华东师大版七年级数学上册第5章相交线与平行线

第 5 章 相交线与平行线 5.1 相交线 5.1 相交线 5.1.1 对顶角 1. 掌握对顶角的定义并能够在图形中识别出来 . 2. 能够用对顶角的性质解决有关的问题 . 大桥上的钢梁和钢索 棋盘上的横线和竖线 学校操场上的双杠 , 教室中课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边 …… 都给我们以平行线、相交线的形象 . 请你画出任意两条相交直线，看看这四个角有什 么关系 ? 问题 : 两条相交直线形成的小于平角的角有几个 ? 问题探究： 观 察用剪刀剪 布片的过程中有关角的变化 . 任意画两条相交直线 , 在形成的四个角 ( 如图 ) 中 , 两两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系 ? 它们的大小关系如何？ 两直线相交 所形成的角 分 类 A B C D ） （ 1 3 4 2 ） （ ∠3 ∠1 ∠2 ∠4 ∠1 和∠ 2, 4 ∠2 和∠ ∠ 和∠ ,∠ 和∠ 1 4 3 4 ∠1 和∠ 3 ， ∠ 和∠ 2 3 ， 对顶角的概念 2 3 1 4 A B D ∠1 和∠ 3 具有相同的顶点，且∠ 1 的两边 OA ， OC 分别 与∠ 3 的两边 OB ， OD 互为反向延长线，我们把这样的两 个角 叫做对顶角 . 性质：对顶角相等 . C O 1 下列各图中∠ 1 ，∠ 2 是对顶角吗？为什么？ 2 1 2 2 1 练一练： 不是 不是 不是 【 例 】 已知：直线 a ， b 相交 ，∠ 1=40°. 求 ∠ 2 ，∠ 3 ，∠ 4 的度 数 . a b 1 2 3 4 解： ∠ 3=∠1=40° （对顶角相等）， ∠ 2=180°-∠1=180°-40°=140 ° （ 平角的定义）， ∠ 4=∠2=140° （对顶角相等） . 1 . 如图， 已知 O 是直线 AB 上一点，∠ 1 ＝ 40° ， OD 平分∠ BOC ，则∠ 2 的度数是（ ) A ． 20° B ． 25° C ． 30° D ． 70° 2 D C A B O 1 【 解析 】 选 D. 因为∠ 1 ＝ 40° ，所以∠ BOC ＝ 140° ，因为 OD 平分∠ BOC ，所以∠ 2 ＝ 70°. 2. 如 图， 三条直线 AB,CD,EF 相交于一 点 O, ∠AOC 的 对顶 角是 ，∠ COF 的对顶角 是 _______. A B C D E F O ∠BOD ∠EOD 3. 如 图， ∠ 1=∠2 ，则∠ 2 与 ∠ 3 的关系是 ，∠ 1 与 ∠ 3 的关系是 . 1 2 3 互补 互补 4 . 一 个角的补角是 36°35′ ，这 个角的度数 ． 【 解析 】 根据互为补角的定义，这个角 =180° － 36°35′=143°25′. 答案： 143°25′ 通过本课时的学习，需要我们掌握对顶角的相关知识如下： 1. 特征： ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边 . 2. 性质： 对顶角相等 5.1.2 垂线 1. 在丰富的现实情境中，通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示 . 2. 会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，进一步丰富操作活动的经验 . 3. 在操作活动中，探索有关垂直的一些性质 . 平面内的两条直线有哪些位置关系 ? 平行 相交 想一想 下面两种相交的情况有什么不同？ 两直线不垂直 两直线垂直 议一议 4. 怎样用符号表示两条直线的垂直关系？ 1. 什么叫做两条直线互相垂直？ 2. 你能用三角尺、直尺、量角器画互相垂直的直线吗？ 5. 过一点能画多少条已知直线的垂线？ 6. 你是如何理解点到直线的距离的？ 3. 怎样用折纸法折出垂线？ 自学提纲 定义：当两条直线 AB,CD 所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线 AB,CD 互相垂直 . O 新知探究 B A C D （ 1 ）你能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ （ 3 ）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ （ 2 ）你能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ 做一做 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 用三角尺作两条互相垂直的直线 根据图示能折出互相垂直的直线，您不妨试试看！ 