人教版九年级数学上册第24章圆

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的 形成过程吗？ 24.1 圆的有关性质 圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端 点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆． · r O A 圆心：固定的端点 O 叫做圆心； 半径：线段 OA 叫做半径； 圆的表示：以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”．   确定一个圆的两个要素: 圆心 半径． 圆心确定其位置，半径确定其大小． 同心圆 等圆 圆心相同，半径不同 半径相同，圆心不同 O 如果车轮不是圆形会是什么样子？ 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距 离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与 平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时， 坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学 道理． 动态：在一个平面内，动点A 绕定点 O 旋转一周，点 A 所 形成的图形叫做圆． 静态：在一个平面内，所有到定点 O 的距离等于定长 r 的 点的集合． 圆的两个观点： 已知：如图在⊙ O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． 求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D O A BE C ⑵定理中的弦为直径时，结论仍然成立． ⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧． 从上面的证明我们知道： 注意：⑴垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直 线或线段，其本质是“过圆心”. ⑵垂径定理也可理解为，如果一条直线，它具有两个性质： ①经过圆心； ②垂直于弦.那么这条直线就平分这条弦， 弦平分所对劣弧和优弧. 结论改为：②垂直于弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦 所对的优弧. 这个命题正确吗？ １.垂径定理的条件和结论分别是什么？ 条件： 结论： ③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的 优弧. ①过圆心，②垂直于弦. 质疑2.条件改为：①过圆心，③平分弦. ① 直径过圆心 ③ 平分弦 （不是直径） ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧． D O A B E C 已知：CD是直径，AB是弦（不是直径）， CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D O A B E C ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平 分弦所对的两条弧． 已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D O A BE C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 （4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧． ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ． ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 （6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心， 并且垂直平分弦． ∴AM＝BM， CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． M O A B N C D 证明：作直径MN垂直于弦AB ∵ AB∥CD ∴ 直径MN也垂直于弦CD ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒即 AC＝BD A B C D 两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的两侧 垂径定理的推论2 有这两种情况： O O A B C D E O A B D C d + h = r 222 )2(adr  d h a r 有哪些等量关系？ 在a，d，r，h 中，已知其中任意 两个量，可以求出 其它两个量． 经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径， 连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件． 解决有关弦的问题 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 表示：直径AB · C O A B 连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦. 表示：弦AC 弦 弧、弦、圆心角 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 表示：以A、B为端点的弧记作 ⌒AB 圆的任意一条直径的两个端点把圆分 成两条弧，每一条弧都叫做半圆． · C O A B 小于半圆的弧（如图中的  ）叫做劣弧； ⌒AC 大于半圆的弧（用三个字母表示， 如图中的 叫做优弧.ABC⌒ 弧有三类， 分别是优弧、 劣弧、半圆。 等弧:在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧． 记作： B O A C D AB= CD 注意：弧等含义：弯度相同，长度相等 写出下图中的弧和弦． C O A B C O A B D 在⊙O中，点A,E在圆上.四边形OABC、ODEF都是 矩形，则BC和DF的大小关系为__________ OD B 思路： (1)矩形对角线相等; (2)同圆半径相等。 AC E F 定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍 与原来的圆重合。 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。 · 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A 如图中所示，∠AOB就是一个圆心角。 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A’OB’的位置，你能发 现哪些等量关系？为什么？ 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， 显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆 的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合． 因此，弧AB与弧A1B1 重合，AB与A′B′重合．   同样，还可以得到：   在同圆或等圆中，如果两条弧相 等，那么它们所对的圆心角______ ， 所对的弦______；   在同圆或等圆中，如果两条弦相 等，那么它们所对的圆心角______， 所对的弧______．   这样，我们就得到下面的定理：   在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所 对的弦也相等． 相等 相等 相等 相等        同圆或等圆 中，两个圆心角、 两条弧、两条弦 中有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相等 • 当球员在B,D,E处射门时,在哪个点最合适呢？ E ●O B D C A 请同学们将刚才观察的圆心和圆周角的几种位置关系在 活动纸上画出来。各小组集中看看共有几种情况。 圆心在一边上 圆心在角内 圆心在角外 如图,观察AC所对的圆周角与圆心角分别是哪些角, 猜一猜它们的大小分别有什么关系?然后量一量， 看看与你的猜想是否吻合？ 圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交 的角叫圆周角。 圆周角定理：在同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对 的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半。 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 实际上这些问题都体现了平 面内点与圆的位置关系。 