华东师大版九年级数学上册第22章一元二次方程

第 22 章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 分别指出下面的方程叫作什么方程？ (l)3 x +4=l；(2)6 x -5 y =7；(3) . 解：（1）一元一次方程； （2）二元一次方程； （3）分式方程 . 一、新课导入 理解一元二次方程的概念及它的一般形式; 会判断一元二次方程的二次项系数、一次项 系数和常数项；理解一元二次方程的解的概念 . 1 2 二、学习目标 三、研读课文 认真阅读课本上的内容，完成练习并体验知识点的 形成过程 . 知 识 点 一 引言中的方程 ① 请问方程  是什么方程呢？ 如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒. 如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm 2 , 那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题1 设切去的正方形的边长为 x cm， 则盒底的长为______ ____ _, 宽为_____ ____ __, 得方程____________ ____ ___. 整理得_______________② (100- 2 x )cm (50- 2 x )cm (100- 2 x )(50- 2 x )=3 600 x 2 -75 x +350=0 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 问题 2 设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他 ____个队各比赛一场，可列方程为 ______________ 整理得________③ 观察 方程①②③的共同点： （1）这些方程的两边都是_____； （2）都只含有______未知数 x ； （3）它们的最高次数都是____次。 x -1 x 2 - x =56 整式 一个 2 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2 （二次）的方程叫做 一元二次方程 ． 一元二次方程的概念 练一练  下列方程是一元二次方程的是_____（填序号）. ①3x 2 +7=0 ②3x-4=5x+6 ③(x-2)(x+5)=x 2 -1 ④3x 2 - =0 ① 一元二次方程一般的形式 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax 2 + bx + c =0 （ a ≠0 ）．这种形式叫做一元二次方程的 一般形式 ． 因为当 a =0时，二次项就不存在了，方程就不再是一元二次方程了，所以规定 a ≠0. 一元二次方程一般的形式 思考：为什么规定 a ≠0？ 根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将所列的方程化成一元二次方程的一般形式: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长 x ； 解：所列方程为 _____ _ ,化成一元二次方程的一般形式 为 . 4 x 2 =25 4 x 2 -25=0 练一练 （2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长 x ； 解：所列方程为__________ ，化成一元二次方程的一般形式为 ___________。 x ( x -2)=100 x 2 -2 x -100=0 练一练 （3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长 x . 解：所列方程为 _____ _ __ _, 化成一元二次方程的一般形式为 _____ ______ . x =(1- x ) 2 x 2 - 3 x + 1=0 练一练 一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0)，其中 ax 2 是 二次项 , a 是二次项系数； bx 是 一次项 , b 是 一次项系数 ; c 是 常数项 。 二次项、一次项和常数项 例题 例 将方程 3 x ( x -1)=5( x +2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：去括号，得 3 x 2 -3 x =5 x +10. 移项、合并同类项，得 3 x 2 -8 x -10=0. 其中二次项系数为 3 ，一次项系数为 -8 ，常数项为 -10 . 将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项： 4 x ( x +2)=25 (3 x -2)( x +1)=8 x -3 练一练 (3 ) 把 化为一般形式为 4 x 2 +8 x -25=0， 二次项系数为 4 ，一次项系数为 8 ， 常数项 为 -25 ． 4 x ( x +2)=25 (4 ) 把 化为一般形式为 3 x 2 - 7 x +1=0， 二次项系数为 3 ，一次项系数为 -7 ， 常数项 为 1 ． (3 x -2)( x +1)=8x-3 练一练 ( 1 ) 把 化为一般形式为 5 x 2 -4 x -1 =0 ， 二次项系数为 5 ，一次项系数为 -4 ， 常数项为 -1 ． (2) 把 化为一般形式为 4c 2 -81=0， 二次项系数为 4 ，一次项系数 0 ， 常数项为 -81 ． 