华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形

第 13 章 全等三角形 13.1 命题、定理与证明（课时 1 ） 13.1.1 命题 探 究 新 知 活动 1 　知识准备 √ √ × √ × 活动 2 　教材导学 错误 线段 正确 相等 正确 相等 (4)“ 如果两个角相等，那么这两个角都是直角”是对相等的两个角是什么样的角 ( 即角的类别、属性 ) 作出判断，判断结果是这两个角都是 ____ ，这个判断 是 ___ ( 填“正确”或“错误” ) 的； (5)“ 宇宙中有外星人”是对宇宙中有没有外星人作出判断，判断结果是 ____ ，这个判断你认为是正确的还是错误的？ 你 认为对一件事情的判断正确与否会出现几种情况？ ◆知识链接 ——[ 新知梳理 ] 知识点一 直角 错误 有 [ 答案 ] 无法确定 13.1.1 命题 2 ．命题的结构 把下列命题改写为“如果 …… ，那么 ……” 的形式，并判断真假性．然后想一想它们分别是对什么样的事项作出什么样的判断？ (1) 两直线平行，内错角相等 ．如果 ，那么 ．是 ____ 命题 ． 两条直线平行 真 内错角相等 (2) 两个锐角的和是直角．如果 ，那么 ．是 __ __ 命题． (3) 有一个角是锐角的三角形是锐角三角形．如果 ，那么 ．是 ____ 命题． 你认为任何一个命题都是由哪部分组成的？ ◆知识链接 ——[ 新知梳理 ] 知识点二 两个角都是锐角 它们的和是直角 假 三角形有一个角是锐角 这 个三角形是锐角三 角形 假 新 知 梳 理 ►　知识点一　命题 表示判断的语句叫做 ．如果条件成立，那么结论一定成立．像这样的命题．称为 ．条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立．像这样的命题，称为 ． 命题 真命题 假命题 ►　知识点二　命题的结构 (1) 命题由 ___ _ 和 __ _ 两 部分组成．条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项． (2) 命题可以写成“如果 …… ，那么 ……” 的形式，用“如果”开始的部分就是条件，而用“那么”开始的部分就是结论． 条件 结论 ►　知识点三　命题的真假 要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，一般采用“举反例”的方法． 重难互动探究 13.1.1 命题 探究问题一　命题的概念 例 1 [ 课本例 1 变式题 ] 把下列命题写成“如果 …… ，那么 ……” 的形式，并指出其条件和结论． (1) 等角的余角相等； (2) 小于直角的角是锐角； (3) 两点确定一条直线． 13.1.1 命题 13.1.1 命题 13.1.1 命题 13.1.1 命题 13.1.1 命题 探究问题二　判断命题的真与假 第 13 章 全等三角形 13.1 命题、定理与证明（课时 2 ） 13.1.2 定理与证明 探 究 新 知 活动 1 　知识准备 A 直角的补角仍是直角 两个角都是直角 这两个角相等 假 13.1.2 定理与证明 活动 2 　教材导学 13.1.2 定理与证明 三角形内角和定理 两直线平行，内错角相等 13.1.2 定理与证明 13.1.2 定理与证明 ∠2 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 两直线平行，同位角相等 对顶角相等 等量代换 ∠ 1 新 知 梳 理 13.1.2 定理与证明 ►　知识点一　定理 数 学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． ►　知识点二　证明 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明． 重难互动探究 13.1.2 定理与证明 探究问题一　证明几何命题 13.1.2 定理与证明 13.1.2 定理与证明 探究问题二　证明文字叙述的真命题 13.1.2 定理与证明 第 13 章 全等三角形 13.1 命题、定理与证明（课时 3 ） 试判断下列句子是否正确． （ 1 ）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； ( ) （ 2 ）两直线平行，同位角相等； ( ) （ 3 ）同旁内角相等，两直线平行 ； ( ) （ 4 ）相等的角是对顶角 ； ( ) （ 5 ）直角都 相等 ( ) （ 6 ）三 角形的内角和等于 180 °. ( ) （ 7 ）等 腰三角形的两个底角相等 . ( ) × × √ √ √ √ √ 像 上面可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题 . 什么叫做命题 : 真命题 : 正确的命题称为真命题 . 假 命题 : 错误的命题称为假命题． 命题的分类 : 点拨提示 1 、错误的命题也是命题。 