华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似

第 23 章 图形的相似 23.1 成比例线段 四条线段 a ， b ， c ， d 中， 如果 a：b = c：d ， 那么这四条线段 a ， b ， c ， d 叫做 成比例线段 ， 简称 比例线段 . 成比例线段 已知四条线段 a ， b ， c ， d . 如果 a c b d 或 a ： b=c ： d ， 那么 a ， b ， c ， d 叫做组成比例的 项 ， 线段 a ， d 叫做比例 外项 ，线段 b ， c 叫做比例 内项 ，线段 d 叫做 a ， b ， c 的 第四比例项. = 如果作为 比例内项 的是 两条相同的线段 ， a b b c = 或 a ： b = b ： c ， 即 那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的 比例中项 . 两条线段的比是它们的长度的比，也就是两个数的比.关于成比例的 数 具有下面的性质. 比例式是等式，因而具有等式的各个性质，此外还有一些特殊性质： (1)比例的基本性质 如果 a ： b = c ： d ，那么 ad = bc . 比例的内项乘积等于外项乘积. 如果 ad = bc， 那么 a ： b = c ： d . 如果 a ： b = b ： c ，那么 b 2 = ac . 说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)； (2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值变了). (2)合比性质 如果 a c b d = ， 那么 a ± b c ± d b d = . (3)等比性质 如果 那么 a c b d = m n = …= ( b + d +…+ n ≠0), a + c+…+m b+d+…+n = . a b 本课小结： 主要内容： 成比例线段的意义，比例的3个主要性质及其运用. 能力要求： 通过本课的学习，形成比例变形的能力， 要做一定量的习题，达到熟练. 情境引入 你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是 2:3 ？ 平行线分线段成比例 将 向下平移到如图的位置，直线 m , n 与 的交点分别为 ， ，问题 2 中的结论还成立吗？计算试一试。如果将 平移到其他位置呢？ a b c A B C D E F 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 3 4 x 7 已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图，你能求出 x 的值吗 ? 解：由已知条件可得： 如图 4-8 ，直线 a ∥ b ∥ c ，分别交直线 m , n 于 A 1 ， A 2 ， A 3 ， B 1 ， B 2 ， B 3 。过点 A 1 作直线 n 的平行线，分别交直线 b ， c 于点 C 2 ， C 3 。如图 4-9 ，图 4-9 中有哪些成比例线段？ 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 A B C D E ∵ DE ∥ AB 例 1 、如图，在△ ABC 中， E ， F 分别是 AB 和 AC 上的点，且 EF∥BC . （ 1 ）如果 AE = 7, FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ （ 2 ）如果 AB = 10, AE=6 ， AF = 5 ，那么 FC 的长是多少？ A B C E F 通过本节课的学习你学会了什么？你是如何获取这些知识的？ １．通过归纳与猜想，探索“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”的基本事实． ２．通过作平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，得到一个推论． ３．掌握利用基本事实与推论求线段长度的方法． 如何不通过测量，运用所学的知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是 2:3? A B C E D F 第 23 章 图形的相似 23.2 相似图形 我们在生活中，常会看到这样的图片 . 观察下列各组图片，你发现了什么？你能得出什么结论？ (1) (2) (3) (5) (4) (6) 下列每组图形形状相同吗？ （ 1 ） 正三角形 ABC 与正三角形 （ 2 ） 正方形 ABCD 与正方形 （ 3 ）正五边形 ABCDE 与 正五边形 想一想： （ 1 ）在每组图形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测． （ 2 ）在每组图形中，夹相等内角的两边是否成比例？ 图中的两个多边形分别是计算机显示屏上的多边形 ABCDEF 和投射到银幕上的多边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ，它们的形状相同吗 ? 想一想： （ 1 ）在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测． （ 2 ）在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？ 