折一折 O D C B A m n 图中，直线 AB 与直线 CD 垂直 , 记作： AB⊥CD ； 直线 m 与直线 n 垂直 , 记作： m⊥n ； 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足 . 注意： “⊥” 是“垂直”的记号， 而“ ” 是图形中“垂直 ( 直角 ) ” 的标记 . 垂直的表示 结论 在图中过点 A 作 m 的垂线，你能作多少条？ · A · A m m 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 . 想一想 看图回答 你能用一句话表示这个结论吗？ P A B C m D 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直 线的 距离 . 直线外一点与直线上各点连成的所有线段中，垂线段最短 . 线段 PA,PB,PC,PD 谁最短？ 结论 线段PB叫做点A到直线m的垂线段. 【 例 】 作一条直线 l ，在直线 l 上取一点 A ， l A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 在 l 外取一点 B ，试分别过点 A ， B 用三角尺作直线的垂线 . 找出下图中互相垂直的直线 . （ 1 ） （ 2 ） A B C D A B C D O BO⊥OD( 或 AO⊥OC) AC⊥BC( 或 CD⊥AB) 【 跟踪训练 】 1 . 如 图，直线 AB 与直 线 CD 相交于点 O ， E 是∠ AOD 内一点，已 知 OE ⊥AB ，∠ BOD=45° ，则∠ COE 的度 数是 ( ) A.125° B.135° C.145° D.155° 【 解析 】 选 B. 因为 OE⊥AB ，所以∠ BOE=90° ，又因为∠ BOD=45° ，所以∠ EOD=45° ，因为∠ COD=180° ，所以∠ COE=∠COD － ∠ EOD=180° － 45°=135°. 2 . 如 图，点 O 在直线 AB 上，且 OC⊥OD ，若∠ COA=36° ，则∠ DOB 的大小为 ( ) A ． 36° B ． 54° C ． 64° D ． 72° 【 解析 】 选 B. 因为 OC⊥OD ，所以∠ COD=90° ，又因为∠ AOB=180° ， 所以∠ DOB=∠AOB －∠ COD －∠ COA=180° － 90° － 36°=54°. 3. 如 图， 直线 AB⊥CD ，垂足为 O ，射线 OP 在∠ AOD 的内部，且∠ POA=4∠POD ，则∠ COP︰ ∠ BOP 的值为（ ） A.3︰2 B. 4 ︰ 1 C.9 ︰ 1 D. 5 ︰ 3 A B D C O P 【 解析 】 选 A. 因为 AB⊥CD ，所以∠ AOD=90° ，又因为∠ POA=4∠POD ，所以 ∠POA+∠POD=4∠POD+∠POD = ∠ AOD= 90° ，所以∠ POD =18° ，∠ POA=4×18°=72° ， 所以∠ COP=∠COA+∠POA=90°+72°=162° ， ∠BOP=∠BOD+∠POD=90°+18°=108°. 所以∠ COP ︰ ∠ BOP=162 °︰ 108 ° = 3 ︰ 2. 1. 垂直的定义 . 2. 垂直的画法 . 3. 垂直的记法 . 4. 垂直的一个结论 . 5. 点到直线的距离 . 6. 丰富了对平行、垂直和角的认识 . 对人不尊敬，首先就是对自己的不尊敬 . 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角 1. 认识两条直线被第三条直线所截而产生的三种角 —— 同位角、内错角、同旁内角 . 2. 能从复杂图形中找出基本图形，增强对图形的认识 . 如图，两条直线 a ， b 相交形成四个角∠ 1 ，∠ 2 ， ∠ 3 ，∠ 4 ∠1 与∠ 3 ∠2 与∠ 4 对顶角： 互补的角： ∠1 与∠ 2 ∠2 与∠ 3 ∠3 与∠ 4 ∠4 与∠ 1 1. 