如：“ 3〈 2” 是一个命题 2 、命题必须是对某种事情作出判断，如问句，几何的作法等就不是命题。 2 ）两条直线相交，有且只有一个交 点 . （ ） 4 ）一个平角的度数是 180 度 . （ ） 6 ）取线段 AB 的中点 C. （ ） 1 ）长度相等的两条线段是相等的线段吗 ？（ ） 7 ）画两条相等的线 段 . （ ） 判断下列语句是不是命题？是用“√”， 不是用“ × 表示。 3 ）不相等的两个角不是对顶 角 . （ ） 5 ）相等的两个角是对顶 角 . （ ） × √ × × √ √ √ 例 1 ：把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成： “如果 …… ，那么 …… ”的形式，并分别指出命题的题设和结论。 解：这个命题可以改写成：“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 .” 这里的题设是“在一个三角形中有两个角相等” , 结论是“这两个角所对的边也相等” . 再看课本例 1. 方法总结 添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。 学生讨论 : 在“同位角相等”这个命题中 , 题设是什么 ? 结论是什么 ? 请把它改写成“如果 …… 那么 ……” 的形式 , 并判断其真假 . 练习 : 把“对顶角相等”这个命题改写成“如果 …… 那么 ……” 的形式 . 题设 : 两个角是同位角 , 结论 : 这两个角相等 如果两个角是同位角 , 那么这两个角相等 . 如果两个角是对顶角 , 那么这两个角相等 . × 课本练习 1. 把下列命题改写“如果 …… 那么 ……” 的形式 , 并指出它的题设和结论。 (1) 全等三角形的对应边相等 . 如果两个三角形全等 , 那么它们的对应边分别对应相等 . (2) 平行四边形的对边相等 . 如果四边形是平行四边形 , 那么它们的对边分别相等 . 要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”．例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例“某一锐角与某一钝角的和不是 180°” 即可． 练习：判断下列命题是 真命题 还是 假命题 ，若是 假命题 则举一个反例加以说明 . (1) 一个钝角、一个锐角的和必为一个平角； （ 2 ）两直线被第三条直线所截，同位角相等； （ 3 ）两个锐角的和等于直角 . 假， 92°+ 30° ≠ 180 ° 假，只有两条直线平行时才 对 假 . 30° + 50° ＝ 80° ≠ 90° 二、基本事实、定理 基 本事实 ： 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实 . 例如下列的真命题作为基本事实： １ 、一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 2 、两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等 ，那么这两条直线平行； 3 、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 定理 ：数学中有些命题可以从基本事实或其他真命题出发， 用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。 例如： 三角形的内角和等于 180° 可以证明得到： 直角三角形的两个锐角互余。 真命题分类： 基本事实：是人们实践活动中总结出来的 定理：是通过证明得到的 如何证明 ？ 又如 :“ 内错角相等 , 两直线平行”这条定理就是在“同位角相等 , 两直线平行”这条基本事实的基础上推理而出的 , 它又可以作为判定平行线的依据 . 基本事实、定理、命题的关系： 命题 真命题 假命题 基本事实（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实） 课堂总结 命题 是对某一事件的判断 , 每个命题都由 题设、结论 两部分组成 , 题设 是已知事项 , 结论 是由已知事项推出的事项 . 理解一个命题 , 首先要分清它的题设和结论 . 命题有真假之分 , 正确的命题叫做真命题 , 错误的命题叫做假命题 . 基本事实和定理都是真命题 , 但它们的来历却不同 , 前者来源于实践 , 后者通过推理论证得来的 . 第 13 章 全等三角形 13.2 三角形全等的判定 温故知新 A B C D E F △ ABC ≌△ DEF AB = DE BC = EF CA = FD ∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F 知识回顾： 判断三角形 全等的方法： 1. 定义（重合）法； 2.SSS ； 3.ASA ； 4.SAS; 5.AAS. 1. 如图 , AB=EF,AC=DE, 问 △ ABC≌△EFD 吗 ？