强调说明 ： 在上图中，六边形 ABCDEF 与六边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 是形状相同的多边形，其中∠ A 与∠ A 1 ，∠ B 与∠ B 1 ，∠ C 与∠ C 1 ，∠ D 与∠ D 1 ，∠ E 与∠ E 1 ，∠ F 与∠ F1 分别相等，称为 对应角 ； AB 与 A 1 B 1 ， BC 与 B 1 C 1 ， CD 与 C 1 D 1 ， DE 与 D 1 E 1 ， EF 与 E 1 F 1 ， FA 与 F 1 A 1 的比都相等，称为 对应边 ． 归纳总结，形成概念 相似多边形的概念： 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做 相似多边形 （ Similar polygons ） . 例如，在上图中六边形 ABCDEF 与六边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 相似，记作六边形 ABCDEF ∽ 六边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ， “ ∽ ” 读作“ 相似于 ”． 相似比的概念： 相似多边形对应边的比叫做 相似比 （ Similarity ratio ） . 强调说明： (1) 记两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上 . (2) 相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法，又是最本质、最重要的性质 . (3) 相似比有顺序性 . 例如，五边形 ABCDE ∽ 五边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 ，对 应边的比为 因此五边形 ABCDE 与五边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 的相似比 五边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 与五边形 ABCDE 的相似比 (4) 相似比为 1 的两个图形是全等形 . 因此全等形是相似图形的特殊情况 . (1) 观察下面两组图形，图（ 1 ）中的两个图形相似吗？ 图（ 2 ）中的两个图形呢？为什么？你从中得到什么 启发？与同桌交流 . (2) 如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？ 提出问题： 一块长 3 m 、宽 1.5 m 的矩形黑板如图，镶在其外围的木质边框宽 7.5cm . 边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 解 :∵ 四边形 ABCD 与矩形 A 1 B 1 C 1 D 1 均为矩形， ∴∠ A =∠ A 1 ，∠ B =∠ B 1 ，∠ C =∠ C 1 ， ∠ D =∠ D 1. 由题意，得 AB =3.15 m ， BC =1.65 m. ∴ ， . ∵ ≠ ， ∴ 矩形 ABCD 和矩形 A 1 B 1 C 1 D 1 不相似 . 通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家． 通过本节课的学习，同学们经历从特殊到一般的探究过程，认识到全等图形是相似比为 1 的相似图形，相似图形是全等图形的进一步的推广，理解了相似多边形的概念既是性质又是判定，运用性质时对应顶点字母写在对应的位置上，同时知道相等角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角．体会了相似比是有顺序要求的． 1 ． 一个多边形的边长分别是 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ，若另一个和它相似的多边形的最短边长为 6 ，则这个多边形的最长边 长 为 ． 2 ． 下列说法正确的是（ ） A. 所有的矩形都相似 B. 所有的正方形都相似 C . 所有的菱形都相似 D. 所有的正多边形都相似 18 B 练习 第 23 章 图形的相似 23.3 相似三角形 相似三角形的相关概念 三个角对应 相等 , 三条边对应 成比例 的两个三角形 , 叫做相似三角形 (similar trianglec) 相似三角形的各 对应角相等 , 各对应边 对应成比例 . 相似比等于 1 的两个三角形全等 . 注意： 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上 . 反之 , 写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ 由于相似三角形与其位置无关 , 因此弄清对应是正确解答的前提和关键 . 判定三角形相似的方法 判定两个三角形相似的方法 : 两角对应相等的两个三角形相似 . 三边对应成比例的两个三角形相似 . 类比三角形全等的判定方法 : 边角边 (SAS); 角边角 (ASA); 角角边 (AAS); 边边边 (SSS); 斜边直角边 (HL). 你还能得出判定三角形相似的其他方法吗 ? 