使方程 左右两边相等 的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做 一元二次方程的根 . 一元二次方程的解（根） 下面那些数是方程 x 2 -x-6=0 的根？ - 4， - 3， - 2， - 1，0，1，2，3，4. 解：因为 - 2 和 3 能使方程 x 2 -x-6=0 的左右 两边 相等，所以 - 2 和 3 是方程 x 2 -x-6=0 的根. 练一练 4、学习反思： _____________________________ . 1、等号两边都是____，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 ___的方程，叫做一元二次方程. 2、一元二次方程的一般形式是：_____________ _. 3、使方程 ____________ 的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做 _______________ . 四、归纳总结 Thank you! 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 第 1 课时 用直接开平方法解一元二次方程 一桶某种油漆可刷的面积为 1500 d m 2 ，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 创设情景 明确目标 这个一元二次方程有什么特点？ 怎样解这个一元二次方程？ 1 ．体会解一元二次方程降次的转化思想． 2 ．会利用直接开平方法解形如 x 2 ＝ p 或 ( m x ＋ n ) 2 ＝ p ( p ≥0) 的一元二次方程． 学习目标 探究点一 合作探究 达成目标 二元、三元一次方程组 一元一次方程 一元二次方程 消元 降次 例 1 ： 一桶某种油漆可刷的面积为 1500dm 2 ，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 10×6 x 2 =1500 由此可得 x 2 =25 即 x 1 =5 ， x 2 = － 5 可以验证， 5 和－ 5 是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为 5dm ． 解：设正方体的棱长为 x dm ，则一个正方体的表面积为 6 x 2 dm 2 ，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 ① 合作探究 达成目标 等量关系： 10 个正方体盒子的表面积＝油漆可刷的总面积 平方根的意义 小组讨论 1 形如 x 2 = p ( p ≥0 ) 的方程可用什么方法求解？ 【 针对练一 】 解得： 【 答案 】 小组讨论 2 （ 2 ）对于常数 p ，为什么要限定条件 p ≥0 ？ 一般地，对于 x 2 ＝ p 当 p ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根，即： 当 p ＜ 0 时，方程无实数根 . 当 p =0 时，方程有两个相等的实数根，即： 探究点二 例 2 ：解方程 【 思考 】 ① 方程（ 1 ）与 x 2 =25 这个方 程有 什么不同？可以直接开平方吗？ ②方程（ 2 ）与方程（ 1 ）有什么不同？怎样将方程 ( 2 ) 转化为方程（ 1 ）的形式？ ③方程（ 3 ）左右两边有什么特点？怎样达到降次的目的？ 小组讨论 3 对于可化为 ( m x ＋ n ) 2 ＝ p ( p ≥0) 或（ ax + b ） 2 =( c x + d ) 2 的方程，可以用直接开平方发求解吗？ 1. 当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解， 即：对于 ( m x ＋ n ) 2 ＝ p ( p ≥0) ，得： 2. 若两边都是完全平方式， 即： （ ax + b ） 2 =( c x + d ) 2 ，得 【 针对练二 】 5. 方程（ 2 x -1) 2 =( x +2) 2 的解为： x 1 =3, x 2 = D D 1/5 D 1. 降次的实质： 将一个二次方程转化为两个一次方程； 降次的方法： 直接开平方法 ； 降次体现了： 转化思想 ； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解 . 总结梳理 内化目标 达标检测 反思目标 可以 可以 可以 不可以 可以 达标检测 反思目标 2. 3. 4. -1 -5 解： 达标检测 反思目标 5. 已知方程 的一个根是 , 求 k 的值和方程的另一个根。 解：把 代入 得： 解得： 原方程为： 所以方程的根为： 即方程的另一个根为 -1 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 一元二次方程根与系数的关系 创设情景 明确目标 1 ．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数． 2 ．在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想． 学习目标 探究点一 一元二次方程的根与系数的关系的推导 合作探究 达成目标 - -1 x 1 +x 2 = + = = - x 1 x 2 = · = = = 一元二次方程根与系数的关系 ( 韦达定理） 推论 1 【 针对训练 1】 -3 1 D 例 1. 