两条直线被第三条直线所截 （ 1 ）直线 l 与两直线 a,b 分别相交于点 P,Q （ 2 ）直线 l 截直线 a,b 于点 P,Q （ 3 ）直线 a,b 被直线 l 所截 直线 l 叫做截线 直线 a,b 叫做被截直线 你认为截线和被截直线该怎样区分？ a b l P Q 问题：你能说出以下这些图形，哪两条直线被第三条 直线所截吗？ 直线 a,b 被直线 l 所截 直线 BC,DE 被直线 AB 所截 l a b B 在一个平面内，一条直线 l 与两条直线 a ， b 分别相交于点 P ， Q （直线 l 分别截直线 a ， b 于点 P ， Q 或者就说两条直线 a ， b 被直线 l 所截） . 两条直线被第三条直线所截，形成 “ 三线八角 ” 的图形 . b l 5 7 a 1 3 4 2 8 6 截线 P Q 图中∠ 1 与∠ 5 的位置有什么关系呢？ ∠1 与∠ 5 处于直线 l 的 _______ ， l 5 7 a b 1 3 4 2 8 6 截线 左侧 上方 上方 且分别在直线 a,b 的 _______. 这样位置的一对角就是 _______. 1 5 像这样位于截线 l 的同侧，在两条被截直线 a ， b 的同一方的同位角还有 ________ 、 _________ 、 __________ . 　　　 ∠2 与∠ 6 ∠3 与∠ 7 ∠4 与∠ 8 6 2 3 7 4 8 （ 1 ）同位角 同一侧 同一方 同位角 左 右 2. 特殊位置的角 a b l 截线 1 3 4 2 8 5 7 6 图中∠ 3 与∠ 5 的位置有什么关系呢？ ∠3 与∠ 5 处于直线 l 的 _____ ， 直线 a ， b 的 _________ ， 这样位置的一对角就是 _______. 3 5 像这样位于截线 l 的两侧，在两条直线 a ， b 的内部的内错角还有 . 　 　　　　 　　　 ∠4 与∠ 6 4 6 左 右 （ 2 ）内错角 内 部 两侧 内部交错 内错角 内部 图中∠ 4 与∠ 5 的位置有什么关系呢？ l 5 7 a b 1 3 4 2 8 6 截线 ∠4 与∠ 5 处于直线 l 的 _______ ， _____ ， 左侧 这样位置的一对角就是 _________. 4 5 像这样位于截线 l 的同侧，两条直线 a ， b 的内部的同旁内角还有 　　　　　 . 　　　 ∠3 与∠ 6 3 6 （ 3 ）同旁内角 左 右 同一侧 同旁内角 内部 直线 a ， b 的 同位角 模型 内错角模型 同旁内角模型 在两被截直线的内部，在截线的两侧内部交错 在两被截直线的内部，截线的同侧 同位角 内错角 同旁 内角 位置关系 基本模型 在两被截直线的同一方， 在截线的同一侧位置相 同 同位角、内错角、同旁内角是三种特殊位置关系的角，在找这些角时，要注意到两个角的公共边所在的直线是截线，其余两边是两条被截直线 . １．如 图 , 所 标的六个角中， ∠ 1 与 是同位角； ∠ 5 与 是同旁内角； ∠ 2 与 是内错角 . ∠6 ∠3 或∠ 4 ∠1 2. 根据图形按要求填空： （ 1 ）∠ 1 与∠ 2 是直线 和 被直线 所截而得的 . A B C D E F 1 3 5 2 4 BC AB DE 同位角 做事是否成功，不在一时奋发，而在能否坚持 . 第 5 章 相交线与平行线 5.2 平行线 5.2 平行线 5.2.1 平行线 1. 在丰富的现实情境中，进一步了解两条平行线的位置关系，掌握有关的符号表示 . 2. 会用三角尺、量角器、方格纸画平行线，积累操作活动的经验 . 3. 在操作活动中，探索并了解平行线的有关性质 . 看一看，它们有什么共同之处？ 扶手 双杠 铁轨 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 . 不相交的直线就是平行线吗？ 在同一平面内 , 两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行 . 定义 议一议 找一找，图中有哪些平行线？ 1. 自动扶梯的左、右扶手如果不平行会出现 什么 情况？ 2. 铁路的铁轨如果不平行，又会出现什么情况？ 想一想 你能在方格纸上画出平行线吗？有几种画法？ 你能借助三角尺画出平行线吗？ ( 一落，二靠，三移，四画 ) 做一做 平行线的表示 : 通常，我们用“∥”表示平行 . B A D C m n 如图，直线 AB 与直线 CD 平行，记作 AB∥CD. 