ax2 − ax + 2 = 0 是一元二次方程，则 a 满足（ ） A. a＞0 B. a=1 C. a≥0 D. a≠0 14. px2-3x+p2-p=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） A. p=1 B. p＞0 C. p≠0 D. p 为任意实数 15. 关于 x 的方程 ax2-3x+3=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ） A. a＞0 B. a≠0 C. a=1 D. a≥0 二、填空题 16. 试写出一个含有未知数 x 的一元二次方程________． 17. 关于 x 的一元二次方程 ax2-bx-c=0 的 a 的取值范围________． 18. 当 k 满足条件________时，关于 x 的方程（k-3）x2+2x-7=0 是一元二次方程． 19. 关于 x 的方程 ax2-3x-2=0 是一元二次方程，则 a________． 20. 方程 ax a −1+3x-1=0 是一元二次方程，则 a=________． 三．解答题 21. 若（m+1）x m +1+6-2=0 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值． 22. 若关于 x 的方程（k2 − 4）x2+ k − 1x+5=0 是一元二次方程，求 k 的取值范围． 23. 已知关于 x 的一元二次方程 2xa-3xb-5=0，试写出满足要求的所有 a，b 的值． 24. 试比较下列两个方程的异同，x2+2x-3=0，x2+2x+3=0． 25. 已知 a、b、c 为三角形三个边，ax2+bx（x-1）=cx2-2b 是关于 x 的一元二次方程吗？ 答案 一、选择题 1.【答案】B 【解析】根据一元二次方程的定义，得：k − 2 ≠ 0 ，解得 k ≠ 2 .故选 B. 2. 【答案】A 【解析】根据一元二次方程的定义，得： m = 2 m + 2 ≠ 0 解得：m=2.故选 A. 3. 【答案】B 【解析】根据一元二次方程的定义，易得 B. 4. 【答案】B 【解析】根据一元二次方程的定义，得m2 + 1 = 2,m − 1 ≠ 0 ，解得 m=-1.故选 B. 5. 【答案】A 【解析】原方程可化为：x2 − 1 2 x − 3 = 0 ，易得是一元二次方程.故选 A. 6. 【答案】C 【解析】由题意得：a2 − 2 = 2,a − 2 ≠ 0 ，解得：a=-2.故选 C. 7.【答案】C 【解析】由题意得： m = 2 m − 2 ≠ 0 ，解得：m=-2.故选 C. 8. 【答案】B 【解析】根据一元二次方程的定义，要求二次项系数不为 0，则 k ≠ 0 .故选 B. 9. 【答案】B 【解析】根据一元二次方程的定义，要求 m + 1 = 2 m − 1 ≠ 0 ，解得 m=-1.故选 B. 10.【答案】C 【解析】根据一元二次方程的定义，得 a-1≠0，解得 a≠1.故选 C. 11. 【答案】D 【解析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且最高次为 2 次的整式方程.易得 D 是一元二次 方程.故选 D. 12. 【答案】B 【解析】根据一元二次方程的定义，得 m − 1 ≠ 0 ，解得 m ≠ 1 .故选 B. 13. 【答案】A 【解析】根据一元二次方程的定义，得 a ≠ 0 a ≥ 0 ⇒ a > 0 .故选 A. 14.【答案】C 【解析】根据一元二次方程的定义，得 p≠0.故选 C. 15. 【答案】B 【解析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0．由一元二次方程的特点可知 a≠0．故选 B． 二、填空题 16. 【答案】x2-2x+1=0 【解析】据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且最高次为 2 次的整式方程.答案不唯一. 17. 【答案】a≠0 【解析】根据一元二次方程的定义，得 a≠0.故答案为 a≠0. 18.【答案】k≠3 【解析】根据一元二次方程的定义，得 k-3≠0.得 k≠3.故答案为 k≠3. 19. 【答案】≠0 【解析】根据一元二次方程的定义，得 a≠0.故答案为：a≠0. 20. 【答案】3 或-3 【解析】根据一元二次方程的定义，得 a ≠ 0 a − 1 = 2 ⇒ a =± 3 .故答案为 3 或-3. 三．解答题 21. 【答案】m=1 【解析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的次数最高为二次，且二次项的系数不为 0，即 m + 1 ≠ 0 m + 1 = 2 ， 解得 m=1． 解：因为是关于 x 的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1 一定是此二次项． 所以得到 m + 1 ≠ 0 m + 1 = 2 ，解得 m=1． 【方法点睛】本题目考查一元二次方程的基本定义，要求未知数的最高次项为 2 次项，且二次项的系数不 为 0，这两点是解决问题的关键. 22. 【答案】k≥1 且 k≠2. 【解析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的次数最高为二次，且二次项的系数不为 0，同时被开方 数是非负数，即 k2 − 4 ≠ 0 k − 1 ≥ 0 ，解得：k≥1 且 k≠2. 23. 【答案】a=2，b=2 或 a=2，b=1 或 a=2，b=0，或 a=1，b=2 或 a=0，b=2 【解析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的最高次数为 2 次，分类讨论：若 a=2,b=2,则方程化简为 -3x2 − 5 = 0 ；若 a=2,b=0,则方程化简为 2x2 − 8 = 0 ；若 a=2,b=1,则方程化简为 2x2 − 3x − 5 = 0 ；若 a=0,b=2,则方程化简为-3x2 − 3=0；若 a=1,b=2,则方程化简为-3x2 + 2x − 5=0； 解：根据题意，若 a=2,b=2,则方程化简为-3x2 − 5 = 0 ； 若 a=2,b=0,则方程化简为 2x2 − 8 = 0 ； 若 a=2,b=1,则方程化简为 2x2 − 3x − 5 = 0 ； 若 a=0,b=2,则方程化简为-3x2 − 3=0； 若 a=1,b=2,则方程化简为-3x2 + 2x − 5=0； 故答案为：a=2，b=2 或 a=2，b=1 或 a=2，b=0，或 a=1，b=2 或 a=0，b=2. 