创设情景： 我国射击运动员在奥运会上屡获金 牌，为我国赢得荣誉，右图是射击 靶的示意图，它是由许多同心圆 （圆心相同，半径不等的圆）构成 的，你知道击中靶上不同位置的成 绩是如何计算的吗？ C A O B 点与圆的位置关系的判定方法 设⊙ O的半径为r ,点到圆心的 距离为d ,请从数量关系上归纳 点与圆的位置关系及判定方法： 若点A在⊙ O内 d ＜ r 若点B在⊙ O上 d ＝ r 若点C在⊙ O外 d ＞ r 经过一个已知点能 作多少个圆? 经过一个已知点 能作无数个圆. 确定圆的条件 (2)经过两个已知点能作几个 圆？ 经过两个已知点A 、B 能作 无数个圆. 经过两个已知点A 、B所作的 圆的圆心在怎样的一条直线上? 经过两个已知点A 、B 所作圆的 圆心在线段AB的垂直平分线上. (3)经过不在同一条直线上的三个点一 定能作圆吗? A B CO A B C 过同一条直线上三个点不能做圆. 因为线段AB 的垂直平分线和线段BC的垂直平分线没有交点. (4)经过同一条直线上的三个点能不能做圆？为什 么？ 不在同一直 线上的三点 确定一个圆。 问题：经过不在同一直线上的三个已知点A、B、 C能作多少个圆? 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接 圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内 接三角形. ⊙ O是△ABC的外接圆, △ABC是⊙ O的内接三角形, 点O是△ABC的外心 外心是△ABC三条边的 垂直平分线的交点. CB A O 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 A B C ●O C A B ┐ ●O A B C ●O 画出过以下三角形的各顶点的圆. 不同类型三角形的外心位置有什么不同？. 方法: 在圆弧上任取不 重合的三点，作 其连线段的垂直 平分线，其交点 即为圆心。 车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复 原，你有办法吗？ A B Co 点和圆的位置关系有哪几种？ （1）dr A B C d 点A在圆内 点B在圆上 点C 在圆外 三种位置关系 O 点到圆心距离为 d ⊙ O半径为r ● O● O 把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,注意 观察直线与圆的公共点的个数 a(地平线) a(地平线) ● O ● O ● O 三 •你发现这个自然现象反映出直线和圆的公共点 个数有 种情况 ● ● ●● ●O●O 相交 ●O 相切 相离 直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直线和圆相切,这 条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点. 直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条 直线叫做圆的割线 直线和圆没有公共点,这时我们就说这条直线和圆相离. 两个公共点 没有公共点一个公共点 2.直线和圆的位置关系用图形表示如下: .o.o ll 相切相交 切 线 切 点割 线 .. . 没有公共点有一个公共点有两个公共点 .o l 相离 交 点 .O l .O1 .O l .O2 l l1) 2) 3) 4) 相交 相切相离 直线l与O1相离 直线l与 O2相交 O ● ● ● ● ● 过直线外一点作这条直线的垂线段,垂线 段的长度叫点到直线的距离。 l .A D ●O ● ●O●O 相交 ●O 相切 相离 直线与圆的位置关系量化 r r r ┐d d ┐ d ┐ 1)直线和圆相交 d r; d r; 2) 直线和圆相切 3) 直线和圆相离 d r; < = > 一判定直线 与圆的位置关系的方法有____种： （1）根据定义，由________________ 的个数 来判断； （2）由_________________ 的大 小关系来判断。 在实际应用中，常采用第二种方法判定。 两 直线 与圆的公共点 圆心到直线的距离d与半径r 3)若AB和⊙ O相交,则 . 1、已知⊙ O的半径为6cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围: 1)若AB和⊙ O相离, 则 ; 2)若AB和⊙ O相切, 则 ; d > 6cm d = 6cm d < 6cm0cm≤ 第二十四章 圆 24.3 正多边形和圆 观察这些图片，你能否看到正多边形？ 24.3 正多边形和圆   什么叫正多边形？   各边相等，各角相等的多边形.   什么是正多形的边心距、半径？   正多边形内切圆的半径叫做边心距．   正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 1.正多边形与圆 如果将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这个n边 形一定是________. 2.正多边形的有关概念 (1)中心:正多边形的_____________. (2)半径:正多边形_______的半径. (3)中心角:正多边形每一边所对的_______. (4)边心距:正多边形的_____到正多边形的一边的_____. 正n边形 外接圆的圆心 外接圆 圆心角 中心 距离 正多边形的性质与判定   正多边形的边有什么性质、角有什么性质？   各边相等，各角相等．   什么叫正多边形的中心角？   正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．   已知⊙ O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．   度量法①：   用量角器或 30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°． O B C A 1 2   已知⊙ O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．   度量法②： O B C A   用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．   已知⊙ O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．   度量法③： O B C A   用圆规在⊙ O 上顺次截取6条长度等于半径（2 cm）的弦，连接其中的 AB、BC、CA 即可． 【想一想】 各边相等的多边形一定是正多边形吗? 提示:不一定,如菱形的各边相等,但它不是正多边形. 【方法一点通】 正多边形的判定方法 1.定义判定:证明多边形的各边相等,各角相等. 2.正多边形与圆的关系判定:多边形为圆内接多边形时,判 断该多边形的顶点将圆等分即可. 【想一想】 正六边形的边长和半径有怎样的数量关系?为什么? 提示:相等,正六边形的中心角为60°,边和半径构成 等边三角形. 正多边形有关的计算 【方法一点通】 1.与正n边形有关的角. (1)中心角:每一个中心角度数为: (2)内角:每个内角度数为: (3)外角:每个外角的度数为: 360 .n   n 2 180 .n   360 .n  正多边形有关的计算 2.正多边形的半径R、边心距r、边长a的关系: 3.正n边形周长l与边长a,面积S与边长a、边心距r的关系: 周长l=na 面积S= arn. 1 2 第二十四章 圆 24.4 弧长和扇形面积 24.4 弧长和扇形面积 若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为 ， l 则 180 Rnl p n° A B O 弧长公式 已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆 弧的长度。 60 50 180 180 n Rl p p   = p 3 50 (cm) 答：此圆弧的长度为 p 3 50 cm 学.科.网 如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角 所对的弧围成的图形是扇形。 半 径 半径 圆心角圆心角 弧 A B O B A 扇形 z 在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的扇形 面积的计算公式为 360 Rn 2p扇形S 360 2RnS p扇形180 Rnl p A B O 则用弧长表示扇形面积为: lRS 2 1扇形 S R 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一 个圆，侧面是一个曲面. 问题：圆锥的母线有几条？ 圆锥的侧面积和全面积 l c 圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长， 圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。 c l 练习： 思考：如何计算展开图中圆心角的大小？ c l no