华东师大版七年级数学上册第4章图形的初步认识

第 4 章 图形的初步认识 4.1 生活中的立体图形 4.1 生活中的立体图形 1. 会识别几何体及几何图形； 2. 会画出常见的几何图形； 3. 正确理解点、线、面是构成几何图形的基本元素，正确理解点、线、面的关系 . 生活中你会经常看见很多实物，由下列实物能想象出 你熟悉的几何体吗？ （ 1 ）文具盒 （ 2 ）魔方 （ 3 ）笔筒 （ 4 ）漏斗 （ 5 ）足球 你是这样想的吗？ 文具盒能得到长方体 . 魔方能得到正方体 . 你是这样想的吗？ 笔筒能得到圆柱体 . 你是这样想的吗？ 还有哪些物体形状像圆柱 ? 杯子、茶叶筒、薯片筒、易拉 罐、药瓶等 . 圆柱有何特点 ? 上下两个面是 圆，叫底面；侧面是 由 构成；上下两底面之间的距离叫 _________. 大小相等的 光滑的曲面 圆柱的高 底面 底面 侧面 高 漏斗能得到圆锥体 . 你是这样想的吗？ 还有哪些物体形状像圆锥 ? 圆锥有何特点 ? 甜筒，麦堆，导弹头，蒙古包顶，羽毛球 …… 它的底面是一个 ；圆锥的顶是 __ ；侧面是 由 构成；顶点到底面的距离叫 _________. 圆 一个点 光滑的曲面 圆锥的高 高 底面 顶点 侧面 议一议 足球能得到球体 . 你是这样想的吗？ 通过对你周边物体的观 察、想象，归纳一下我们常 见的几何体有哪些？ 谁来说一说 ? ? 正方体 长方体 棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 球体 简单的几何体 柱体 锥体 球体 圆柱 棱柱 圆锥 棱锥 议一议： 柱体有何特点？ 锥体有何特点？ 【 例 1】 下列物体的形状类似于球体的是（ ）． A ．茶杯 B ．羽毛球 C ．乒乓球 D ．白炽灯泡 解析 : 选 C. 根据球体的特征与实物的具体形状进 行判 断，可以得到乒乓球的形状类似于球体． 点拨： 图形复杂的物体，应去掉非实质的细节干扰， 把它 分解为多个基本几何体，化繁为简，再与几何体的 特征 进行对照，从而确定此物体是何种几何体． 1. 下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体； ④圆；⑤圆锥；⑥圆柱 . 其中属于立体图形的是（ ）． A ．③⑤⑥ B ．①②③ C ．②③⑥ D ．④⑤ A 2. 如图所示 , 是 2012 年发射神九的火箭．请写出图中含有的两种 立体图形： 、 ． 圆锥 圆 柱体 【 跟踪训练 】 1. 正方体是由 _____ 面围成的 , 它们都是 _____ . 2. 正方体有 ___ 个顶点，经过每个顶点有 ___ 条棱 , 共 _____ 条棱 . 六个 平的 八 三 十二 2. 圆柱的侧面和底面相交成 _____ 条线，它们是 _____ ，是 ___. 1. 圆柱是由 ____ 个面围成的，其中两个面是 _____ ，一个面是 _____. 三 平 的 曲的 二 曲的 圆 面有 ___ 面和 ___ 面； 线有 ___ 线和 ___ 线 . 平 曲 直 曲 面与面相交得到 ___ ；线与线相交得到 ___. 线 点 . . . 线动成面 面动成体 点动成线 【 例 2】 如图，第二行的图形围绕红线旋转一周，便能形 成第 一行的某个几何体，用线连一连 . D A B C 1. 如图 所示，把一个长方形绕着给定的直线旋转一周后，可能形成的几何体是（ ） 【 解析 】 选 D. 旋转后形成了一个空心的圆柱． 【 跟踪训练 】 A B C D 1 . 将 如图所示的直角梯形绕直线 l 旋转一 周，得到的立体图形是（ ） 【 解析 】 选 C. 直角梯形的上底短，下底长，绕直角腰 所在的直线旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆， 得到 的立体图形是一个圆台． 2. 直四棱柱，长方体和正方体之间的包含关系是（ ） 【 解析 】 选 A. 根据直四棱柱、长方体、正方体的定义， 可以得到直四棱柱包含长方体，长方体包含正方体． 