为什么？ A B C 40 ° D 40 ° E F 答 :△ABC≌△EFD 基础练习（填空题） 证明:在△ABC和△EFD 中, AB= ___ ∠A= __ _ ___ ___ ∴ △ABC≌△EFD( ） EF ∠E AC=DE SAS A B C D O 2. 如图 AC 与 BD 相交于点 O ，已 知 OA=OC ， OB=OD. 求 证 :△AOB≌△COD 证明 : 在 △AOB 和 △COD 中 , OA=OC ______________ OB=OD ∠AOB=∠COD ∴ △AOB≌△COD ( ) 填空 SAS 已知：如图， AB=CB ， ∠1=∠2 △ABD 和 △CBD 全等吗？ 例 1 A B C D 1 2 变式 1: 已知：如图 ,AB=CB,∠1= ∠2 . 求证 :(1) AD=CD ;( 2)BD 平分 ∠ ADC. A D B C 1 2 4 3 A B C D 变式 2: 已知 :AD=CD ， BD 平分 ∠ ADC. 求证 :∠A=∠ C. 1 2 归纳： 证明两条线段相等或两个角相等可以通过证明它们所在的两个三角形全等而得到 。 例 2 如图， AC=BD ， ∠1= ∠ 2. 求 证 : BC=AD. 变式 1 : 如图， AC=BD,BC=AD. 求证 :∠1= ∠ 2. A B C D 1 2 A B C D 1 2 巩固练习 1. 如图，点 E ， F 在 BC 上， BE=CF ， AB=DC ， ∠ B=∠ C. 求证： ∠ A=∠ D. E C D B F A 巩固练习 2. 如图，点 E ， F 在 BC 上 , ∠A=∠ D ， AB=DC ， ∠ B=∠ C 求证： BE=CF. E C D B F A 三角形全等的条件 例 3 ：已知，如图， D 在 AB 上， E 在 AC 上， AB=AC ， ∠B=∠C ，求证： AD=AE 证明：在 △ACD 和 △ABE 中， ∠ A=∠ A, AC=AB ,∠ C= ∠ B, ∴ △ACD≌ △ABE （ ASA ） ∴ AD=AE. 三角形全等的条件 例 3 变式 ： 已 知，如图， D 在 AB 上， E 在 AC 上， AB=AC ， ∠B=∠C ，求证： BD=CE 证明：在 △ACD 和 △ABE 中， ∠ A=∠ A,AC=AB ,∠ C= ∠ B, ∴ △ACD≌ △ABE （ ASA ） . ∴ AE=AD. ∴ AB-AD=AC-AE, 即 BD=CE. 三角形全等的条件 应用练习 1 、如图， AB⊥BC ， AD⊥DC ， ∠1=∠2 ，求证： AB=AD. 证明： ∵AB⊥BC ， AD⊥DC （已知） ∴ ∠B=∠D=90 0 在 ⊿ABC 和 ⊿ADC 中 , ∠ 1=∠2 ,∠ B=∠ D,AC=AC （公共边 ） , ∴⊿ABC≌⊿ADC （ AAS ） ∴ AB=AD 三角形全等的条件 应用练习 2 、如图，已知： AB∥CD ， AB=CD ，点 B 、 E 、 F 、 D 在同一直线上， ∠A=∠C ，求证： AE=CF. 证明： ∵ AB∥CD （已知 ） , ∴ ∠B=∠D （两直线平行，内错角相等 ） . 在 ⊿ABE 和 ⊿CDF 中 , ∠ B=∠D （已证） AB=CD （已知） ∠A=∠C （已知） ∴⊿ABE≌⊿CDF （ ASA ） , ∴ AB=AD. 3. 已知：如图，在 △ABC 中， AB=AC,AD 平分 ∠BAC. 求证： △ ABD≌ △ACD. B D C A 1 2 证明： ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴ ∠1= ∠2. 在 △ABD 与 △ACD 中 , AB=AC , ∠1=∠2, AD=AD ∴ △ABD≌ △ACD(SAS). ( 对顶角相等 ) 例 3 如 图 ,O 是 AB 的中点， ∠A=∠B,△AOC 与 △BOD 全等吗 ? 为什么？ O A B C D △ BOD ∴ △ AOC ≌ ( 已知 ) ( 中点的定义 ) 解： 在 中 三角形全等的条件 能力提高练习 如图：已知 △ABC≌△A 1 B 1 C 1 ， AD 、 A 1 D 1 分别是 ∠BAC 和 ∠B 1 A 1 C 1 的角平分线 . 求证： AD= A 1 D 1. 证明： ∵ △ABC≌△A 1 B 1 C 1 ∴AB=A 1 B 1 ， ∠B=∠B 1 ， ∠ BAC=∠ B 1 A 1 C 1 （ 全等三角形的性质） 又 ∵ AD 、 A 1 D 1 分别是 ∠BAC 和 ∠B 1 A 1 C 1 的角平分 线， ∴∠BAD=∠B 1 A 1 C 1. 在 ⊿BAD 和 ⊿B 1 A 1 D 1 中， ∠B=∠B 1 AB=A 1 B 1 ∠BAD=∠B 1 A 1 C 1 ∴ ⊿BAD≌⊿B 1 A 1 D 1 （ ASA ）， ∴ AD= A 1 D 1. 三角形全等的条件 (1) 必须有三个元素对应相等 ; (2) 至少有一条边相等 . 全等的有 : SSS,SAS,ASA,AAS. 不全等的有 : AAA,SSA. 