第
21
章
二次根式
21.1
二次根式
21.1
二
次根式
正数的正的平方根叫作它的算术平方根。
0的算术平方根平方根是0。用
(
a
≥0)
表示。
⑴
什么叫作一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于
a
，则这个数叫作
a
的平方根。
a
的平方根是± 。
课前复习
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示
？
正数有两个平方根且互为相反数；
0
有一个平方根就是
0
；
负数没有平方根。
平方根的性质：
本课学习目标：
（
1
）二次根式的概念
（
2
）根号内字母的取值范围
（
3
）二次根式的性质
请你凭着自己已有的知识
,
说说对二次根式 的认识！
2.
a
可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号 .
4.
a
≥0, ≥0 .
5.既可表示开方运算,
又
可表示运算的结果.
1.
表示
a
的算术平方根
(
双重非负性
)
例：求下列二次根式中字母的取值范围：
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①
被开方数不小于
0
；
②
分母中含有字母时，要保证分母不为
0
。
探究
2
一般地，
（
a
≥0
）
归纳
计算：
解：
解：
一般地，根据算术平方根的意义
化简：
解：
2.
从取值范围来看：
a
≥0
a
取任何实数
1:
从运算顺序来看：
先开方
,
后平方
先平方
,
后开方
3.
从运算结果来看
:
=
a
a
(
a
≥
0)
-
a
(
a
≤
0)
=
=∣
a
∣
第
21
章
二次根式
21.2
二次根式的乘除
21.2
二次根式的乘除
复习导入
计算
计算
=
=
=
二次根式的乘法法则
:
两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘.
问
:
从上面的计算你发现了什么规律？如何用
a
，
b
表示？成立的条件是什么
?
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
例
：计算
试一试：请根据算术平方根填空：
猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出 的结论是什么？说说你的理由。
积的算术平方根
积的算术平方根
:
积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。
利用这个性质可以进行二次根式的化简
77
72
13
练一练
（
1
）乘法法则：
（
2
）乘法法则的逆用：
归纳小结
=
=
=
二次根式的除法
二次根式的除法法则
:
两个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商，作为商的被开方数；
计算：
解
：
这里，二次根式 的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质先将分母“配”成
完全平方
，再“
开方
”出来。
二次根式化简后
,
被开方数不含分母
,
并且被开方数中所有因式的幂的指数小于
2,
像这样的二次根式称为
最简二次根式
.
二次根式的化简要求满足以下两条
:
1.
被开方数的因数是整数
,
因式是整式
,
也就是
说
“被开方数不含分母”
.
2.
被开方数中不含能开得尽的因数或因式
,
也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于
2”.
1.
把下列各式分母有理化：
寻找分母的有理化因式，应找最简单的有理化因式，也可灵活运用我们学过的性质和法则，简化、优化解答过程。
2.
验证下列各式，猜想下一个式子是什么？你能找到反映上述各式的规律吗？
小结
第
21
章
二次根式
21.3
二次根式的加减
计算下列各式：
问题：
1.
什么是同类项？
2.
同类项怎样合并？
复习导入
下列根式，哪些是最简二次根式？
×
√
√
√
1.
被开方数中不含分母；
2.
被开方数中不含开得尽方的因数或因式
.
（
a
≥0
，
b
≥0
）
（
a
≥0
，
b
＞
0
）
二次根式在什么条件下可以合并？
议一议
进入新课
如图，学校要砌一个正方形花坛，已知外边正方形
的
边长为
cm
，里边正方形的边长为
cm,
两个正方形的周长和为多少？
两个正方形的周长和为
若两个正方形的面积分别为
27cm
2
, 12cm
2
，则两个正方形的周长和为多少？
两个正方形的周长和为
以下是什么运算？如何计算？
二次根式的加法
.
如何
计算
呢？
分析：
类似
8
a
+4
a
=12
a
，我们可以根据乘法分配律的逆用来进行运算。
解：
计算
:
有什么发现？
知识梳理
二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。
注意：同类二次根式的合并，实质是对同类二次根式的系数进行合并。
即：同类二次根式
例
1
计算
:
解：
二次根式加减运算的步骤
:
(1)
把各个二次根式化成最简二次根式
;
(2)
把同类二次根式合并
.
注意:被开方数不相同的二次根式
(如 与 )不能合并
计算
:
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
⑵
⑶
⑷
（
不正确
）
（
不正确
）
（
不正确
）
（
正确
）
慧眼识真
=
别漏了“
1”
.
化简
下列解答是否正确？为什么？
错在没有按照二次根式加减混算从左向右依次进行的运算顺序计算
。
运算不完整，能合并的没有合并。
观察下面两个题目的计算过程
整式中的运算律也适用于二次根式
二次根式的混合运算
计算
想一想：还有其他方法吗？
1.
同类二次根式的概念及判断
2.
二次根式的加减法
3.
二次根式的混合运算顺序及运算律的运用
课堂小结
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