3. 从棱长为 2 的正方体毛坯的一角，挖 去一个棱长为 1 的小正方体，得到一个 如图所示的零件，则这个零件的表面积 是（ ） A ． 20 B ． 22 C ． 24 D ． 26 【 解析 】 选 C. 这个零件的表面积就相当于棱长为 2 的 正方体的表面积，正方体共有 6 个面，每个面的面积是 4 ，所以 6 个面的总面积是 24 ． 4. 一个正方体的面共有（ ） A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 4 个 D ． 6 个 【 解析 】 选 D. 一个正方体由四个侧面和两个底面组 成，共 6 个面 . 积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会中都看到某种忧患 . 第 4 章 图形的初步认识 4.2 立体图形 的视图 4.2 立体图形 的视图 1. 会从不同的方向看立体图形并能说出看到的平面图形 ; 2. 能通过物体的三视图说出三视图要描述的立体图形 ; 3. 通过立体图形与三视图之间的转换 , 体会立体图形与 平面图形之间的关系 . 从不同的方向看 从正面看 从右面看 从左面看 从后面看 正 后 左 上 右 从不同的方向看 左 上 正 请说出下面三幅图分别是从哪个方向看到的？ 从左侧看 从正面看 从上面看 从三个方向看同一几何体 从正面看到的投影，称为 主视图 从左侧看到的投影 ，称 为 左视图 从上面看到的投影，称为 俯视图 画出几何体的视图 主视图 俯视图 左视图 画出几何体的视图 主视图 俯视图 左视图 【 跟踪训练 】 画出几何体的视图 主视图 俯视图 左视图 画出几何体的视图 主视图 俯视图 左视图 【 例 】 将下面四个正方体摆放在一起有几种不同的摆放方法？你能画出各种摆放方式的三视图吗？ ( 列出 4 种即 可 ) 摆放方式及视图举例 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 注：答案不唯一 一辆汽车从小明的面前经过，小明拍摄了一组照片，请 按照 汽车被摄入镜头的先后顺序给下面的照片编号，并与 同伴 交流 . 行驶过程演示 1 2 4 3 5 主视图 俯视图 左视图 例 1 根据下面的三视图确定物体的形 状 . 左视图 由物体的三视图说出物体的形状 . 主视图 俯视图 【 跟踪训练 】 ● 俯视图 左视图 主视图 由物体的三视图说出物体的形状 . 俯视图 左视图 主视图 由物体的三视图说出物体的形状 . 主视图 左视图 俯视图 从视图画立体图形的思维方式 从主视图观察，画出物体的前面 . 从俯视图观察，画出物体的上面 . 从左（右）视图观察，画出物体的左（右）面 . 1 . 如图， 李老师办公桌上放着一 个圆 柱形茶叶盒和一个正方体的墨水盒，小芳从上面看 ，看 到的图形是 （ ） A B C D 答案 ： A . 2 . 如 图是由若干个大小相同的小 正方 体堆砌而成的几何体．那么其三种视图中面积最 小的 是（ ） A ．主视图 B ．左视图 C ．俯视图 D ．三种一样 【 解析 】 选 B. 主视图是由 5 个小正方形构成的平面图形；左视图是由 3 个小正方形构成的平面图形；俯视图是由 5 个小正方形构成的平面图形 . 3. （济宁 · 中考）如图，是由几个相同的小正方体搭成 的几 何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个 数是 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 【 解析 】 选 B. 从三种视图上可以判断，这个几何体共两 层，它的底层有三个正方体，上层有一个正方体 . 俯视图 主视图 左视图 4. 画 出如图的立 体图形的三视 图 . 5. 画出下面三视图所示的立体图形 . 