华东师大版九年级数学上册第24章解直角三角形

第 24 章 解直角三角形 24.1 测量 第24章解直角三角形 1.测量 正在观看升旗仪式的小华很想知道旗杆的高度，但是 旗杆的高度很 难直接测量 . 现有一根 标杆 、一把 皮尺 、 一个 平面镜 . 你能利用所学的知识来帮他测出旗杆的高度吗 ? 要求 : （ 1 ） 画出测量图形 （ 2 ）写出需要测量的数据 ( 可以用字母表示需要测量的数据 ) （ 3 ）根据测量数据写出计算 旗杆的高度 的比例式。 工具 : 一根 标杆 、一把皮尺、 一个平面镜 . 旗杆影长 A B C D E F 影长法 比例式 : 人 平面镜 平面镜法 比例式 : A B C D E F G H 标杆法 人 标杆 比例式 : ∴ AB=AE+EB 测量角的工具 假如现在只有 皮尺 和 测量角的工具 ，那又该怎么办呢？ 0 30 30 60 60 90 90 使用测倾器测量倾斜角的步骤如下： 1 、把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的 0° 刻度线重合，这时度盘的顶线 PQ 在水平位置。 P Q 度盘 铅锤 支杆 0 30 30 60 60 90 90 P Q ---- 简单的侧倾器由 度盘 、 铅锤 和 支杆 组成 测量倾斜角可以用 测倾器 。 0 30 30 60 60 90 90 2 、转动转盘，使度盘的直径对准目标 M ，记下此时铅垂线所指的度数。 M 30° D A B E 1 、在测点 D 安置测倾器，测得点 B 的仰角∠ BAC=34° ； C 2 、量出测点 D 到物体底部 E 的水平距离 DE=l0 米； 3 、量出测倾器的高度 AD=1.5 米。 34° 你能利用这些数据算出旗杆的高度吗？ D A B E 1 、在测点 D 安置测倾器，测得点 B 的仰角∠ BAC=34° ； C 2 、量出测点 D 到物体底部 E 的水平距离 DE=l0 米； 3 、量出测倾器的高度 AD=1.5 米。 34° 你能按比例将△ ABC 画在纸上吗？ 为什么 结果会相同 呢？ 如果仰角为 65° ， BC 的值 还会相等吗？ D A B E 实际上，我们利用图中已知的数据就可以 直接计算 旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及 直角三角形中 的 边角关系 ． C 我们已经知道 直角三角形 的 三条边所满足的关系 （即 勾股定理 ），那么它的 边与角 又有什么关系？ 34° 探究 直角三角形中 的 边角关系 学习小结 1 、充分利用相似三角形的相关知识在测量中采用不同的方法或者设计不同的方案解决实际问题。 2 、我们也可借助直角三角形来完成测量的方案。 第 24 章 解直角三角形 24.2 直角三角形的性质 矩形的判定： 定理 1 ：有 三个角是直角 的四边形是 矩形 定理 2 ： 对角线相等 的平行四边形是 矩形 有一 个角是直角 的平行四边形是 矩形 我们已经学习了直角三角形的哪些性质？ 例如：1、角与角的关系： 直角三角形的两锐角互余。 2、边与边的关系：（勾股定理） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 3 、边角关系： 这将是本章要研究的内容，在学习它之前，我们先来探索直角三角形的 其他性质。 其逆定理： 如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，且 c 边对的角是直角。 已知：如图在 Rt Δ ABC 中，∠ ACB = 90 0 ,CD 是斜边 AB 上的中线。 求证： CD = AB. 证明： 延长 CD 到点 E ，使 DE=CD, 连接 AE ， BE 。 ∵CD 是斜边 AB 上的中线， ∴AD=DB 又∵ DE=CD ， ∴ 四边形 ACBE 是平行四边形。 又∵ ∠ ACB=90 0 ∴ 四边形 ACBE 是矩形， ∴CE=AB 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵CD 是斜边 AB 上的中线， ∴CD= AB 1 2 C B A D 几何语言： C B A D 一边上的中线 等于 这条边的一半 的三角形是 直角 三角形 几何语言： 在 Δ ABC 中， CD 是边 AB 上的中线， 且 ∴ Δ ABC 是直角三角形 小结： 1 、证明一条线段是另一条线段的 或 2 倍 ，常用的定理： “ 三角形的中位线定理 ”和“ 直角 三角形的斜边上的 中线 等于斜边的 一半 ” 2 、 添辅助线的方法： 延长短的使它等于原来的，再证相等；或在长的上截取一段使它等于短，再证中点。 求证：在直角三角形中， 30 0 角所对的直角边 等于斜边的一半。 已知：在 Rt Δ ABC 中，∠ ACB= 90 0 , ∠A= 30°. A B C D 求证： BC= AB 性质 4 ：在直角三角形中， 30 0 角所对的直角边等于斜边的一半。 