第 13 章 全等三角形 13.3 等腰三角形 一、复习 1 、什么叫 轴对称图形 和 轴对称 ？ 答 ：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图形 。这条直线叫做对称轴。 2 、轴对称与轴对称图形的联系和区别是什么？ 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成 轴对称 。这条直线就是对称轴。 二、复习 1 、角是轴对称图形吗？对称轴是什么？性质有哪些？ 答 ：是，对称轴是角平分线所在的直线 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2 、线段是轴对称图形吗？对称轴是什么？性质有哪些呢？ 答：是，对称轴是它的垂直平分线，线段的垂直平分线到线段的两个端点的距离相等。 做一做 现在请同学们将刚才所发的等腰三角形对折， 使两腰 AB 、 AC 重叠在一起，折痕为 AD ， 你能发现什么现象呢？ D A B C ·→ 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 “ 三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高 为什么不一样 ? １ . 等腰三角形是 轴对称图形 ２ . 等腰三角形两个底角相等，简写成“ 等边对等角 ” ３ . 等腰三角形的 顶角平分线 、底边上的 中线 、底边上的 高 互相重合 . 简称“ 三线合一 ” 等腰三角形的三个性质 “ 三线合一”是对等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高而言的 “ 等边对等角”必须在同一个等腰三角形中才成立 例 1 已知：在△ ABC 中， AB=AC ， ∠ B= 80 。 求 ∠ C 和 ∠ A 的度数． 解 : （已知） （等边对等角） （三角形内角和等于　　） 例 2 如图，在 △ ABC 中， AB=AC ， D 是 BC 边上的中点 ，∠ B= 30 。 . 求 ∠ １和 ∠ ADC 的度数． 解 : ∵ AB=AC ， D 是 BC 边上的中点 ∠ADC ＝ 90 ° ∵ ∠BAC= 180 ° - 30 ° - 30 ° = 120° （三线合一） 小结 本节课你学到了什么 ? 1 、等腰三角形的定义以及相关概念。 2 、等腰三角形的性质： （ 2 ）等腰三角形底边上的中线 , 底边上的 高和 顶角平分线互相重合（简称“三线合一”） （ 1 ）等腰三角形的两底角相等（简写“等边对等角”） 与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法 . A C B D ● ● E ●● ●● A C B M N A C B P Q 下 列 各说法对吗 ？为什么？ 1 、等腰三角形两底角的平分线相等 . 2 、等腰三角形两腰上的中线相等 . 3 、等腰三角形两腰上的高相等 . 思考 一、等腰三角形性质定理： 1 、将命题“ 等边对等角 ”写成“如果 … 那么 …” 的形式，并写出它的题设与结论。 如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等 2 、说出上述命题的逆命题，它是真命题还是假命题？ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 简称为“等角对等边” 第 13 章 全等三角形 13.4 尺规作图 基本作图 在几何里 , 把限定用直尺和圆规来画图 , 称为 尺规作图 . 最基本 , 最常用的尺规作图 , 通常称 基本作图 . 其中 , 直尺是 没有 刻度的 ; 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的 . 下面介绍两种基本作图 : 1 、 作一条线段等于已知线段 　　 利用直尺和圆规可以作出很多几何图形，你想知道我们是如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的吗？ 已知： 线段 AB ． 求作： 线段 A’ B’ ， 使 A’ B’ ＝ AB ． A B 作法与示范： (1) 作射线 A ’ C ’ ； A ’ C ’ (2) 以点 A’ 为圆心， 以 AB 的长为半径 画弧， 交射线 A’ C’ 于点 B’ ， B’ A ’ A’B’ 就是所求作的线段。 示 范 作 法 已知： ∠ AOB 。 B O A 求作： ∠ A ’ O ’ B ’ 使 ∠ A ’ O ’ B ’ =∠ AOB 。 O ’ A ’ (2) 以点 O 为圆心， 任意长为半径 交 O A 于点 C ， (3) 以点 O ’ 为圆心， 画弧， C D 同样 ( OC ) 长为半径 画弧， C ’ (4) 以点 C ’ 为圆心， CD 长为半径 画弧， D ’ (5) 过点 D ’ 作射线 O ’ B ’. B ’ A ’ O ’ B ’ ∠ A ’ O ’ B ’ 就是所求的角 . 