主视图 左视图 俯视图 　　知识是一种快乐，而好奇则是知识的萌芽 . —— 培根 第 4 章 图形的初步认识 4.3 立体图形的表面展开图 4.4 平面图形 4.3 立体图形的表面展开图 4.4 平面图形 1. 了解立体图形展开图 , 并能根据展开图判断和制作立体 图形 . 2. 通过展开与折叠的练习，体会几何体与平面图形间的 联系 与区别 . 3. 从生活实例中进一步认识平面图形，体会平面图形是 研究 几何图形的基础 . 金字塔 — 埃及 把你手中的立体图形沿棱展开，看它的平面展开图是什么 ? 展开 长方体 展开 圆柱 展开 圆锥 展开 棱柱 如图，下面的图形分别是上面哪个立体图形的展开图 ？把 它们用线连起来 . A B C D 1 4 3 2 棱柱 圆柱 圆锥 棱柱 想一想下列图形能围成什么立体图形？ 1 4 3 2 【 跟踪训练 】 如 图 , 哪 些图形经过折叠可以围成一个棱柱？ 哪些几何体的表 面可以展 开成下面的图形？ 五棱柱 三棱柱 三棱锥 圆柱 用剪刀把桌上的正方体纸盒按任意方式沿棱展开 ，你 能得到哪些不同的展开图？比一比哪个小 组得到的展 开图 的种 类更多 . 几何体 平面图形 平面图形 几何体 展开 折叠 正方体的展开与折叠： 将正方体展成平面图形，你需要剪开几条棱？至少需要 剪开几条棱？为什么？ 答案： 必须剪开七条棱 . 结论： 由于正方体共有６个面，展开后需要５条棱相连， 所以剪开了 12 － 5 ＝ 7 条棱；展开图边缘有 14 条棱， 所以至少需要剪开 14÷2 ＝ 7 条棱． 想一想 找一找：有哪些熟悉的平面图形？ 常见的平面图形 长方形 正方形 三角形 五边形 圆形 六边形 你能说出圆与其他平面图形的区别吗 ? 能画出它们的表面形状吗 ? 多边形 : 由线段围成的封闭图形 . 1. 是平面图形 .( 不是立体图形 ) 2. 由线段围成 . ( 直的且首尾相连 ) 3. 封闭图形 . ( 不能有缺口 ) 1. 下面的几个图形是多边形吗 ? × × √ × 【 跟踪训练 】 4 个 6 个 2. 下列几何图形 : 三角形、圆柱、长方形、 正方形、 圆、球 . 其中 , 平面图形有 ( ) 个 . 3. 在图形中找平面图形 ：有 几个三角形 ? 几个四边形 ? 4 三角形 四边形 1 . 下面是六个正方形连在一起的图形，经折叠后能 围成正方体的图形有哪几个？ G F E D C B A 2 . 一 个正方形的平面展开图如图所示 ，将 它折成正方体后，“保”字对面的字是（ ） A ．碳 B ．低 C ．绿 D ．色 答案 ： A . 环 保 绿 色 碳 低 3 . 如 图是正方体 的表面展 开图，则原正 方体 相对两个面上的数字和最小的是 ( ). 1 4 2 5 3 6 A. 4 B. 6 C. 7 D.8 答案 : B . 4 . 骰 子是一种特别的数字立 方体 ( 如图 ) ，它符合规则：相对两面的点数 之和 总是 7. 下面四幅图中可以折成符合规则的 骰子 的是（ ). 【 解析 】 选 C. 先判断折叠起来后相对的两面，再看相对两面的点数之和 . A B C D 5. 小明为班级专栏设计一个图案，如图，主题是 “我们 喜爱合作学习”，请你也尝试用圆、扇形、三角形、 四边形 、直线等为环保专栏设计一个图案，并标明你的主题． 如果懂得了要给别人以宽容，给自己以信心，将来就是一个全新的局面 . 第 4 章 图形的初步认识 4.5 最基本的图形 —— 点和线 4.5 最基本的图形 —— 点和线 1. 在现实情境中理解直线、射线、线段等简单的平面 图形 ，感受图形世界的丰富多彩 . 2. 掌握两点间的距离概念 , 知道“两点之间的所有连线中 , 线 段最短” , 知道“经过两点有一条直线 , 并且只有一 条直 线” . 3. 能用圆规画一条线段等于已知线段 . 4. 通过探究活动，积累一定的操作经验，提高条理的 思考 与表达能力，培养学生归纳、概括及用语言表达结 论的 能力 . 看一看 想一想 道路用什么表示的 车站用什么表示的 ? ? 烛光尖端运动后形成的图形 ? ……………………….. 