24. 【答案】见解析 【解析】相同点：从各项来分析：①都是一元二次方程；②二次项系数均为 1；③一次项系数均为 2；④ 常数项的绝对值相等；从整体来分析：⑤都是一元二次方程的一般形式；⑥都是整系数方程等．不同点： ①常数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解.答案不唯一. 解：相同点：①都是一元二次方程；②都化成了一元二次方程的一般形式；③二次项系数均为 1；④一次 项系数均为 2；⑤常数项的绝对值相等；⑥都是整系数方程等． 不同点：①数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解 【方法点睛】本题目考查学生的分析问题能力，观察问题的能力——观察方法（从部分上，整体上分析； 从相同点、不同点来分析）. 25.【答案】是 【解析】将方程 ax2+bx（x-1）=cx2-2b 化简为一般式得（a+b-c）x2-bx+2b=0，因为 a、b、c 为三角形的 三条边，根据三角形两边之和大于第三边，得：a+b＞c，即 a+b-c＞0，得：（a+b-c）x2-bx+2b=0，是一元 二次方程，即 ax2+bx（x-1）=cx2 -2b 是关于 x 的一元二次方程． 解：化简 ax2+bx（x-1）=cx2 -2b，得（a+b-c）x2-bx+2b=0， ∵a、b、c 为三角形的三条边， ∴a+b＞c，即 a+b-c＞0， ∴ax2+bx（x-1）=cx2 -2b 是关于 x 的一元二次方程． 2.2 用配方法求解一元二次方程 一、选择题 1. 用配方法解方程 x2﹣4x﹣7=0 时，原方程应变形为（ ） A. （x﹣2）2=11 B. （x+2）2=11 C. （x﹣4）2=23 D. （x+4）2=23 2. 将代数式 x2+6x﹣3 化为（x+p）2+q 的形式，正确的是（ ） A. （x+3）2+6 B. （x﹣3）2+6 C. （x+3）2﹣12 D. （x﹣3）2﹣12 3. 用配方法解方程 x2﹣4x+1=0 时，配方后所得的方程是（ ） A. （x﹣2）2=3 B. （x+2）2=3 C. （x﹣2）2=1 D. （x﹣2）2=﹣1 4. 用配方法解方程 2x2﹣4x+1=0 时，配方后所得的方程为（ ） A. （x﹣2）2=3 B. 2（x﹣2）2=3 C. 2（x﹣1）2=1 D. 2（x﹣1）2=1 2 5. 已知 M=2 9 a﹣1，N=a2﹣7 9 a（a 为任意实数），则 M、N 的大小关系为（ ） A. M＜N B. M=N C. M＞N D. 不能确定 6. 将代数式 x2﹣10x+5 配方后，发现它的最小值为（ ） A. ﹣30 B. ﹣20 C. ﹣5 D. 0 7. 用配方法解一元二次方程 x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（ ） A. （x+2）2=9 B. （x﹣2）2=9 C. （x+2）2=1 D. （x﹣2）2=1 8. 一元二次方程 x2﹣6x﹣5=0 配方可变形为（ ） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 9. 用配方法解一元二次方程 x2+4x﹣3=0 时，原方程可变形为（ ） A. （x+2）2=1 B. （x+2）2=7 C. （x+2）2=13 D. （x+2）2=19 10. 对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（ ） A. 非正数 B. 非负数 C. 正数 D. 负数 二、填空题 11. 将二次三项式 x2+4x+5 化成（x+p）2+q 的形式应为________． 12. 若 x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则 m=________． 13. 若 a 为实数，则代数式 27 − 12a + 2a2的最小值为________． 14. 用配方法解方程 3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣______）2=________． 15. 已知方程 x2+4x+n=0 可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016=________． 16. 设 x，y 为实数，代数式 5x2+4y2﹣8xy+2x+4 的最小值为________． 17. 若实数 a，b 满足 a+b2=1，则 a2+b2 的最小值是________． 18. 将 x2+6x+4 进行配方变形后，可得该多项式的最小值为________． 19. 将一元二次方程 x2﹣6x+5=0 化成（x﹣a）2=b 的形式，则 ab=________． 20. 若代数式 x2﹣6x+b 可化为（x﹣a）2﹣3，则 b﹣a=________． 三、解答题 21. 解方程： （1）x2+4x﹣1=0．（2）x2﹣2x=4． 22. “a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如： x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下 列问题： （1）填空：因为 x2﹣4x+6=（x ）2+ ；所以当 x= 时，代数式 x2﹣4x+6 有最 （填“大”或 “小”）值，这个最值为 ． （2）比较代数式 x2﹣1 与 2x﹣3 的大小． 23. 