华东师大版八年级数学上册第11章数的开方

第 11 章 数的开方 11.1 平方根与立方根 ( 课时 1) 新知概念 如果一个数 x 的 平方 等于 a , 那么这个数 x 叫做 a 的 平方根 . 也就是说 , 当 x 2 = a ( a ≥0 ) 时 , 称 x 是 a 的平方根 . 下列各数的平方根会是怎样的 ? ⑴ 121 ⑵ 36 ⑶ (-4) 2 ⑷ 0 ⑸ -25 无 平方根的情况 : ⑴一个正数的平方根有两个 , 它们互 为 相反数； ⑵ 0 的平方根只有一个 , 就是它 本身； 想一想 ⑶负数没有 平方根 . ± 11 ± 6 ± 4 0 平方根的表示 方法： 是 的简写 根指数 被开方数 如9的平方根表示为 a 的平方根记为 例 1 求下列各数的平方根 : ⑴ 100 ； ⑵ 0.49 ； ⑶ 1.69 ； ⑷ ； ⑸ ； ⑹ 23 2 ； 例 2 口答下列各数的平方根 : ⑴ 49 ； ⑵ 1 600 ； ⑶ 196 ； ⑷ 36 49 ⑸ 64 25 ⑹ 5 1 16 ⑺ 0 ； ⑻ 0.09 ； ⑼ 1.44 ； ⑽ 0.81 ； ⑾ 0.012 1 ； ⑿ 1.69 ； ； ； ； 知识点归纳： （ 1 ）平方根的意义：如果一个数的平方等于 a ， 这 个数 就叫做 a 的平方根 . a 的 平方根记作： （ 2 ） 求 一个数 a 的平方根的运算叫做 开平方 . （ 3 ）平方和开平方互为逆运算 . 辨一辨 下列叙述正确的打“ √ ” ，错误的打“ × ” ： ⑴ 16 的平方根是 ± 4 ； ( ) √ ⑵ ±7 是 49 的平方根 ； ( ) √ ⑶ 112 的平方根是 11 ； ( ) × ⑷ -9 是 81 的 平方根 . ( ) √ ⑸ 52 的平方根是 ±25 ； ( ) ⑹ -9 的平方根 是 -3 ； ( ) ⑺ 0 的平方根是 0 ； ( ) ⑻ 平方根 为 - 2 的数 是 -4 ； ( ) ⑼ 只有一个平方根的数是 0 ； ( ) × × √ × √ 例 3 1. 下列表述正确的是 ( ) A. 9 的平方根是 - 3 B. - 7 是 - 49 的平方根 C. -15 是 225 的平方 根 D. (- 4)² 的 平方根是 -4 2. 下列各数中没有平方根的是 ( ) ( - 10) 2 B.0 C. - 6 D. - ( - 5) 2 C D 思考： 2的平方根是多少 8的平方根是多少 86的平方根是多少 思维拓展 求下列各式中的 x ： 1. x 2 =16 2.64 x 2 =25 3 .( x -1) 2 =9 x =±4 x 2 = 25 64 x =± 5 8 x -1=±3 x =4 或 x= -2 思维拓展 一个数的平方根是2 x +1和 x -7，求 x 和这个数 . 解： 2 x +1+ x -7= 0， 解得 x = 2 . 2 x +1= 5， x -7=- 5， 故这 个数为5 2 = 25 . 新知概念 正数 a 的 正 的平方根 叫做 a 的 算术 平方根 ， 记作： √a , 读作： 根号 a ，这样 a 的另一 个平方根就是 : -√a 　 　 注： 1. 被开方数应为非 负数 . 2. 也 称为 0 的算术平方根 . √0 = 0 例 4 1. 口答下列各式的 值： 例 5 计算下列各数的算术 平方根： （ 1 ） 2 ； （ 2 ） 529 ； （ 3 ） 1225. 回顾小结 算术平方根与 平方根： 算术平方根 是平方根 中的 正 的一个 值， 只有一个； 平方根 一般有 互为相反数的两个值。 算术平方根 只表示 为： ，而 平方根 需表示 为： 第 11 章 数的开方 11.1 平方根与立方根 ( 课时 2) 立方根 x 3 =2 x= 1 、平方根的 概念： 如果 x 2 = a ( a ≥0 ) , 就称 x 是 a 的平方根 . 通常记作： 　 知识回顾 2 、平方根的 情况： ⑴一个正数的平方根有两个 , 它们是互为相反数； ⑵ 0 的平方根只有一个 , 就是它本身； ⑶负数没有平方根 . 3 、类比 问题： 如果 x 3 = a , 就称 x 是 a 的立方根 , 也称三次方根 . 记 作： 　 新知概念 , 读作： 3 次 根号 a 。 