相似与全等类比 — 新化旧 由 角边角 (ASA) 、角角边 (AAS) 可知 , 有两个角对应相等的两个三角形相似 ; 由 边边边 (SSS) 可知，有三边对应成比例的两个三角形相似 ; 由 边角边 (SAS) 可猜想 : 两边对应成比例 , 且夹角相等的两个三角形相似 ; 由 斜边直角边 (HL) 可猜想 : 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 我们已经把前两个猜想变为现实 , 剩余的还有问题吗？ 问题三 : 如果 △ ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ 有一个角相等 , 且两边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? (1) 如果这个角是这两边的夹角 , 那么它们一定相似吗 ? 我们一起来动手 : 画 △ ABC 与 △A ′ B ′ C ′ 使 ∠A=∠A ′, 设法比较 ∠B 与 ∠B ′ 的大小 ,∠C 与 ∠C ′ 的大小 . △ ABC 与 △A ′ B ′ C ′ 相似吗 ? 说说你的理由 . 改变 k 值的大小 ( 如 1∶3), 再试一试 . 通过上面的活动 , 你猜出了什么结论 ? 判定三角形相似的方法 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 . 如图 , 在 △ ABC 与 △A ′ B ′ C ′ 中 , 如果 那么 △ ABC∽△A ′ B ′ C ′ ( 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 .) C B A A ′ B ′ C ′ 这又是一个用来判定两个三角形相似的方法 , 但使用频率不是很高 , 务必引起重视 . 且 ∠A=∠A ′, 图中的 △ABC∽△A ′ B ′ C ′ , 你还能用其他方法来说明其正确性吗 ? 且∠A=∠A′=45°, ∴△ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.) C B A A ′ B ′ C ′ 解法2: 如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得: 问题四 : 在 Rt△ ABC 与 Rt△ A ′ B ′ C ′ 中 , ∠C= ∠C ′=90 0 , 如果有一直角边和斜边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? 我们一起来动手 : 画 △ ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ , 使 设法比较∠B 与∠B′的大小,∠A与∠A′的大小. Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′相似吗?说说你的理由. 改变k值的大小(如1∶3),再试一试. 通过上面的活动,你猜出了什么结论? 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 如图 , 在 Rt△ABC 与 Rt△A ′ B ′ C ′ 中 , 如果 那么 △ABC∽△A ′ B ′ C ′ ( 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 .) C B A A ′ B ′ C ′ 这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法 , 务必引起重视 . 我们重新来看问题三 : 如果 △ ABC 与 △ DEF 有一个角相等 , 且两边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? (2) 如果这个角是这两边中一条边的对角 , 那么它们一定相似吗 ? 小明和小颖分别画出了下面的 △ ABC 与 △ DEF : A B C 50 0 3.2cm 4cm 2cm D F E 50 0 1.6cm 通过上面的活动,你猜出了什么结论? 两边对应成比例,且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似。 判定三角形相似的常用方法 : 两角对应相等的两个三角形相似 . 三边对应成比例的两个三角形相似 . 两边对应成比例 , 且夹角相等的两个三角形相似 . 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 相似三角形的各 对应角相等 , 各对应边 对应成比例 . 相似三角形 对应高 的比 , 对应角平分线 的比 , 对应 中线 的比 , 对应周长 的比都等于相似比 . 如图 : 在 △ ABC 和 △ DEF 中 ，如果 ∠A=∠D, ∠B=∠E, 那么 △ ABC∽ △DEF. A B C D E F 那么△ ABC∽ △DEF. 且 ∠A=∠D ， 那么 △ ABC∽ △DEF. 两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 定义判定 相似三角形的判定定理的证明 定理 两 角分别相等的两个三角形相似 A B C A / B / C / 已知：如图，在 △ ABC 和 △ A / B / C / 中， ∠ A=∠A / , ∠B= ∠B / . 求证： △ ABC ∽△A / B / C / . 