在直角三角形中，等于斜边一半的直角边所对的角等于30° A B C 求证：∠A= 30° D 已知：在RtΔABC中，∠ACB=90°, BC = AB 2 、如图，在 A 岛周围 20 海里的水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点 O 处时，发现 A 岛在北偏东 60 0 的方向，且与轮船相距 海里 。该船如果不改变航向，有触暗礁的危险吗？ 3、如图是某商店营业大厅 自动 扶梯的示意图， 自动 扶梯AB的倾斜角为30 °， 大厅两层之间的距离BC为6米，你能算出 自动 扶梯AB的长吗？ A C B 30 0 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC = ∠ADC=90 ° ，M是AC的中点，N是BD的中点。试判断MN与BD的位置关系，并加以证明。 3、如图，小明在汽车上看见前面山上有个气象站，仰角为15 ° ，当汽车又笔直地向山的方向行驶4千米后，小明看气象站的仰角为30 ° 。你能算出这个气象站离地面的高度吗？ 第 24 章 解直角三角形 24.3 锐角三角函数 直角三角形 ABC 可以简记为 Rt△ABC ， 你能说出各条边的名称吗？ ┓ C 斜边 c 邻边 对边 a b C ┓ A B 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30° ，高为 7m ，扶梯的长度是多少 ? B A C ┓ 30° 7m 实际问题 在上面的问题中，如果高为 10m ，扶梯的长度是多少？ 在等腰直角三角形 ABC 中，∠ C=90 ° ，计算∠ A 的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？ A B C ┓ 在 Rt△ABC 中 , ∠C ＝ 90° ． 当∠ A ＝ 30° 时 , 当∠ A ＝ 45° 时 , 固定值 固定值 归纳 在直角三角形中，对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是唯一确定的吗？ 想一想 所以 　　 ＝ ＝ Rt△AB 1 C 1 ∽Rt△AB 2 C 2 ∽Rt△AB 3 C 3 所以，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠ A 的对边与斜边的比都是一个固定值． 观察右图中的 Rt△AB 1 C 1 ， Rt△AB 2 C 2 和 Rt△AB 3 C 3 ，∠ A 的对边与斜边有什么关系？ 在 Rt△ABC 中， ∠ C=90 ° ，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的 正弦 ，记作 sinA ，即 一个角的正弦表示 定值 、 比值 、 正值 ． 知识要点 正弦 在直角三角形中， 对于锐角 A 的每一个确定的值，其邻边与斜边、对边与邻边的比值也是唯一确定的吗？ 想一想 在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠ A 的对边与斜边的比、 ∠ A 的邻边与斜边的比、 ∠ A 的对边与邻边的比都是一个固定值． 归纳 在 Rt△ABC 中， ∠ C=90 ° ，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的 余弦 ，记作 cosA ，即 一个角的余弦表示 定值 、 比值 、 正值 ． 知识要点 余弦 在 Rt△ABC 中， ∠ C=90 ° ，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的 正切 ，记作 tanA ，即 一个角的余切表示 定值、比值、正值． 知识要点 正切 锐角三角函数 锐角 A 的正弦、余弦、正切叫做∠ A 的 锐角三角函数 （ trigonometric function of acute angle ） 知识要点 1 ． sinA ， cosA ， tanA 是在 直角三角形 中定义的，∠ A 是 锐角 ( 注意 数形结合 ，构造直角三角形 ) ． 2 ． sinA ， cosA ， tanA 是一个 比值 （ 数值 ）． 3 ． sinA ， cosA ， tanA 的大小只与 ∠ A 的大小 有关，而与 直角三角形的边长 无关． 提示 1 、如图 1 ，在 Rt△ MNP 中，∠ N ＝ 90 ゜ .∠ P 的对边是 _________,∠ P 的邻边是 ___________;∠ M 的对边是 ________,∠ M 的邻边是 ___________; 2 、设 Rt△ ABC ， ∠ C ＝ 90 ゜ ，∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的对边分别为 a ， b ， c， 根据下列所给条件求∠ B 的三个三角函数值： a =5， c= 13. 小练习 在 直角 三角形中共有 五 个元素 ：边 a , b , c , 锐角∠ A ,∠ B . 