阅读材料：若 m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求 m、n 的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知 a2+6ab+10b2+2b+1=0，求 a﹣b 的值； （2）已知△ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足 2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC 的周长； （3）已知 x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求 xyz 的值． 24. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式 y2+4y+8 的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8 的最小值是 4． （1）求代数式 m2+m+4 的最小值； （2）求代数式 4﹣x2+2x 的最大值； （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m）的空地上建一个长方形花园 ABCD，花园一边靠墙，另三 边用总长为 20m 的栅栏围成．如图，设 AB=x（m），请问：当 x 取何值时，花园的面积最大？最大面积是多 少？ 答案 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】方程 x2−4x−7=0，变形得：x2−4x=7，配方得：x2−4x+4=11，即(x−2)2=11，故选：A. 2. 【答案】C 【解析】x2+6x−3=x2+6x+9−9−3=(x+3)2−12.故选：C. 3.【答案】A 【解析】x2−4x+1=0,移项，得 x2−4x=−1，两边加 4，得 x2−4x+4=−1+4，即：(x−2)2=3.故选：A. 4. 【答案】C 【解析】2x2-4x=-1，x2-2x= 1 2  , x2-2x+1= 1 2  +1,∴（x-1）2= 1 2 ，即 2（x-1）2=1.故选 C. 5. 【答案】A 【解析】∵M=2 9 a﹣1，N=a2﹣7 9 a (a 为任意实数)，∴N−M=a2−a+1=(a−1 2 )2+3 4 ，∴N>M，即 M5，∴此时能围成 三角形，三角形的周长为：3+4+5=12；（2）当第三边长为 7 时，∵3+4=7，∴此时不能围成三角形；故选 A. 点睛：涉及三角形三边的问题，求出三边的可能长度之后，要用三角形三边间的关系去检验看能否围成三 角形，再得结论. 二．填空题 11.【答案】1 或2 3 【解析】原方程可化为为：(x − 1)(3x − 2) = 0，∴x − 1 = 0 或 3x − 2 = 0，∴x = 1 或 x = 2 3 . 12. 【答案】6 【解析】设 a=x2+y2，则原方程可化为 a2-5a-6=0，解得 a1=6，a2=-1（舍去），所以 x2+y2=6. 13.【答案】3 【解析】设x2 + y2 = m，则原方程可化为：m2 − 2m − 3 = 0，解得：m1 = 3，m2 =− 1，∵x2 + y2 ≥ 0，∴x2 + y2 = m=3. 14. 【答案】x1=4，x2=﹣1 【解析】∵方程(k − 1)xk2 +1 + 6x + 8 = 0 是关于 x 的一元二次方程，∴ k − 1 ≠ 0 k2 + 1 = 2 ，解得：k =− 1，∴原 方程为：− 2x2 + 6x + 8 = 0，化简得：x2 − 3x − 4 = 0，解得：x1 = 4，x2 =− 1.∴原方程的解为：x1 = 4，x2 =− 1. 15. 【答案】4 【解析】设a2 + b2 = x，则原方程可化为：x2 − x − 12 = 0，解得：x1 = 4，x2 =− 3，∵a2 + b2 ≥ 0，∴a2 + b2 = x=4. 点睛：在解出“x”的值之后，不要忽略了“a2 + b2 ≥ 0”这一隐含条件. 三．解答题 16. 【答案】①x1=1+3 2 2 ，x2=1﹣3 2 2 ②x1=1，x2=﹣1 4 ③x1=﹣4，x2=2④y1=1，y2=﹣1 【解析】①②按题中指定方法解答即可；③先将方程整理为一般形式，再用“因式分解法”解方程即可； ④根据方程特点用“因式分解法”解方程即可. 解：①移项得：x2﹣2x=7 2 配方得：x2﹣2x+1=9 2 ，即（x﹣1）2=9 2 ， ∴x﹣1=±3 2 2 ∴ x1=1+3 2 2 ，x2=1﹣3 2 2 ． ② ∵在方程 4x2﹣3x﹣1=0 中，a=4，b=﹣3，c=﹣1， ∴ △ =9+16=25x=3± 25 8 = 3±5 8 ， ∴x1=1，x2=﹣1 4 ． ③原方程整理得：x2+2x﹣8=0， (x+4)(x﹣2)=0， ∴ x1=﹣4，x2=2． ④原方程可化为：(3y﹣2+2y﹣3)(3y﹣2﹣2y+3)=0， (5y﹣5)(y+1)=0， ∴ y1=1，y2=﹣1． 17. 【答案】（1）y1=﹣19 3 ，y2=﹣5 3 ；（2）x1=3，x2=1 2 ；（3）x1=2.5，x2=1；（4）x1=﹣2，x2=8（5）x=7± 191 4 ； （6）x1=﹣3.5，x2=1． 【解析】（1）用“直接开平方法”解此方程即可；（2）、（3）按指定方法解方程即可；（4）先将方程化为 一般形式，再用“因式分解法”解此方程：（5）用“公式法”解此方程即可；（6）先整理为一般形式，再 用“因式分解法”解此方程. 解：（1）方程可化为：（y+4）2=49 9 ， 开方得：y+4=±7 3 ，解得：y1=﹣19 3 ，y2=﹣5 3 ； （2）方程整理得：x2﹣7 2 x=﹣3 2 ， 配方得：x2﹣7 2 x+49 16 =25 16 ，即（x﹣7 4 ）2=25 16 ， 开方得：x﹣7 4 =±5 4 ， 解得：x1=3，x2=1 2 ； （3）∵在方程 2x2﹣7x+5=0 中，a=2，b=﹣7，c=5， ∴△=49﹣40=9， ∴x=7±3 4 ， 解得：x1=2.5，x2=1； （4）原方程整理得：x2﹣6x﹣16=0，即(x+2)(x﹣8)=0， 解得：x1=﹣2，x2=8； （5）∵在方程 2x2﹣7x﹣18=0 中，a=2，b=﹣7，c=﹣18， ∵△=49+144=193， ∴ x=7± 193 4 ； ∴x1 = 7+ 193 4 ，x2 = 7− 193 4 . （6）原方程整理得：2x2+5x﹣7=0， 即(2x+7)(x﹣1)=0， 解得：x1=﹣3.5，x2=1． 18. 