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程 两根 的和与积 . 合作探究 达成目标 探究点二 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1) 方程（ 3 ）与方程（ 1 ）（ 2 ）在形式上有何区别 ？ 【 小组讨论 2 】 (1) 在求两根的和与积时，必须将方程怎样处理 ？ 【 针对训练 2】 A C 4. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ mx ＋ n ＝ 0 的两个实数根分别为 x 1 ＝－ 2 ， x 2 ＝ 4 ，则 m ＋ n 的值是（ ） A ．－ 10 B ． 10 C ．－ 6 D ． 2 5. 已知一元二次方程 x 2 -6 x + c =0 有一个根为 2 ，则另一个根为：（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【 针对训练 2】 C 总结梳理 内化目标 达标检测 反思目标 D 0 3 -2 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 第 3 课时 公式法 创设情景 明确目标 请用配方法解方程： x 2 - x -1=0 1 ．理解一元二次方程求根公式的推导． 2 ．会用求根公式解简单数字系数的 一元二次方程． 3 ．理解一元二次方程的根的判别式， 并会 用它判别一元二次方程根的情况． 学习目标 任何一元二次方程都可以写成一般形式 你能否也用配方法得出①的解呢？ 二次项系数化为 1 ，得 配方 即 ① ② 移项，得 探究点一 一元二次方程根的判别式的应用 因为 a ≠0,4 a 2 >0, 当 b 2 － 4 ac ＞ 0 时，所以方程有 两个不相等 的实数根 由②式得 当 b 2 － 4 ac= 0 时，方程有 两个相等 的实数根 当 b 2 － 4 ac ＜ 0 时，方程 没有 实数根 （ 1 ）一元二次方程根的判别式与根的情况有何关系？ （ 2 ）如何用根的判别式不解方程判断方程根的情况？ 活动 二： 交流思考下面的问题 ： 当　　　　　 时，方程有 两个不相等 的实根；　　当　　　　　 时，方程有 两个相等 的实根；　　当　　　　　 时，方程 没有 实根 . b 2 - 4 ac ＞ 0 b 2 - 4 ac = 0 b 2 - 4 ac ＜ 0 【 小组讨论 1 】 一元二次方程根的判别式在使用时应注意什么 ？ 【 针对训练 1 】 A 2 -1 1. （ 2015 重庆）已知一元二次方程 则该方程根的情况是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数 D ．无实数根 （ 2015 青岛） 关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 . 一元二次方程 的根由方程的系数 a ， b ， c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的 求根公式 ，利用它解一元二次方程的方法叫做 公式法 ，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 时，将 a ， b ， c 代入式子 探究点二 用公式法解一元二次方程 例 2 ： 用公式法解下列方程 ： 探究点二 用公式法解一元二次方程 【 小组讨论 2 】 用公式法解一元二次方程的前提条件是什么 ？ 【 针对训练 2 】 C (2) （ 2015 大连） x 2 － 6 x － 4=0 . 总结梳理 内化目标 达标检测 反思目标 A D 4 -3 -5 a≥-1 解： 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 第 4 课时 因式分解法 ☞ 思考 根据物理学规律 , 如果把一个物体从地面以 10m/s 秒的速度竖直上抛，那么经过 x 秒物体离地高度（单位：米）为 10 x -4.9 x 2 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到 0.01S ） 10 x -4.9 x 2 =0 ① 创设情景 明确目标 1 、请用配方法或公式法求方程①的解； 2 、若将方程左边分解因式为： x (10-4.9 x )=0 ，是否有比学过的两种方法更简便的解法呢？ 1 ．会用因式分解法解某些简单 数字系数 的一元二次方程． 2 ．进一步体会转化的思想，能 选择恰当 的方法解一元二次方程． 学习目标 于是得 上述解中， x 2 ≈2.04 表示物体约在 2.04 时落回地面，面 x 1 =0 表示物体被上抛时离地面的时刻，即在 0s 时物体被抛出，此刻物体的高度是 0m ． 如果 a·b =0 那么 a =0 或 b =0 ． 探究点一 用因式分解法解一元二次方程 10 x -4.9 x 2 =0 ① 方程①的右边为 0 ，左边可因式分解，得 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是 先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0 ，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法 ． 以上解方程 的方法是如何使二次方程降为一次的方程？ 讨 论 ① ② 当一元二次方程的一边是 0, 而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时 , 我们就可以用分解因式的方法求解 . 