拉紧的绳子 刻度尺的边缘 点： 通常用点表示一个物体的位置 . 例如，在交通图 上用 点来表示城市的位置 . 　 • • • • 北京 乌鲁木齐 上海 重庆 A B C D 表示方法 : 用一个大写字母表示． 例如： 点 A. 表示方法 : 用两个端点字母表示 : 线段 AB 或 线段 BA; ． 这些航空线给我们以线段的形象 . 线段： 用一个小写字母表示 : 线段 a. a ． • • • • 北京 乌鲁木齐 上海 重庆 A B C D A B · · O C · · O C 射线 OC 射线 CO 射线 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做 射线 . 表示 : 想一想：上述两条射线有什么区别？ 表示射线端点的字母应写在前面 . 列举生活中射线的实例 . 直线 把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做 直线 . 表示 : · · A B 用直线上两个点的大写字母表示 : 直线 AB 或 BA. 用一个小写字母表示 : 直线 . l l ① 找一找图中各有几条射线、直线？ · · · · A O B C ② 如图：有 A 、 B 、 C 三点 画直线 AC 射线 BC 线段 AB ·A · B ·C 【 跟踪训练 】 A 图 形 联 系 区 别 有无 方向 表示 方法 端点 个数 有无 长度 线 段 射 线 直 线 • • • • • • A B B 无 A 线段、射线、直线的联系和区别 线段 AB 线段 BA 线段 a 两个 有 射线 AB 一个 无 直线 AB 直线 BA 直线 a 无 B 线段是射线或直线上的一部分 a a 无 有 无 从 A 地到 B 地有三条路径，你会选择哪一条 ? 线段 AB 的长度，就是 AB 两点间的距离 . 两点之间，线段最短 . ( 线段的基本性质 ) A B C 在纸上画一点 A 和一点 B. 边画边思考 :(1) 过点 A 能画出几条直线 ? (2) 经过 A,B 两点画直线 , 能画出几条直线 ? (3) 那么经过三点画直线 , 能画出几条直线 ? [ 小组讨论 ] 你们能得出什么结论 ? 结论： 经过一点能画无数条直线， 经过两点有一条直线， 并且只有 一条直线（两点确定一条直线）， 经过三点可能画 一条 直线，也可能画不出直线 . 1. 下列给线段取名正确的是： ( ) （ A ）线段 M (B) 线段 m （ C ) 线段 Mn (D) 线段 mn B 2. 如图，若射线 AB 上有一点 C, 下列与射线 AB 是同一条射线的是 ( ) (A) 射线 BA (B) 射线 AC (C) 射线 BC (D) 射线 CB A B C B 【 跟踪训练 】 3. 建筑工人在砌墙时，这样拉出的参照线就是直的；木工 师傅用 墨盒弹出的墨线也是直的，你能用学过的几何知识来解释 他们这样 做的道理吗？ 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 . 小明家 学校 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） (2) 两点之间，线段最短 4. 如图，从小明家到学校共有三条路，小明为了尽快 到学校 ，应选择第 _________ 条路，用数学知识解释为 ___________________. 生活中的长短的比较 (1) 怎样比较两个同学的高矮 ? 叠合法 度量法 (2) 怎样比较两根筷子的长短 ? ① 一头对齐，两根棒靠紧， 观察另一头的位置； 多出一段的较长 . —— 叠合法 . ② 用刻度尺分别度量出筷子的长度； 同一长度单位下，数量大的较长 . —— 度量法 . 注意： 在几何里更多的是用前面所说的方法进行比较 . 　 画 在黑板上的两条线段是无法移动的，在没有度量工具的情况下，请大家想想办法，如何来比较它们的长短？ ① 观察法 ② 借助某一物体，如铅笔、小木棒等 . 可用圆规？ 