【答案】（1）x1=6，x2=﹣1（2）x1=﹣ 1 10 ，x2=21 10 （3）x1=﹣2，x2=3 8 （4）y1=5，y2=﹣5 【解析】（1）用“因式分解法”解方程即可；（2）用“直接开平方法”解方程即可；（3）先移项，再用“直 接开平方法”解方程即可；（4）先化简，再用“直接开平方法”解方程即可； 解：（1）x2﹣5x﹣6=0， 原方程可化为：（x﹣6）（x+1）=0， ∴x-6=0 或 x+1=0， ∴ x1=6，x2=﹣1． （2）原方程可化为：（1﹣x）2= 21 100 +1， 即：（1﹣x）2=121 100 ， ∴1﹣x=± 11 10 ， ∴x1=﹣ 1 10 ，x2=21 10 ． （3）原方程可化为：8x（x+2）﹣3（x+2）=0， ∴(x+2)(8x﹣3)=0， ∴x+2=0 或 8x-3=0 解得 x1=﹣2，x2=3 8 ． （4）原方程可化为：y2﹣5=20， ∴y2=25，∴y=±5，即 y1=5，y2=﹣5． 19. 【答案】（1）x1=0，x2=﹣2，x3=2（2）x1=﹣1，x2=3 【解析】（1）把原方程化为：|x|2﹣2|x|=0，再按照“范例”中的方法解答即可；（2）把原方程化为：|x ﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0，再按照“范例”中的方法解答即可. 解：（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|=0， 设|x|=y，则 y2﹣2y=0． 解得 y1=0，y2=2． 当 y=0 时，|x|=0，∴x=0； 当 y=2 时，∴x=±2； ∴原方程的解是：x1=0，x2=﹣2，x3=2． （2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0． 设|x﹣1|=y，则 y2﹣4y+4=0，解得 y1=y2=2． 即|x﹣1|=2， ∴x=﹣1 或 x=3． ∴原方程的解是：x1=﹣1，x2=3． 20. 【答案】（1）112（2）x1=2，x2=﹣4（3）a=1 4 【解析】（1）按照“新运算：※”的运算规则，把题目中的“新运算”转化为普通运算，再按有理数的相 关运算法则计算即可；（2）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化普通运算，就可将涉 及“新运算”的方程转化为“一元二次方程”，然后再解方程即可；（3）先按题目中“新运算”的规则把 所涉及的“新运算”转化为普通运算，得到普通的含有“字母”系数的方程，再根据题意解答即可. 解：（1）4※7=4×4×7=112； （2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0， 解得 x1=2，x2=﹣4； （3）∵由新运算的定义得 4ax=x， ∴（4a﹣1）x=0， ∵不论 x 取和值，等式恒成立， ∴4a﹣1=0，即 a = 1 4 ． 点睛：在涉及“新运算”的问题中，弄清把“新运算”转化为“普通运算”的规则，把题目中涉及新运算 的部分按“规则”转化为普通运算，其余部分不变，再按普通方法解答即可. *2.5 一元二次方程的根与系数的关系 一、选择题 1. 若关于 x 一元二次方程 x2-x-m+2=0 的两根 x1，x2 满足（x1-1）（x2-1）=-1，则 m 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 2. 若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为-1，则另一个根为（ ） A. -2 B. 2 C. 4 D. -3 3. 设 x1，x2 是一元二次方程x2-2x-3=0 的两根，则x1 2 + x1 2 =（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 已知一元二次方程x2-4x +3=0 两根为 x1、x2，则 x1•x2=（ ） A. 4 B. 3 C. -4 D. -3 5. 已知 x=2 是方程 x2-6x+m=0 的根，则该方程的另一根为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 6. 判断一元二次方程式 x2-8x-a=0 中的 a 为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 7. 如果一元二次方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1、x2，那么 x1+x2=（ ） A. -3 B. 3 C. -1 D. 1 8. 若关于 x 的一元二次方程 x2-4x+5-a=0 有实数根，则 a 的取值范围是（ ） A. a≥1 B. a＞1 C. a≤1 D. a＜1 9. 已知 x1，x2 是一元二次方程 x2-4x+1=0 的两个实数根，则 x1x2-x1-x2 的值等于（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 5 10. 一元二次方程 x2+4x-3=0 的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（ ） A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 11. 若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为-1，则另一个根为（ ） A. -2 B. 2 C. 4 D. -3 12. 设 x1，x2 是一元二次方程x2-2x-3=0 的两根，则x1 2 + x1 2 =（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 13. 已知一元二次方程x2-4x +3=0 两根为 x1、x2，则 x1•x2=（ ） A. 4 B. 3 C. -4 D. -3 14. 已知 x=2 是方程 x2-6x+m=0 的根，则该方程的另一根为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 15. 