如果用 m ， n 表示这两条直线，那么 m 与 n 平行记作 m∥n. 如图 , 直线 AB 外有两 点 P ， Q. (1) 你能过点 P 画一条 直线与直线 AB 平行 吗？这样的直线还能画吗？ C D (2) 再过点 Q 画一条直 线与直线 AB 平行 . 它与前面所画的直线平行吗 ? E F 通过画图，你发现了什么？ 议一议 性质 1 ：过直线外 一点有且只有一条 直线与这条直线平 行 . 性质 2 ：如果两条 直线都和第三条直 线平行，那么这两 条直线也互相平行 . 【 例 1】 在同一平面内有四条直线 a ， b ， c ， d ，已知： a∥d ， b∥c ， b∥d ，则 a 和 c 的位置关 系是 . 【 解析 】 因为 a∥d ， b∥d ，所以 a∥b ，又因为 b∥c ，所以 a∥c. 答案： a∥c 1. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是： . 2. 下列说法正确的是（ ） A. 在同一平面内，两条不平行的线段必相交 B. 在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 C. 两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行 D. 以上说法均不正确 C 相 交或平行 【 跟踪训练 】 3. 在同一平面内有三条直线，若有且只有两条平行，那么 这三条直线的交点数为（ ） A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4. 三条直线 AB ， CD ， EF ，若 AB ‖ EF ， CD ‖ EF ，则 ‖ ，理由是 _____________________ C AB CD 平行线的 性质 2 1. 平行线的定义 . 2. 生活中充满了“平行” . 3. 画平行线的方法 . 4. 平行线的表示 . 5. 平行线的性质 . 对人以诚信，人不欺我； 对事以诚信，事无不成 . 5.2.2 平行线的判定 1. 掌握平行线的判定方法． 2. 能应用平行线的判定方法判定两直线平行． 3. 能进行简单的逻辑推理，提高对数学符号的认 识，发展逻辑推理能力． 1 2 a b ． Ａ 在画图过程中，三角板起到什么作用？ 要判断直线 a ‖ b ，你有办法吗 ? c a b 1 2 ①如图：如果∠ 1=∠2 ，那么 a 与 b 平行吗？ ∵ ____=____ （已知）， ∴ __∥__ （同位角相等，两直线平行） . 两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说： 同位角相等，两直线平行 . ∠ 1 ∠2 a b ② 如图：如果∠ 1=∠2 ， 那么 a 与 b 平行吗？ a b l 1 2 3 内错角相等，两直线平行 . ∵ ____=____ （已知）， ∴ ___∥___ （内错角相等，两直线平行） . ∠1 ∠2 a b ③ 如图：如果∠ 1+∠2=180° ， 那么 a 与 b 平行吗？ 同旁内角互补，两直线平行 . ∵ ____+____=180° （已知）， ∴ ___∥___ （同旁内角互补，两直线平行） . ∠1 ∠2 a b a b l 1 2 ④ 如图：如果 a ⊥ l ， b ⊥ l 那么 a 与 b 平行吗？ a b l 1 2 3 ∵ __ ⊥ __ ， __ ⊥ __ （已知）， ∴ ___∥___ （ 在同一平面内， 垂直于同一直线的两直线平行） . a b ┓ ┓ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . a l b l 同位角相等，两直线平行 . 同旁内角互补，两直线平行 . 内错角相等，两直线平行 . 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 直线平行的条件 【 例 】 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ B=60 ° ，∠ C=120 ° ， AB 与 CD 平行吗？ AD 与 BC 平行吗？ 解析 : 由已知条件可得∠ B+∠C = 180°. 根据同旁内角互补，两直线平行，可知 AB∥CD. 