线段 AB 比线段 A 1 B 1 短，即 AB < A 1 B 1 . 比较两条线段的长短： 线段 AB 比线段 A 1 B 2 长 ，即 AB > A 1 B 2 . A B A 1 B 1 A 1 B 2 A 1 B 3 线段 AB 与线段 A 1 B 3 一样长，即 AB = A 1 B 3 . b a A B C 如图，线段 c 的长度是线段 a ， b 的长度的和，我们 就说 线段 c 是线段 a ， b 的和 ，记作 c= a +b , 即 AC=AB+BC . 类 似的 ， 线段 a 是线段 c 与 b 的差 ，记作 a =c-b ，即 AB=AC － BC . c 用圆规作一条线段等于已知线段 例 1. 用圆规作一条线段等于已知线段 . a ① 作射线 AB; ② 用圆规量出已知线段的长度 ( 记作 a); C A B 则 AC 为 所作的线段 . ③ 在射线 AB 上截取 AC = a . A B C D M 读句画图： (1) 画射线 AM ； (2) 射线 AM 上截取线段 AB ； (3) 再在射线 AM 上顺次截取 BC=CD=AB. 试观察图中的线段 AB 、 AC 、 AD 、 BC 、 BD 、 CD 之间有什 么关 系？ A B C D M 1. 观察上图，填空： AB = （ ） = （ ）； AC = （ )+( )= 2( )= 2( ) ； 即 AB = BC = （ ） . BC CD AB BC BC AB AC 2. 点 B 具有什么特殊的位置？请你给它起一个名字，并 描述这 一位置的特征 . 点 B 把线段 AC 分成两条相等的线段，点 B 叫做线段 AC 的中点 . 3. 图中还有点 B 这种特殊位置的点吗？把它找出来 . 点 C ，是线段 BD 的中点 . 把 一条线段分成两条相等线段的点 , 叫做这条线 段的 中点 . 那么线段中点这个定义表达了什么意思呢？我 们来 学习用几何符号语言来表示，应从以下两个方面来 理解 ： A O B 1. 如图，如果点 O 把 AB 分成两条相等线段，即 AO=BO ，那么点 O 就是线段 AB 的中点 . 这可以用符号语言表示为： 如图，点 O 在线段 AB 上， 因为 AO=BO( 或 AO= AB ，或 AB=2AO) 所以点 O 是线段 AB 的中点 ( 线段中点的定义 ). 2. 反之，如果已知点 O 是线段 AB 的中点，那么就有 AO=BO. 这可以用符号语言表示为： 如图，因为点 O 是线段 AB 的中 点 , 所以 AO=BO( 或 AO= AB ，或 AB=2AO) ( 线段中点的定义 ). B C D M A 观察上图，填空： AD=_____+______+____=3_____=3_____=3____ ， 即 AB= . AB AB BC CD CD BC AD 　　点 B 对于线段 AD 来说，又具有一个特殊位置，请给它一个名称，点 C 具有这一特殊性吗？ 　　点 B 和点 C 把线段 AD 分成 三条相等的线段 ，点 B 叫做线段 AD 的一个 三等分点 . 　　点 C 也是线段 AD 的一个 三等分点 . 1. 画线段使它等于已知线段的和、差、几倍，通常 可用两种不同的方法来画 . 2. 画线段使它等于已知线段的几分之一，通常采用 度量法 .( 即先量、后算、再画 ) 1. 如 图所示， 下列说法正确的是（ ） A. 直线 OM 与直线 MN 是同一直线 B. 射线 MO 与射线 MN 是同一射线 C. 射线 OM 与射线 MN 是同一射线 D. 射线 NO 与射线 MO 是同一射线 A O N M 2. 如图 , 下列说法错误的是（ ） A. 点 A 在直线 m 上 B. 点 A 在直线 l 上 C. 点 B 在直线 l 上 D. 直线 m 不经过 B 点 B A l m C 3. 下列说法正确的是（ ） A. 两点确定两条直线 B. 三点确定一条直线 C. 过一点只能作一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 D 4. 