如果一元二次方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1、x2，那么 x1+x2=（ ） A. -3 B. 3 C. -1 D. 1 二、填空题 16. 已知：一元二次方程 x2-6x+c=0 有一个根为 2，则另一根为____ 17. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _________ 18. 已知 x1=3 是关于 x 的一元二次方程 x2-4x+c=0 的一个根，则方程的另一个根 x2 是_______ 19. 已知方程 x2+mx+3=0 的一个根是 1，则它的另一个根是_______，m 的值是_______ 20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是__________ 三、解答题 21. 关于 x 的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0 有实数根，求 m 的取值范围. 22. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两个根，求这个直角三角形的斜边长. 23. 已知：关于 x 的方程 x2+2mx+m2-1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为 3，求 m 的值． 25. 已知关于 x 的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 答案 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】根据题意得 x1＋x2＝1，x1x2＝－m＋2，∵(x1－1)(x2－1)＝－1，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝－1，∴－m ＋2－1＋1＝－1，∴m＝3．故选 A． 点睛：题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝− b a ， x1x2＝c a． 2. 【答案】A 【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出 a 的值和另一根．设一元二 次方程的另一根为 x1，则根据一元二次方程根与系数的关系， 得﹣1+x1=﹣3，解得 x1=﹣2． 考点：根与系数的关系． 3. 【答案】C 【解析】∵x1、x2 是一元二次方程x2 − 2x − 3 = 0 的两根,∴x1+x2=2,x1x2=-3,∴x1 2 + x2 2=(x1+x2)2- 2x1x2=4+6=10.故选 C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．要求掌握根与系数的关系：x1，x2 是一元 二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=－b a ，，x1x2=c a ，再将x1 2 + x2 2变形成含 x1+x2 和 x1x2 的形式， 再将值代入即可. 4. 【答案】B 【解析】∵一元二次方程 x2﹣4x+3=0 两根为 x1、x2，∴x1x2= =3，故选 B． 考点：根与系数的关系． 5.【答案】C 【解析】由韦达定理可得，x1 + x2 =− b a = 6.有一个根是 x = 2. ∴另一个根是 4. 故选 C. 点睛：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)根与系数的关系满足：x1 + x2 =− b a ,x1 ⋅ x2 = c a . 6. 【答案】C 【解析】∵一元二次方程式 x2－8x－a＝0 的两个根均为整数，∴△＝64＋4a，△的值若可以被开平方即可， A、△＝64＋4×12＝102， △＝ 102，此选项不对；B、△＝64＋4×16＝128， △＝8 2，此选项不对； C、△＝64＋4×20＝144， △＝12，此选项正确；D、△＝64＋4×24＝160， △＝4 10，此选项不对．故 选 C． 7. 【答案】B 【解析】根据一元二次方程根与系数关系可知 x1＋x2＝− −3 1 ＝3．故选 B． 8. 【答案】A 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2-4x+5-a=0 有实数根，∴△=（-4）2-4（5-a）≥0，∴a≥1．故选 A． 9.【答案】A 【解析】根据题意得 x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴x1x2－x1－x2＝x1x2－(x1＋x2)＝1－4＝－3．故选 A． 10. 【答案】D 【解析】根据一元二次方程根与系数关系可知 x1x2＝−3 1 ＝－3．故选 D． 11.【答案】A 【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出 a 的值和另一根．设一元二 次方程的另一根为 x1，则根据一元二次方程根与系数的关系， 得﹣1+x1=﹣3，解得 x1=﹣2． 考点：根与系数的关系． 12.【答案】C 【解析】∵x1、x2 是一元二次方程x2 − 2x − 3 = 0 的两 根,∴x1+x2=2,x1x2=-3∴x1 2 + x2 2=(x1+x2)2-2x1x2=4+6=10.故选 C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．要求掌握根与系数的关系：x1，x2 是一元 二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=－b a ，，x1x2=c a ，再将x1 2 + x2 2变形成含 x1+x2 和 x1x2 的形式， 再将值代入即可. 13. 【答案】B 【解析】∵一元二次方程 x2﹣4x+3=0 两根为 x1、x2，∴x1x2= =3，故选 B． 考点：根与系数的关系． 14. 【答案】C 【解析】由韦达定理可得，x1 + x2 =− b a = 6.有一个根是 x = 2. ∴另一个根是 4. 故选 C. 