证明：在 △ ABC 的边 AB （或它的延长线）上截取 AD=A / B / , 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E （如图）， 则 ∠ ADE=∠ B, ∠AED= ∠C （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D作AC的平行线，交BC于点F,则 （平行于三角形一边的直线与其 他 两边相交，截得的对应线段成比例） ∵ DE∥BC,DF ∥AC ∴四边形DFCE是平行四边形 ∴DE=CF 而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∵∠A=∠A / , ∠ADE=∠B=∠B / ,AD=A / B / ∴△ADE≌△A / B / C / ∴△ABC∽△A / B / C / 定理 两边 成比例且夹角相等的两个三角形 相似 已知：如图， 在△ ABC 和△ A / B / C / 中 ， ∠ A=∠A / , 求证：△ ABC∽△A / B / C / . 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A / B / ,过点D作BC的平行线，交AC于点E（如图） ， 则 ∠B=∠ADE, ∠C=∠AED ∴△ABC∽△ADE （两角分别相等的两个三角形相似） ∴AE=A / C / 而∠A=∠A / ∴△ADE≌△A / B / C / ∴△ABC∽△A / B / C / 定理 三 边成比例的两个三角形相似 已知：如图，在△ ABC 和△ A / B / C / 中， 求证：△ ABC∽△A / B / C / . 证明：在△ABC的边AB,AC（或它们的延长线）上分别截取AD=A / B / ,AE=A / C / ,连接DE. 而∠BAC=∠DAE ∴△ABC∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴DE=B / C / ∴△ADE≌△A / B / C / ∴△ABC∽△A / B / C / B C A E D F 如图， AD⊥BC 于点 D ， CE⊥AB 于点 E ，且交 AD 于 点 F ，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于 点 F，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于 点 F，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图， AD⊥BC 于点 D ， CE⊥AB 于点 E ，且交 AD 于 点 F ，你能从中找出几对相似三角形？ 相似三角形的性质 问：相似三角形的识别方法有哪些？ 证两组对应角相等 证三组对应边成比例 证两组对应边成比例，且夹角相等 相似三角形的特征 问：你知道相似三角形的特征是什么吗？ 角：对应角相等 边：对应边成比例 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值= 如右图， △ A B C ∽△A′B′C′ A B C A ’ B ’ C ’ D D ’ 已知： Δ ABC∽ Δ A’B’C, ’ 相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。 相似三角形对应边上的高有什么关系呢？ 相似三角形对应边上的高之比等于相似比 A′ B′ C′ D′ 则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD 与A′ D′有什么关系？ 右图△ A B C ， AD 为 BC 边上的高。 D A B C 相似三角形对应角的平分线有什么关系呢？ 相似三角形对应角的平分线之比等于相似比 如右图△A B C ， AF为 ∠ A 的平分线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ F′ 为∠ A′的平分线， △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AF 与A′ F′比是多少？ A B C F A′ B′ C′ F′ 相似三角形对应边上的中线比等于相似比 相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？ 如右图△A B C ， AE为 BC 边上的中线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ E′为 B′C′边上的中线。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AE 与A′ E′比是多少？ A B C E A′ B′ C′ E′ 填空： （ 1 ）若两个三角形的对应边的比为 3:4 ，则这两个三角形的对应角平分线的比为 _____ ，对应边上的高的比为 ____ ，对应边上的中线的比为 ____ (2) 若 相似三角形对应角平分线的比为 0.2： 1 , 则相似比为 _________, 对应中线的比等于 ______; 相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 . 你会应用吗？ △ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们对应 的 中线，已知 ，B′D′=4cm，求BD的长. 