如图，射线 PA 与 PB 是同一条射线，则符合题意的 图为 （ ） P A B P P P P A A A B B B A B C D C 5. 如图所示的直线、射线、线段能相交的是（ ） A B B A A A C B B C D C C D D D C A B C D 1. 直线、射线、线段三者的区别与联系 . 2. 不同几何语言（文字语言、符号语言、图形语言） 的相互 转化 . 3. 掌握两点间的距离概念 , 知道“ 两点之间的所有连线中 , 线段最短 ” , 知道“ 经过两点有一条直线 , 并且只有一条直线 ” . 4. 了解线段中点的概念 , 并能简单运用它来解决问题 . 生活的美，源于你对生活的热爱；友情的纯真，源于你对朋友真诚的相待 . 第 4 章 图形的初步认识 4. 6 角 4. 6.1 角 观察下面实物，你发现这些实物 中有什么相同图形吗 ？ 角是由有公共端点的两条射线组成的图形。 顶点 射线 射线 边 边 角的定义（ 1 ） 角的四种表示方法 : 1、用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定写在中间; 2、用一个顶点的字母来表示,但必须是以这个点为顶点的角只有一个; 3、用希腊字母表示,并在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母; 4 、 用一个数字表示 , 在靠近顶点处画上弧线 , 写上数字 . C A B 角也可以看做一条射线绕端点旋转所形成的图形。 角的内部 角的定义 （ 2 ） O A B 　　如果一个角的终边继续旋转，旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做 . 平角 B 平角 O A （ B ） 　　当终边旋转到与始边重合时，所成的角叫 做 . 周角 周角 角的度量单位： 度，分，秒 1°=60 ′= 3 600 ″ 1°的60分之一为1分，记作“1′”，即1°＝60′ 1′的60分之一为1秒，记作“1″”，即1′＝60″ 角的度量工具： 量角器 以度，分，秒为单位的角的度量制叫做角度制。 4.6. 2 角的比较和运算 45° 60° A o B D E F 度量法 所以: ∠ AOB＜ ∠ DEF 读数为45 读数为60 （ ） （ ） （ ） ED与BA重合，则∠DEF ＝∠ABC。 把∠DEF移动，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边EF和BC重合，另一边ED和BA落在BC的同旁。 A B C D E F 比较∠ABC 和 ∠DEF的大小 O A C B 思考：下图中共有几个角？它们有什么关系？ 解答下 列问题： 1、图中共有＿＿个角 2、∠AOB＝＿＿＿＿+＿＿＿＿＿ 3、∠AOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿ 4、∠BOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿ 3 ∠AOC ∠BOC ∠AOB ∠BOC ∠AOB ∠AOC １５° 75° 实践活动： 借助一副三角尺，大家都能画出哪些度数的角？ 　 角的平分线： Ａ Ｂ Ｏ Ｃ 　从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个 角的平分线 。 Ａ Ｂ Ｏ Ｃ 问 题：已知射线OC是∠AOB的角平分线，你能写出图中各角的关系吗？ OC是∠AOB 的二等分线 ∠AOC =∠B O C=1/2 ∠AOB 类似地：还有角的三等分线 ，如图 O A B C D ⌒ ⌒ ⌒ 1 2 3 OB、OC是∠AOD的三等分线 4.6. 3 余角和补角 1 2 比萨斜塔 互为余角 ( 互余 ): 如果 两个角 的和是 90°( 直角 ) ，那么这两个角叫做 互为 余角，其中一个角是另一个角的余角。 ∠1 、 ∠ 2 互为余角 即：∠1是∠2的余角 , 或∠2是∠1的余角 1 3 比萨斜塔 互为补角(互补): 如果 两个角 的和是180°(平角)，那么这两个角叫做 互为 补角，其中一个角是另一个角的补角。 ∠1 、 ∠ 3 互为补角 即：∠1是∠3的补角 , 或∠3是∠1的补角 . ∠ α ∠ α 的余角 ∠ α 的补角 5° 85° 175° 32° 58° 148° 45° 45° 135° 77° 13° 103° x° 90 ° - x ° 180° - x ° 同一个锐角的补角比它的余角大 90° 。 互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。 　 如图∠ 1 与∠ 2 互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠ 1 ＝∠３ , 那么∠ 2 与∠４相等吗？为什么？ 1 2 4 3 补角性质： 等角的补角相等 因为∠1 =∠ 3 , 所以180°－∠1 = 180°－ ∠ 3 , 即∠ 2 =∠ 4 . （这里用到了： 等量减等量，差相等） 所以∠2=180°－∠1 ，∠4=180°－ ∠ 3 . 解：因为 ∠ 1 +∠2=180° ， ∠3 +∠4=180 ° , 如图 ∠ 1 与 ∠ 2 互余， ∠ ３ 与 ∠ ４互余 ，如果 ∠ 1 ＝ ∠ ３，那么 ∠ 2 与 ∠ ４相等吗？为什么？ 1 2 3 4 余角性质： 等角的余角相等 如图，点A,O,B在同 一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解： 因为点A,O,B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角。又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以 所 以∠ COD 和∠ COE 互为余角 ， 同理 , ∠ AOD和∠ BOE ，∠ AO D和∠ COE ，∠ COD 和∠ BOE 也互为余角。 东 西 北 南 O （ 1 ）正东，正南，正西，正北 （ 2 ）西北方向 :________ 西南方向 :________ 东南方向 :________ 东北方向 :________ 射线 OA A B C D OB OC OD 45° 射线 OE 射线 OF 射线 OG 射线 OH E G F H 45° 45° 45° O 北 南 西 东 （ 3 ）南偏西 25° 25° 北偏西70° 南偏东 60° A B C 射线 OA 射线 OB 射线 OC 70° 60° 甲地 乙地 乙地 对 甲地的方 位角 1. 先找出中心点,然后画出方向指标 2. 把中心点和目的地用线连接起來 3. 度量向北的 射线 和 蓝 色 线 之 间 的角度 。 北 甲地 乙地 甲地对乙地的方位角 1. 先找出中心点,然后画出方向指标 2. 把中心点和目的地用线连接起來 南 3.度量向南的射线和蓝色线之间的角度 例 4: 如图 . 货轮 O 在航行过程中 , 发现灯塔 A 在它南偏东 60° 的方向上 , 同时 , 在它北偏东 40°, 南偏西 10°, 西北 ( 即北 偏 O ● 东 南 西 北 ● A 60° ● B ● D C ● 40° 10° 45° 西45 °)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法,画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线. 所 以，射 线 OA 的方向就是南偏东 60° ，即灯塔 A 所在的方向。 射线 OB 的方向就是北偏东 40° ，即客轮 B 所在的方向。 射线 OC 的方向就是南偏西 10° ，即货轮 C 所在的方向。 射线 OD 的方向就是南偏西 45° ，即海岛 D 所在的方向。