点睛：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)根与系数的关系满足：x1 + x2 =− b a ,x1 ⋅ x2 = c a . 15.【答案】B 【解析】根据一元二次方程根与系数关系可知 x1＋x2＝− −3 1 ＝3．故选 B． 二、填空题 16. 【答案】4 【解析】设方程另一根为 t，根据题意得 2+t=6，解得 t=4.故答案为 4. 17. 【答案】3 【解析】设直角三角形的斜边为 c，两直角边分别为 a 与 b．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2－8x＋7＝0 的两个根，∴a＋b＝4，ab＝3.5；根据勾股定理可得：c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－7 ＝9，∴c＝3，即直角三角形的斜边长为 3．故答案为 3． 点睛：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解 题方法． 18.【答案】1 【解析】设方程另一根为 a，则 a+3=4，解得：a=1，故答案为：1． 19.【答案】 (1). 3 (2). -4 【解析】根据韦达定理可得，x1·x2= c a =3，则方程的另一根为 3；根据韦达定理可得，x1+x2=- b a =4=-m， 则 m=-4. 20.【答案】m≤1 【解析】∵一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数根，∴△=22-4m≥0，解得：m≤1． 三、解答题 21.【答案】m≤3 且 m≠2 【解析】方程有实数根，则△≥0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围． 解：根据题意得 m﹣2≠0 且△=22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0， 解得 m≥1 且 m≠2． 22.【答案】3 【解析】设直角三角形的斜边为 c，两直角边分别为 a 与 b． ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2－8x＋7＝0 的两个根， ∴a＋b＝4，ab＝3.5； 根据勾股定理可得：c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－7＝9， ∴c＝3， 即直角三角形的斜边长为 3． 故答案为 3． 点睛：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解 题方法． 23. 【答案】（1）证明见解析（2）m=-4 或 m=-2 【解析】(1)根据根的判别式判断即可； (2)将 x=3 代入方程，解方程即可得 m 的值，继而可得方程的另 一个根． 解：(1)∵a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， 即方程有两个不相等的实数根； (2)∵x2+2mx+m2﹣1=0 有一个根是 3， ∴把 x=3 代入方程得：32+2m×3+m2﹣1=0，整理得：m2+6m+8=0， 解得：m=﹣4 或 m=﹣2； 当 m=﹣4 时，另一根为 5；当 m=﹣2 时，另一根为 1． 考点：(1)、根与系数的关系；(2)、根的判别式． 25. 【答案】（1）证明见解析（2）当 p=0，±1 时 【解析】（1）原方程可化为 x2﹣5x+4﹣p2=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0， ∴不论 p 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根 ， （2）原方程可化为 x2﹣5x+4﹣p2=0， ∵方程有整数解，∴ 为整数即可， ∴p 可取 0，2，﹣2 时，方程有整数解． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不 等式的问题是解题的关键． 2.6 应用一元二次方程 一、选择题 1. 一个三角形的两边长分别为 5 和 3，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0 的根，则这个三角形的面积 是( ) A. 6 B. 3 C. 4 D. 12 2. 如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从 C 点沿 CB 方向以每秒 1 cm 的速度爬行，蝉开始爬行 的同时，一只螳螂由 A 点沿 AB 方向以每秒 2 cm 的速度爬行，当螳螂和蝉爬行 x 秒后，它们分别到达了 M， N 的位置，此时，△MNB 的面积恰好为 24 cm2，由题意可列方程( ) A. 2x·x＝24 B. (10－2x)(8－x)＝24 C. (10－x)(8－2x)＝24 D. (10－2x)(8－x)＝48 3. 用一条长为 40 cm 的绳子围成一个面积为 a cm2 的长方形，a 的值不可能为( ) A. 20 B. 40 C. 100 D. 120 4. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 2 m，另一边减少了 3 m，剩余一 块面积为 20 m2 的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ) A. 7 m B. 8 m C. 9 m D. 10 m 5. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子．已知盒子的容积 为 300 cm3，则原铁皮的边长为( ) A. 10 cm B. 13 cm C. 14 cm D. 16 cm 6. 在一次同学聚会上，同学之间每两人都握了一次手，聚会所有人共握手 45 次，则参加这次聚会的同学 共有（ ） A. 11 人 B. 10 人 C. 9 人 D. 8 人 7. 小明家承包的果园，前年水果产量为 50 吨，后来改进了种植技术，今年的总产量是 60.5 吨，小明家 去年，今年平均每年的粮食产量增长率是（ ） A. 5% B. 10% C. 15% D. 20% 8. 