解：∵ △ ABC∽△A ′ B′C′ ， 　　　 BD 和 B′D′ 是它们对应 的 中线　 　　 ∴ （相似三角形对应中线的比都等于相似比） ∴ BD=6 cm ∴ 相似三角形的周长比等于相似比。 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 想一想： 你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？ 周长比等于相似比，面积比等于相似比的 平方 √10 2 √2 1 √5 √2 A B C A ’ C’ B’ 小结 相似三角形的性质 对应角相等、对应边成比例 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比 周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的 平方 （你学到了什么呢？） 相似三角形的应用 情境导入 给我一个支点 我可以撬动整个地球。 —— 阿基米德 1. 数学建模 如图，铁道口的栏杆短臂长 1m ，长臂长 16m ，当短臂端点下降 0.5m 时，长臂端点升高多少米？ 【思考】利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体长度的问题？ 【概括】解决此类问题时，可先构建相似三角形的模型，再利用对应边成比例建立等式，已知三个量去求第四个量，主要构建的两个基本图形是 “X” 型和 “A” 型。 例 2 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD =1 18 米，DC=6 1 米，EC=50米，求河的宽度AB．（精确到 0.1 米） 解： ∵∠ADB= ∠EDC ， ∠AB D = ∠ECD=90 °， ∴ △ ABD∽ △ ECD （两角分别相等的两个三角形相似） 解得 AB≈96.7 （米） 。 答：河的宽度 AB 约为 96.7 米。 利用相似三角形证明几条线段之间的乘积关系 例3 如图，已知D，E分别是 △ABC的边AB，AC上的点，且∠ADE= ∠C.求证：AD•AB=AE•AC 归纳小结 1. 本节课重点是把实际问题转化为数学问题，即先构建出相似三角形的模型，再利用相似三角形的性质来解决实际问题。 2. 让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，通过建模培养学生的归纳能力。 第 23 章 图形的相似 23.4 中位线 学习目标 知识与技能 : 理解三角形中位线 的 定义与性质 , 会应用三角形中位线解决实际问题 . 过程与方法 : 经历探究三角形中位线 的 定义、性质的过程，感受三角形中位线定理的 运 用思想。 问题 :A ， B 两点被池塘隔开 , 如何测量 A ， B 两点之间的距离呢 ? 实验 ： 请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？ 图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ （答案如图） 怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分 , 使分成的两部分能拼成一个平行四边形 ? 请动手试一试 ! A B C E F . . D . 中位线 什么是三角形的中线？ （连接顶点与对边中点的线段） 如果连接两边中点的线段呢？ 中线 A B C D E DE 是三角形 ABC 的 中位线 什么叫三角形的中位线呢？ 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A B C D E F 理解三角形的中位线定义的两层含义 : ② 如果 DE 为△ ABC 的中位线，那么 D ， E 分别为 AB ， AC 的 。 ① 如果 D ， E 分别为 AB ， AC 的中点， 那么 DE 为△ ABC 的 ； C B A E D 中位线 中点 在 △ ABC 中，中位线 DE 和边 BC 有什么关系 ? DE 和边 BC 的关系 数量关系： 位置关系： DE∥BC A B C D E 平行 DE 是 BC 的一半 结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 . D A B C E 如图：在△ ABC 中， D 是 AB 的中点， E 是 AC 的中点。 则有： DE∥BC, DE= BC. 能说出理由吗 ? 如图：在△ ABC 中， D 是 AB 的中点， E 是 AC 的中点。 则有： DE∥BC, DE= BC. 2 1 D A B C E F 用不同的方法证明 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 用几何语言表示 D A B C E ∵DE 是 △ ABC 的中位线 ∴ DE∥BC ， DE= BC. 2 1 例 1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图24.4.3，在△ABC中， AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC． 求证：AE 与 DF互相平分． 