作 法 示 范 (1) 作射线 O ’ A ’ ; 交 O B 于点 D ; 交 O ’ A ’ 于点 C ’ ; 交前面的弧于点 D ’ ， （ 2 ）作一个角等于已知角 你 能画出红球在第一次反弹后的运动路线吗？ 用一用 数学小知识 打台球时，球的 反射角 总是等于 入射角 . 入射角 反射角 O 1 、 已知： ∠ AOB 。 利用尺规作： ∠ A ’ O ’ B ’ 使 ∠ A ’ O ’ B ’ = 2 ∠ AOB . B O A 独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。 作法一 : C A ’ B ’ ∠ A ’ O ’ B ’ 为所求 . B O A 作法二 : C D C ’ E B ’ O ’ A ∠ A ’ O ’ B ’ 为所求 . 已知 ， 求作∠ ABC ， 使∠ ABC ＝ ＋ 尺规作图： b a 独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。 本节课你学到了什么 ? 画一个角等于已知角； 画一条线段等于已知线段。 画 角、线段的倍数、和、差。 画法的语言： （ 1 ）画射线 ×× （ 2 ）以 × 点为圆心，以 ×× 长为半径画弧，交于点 × 　 （ 3 ）∠ × 就是所求的角 还要注意 ： 1. 过点 x 、点 x 作直线；或作直线 xx ，射线 xx. 2. 连结两点 x 、 x ；或连结 xx; 3. 在 xx 上截取 xx=xx; 4. 以点 x 为圆心， xx 为半径作圆（弧）； ( 交 xx 于 x 点； ) 5. 分别以点 x ，点 x 为圆心，以 xx 为半径作弧，两弧相交于 x 点 . 第 13 章 全等三角形 13.5 逆命题与逆定理（课时 1 ） 13.5.1 互逆命题与互逆定理 探 究 新 知 活动 1 　知识准备 等腰三角形 两 底角相等 活动 2 　教材导学 13.5.1 互逆命题与互逆定理 真 真 一个三角形的两边相等 这两边所对的角相等 一个三角形的两边相等 这两边所对的角相等 等角对等边 13.5.1 互逆命题与互逆定理 内错角相等，两直线平行 新 知 梳 理 ►　知识点一　互逆命题 13.5.1 互逆命题与互逆定理 逆命题 条件 结论 结论 条件 互逆命题 ►　知识点二　互逆定理 13.5.1 互逆命题与互逆定理 逆定理 逆命题 定理 互逆定理 重难互动探究 探究问题一　命题与逆命题 13.5.1 互逆命题与互逆定理 13.5.1 互逆命题与互逆定理 13.5.1 互逆命题与互逆定理 探究问题二　逆定理 13.5.1 互逆命题与互逆定理 第 13 章 全等三角形 13.5 逆命题与逆定理（课时 2 ） 13.5.2 线段垂直平分线 探 究 新 知 活动 1 　知识准备 40° 4 cm 活动 2 　教材导学 13.5.2 线段垂直平分线 线段的垂直平分线 中心对称 13.5.2 线段垂直平分线 相等 S.A.S. PAO 13.5.2 线段垂直平分线 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 MN 新 知 梳 理 ►　知识点一　线段垂直平分线的性质定理 13.5.2 线段垂直平分线 距离相等 ►　知识点二　线段垂直平分线的性质定理的逆定理 垂直平分线 距离相等 13.5.2 线段垂直平分线 ►　知识点三　三角形三边的垂直平分线交于一点，且到三个顶点的距离相等 重难互动探究 探究问题一　线段垂直平分线的性质定理的应用 13.5.2 线段垂直平分线 13.5.2 线段垂直平分线 13.5.2 线段垂直平分线 探究问题二　线段垂直平分线的判定定理的应用 13.5.2 线段垂直平分线 13.5.2 线段垂直平分线 13.5.2 线段垂直平分线 13.5.2 线段垂直平分线 第 13 章 全等三角形 13.5 逆命题与逆定理（课时 3 ） 13.5.3 角平分线 探 究 新 知 活动 1 　知识准备 A 活动 2 　教材导学 13.5.3 角平分线 线段的垂直平分线 △ AOP A.A.S. PA ⊥ OA PB ⊥ OB 13.5.3 角平分线 PA ＝ PB 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 新 知 梳 理 ►　知识点一　角平分线的性质定理 13.5.3 角平分线 ►　知识点二　线段垂直平分线的性质定理的逆定理 距离相等 13.5.3 角平分线 ►　知识点三　三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 重难互动探究 探究问题一　角平分线的性质定理的应用 13.5.3 角平分线 13.5.3 角平分线 探究问题二　角平分线的判定定理的应用 13.5.3 角平分线 13.5.3 角平分线 13.5.3 角平分线 探究问题三　角平分线的应用 13.5.3 角平分线 13.5.3 角平分线 13.5.3 角平分线 13.5.3 角平分线