已知△ABC 是等腰三角形，BC=8，AB ，AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2-10x+k=0 的两根，则（ ） A. k=16 B. k=25 C. k=-16 或 k=-25 D. k=16 或 k=25 9. 汽车刹车后行驶的距离 s（单位：米）与行驶的时间 t（单位：秒）的函数关系式是 s=15t-6t2，那么 汽车刹车后几秒停下来？（ ） A. 0 B. 1.25 C. 2.5 D. 3 10. 某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品 250 元，降低到了每件 160 元，平均每月 降低率为（ ） A. 15% B. 20% C. 5% D. 25% 二、填空题 11. 如图，某小区内有一块长、宽比为 2∶1 的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为 2 m 的互相垂 直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为 312 m2，请求出原来大矩形空地 的长和宽． (1)请找出上述问题中的等量关系：________________________________； (2)若设大矩形空地的宽为 x m，可列出的方程为______________________________，方程的解为 ________________________，原来大矩形空地的长和宽分别为____________． 12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，则 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过 ________秒钟，使△PBQ 的面积等于 8 cm2. 13. 商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价 措施． 经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．据此规律计算：每件商品降价 ________元时，商场日盈利可达到 2100 元。 14. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年 10 月份的 7000 元/m2 下降到 12 月份的 5670 元/m2 ， 则 11、12 两月平均每月降价的百分率是________%。 15. 某商品原价 100 元，连续两次涨价后，售价为 144 元．若平均增长率为 x ， 则 x=________。 三、解答题 16. 某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元，2015 年投入教育经费 3025 万元． (1)求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率； (2)根据第一题所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元． 17. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创 业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该公司 每月投递的快递总件数的增长率相同．求该快递公司投递总件数的月平均增长率； 18. 如图，用一根铁丝分成两段可以分别围成两个正六边形，已知它们的边长比是 1∶2，其中小正六边形 的边长为(x2－4)cm，大正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中 x＞0)．求这根铁丝的总长． 19. 在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价 80 元，这样按原定票价需花费 6000 元购买的门票张数，现在只花费了 4800 元． (1)求每张门票的原定票价； (2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为 324 元，求平均每次降价的百分率. 答案 一、选择题 1.【答案】A 【解析】(x－2)(x－4)＝0，解得 x1=2，x2=4．2+3=5，2,3,5 不能组成三角形；所以 3,4,5 组成三角形， 3,4,5 是勾股数，所以三角形面积是 6.所以选 A. 2. 【答案】D 【解析】设 x 秒后，螳螂走了 2x,蝉走了 x,MB=10-2x,NC=8-x,由题意知1 2 (10－2x)(8－x)＝24,∴(10－2x)(8 －x)＝48,选 D. 3. 【答案】D 【解析】设围成面积为 acm2 的长方形的长为 xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2-x）cm，根据长方 形的面积公式列出方程 x（40÷2-x）=a，整理得 x2-20x+a=0，由△=400-4a≥0，求出 a≤100，即可求解．设 围成面积为 acm2 的长方形的长为 xcm，则宽为（40÷2-x）cm，依题意，得 x（40÷2-x）=a，整理，得 x2-20x+a=0.∵△=400-4a≥0，解得 a≤100，故选 D． 4. 【答案】A 【解析】本题主要考查一元二次方程，设原正方形空地的边长为 x m，则剩余的面积可以表示为 x − 2 x − 3 ，即 x − 2 x − 3 =20，解得x1 = 7，x2 =− 2 （不符合题意）.所以原正方形的边长为 7 m， 故选 A. 5.【答案】D 【解析】设原铁皮的边长为 xcm，则(x－6)(x－6)×3=300，解得：x=16 或 x=－4(舍去)，即原铁皮的边长 为 16cm. 考点：一元二次方程的应用 6. 【答案】B 【解析】设参加聚会的同学有 x 人，由题意，得  1 452 x x   ，解得 x=10 或 x=-9（不符合题意，舍去） 即参加聚会的同学有 10 人，故选 B. 7. 【答案】A 【解析】设小明家去年、今年的平均每年的粮食产量增长率是 x，由题意，得 50(1+x) ²=60.5，解得：x ₁ =0.1= 10%,x ₂ =−2.1(舍去)。