证明 ： 连 接 DE ， EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC （三角形的中位线平行于第三边） 同理 EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴ AE 与 DF互相平分 （平行四边形的对角线互相 平 分）． 如果在上图中，取ＡＣ的中点Ｆ，假设ＢＦ与ＡＤ交于Ｇ`，如下图，那么我们同理有 ，所以有 ，即两图中的点G与G`是重合的。 于是我们有以下结论： 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 数学上的重心与物理上的重心是一致的 求证：顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形。 已知：在四边形 ABCD 中， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的中点 . 求证：四边形 EFGH 是平行四边形 . 证明：连接 AC. ∵AH=HD ， CG=GD ， ∴HG∥AC, HG= AC. 同理 EF∥AC ， EF= AC. ∴HG∥EF ， HG=EF ， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 . 在 AB 外选一点 C ，使 C 能直接到达 A 和 B ， 连接 AC 和 BC ，并分别找出 AC 和 BC 的中点 M ， N. 测出 MN 的长，就可知 A ， B 两点之间的距离。 若MN=36 m，则AB= 2MN=72 （m ) 。如果，MN两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？ ④顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形的四边中点所得的四边形是————— ②顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的四边形是———— ③顺次连结对角线互相垂直的四边形的四边中点所得的四边形是———— ①顺次连接四边形的四边中点所得的四边形 是———— 下 填一填 已知：如图， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 第 23 章 图形的相似 23.5 位似图形 23.5 位似 图形 观察下列图形的特点 A B C D P 特征 : (1) 是相似图形 (2) 每组对应点所在的直线都经过同一个点 如果两个多边形是每组对应顶点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做 位似多边形， 这个点叫做 位似中心 。 实际上， K 就是这两个相似多边形的相似比。 基本概念 : 下列图形中，每个图中的四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′ 都是 相似图形 . 分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？ 图中每组中的两个多边形也是位似多边形。 运用位似图形概念作图 例：如图，已知△ABC，以点 O 为位似中心画△DEF，使它与△ABC相似，且相似比为 1:2 . 解：1、画射线OA,OB,OC； 2、在射线OA，OB,OC上取点D,E,F，使O A =2O D ,O B =2O E ,O C =2O F ； 3.顺次连接D，E，F， 则△DEF与△ABC位似，相似比为 1 ：2 . 用橡皮筋放大图形的方法放大图形,使用这种方法,放大前后的两个图形是位似图形,你能用这种方法将一个已知的正方形放大,使放大后的图形与原图形的位似比是1:2吗? 判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是？ （ 1 ）五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ ； （2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO （3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′. （4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′ 做一做 如图，请以坐标原点 O 为位似中心，作位似图形，并把它的边长放大 3 倍 . 分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连接位似中心 O 和各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的 3 倍，就得到所求作图形的各个顶点 练一练 　　 1 ．如图，已知△ ABC 和点 O. 以 O 为位似中心，求作△ ABC 的位似图形，并把△ ABC 的边长缩小到原来的一半 . 今天你学会了什么？ 位似图形的定义，位似图形的性质 . 小结 第 23 章 图形的相似 23.6 图形与坐标 夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标分别是 （ 1 ， 1），（－ 3 ， 5 ），（ 4 ， 5 ），（ 0 ，2）． 目的地位于 连接第一 座 与第三座农舍的直线和连 接 第二 座 与第四座农舍的直线的 交点 ．利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地．