这种用分解因式解一元二次方程的方法称为 分解因式法 . 1. 用分解因式法解一元二次方程的 条件 是 : 方程 左边 易于分解 , 而 右边 等于零 ; 2. 理论依据 是 : “ 如果 两个 因式的 积 等于 零 , 那么 至少 有 一个 因式等于 零 ” 例 :1 解下列方程 : (1) x ( x -2)+ x -2=0; 分解因式法解一元二次方程的步骤是 : 2. 将方程 左边 因式分解 ; 3. 根据“ 至少有一个因式为零 ” , 转化为两个一元一次方程 . 4. 分别解 两个 一元一次方程，它们的根就是原方程的根 . 1. 化方程为 一般形式 ; 【 小组讨论 1 】 运用因式分解法解一元二次方程时方程两边如何处理 ？ 右化零　　左分解 两因式　　各求解 【 针对训练 1】 D 解： （ 2015 重庆 ） 一元二次方程 x 2 － 2 x =0 的根是 ( ) A. x 1 =0 ， x 2 = － 2 B. x 1 =1 ， x 2 =2 C. x 1 =1 ， x 2 = － 2 D. x 1 =0 ， x 2 =2 探究点二 选择恰当的方法解一元二次方程 思考： （ 1 ）哪种方法更简便？ （ 2 ）因式分解法适合什么样的方程？ 例 2 ：试用合适的方法解下列方程： 【 小组讨论 2】 解一元二次方程的基本思路是什么？ 有哪些方法可以达到这个目的 ？ 用公式法求解即可 : 若一边可以分解成 两个因式乘积的形式 , 可以因式分解法解方程 . 【 针对训练 2】 (5) (6) 【 答案 】 解一元二次方程的 基本思路 是将二次方程化为一次方程，即 降次 . 使用的方法有 配方法、公式法、因式分解法． 当一元二次方程的 一边为 0 ，而另一边 易于分解 成两个一次因式的乘积时，我们就用分解因式的方法来求解 . 总结梳理 内化目标 达标检测 反思目标 B D 3 （ x +12)( x +8) x 1 =-12, x 2 =-8 解： 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 第 2 课时 用配方法解一元二次方程 温故而知新 1. 解下列方程： (1)2 x ²=8 (2)( x +3)²-25=0 (3)9 x ² +6 x +1=4 2. 你能解这个方程吗？ x ²+6 x +4=0 直接开平方法 1 ．理解配方的基本过程，会运用配方 法解 一元二次方程． 2 ．经历探索利用配方法解 一元二次方程的 过程，体会转化的数学思想． 学习目标 回顾与复习 因式分解的完全平方式，你还记得吗 ? 完全平方式 填一填 1 4 它们之间有什么关系 ? 1 2 4 2 (1) x ²+10 x + =( x + )² (2) x ²-12 x + =( x - )² (3) x ²+5 x + =( x + )² (4) x ²- x + =( x - )² (5)4 x ²+4 x + =(2 x + )² 6 ² 5 5 ² 6 1 ² 1 移项 两边加上 3 2 , 使左边配成 完全平方式 左边写成完全平方的形式 开平方 变成了 ( x + h ) 2 = k 的形式 想一想如何解方程？ 以上解法中 , 为什么在方程 两边加 9? 加其他数行吗 ? 像上面那样 , 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 , 叫做配方法 . 这个方程怎样解？ 变形为 的形式．（ ａ 为非负常数） 变形为 x 2 － 8 x ＋ 1 ＝ 0 ( x － 4) 2 =15 x 2 -8 x +16=-1+16 活动 一： 探究点一 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 （ 1 ）解答过程都有哪些步骤？ （ 1 ） 移项 : 把常数项移到方程的右边 （ 2 ） 配方 : 方程两边都加上一次项系数 一半的平方 （ 3 ） 开方 : 根据平方根意义 , 方程两边开平方 （ 4 ） 求解 : 解一元一次方程 （ 5 ） 定解 : 写出原方程的解 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的 步骤 : 小组讨论 1 （ 1 ）把常数项移到方程右边后，两边加上的常数和一次项系数有何关系？（ 2 ）左边的平方式中的符号与一次项系数的符号有什么关系？ 【 针对练一 】 36 6 4 2 16 4 （ 2015 随州） 用配方法解一元二次方程 x 2 － 6 x － 4=0 ，下列变形正确的是（　 　） A ． ( x － 6) 2 = － 4+36 B ． ( x － 6) 2 =4+36 C ． ( x － 3) 2 = － 4+9 D ． ( x － 3) 2 =4+9 D 解： 探究点二 配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 (1) 这两个小题与活动一中的方程有什么不同？如何将此例方程转化为活动一中方程的情形？ 配方法解一元二次方程应注意些什么 ？ 小组讨论 2 在用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程时，通常是先让方程的各项除以二次项系数，即把这类方程转化为例 1 中的方程类型； 解一元二次方程的基本思路 把原方程变为 ( x + n ) 2 ＝ p 的形式 ( 其中 n 、 p 是常数） 当 p ≥0 时，两边同时开平方，这样原方程就转化为 两个 一元一次方程 二次方程 一次方程 当 p