故选 B. 8. 【答案】A 【解析】根据当 BC 是腰，则 AB 或 AC 有一个是 8，进而得出 k 的值，再利用当 BC 是底，则 AB 和 AC 是腰， 再利用根的判别式求出即可．当 BC 是腰，则 AB 或 AC 有一个是 8，故 82-10×8+k=0，解得：k=-16，当 BC 是底，则 AB 和 AC 是腰，则 b2-4ac=102-4×1×k=100-4k=0，解得：k=-25，综上所述：k=-16 或 k=-25．故 选：C． 考点: 一元二次方程的应用． 9. 【答案】B 【解析】∵s=15t−6t²=−6(t−1.25) ²+9.375，∴汽车刹车后 1.25 秒，行驶的距离是 9.375 米后停下来. 故选：B. 10. 【答案】B 【解析】如果设平均每月降低率为 x，根据题意可得 250（1﹣x）2=160，解得：x=20%．故选 B． 考点：一元二次方程． 二、填空题 11. 【答案】(1)原矩形面积－小路面积＝草坪面积; (2)x·2x－(x·2＋2x·2－2×2)＝312, x＝14 或 x＝－11(宽应为正数，故舍去) 28 m、14 m 【解析】（1）原矩形面积－小路面积＝草坪面积.（2）利用关系式列方程,并解方程.(1)原矩形面积－小 路面积＝草坪面积.(2)x·2x－(x·2＋2x·2－2×2)＝312 ，x＝14 或 x＝－11(宽应为正数，故舍去), 所以，原来长宽是 28 m、14 m. 点睛：一元二次方程与面积问题，可以把四个小面积合而为一，相当于宽变成 x-2,长变成 2x-2,所以面积 是（x-2）(2x-2)=312，运算更简单. 12. 【答案】2 或 4 【解析】设 x 秒时．由三角形的面积公式列出关于 x 的方程，1 2 （6-x）•2x=8，通过解方程求得 x1=2，x2=4； 故答案为 2 或 4. 13. 【答案】20 【解析】∵降价 1 元，可多售出 2 件，降价 x 元，可多售出 2x 件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣ x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的 越多，越吸引顾客，∴选 x=20． 14. 【答案】10 【解析】7000(1-x)2=5670,解得 1-x=±0.9,x1=0.1, x2=1.9(舍去)则 11、12 两月平均每月降价的百分率是 10%. 点睛：平均增长（降低）率是 x，增长(降低)一次，一般形式为 a（1±x）=b；增长（降低）两次，一般形 式为 a（1±x）2=b；增长（降低）n 次，一般形式为 a（1±x）n=b ,a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间 的有关数量． 15. 【答案】20% 【解析】根据原价为 100 元，连续两次涨价 x 后，现价为 144 元，根据增长率的求解方法，列方程求 x．依 题意，有：100（1+x）2=144，1+x=±1．2， 解得：x=20%或-2．2（舍去）． 考点：一元二次方程的应用． 三、解答题 16. 【答案】(1) 10%;(2) 3327.5 万元 【解析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015 年要投入教育经费是 2500（1+x）万元 ，在 2015 年的基础上再增长 x，就是 2016 年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用 2016 年的经 费×（1+增长率）即可． 解：（1）设增长率为 x，根据题意 2015 年为 2500（1+x）万元，2016 年为 2500（1+x）（1+x）万元． 则 2500（1+x）（1+x）=3025， 解得 x=0.1=10%，或 x=﹣2.1（不合题意舍去）． 答：这两年投入教育经费的平均增长率为 10%． （2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）． 故根据（1）所得的年平均增长率，预计 2017 年该地区将投入教育经费 3327.5 万元． 17.【答案】10% 【解析】设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件 数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即 可. 解:设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据题意得 10（1+x）2=12.1， 解得 x=0.1，或 x=-2.2（不合题意舍去）． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 10%； 18. 【答案】216cm 【解析】利用边的比例关系列方程，解方程. 解：由题意，得 2(x2－4)＝x2＋2x，整理，得 x2－2x－8＝0. 解得 x1＝4，x2＝－2(舍去)． ∴x2－4＝12，x2＋2x＝24. 则铁丝长为 12×6＋24×6＝216(cm)． 19. 【答案】（1）400 元；（2）10% 【解析】（1）设每张门票的原定票价为 x 元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据“按原定票价需 花费 6000 元购买的门票张数，现在只花费了 4800 元”建立方程，解方程即可；（2）设平均每次降价的百 分率为 y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为 324 元”建立方程，解方程即可． 解：（1）设每张门票的原定票价为 x 元，则现在每张门票的票价为（x-80）元， 根据题意得6000 x = 4800 x−80 ， 解得 x=400． 经检验，x=400 是原方程的根． 答：每张门票的原定票价为 400 元； （2）设平均每次降价的百分率为 y，根据题意得 400（1-y）2=324， 解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价 10%． 考点：1.一元二次方程的应用；2.分式方程的应用．