如果一个数 x 的 立方 等于 a , 那么这个数 x 叫 做 a 的 立方根。 即：当 x 3 = a 时 , 称 x 是 a 的 立方根。 注： 1. 这里的 3 表示根指数。 2. 平方根是省写根指数的 , 但两次以上 的根 指数不能省写。 例 1 求下列各数的 立方根： ⑴ 64 ； ⑵ - 27 ； ⑶ ； ⑷ 0 ； ⑸ 3 ； ⑹ - 0.008. 立方根的情况 : ⑴ 正数 的立方根是 正数； ⑵ 0 的立方根是 0 本身； ⑶ 负数 的立方根是 负数 . 任何数都 有立方根 求一个数的立方根的运算叫做 开立方， 开立方和立方互为 逆运算； 求一个数的平方根的运算叫做 开平方， 开平方和平方互为 逆运算； 开平方和开立方统称 开方， 开方和乘方互为 逆运算 . 回顾小结 1 、平方根与 立方根： 2 、 区别： 记 作： 每个数都有立方根 , 且一个数只有一个立方根 , 而非负数才有平方根 , 且 0 的平方根是 0, 正数的平方是互为相反数的两个数。 如果 x 2 = a , 就称 x 是 a 的平方根 . 如果 x ³= a , 就称 x 是 a 的立方根 . 记 作： ( a ≥0 ) 第 11 章 数的开方 11.2 实数 做一做 在数学上已经证明，没有一个有理数的平 方等 于 2 ，也就是说， 不是一个有理数． 答 案 : 用计算器计算 ≈ 1.414 213 56 2 … 定义 无理数： 无限不循环小数叫做无理数（ irrational number ）． 实数： 有理数与无理数统称为实数（ Real numbers ）． 你能举几个无理数的例子吗 ? 类似地， ， 圆周率 π 等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数 . 不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数 . 实数的分类 : 实数 正有理数 有理数 无理数 负有理数 0 负无理数 正无理数 有限小数或无限循环小 数 无限不循环小数 实数 实数 有理数 无理数 整数 分数 无限不循环小数 正实数 0 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 有限小数 或 无 限循环 小数 你能在数轴上找到表示 的 点吗？ 试一试 = ？ 探究： 1 1 将两个边长为 1 的正方形剪拼成一个大正方形 . a =2 a= 0 1 -1 在数轴上找表示 的 点 概括 如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴将被填满吗 如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？ 总结：数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的一个点来表示。 即： 实数与数轴上的点一一对应 把数从有理数扩充到实数以后，有理数的 相反数和绝对值等的概念、大小比较、运算法则以及运算律， 同样适用于实数 . 例如： 和 互为相反数 . ∵ ∴绝对值等于 的数是　 和 一、判断以下题目： 1. 实数不是有理数就是无理数 . （ ） 2. 无理数都是无限不循环小数 . （ ） 3. 无理数都是无限小数 . （ ） 4. 带根号的数都是无理数 . （ ） 5. 无理数一定都带根号 . （ ） 6. 两个无理数之积不一定是无理数 . （ ） 7. 两个无理数之和一定是无理数 . （ ） 8. 数轴上的任何一点都可以表示实数 . （ ） × × × 练一练 例 1 、试估计 与 π 的大小关系 . 分析 ：用计算器求 得 而 这样，容易判断 练习 : 比较下列各组数中的两个实数的大小 : 实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行 . 例 2 、计算 : ( 结果精确到 0.01) 解 : 用计算器求得 : 于是 所以   数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示． 换句话说，实数与数轴上的点一一对应． 课堂小结