请你在图中画出目的地的位置． 四座农舍的坐标是 （ 1 ， 1 ） （ - 3 ， 5 ） （ 4 ， 5 ） （ 0 ， 2 ） 农舍 1 农舍 4 农舍 2 农舍 3 · · · · · A 点 A 为目的地的位置． 描述图形上点的坐标，可以建立不同的坐标系吗？ 自学课本的 内容，想一想： 1、课本所给的不同方法各有什么优点？ 2、你还有其他方法吗？与同学一起交流，谈一谈各自的想法． 下 图是 某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置： 试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置： 有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上 确定一个点的位置 ．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用： 1 、 如用 经度 和 纬度 来表示一个地点在地球上的位置。 2 、电影院的座位用 几排几座 来表示。 3 、国际象棋中 竖条用字母 表示， 横条用数字表示 等． 下图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置?又如何描述A，B，C的位置? E2 在什么位置 ? 又如何描述 A ， B ， C 的位置 ? 我们还可以用其他方式来表示物体的位置． 例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息： “悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的 北偏东 30 度的方向，距离此处 3 千米的地方； “明天调味品厂”在他现在所在地的 北偏西 45 度的方向，距离此处 2.4 千米的地方； “ 321 号水库”在他现在所在地的 南偏东 27 度的方向，距离此处 1.1 千米的地方． 看来，用 一个角度和距离 也可以表示一个点的位置．这种方式在军事和地理中较为常用． 根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图： 东 南 西 北 悠悠日用化工品厂 · · 明天调味品厂 · 321 号水库 下图是小明所在学校的平面示意图，小明可以如何描述他所住的宿舍的位置呢？ 1 、小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如下图），试借助刻度尺、量角器解决如下问题： 求出 a 的值 . 已知点 M 与点 N ① 点 M 关于 x 轴对称； 向右平移 3 个单位长度后落在 y 轴上； 点 M ② 在第三象限的角平分线上； ③ 请根据下列条件分别 若点 M 是第三象限的整点。 ④ 谈一谈这节课你有何收获？ 1 、根据图形特点、实际需要建立适当的直角坐标系． 2 、建立坐标系常用的方法有： （ 1 ）以图形上的某已知点或线段的中点为原点； （ 2 ）以图形上某线段所在的直线为 x 轴（或 y 轴）； （ 3 ）利用图形的轴对称性以对称轴为 x 轴（或 y 轴）． 矩形公园 ABCD 的长、宽分别是 6 千米 , 4 千米 , 以公园中心为原点建立坐标系 , 写出各顶点的坐标 . 找出各点的关系 解 : 公园各顶点的坐标分别为 A( 3 , 2),B( -3 , 2 ), C( -3 , -2 ), D( 3 , -2 ) . 点 A 与点 D 关于 x 轴对称 横坐标相同 , 纵坐标互为相反数 点 A 与点 B 关于 y 轴对称 纵坐标相同 , 横坐标互为相反数 点 A 与点 C 关于 原点对称 横、纵坐标 均互为相反数 观察： (1) 由点 B 到点 A 是怎样移动得到的？他们的坐标有何关系？ (2) 在图中，你还能看到哪些点的移动？ 如果 将 △ AOB 向右移动 3 个单位长度， 得到 △ A’O’B ’ ，各顶点的坐标又有什么变化？你能用自已的语言归纳这个规律吗？ 规律 : 左右移动时，横坐标左减右加，纵坐标不变 将 △ AOB 向上或向下移动几个单位长度，你能探索出图形上下移动的规律吗？ 规律: 上下移动时，横坐标不变 , 纵坐标上加下减 . 将 △ AOB 沿着 x 轴对折， 得到 △ A ’ OB 画图并说明对应顶点有什么变化？ 规律：对应点关于 x 轴对称。即对应点的横坐标相等、纵坐标互为相反数 画 出 △ ABC 中A（2，1）， B（4，0），C（5，2）沿 y 轴对折后 的 △ A ’B’C 并观察对应顶点又有什么样的化？ 规律：对应点关于 y 轴对称。即对应点的横坐标互为相反数、纵坐标相等 画 △ AOB 关于原点对称 的 △ A ’O B’ 你有什么发现？ 规律：对应点关于原点对称。即对应点的横坐标和纵坐标互为相反数 如果 将 △ AOB 缩小， 变成 △ COD ，它们的相似比是多少？对应点的坐标有什么变化？ 规律：横坐标和纵坐标都缩小相同的倍数 平移性质 1. 纵坐标不变，横坐标分别增加（减少） a 个单位长度时，图形 _____________ 平移 a 个单位 长度 ； 2. 横坐标不变，纵坐标分别增加（减少） a 个单位 长度 时，图形 __________ ____ 平移 a 个单位 长度； 向上（向下） 向右 ( 向左 ) 沿 x 轴方向平移 | a | 个单位 长度 : 若 a >0 , 则向 右 平移；若 a 0 , 则向 上 平移；若 b 1 , 图形整个被 放大 ; 若 0< k