但根据题目的已知条件，无法判定 AD 与 BC 平行 . 平行线的判定示意图 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 判定 数量关系 位置关系 风再冷，不会永远不息；雾再浓，不会经久不散 . 风息雾散，仍是阳光灿烂 . 5.2.3 平行线的性质 1. 掌握平行线的性质． 2. 能应用平行线的性质计算角度或辨别角之间的关系． 3. 能综合运用平行线的性质与判定进行简单的推理，提高对几何语言的认识，发展逻辑推理能力． 问题 1 ： 如图一束平行光线 AB 和 DE 射向一个水平镜面 后被反射，此时∠ 1,∠3 的大小有什么关系？ 1 2 3 4 B E A C D F 你知道理由吗？ 水平方向 水平方向 1 2 问题 2 ：当两人目光相对时 , 视线与 水平 方向的夹角∠ 1 与∠ 2 相等吗？ 探索：两直线平行，同位角有什么关系 ？ 探索 ： 两直线平行，内错角 、 同旁内角又有什么关系 ？ 探究活动 1 探究活动 2 活动要求： ① 利用坐标纸上的直线或者用直尺 和三角尺画两条平行线 a,b ，然 后，画一条截线 c 与这两条平行线 相交，标出如图的角 ; (1) 探索 ： 两直线平行，同位角有什么关系 ？ 探究活动 1 ② 度量这些角，把结果填入下 表 . ③ 你发现各对 同位角 的度数之间有什么关系？写出你的 猜想． 　　再任意画一条截线 d ， 同 样度量并计算各个角的 度数，你的猜想还成立 吗？（要求学生多画几条 截线来验证） ( ２ ) 验证“两直线平行，同位角相等” 度量法 a b c d 叠合法 c a b ( ３ ) 问题：如果直线 a 与 b 不平行，你的猜想还成立吗？ 结论： 如果直线 a 与 b 不平行， 同位角则不相等 . 一般地，平行线具有的性质： 性质 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 以上性质可简单说成： 两直线平行，同位角相等． ∵ a∥b ， ∴ ∠ 1 ＝∠ 2. ( ４ ) 归纳概括：你能否将你得到的结论用数学语言表述？ 问题：你用什么方法验证你的猜想？ ( 学 生充当 “小老师”角色） (１)探索： 两直线平行，内错角、同旁内角又有什么关系？ 探究活动 2 一般地，平行线具有的性质： 性质 1 两条平行线被第三条直线所截， 同位角相等． 性质 2 两条平行线被第三条直线所截， 内错角相等． 性质 3 两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补． (2)归纳概括 以上性质可简单说成： 两直线平行，内错角相等． ∵ a∥b ， ∴ ∠ 2 ＝∠ 3. 两直线平行，同旁 内角互补． ∵ a∥b ， ∴ ∠ 2+∠4 ＝ 180°. 两直线平行，同位角相等． ∵ a∥b ， ∴ ∠ 1 ＝∠ 2. 思考 1 ： 你能根据性质 1“ 两直线平行，同位角相等 ”推 出“两直线平行，内错角相等”吗？ 能 说明： 如图， ∵ a∥b （已知）， ∴∠ 1 ＝∠ 2 （ 两直线平行，同位角相等） . 又∵ ∠ 3 ＝∠ 1 （对顶角相等）， ∴ ∠ 2 ＝∠ 3. 　 (3) 推理论证 思考 2: 你能根据性质 1“ 两直线平行，同位角相等” 推 出“两直线平行，同旁内角互补”吗？ 能 说明： 如图， ∵ a∥b （已知）， ∴∠ 1 ＝∠ 2 ( 两直线平行，同位角相等 ). 又∵ ∠ 1 ＋∠ 4 ＝ 180° ， ∴∠ 2 ＋∠ 4 ＝ 180°. 【 例 1】 如图，已知直线 a∥b ，∠ 1=50° ，求∠ 2 的度数 . 【 解析 】∵a∥b ， ∴∠ 1=∠2 （两直线平行，内错角相等） . ∵∠1=50° ， ∴∠ 2=50°. 【 例 2】 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD ，∠ B=60° ，求∠ C 的度数 . 能否求得∠ A 的度数？ 【 解析 】 ∵AB∥CD ， ∴∠ B+∠C=180° （两直线平行，同旁内角互补） . ∵∠B=60° ，∴∠ C=120°. 根据题目的已知条件，无法求出∠ A 的度数 . 两直线平行 判定 性质 已知 得到 得到 已知 平行线的性质与平行线的判定的联系与区别： 同位角相等． 内错角相等． 同旁内角互补． 任何人都可以成为自己想成为的那种人 , 任何人都可以实现自己的愿望 , 只要你愿意 !