这五个元素之间有如下等量关系： A B C c a b (1)三边之的间关系： a 2 + b 2 = c 2 ( 勾股定理 ) (2)锐角之间的关系： ∠ A +∠ B =90° (3)边角之间的关系 ： 第 24 章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 本节课研究的问题是： 如何 将实际问题转化为解直角三角形的问题？实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系解直角三角形 . 解直角三角形的依据是什么？ （ 1 ）三边之间的关系：勾股定理 （ 2 ）锐角之间的关系：两个锐角互余 （ 3 ）边角之间的关系：三角函数 引入 —— 什么是仰角、俯角？如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？ —— 什么是坡度、坡比？ —— 如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？ 进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角 . 修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 ( 或坡比 ) ，记作 i ，即 坡度通常写成1:m的形式，如 i ＝1:6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡． ＝ tan α ． 1 、学生探究：在 RtΔ ABC 中，若 ∠ C =90° ， 问题 1 ：两锐角 ∠A ， ∠B 有什么关系？ 问题 2 ：三边 a ， b ， c 的关系如何？ 问题 3 ： ∠A 与边的关系是什么？ 2 、数学知识、数学运用 解直角三角形有下面两种情况： （ 1 ）已知两条边求直角三角形中的其他元素； （ 2 ）已知一边及一角求直角三角形中的其 他 元素 . 例 1 如图，一 棵大树在一次强烈的地震中于离地面 5 米处折断倒下，树顶落在离树根 12 米处，大树在折断之前高多少？ 解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为 13+5=18 （米） 答：大树在折断之前高为 18 米 . 5m 12m 例2 如图，在相距2 000米的 东、西两座炮台A，B处 同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东400的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米） A D C B 40 0 2000 例 3 如图，为了测量旗杆的高度 BC ，在离旗杆底部 10 米的 A 处，用高 1.50 米的测角仪 DA 侧得旗杆顶端 C 的仰角 α =52° . 求旗杆 BC 的高 . 解：在 Rt△ CDE 中， CE = DE ×tan α = AB ×tan α =10×tan 52°≈ 12.80 （米） . BC = BE + CE = DA + CE ≈1.50+12.80=14.3（ 米 ） . . 答：旗杆BC的高度约为14.3米. (1) 如图，一辆消防车的梯子长为 18m ，与水平面间 的夹角为 60° ，如果 这辆消防车的高度为 2m ，求梯子可达到的高度． (2) 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为 100 米，山高为 100 米，如果这辆坦克能够爬 30° 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？ A C 100 米 100 米 B 2. （ 1 ）某货船沿正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 C 在北偏西 30° ，船以每小时 20 海里的速度航行 2 小时，到达点 B 后，测得灯塔 C 在北偏西 60° ，请问：当这艘货船到达 C 的正东方向时，船距灯塔 C 有多远？ （ 2 ）如图，某电信部门计划修建一条连接 B ， C 两地的电缆，测量人员．在山脚 A 点测得 B ， C 两地的仰角分别为 30° ， 45° ，在 B 地测得 C 地的仰角为 60° ．已知 C 地比 A 地高 200 米，电缆 BC 至少长多少米？ 3.(1) 植树节，某班同学决定去坡度为 1 ︰ 2 的山坡上种树，若株距（相邻两树间的水平距离）是 6m ，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 . （ 2 ）若某人沿着坡角为 45 ° 的斜坡走了 310 m ，则此人的垂直高度增加了 ________m . 小结 解直角三角形有下面两种情况： (1) 已知两条边求直角三角形中的其他元素； (2) 已知一边及一角求直角三角形中的其 他 元素。 (3) 理解仰角、俯角的定义，能将实际问题转化为解直角三角形的问题。 (4) 知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题。